1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷（一模）年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷（一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）若复数 z 满足 z （1+i）3+i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i 2 （5 分）若集合 U1，2，3，4，5，A1，3，5，B3，4，5，则图中阴影部分 表示的集合的子集个数为（ ） A3 B
2、4 C7 D8 3 （5 分）围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流在 用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区 1000 户偏爱酒店的用户与 1000 户偏爱民宿 的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台， 得到统计图， 则下列说法中不正确的是 （ ） A偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高 B在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等 C 小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中 的占比不相等 D在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高 4 （5 分）在ABC 中，A60，AB2，AC3， = 3 ，
3、则 =（ ） A 3 11 B 3 4 C3 4 D 3 11 5 （5 分） （x+2） （x1）6的展开式中 x4的系数为（ ） A30 B10 C10 D20 6 （5 分）2006 年 7 月 13 日，河南安阳殷墟通过了世界遗产委员会的认可，成为世界文化 第 2 页（共 21 页） 遗产考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规 律已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t（单位：年）的衰变规律满足 NN02; 5730（No 表示碳 14 原有的质量） ，经过测定，殷墟遗址某文物样本中碳 14 的质量约是原来的5 6， 据此推测此文物存在的时期距今约（
4、） （参考数据：log231.6，log252.3） A1719 年 B2870 年 C3075 年 D4775 年 7 （5 分）若三棱锥 PABC 的四个面都为直角三角形，且 PA平面 ABC，PAAB1， AC2，则其外接球的表面积为（ ） A6 B5 C4 D3 8 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x） = + + ，0 1 2 1 +1 ， 1 2 1， ， （e 为自然对数的底数） ，则 ab 的值为（ ） A3 B2 C1 D0 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
5、分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）若点（a，b）在直线 x+2y20 上，其中 a0，b0，则（ ） Aab 的最大值为1 2 Ba+b 的最大值为 2 Ca+b 的最小值为2 D 2 :1 + 1 的最小值为 8 3 10 （5 分）一个不透明的袋子中装有 6 个小球，其中有 4 个红球，2 个白球，这些球除颜色 外完全相同，则下列结论中正确的有（ ） A若一次摸出 3 个球，则摸出的球均为红球的概率是2 5
6、 B若一次摸出 3 个球，则摸出的球为 2 个红球，1 个白球的概率是3 5 C若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球 为不同颜色的球的概率是4 9 D若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的 球的概率是3 5 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x）+cos（2x2） ，则下列结论正确的是（ ） 第 3 页（共 21 页） A当 0 时，函数 f（x）在0， 2上的最大值为 9 8 B当 时，函数 f（x）的图像关于直线 x= 2对称 C 是函数 f（x）的一个周期 D不存在 ，使得函数 f（x）是奇函数 12 （5
7、 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，O 是坐标原点，P 为抛物线 C 上 一动点，直线 l 交 C 于 A，B 两点，点 Q（1，1）不在抛物线 C 上，则（ ） A若 A，B，F，Q 四点共线，则 p2 B若|PQ|+|PF|的最小值为 2，则 p2 C若直线 l 过焦点 F，则直线 OA，OB 的斜率 KOA，KOB满足 KOAKOB= 1 4 D若过点 A，B 所作的抛物线的两条切线互相垂直，且 A，B 两点的纵坐标之和的最小 值为 4，则ABQ 的面积为 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。 （第分。 （
8、第 15 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）ax221nx 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y1，则 a 的值 为 14 （5 分）将 12021 这 2021 个整数中能被 2 整除余 1 且被 3 整除余 2 的数按从小到大的 顺序构成一个数列，则该数列的项数为 15 （5 分）已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线 分别交于 A，B 两点，O 是坐标原点若AOB 的内切圆的周长为 ，则内切圆的圆心坐 标为 ，双曲线 C 的离心率为 16 （5 分）正方体 ABCDABCD的棱长
9、为 a，P 是正方体表面上的动点，若|AP|= 2a， 则动点 P 的轨迹长度为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分） 在csinB= 3bcosC， 2cosCsin （3 2 2C） 2cos2C， SABC= sinC 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_，c2 （1）求角 C； （2）求ABC 周长的取值范围 18 （12 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和为
10、 Sn，且 Sn2an2 第 4 页（共 21 页） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnanlog2an+1，设数列bn的前 n 项和为 Tn，当 Tnk0 对任意 nN*都成立 时，求实数 k 的取值范围 19 （12 分）为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开 展阳光体育 “冬季长跑活动” 为了解学生对 “冬季长跑活动” 的兴趣度是否与性别有关， 某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查， 其中认为感兴趣的人数占80% （1）根据所给数据，完成下面的 2x2 列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为 学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与
11、性别有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 12 女生 36 合计 100 （2）若用频率估计概率，在随机抽取的 100 名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取 1 名学生，求这 2 人中恰有 1 人不感兴趣的概率； （3）若不感兴趣的男学生中恰有 5 名是高三学生现从不感兴趣的男学生中随机选出 3 名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= ()2 (+)(+)(+)
12、(+)，其中 na+b+c+d 20 （12 分） 如图， 四棱锥 SABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 侧面 SAD 为等腰直角三角形， SASD22， AB2， F 是 BC 的中点， 二面角 SADB 的大小为 120， 设平面 SAD 与平面 SBC 的交线为 l （1）在线段 AD 上是否存在点 E，使 l平面 SEF？若存在，确定点 E 的位置；若不存 在，请说明理由； （2）若点 Q 在 l 上，直线 SB 与平面 QCD 所成角的正弦值为 3 4 ，求线段 DQ 的长 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右
13、顶点分别为 A1，A2，上、下顶 点分别为 B1， B2，左焦点为 F1，且过点 M（1， 2 2 ） O 为坐标原点，A1B1F1与OA2B2 的面积的比值为 1 2 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l：ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记直线 OP，OQ 的斜 率分别为 k1，k2，若 k 为 k1，k2的等比中项，求OPQ 面积的取值范围 22 （12 分）设函数 f（x）xlnxax2x，g（x）ex 13ax+a（e 为自然对数的底数） （1）若函数 f（x）有两个极值点，求 a 的取值范围； （2）设函数 h（x）g（x）f（x） ，其中 f（
14、x）为 f（x）的导函数，求证：h（x）的 极小值不大于 1 第 6 页（共 21 页） 2021 年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷（一模）年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）若复数 z 满足 z （1+i）3+i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i 【解答】解：因为 z（1+i
15、）3+i， 所以 z= 3+ 1+ = (3+)(1) (1+)(1) = 2+4 2 = 1 + 2， 所以 = 12i，即 z 的共轭复数的虚部为2， 故选：C 2 （5 分）若集合 U1，2，3，4，5，A1，3，5，B3，4，5，则图中阴影部分 表示的集合的子集个数为（ ） A3 B4 C7 D8 【解答】解：集合 U1，2，3，4，5，A1，3，5，B4，3，5， AB3，5， 图中阴影部分表示的集合为：U（AB）1，2，4， 图中阴影部分表示的集合的子集有：238 故选：D 3 （5 分）围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流在 用户出行旅游决策中，某机
16、构调查了某地区 1000 户偏爱酒店的用户与 1000 户偏爱民宿 的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台， 得到统计图， 则下列说法中不正确的是 （ ） A偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高 第 7 页（共 21 页） B在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等 C 小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中 的占比不相等 D在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高 【解答 】解：由右图可知， 偏爱民宿用户对小红 书平台的选择占比 为 1 （10%+20%+16%+18%+12%）24%， 则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最
17、高，故 A 正确； 在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为 25%+19%44%， 在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为 24%+20%44%， 则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故 B 正确； 小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为 19%+24%43%， 携程旅行的占比为 25%+20%45%，携程旅行的占比略高于小红书占比，故 C 正确； 在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为 15%和 12%， 抖音的占比分别为 6%和 18%， 则酒店预订方面同程旅行占比高， 民宿预订方面抖音的占 比高，故 D 错误
18、 故选：D 4 （5 分）在ABC 中，A60，AB2，AC3， = 3 ，则 =（ ） A 3 11 B 3 4 C3 4 D 3 11 【解答】解：画出图形如图：建立如图所示的坐标系， 在ABC 中，A60，AB2，AC3， 所以 B（2，0） ，C（3 2， 33 2 ） ， =（1 2， 33 2 ） ， 由 = 3 ，M（x，y） ， （x 3 2，y 33 2 ）3（2x，y） ， 解得 x= 15 8 ，y= 33 8 ， =（15 8 ，33 8 ） ， =（ 1 2， 33 2 ） ， 所以 = 15 16 + 27 16 = 3 4 故选：C 第 8 页（共 21 页） 5
19、 （5 分） （x+2） （x1）6的展开式中 x4的系数为（ ） A30 B10 C10 D20 【解答】解：（x1）6x66x5+15x420 x3+15x26x1， （x+2） （x1）6的展开式中 x4的系数为20+21510， 故选：B 6 （5 分）2006 年 7 月 13 日，河南安阳殷墟通过了世界遗产委员会的认可，成为世界文化 遗产考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规 律已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t（单位：年）的衰变规律满足 NN02; 5730（No 表示碳 14 原有的质量） ，经过测定，殷墟遗址某文物样本中碳 14 的质量
20、约是原来的5 6， 据此推测此文物存在的时期距今约（ ） （参考数据：log231.6，log252.3） A1719 年 B2870 年 C3075 年 D4775 年 【解答】解：由题意可得 0 = 5 6， 则 0 = 5 6 = 2 5730，即 5730 = 2 5 6， 所以 t5730（log25（log23+1） ）5730（2.32.6）1719 年 故选：A 7 （5 分）若三棱锥 PABC 的四个面都为直角三角形，且 PA平面 ABC，PAAB1， AC2，则其外接球的表面积为（ ） A6 B5 C4 D3 【解答】解：构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为 R. 则
21、2RPC= 2+ 2= 12+ 22= 5 其外接球的表面积4R25 故选：B 第 9 页（共 21 页） 8 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x） = + + ，0 1 2 1 +1 ， 1 2 1， ， （e 为自然对数的底数） ，则 ab 的值为（ ） A3 B2 C1 D0 【解答】解：定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时，f（x） = + + ，0 1 2 1 +1 ， 1 2 1， ， f（0）e0+a+b0， 且 f（1）f（1）f（1）f（1）= 1 2 =0， 可得 b1 且
22、a2， 故 ab3， 故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）若点（a，b）在直线 x+2y20 上，其中 a0，b0，则（ ） Aab 的最大值为1 2 Ba+b 的最大值为 2 Ca+b 的最小值为2 D 2 :1 + 1 的最小值为 8 3 【解答】解：由题设可知：a+2b2， a0，b0，a+2b222，即2
23、 1，ab 1 2，当且仅当 a2b1 时取“ “，故选项 A 正确； 又由 a+2b2 可得：a22b，a+b2b，b（0，1） ，a+b（1，2） ，故选项 B、 C 错误； 第 10 页（共 21 页） a+2b2， （a+1） +2b3， 2 :1 + 1 = 1 3 （ 2 :1 + 1 ） （a+1） +2b= 1 3 （4+ 4 +1 + +1 ） 1 3（4+24）= 8 3，当且仅当 = 1 2 = 3 4 时取“，故选项 D 正确， 故选：AD 10 （5 分）一个不透明的袋子中装有 6 个小球，其中有 4 个红球，2 个白球，这些球除颜色 外完全相同，则下列结论中正确的有
24、（ ） A若一次摸出 3 个球，则摸出的球均为红球的概率是2 5 B若一次摸出 3 个球，则摸出的球为 2 个红球，1 个白球的概率是3 5 C若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球 为不同颜色的球的概率是4 9 D若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的 球的概率是3 5 【解答】解：对于 A，总事件数是6 3 = 20，摸出的球均为红球的事件数为4 3 = 4，所以 摸出的球均为红球的概率是1 5，故选项 A 错误； 对于 B，总事件数是6 3 = 20，摸出的球为 2 个红球，1 个白球的事件数为4 2 2 1 = 1
25、2， 所以摸出的球为 2 个红球，1 个白球的概率是3 5，故选项 B 正确； 对于 C，若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为4 6 2 6 = 8 36；若第一次摸 出白球，第二次摸出红球，则概率为2 6 4 6 = 8 36故两次摸出的球为不同颜色的球的概 率是 8 36 + 8 36 = 4 9，故选项 C 正确； 对于 D，若第一次摸出红球，第二次摸出白球，则概率为4 6 2 5 = 8 30，若第一次摸 出白球，第二次摸出红球，则概率为2 6 4 5 = 8 30故两次摸出的球为不同颜色的球的概 率是 8 30 + 8 30 = 8 15，故选项 D 错误 故选：BC 11 （
26、5 分）已知函数 f（x）sin（x）+cos（2x2） ，则下列结论正确的是（ ） A当 0 时，函数 f（x）在0， 2上的最大值为 9 8 第 11 页（共 21 页） B当 时，函数 f（x）的图像关于直线 x= 2对称 C 是函数 f（x）的一个周期 D不存在 ，使得函数 f（x）是奇函数 【解答】解：函数 f（x）sin（x）+cos（2x2） ， 对于 A：当 0 时，f（x）sinx+cos2x2sin2x+sinx+1= 2( 1 4) 2 + 9 8， 由于 x0， 2，当 sinx= 1 4时，函数的最大值为 9 8，故 A 正确； 对于 B：当 时，f（x）sinx+c
27、os2x= 1 22 = 2( + 1 4) 2 + 9 8， 根据二次函数的性质，当 sinx1，即 x= 2时，函数取得最小值， 由于三角函数的对称轴位置的值要么最大值，要么为最小值， 故函数 f（x）的图像关于直线 x= 2对称，故 B 正确； 对于 C：f（x+）sin（x+）+cos（2x+22）sin（x）+cos（2x2） f（x） ，故 C 错误； 对于 D：要使函数 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x） ，即 sin（x）+cos（2x 2）sin（x）+cos（2x2）， 整理得：cosxsincos2xcos2， 即 2 = 2 ，无论怎样取 ，关系式都不成立， 故不存
28、在 ，使得函数 f（x）是奇函数，故 D 正确 故选：ABD 12 （5 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，O 是坐标原点，P 为抛物线 C 上 一动点，直线 l 交 C 于 A，B 两点，点 Q（1，1）不在抛物线 C 上，则（ ） A若 A，B，F，Q 四点共线，则 p2 B若|PQ|+|PF|的最小值为 2，则 p2 C若直线 l 过焦点 F，则直线 OA，OB 的斜率 KOA，KOB满足 KOAKOB= 1 4 D若过点 A，B 所作的抛物线的两条切线互相垂直，且 A，B 两点的纵坐标之和的最小 值为 4，则ABQ 的面积为 4 【解答】解：若直线 l 过 F，Q 且
29、与 y 轴垂直，可得 p2，当直线 l 过点 F，Q 但不与 y 轴垂直时，得不出 p2，故 A 错； 第 12 页（共 21 页） 当点 Q 在抛物线的内部时，由抛物线的定义可得，|PQ|+|PF|PQ|+|PN|1+ 2 =2（N 为 抛物线准线上的点） ； 当点 Q 在抛物线外部时，连接 FQ，|PQ|+|PF|QF|= ( 2 1)2+ 1 =2，得 p2+23， 故 B 错； 由条件知直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykx+ 2与 x 22py 联立消去 y 得 x22pkxp2 0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1x2p2，y1y2= (12)2 42 =
30、 2 4 ， kOAkOB= 1 4，故 C 正确； 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由 x22py，得= 1 ， 1 2 12= 1，即 x 12= 2， 1+ 2= 1 2(1 + 2)2+ ，所以当 x1+x20 时， y1+y2取得最小值，p4， 从而解得 x14，x24，y1y22； = 1 2 8 1 =4，故 D 正确， 故选：CD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。 （第分。 （第 15 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）ax221nx 在点（1，
31、f（1） ）处的切线方程为 y1，则 a 的值 为 1 【解答】解：由 f（x）ax221nx，得 f（x）2ax 2 ， 函数 f（x）ax221nx 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y1， f（1）2a20， 即 a1 故答案为：1 14 （5 分）将 12021 这 2021 个整数中能被 2 整除余 1 且被 3 整除余 2 的数按从小到大的 顺序构成一个数列，则该数列的项数为 337 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，设要求数列为an， 被 2 整除余 1 的数为 1、3、5、7、， 被 3 整除余 2 的数为 2、5、8， 则能被 2 整除余 1 且被 3
32、整除余 2 的数为 5、11、17、，是首项为 5，公差为 6 的等 差数列， 则 an6n1， 在 12021 这 2021 个整数中，an的最大项为 2021，即 202163371， 则该数列有 337 项， 故答案为：337 15 （5 分）已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线 分别交于 A，B 两点，O 是坐标原点若AOB 的内切圆的周长为 ，则内切圆的圆心坐 标为 （3 2，0） ，双曲线 C 的离心率为 32 4 【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：x2， 由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为 y= ， 设三角形
33、AOB 的内切圆半径为 r，则 2r，所以 r= 1 2， 所以圆心坐标为（3 2，0） ， 且圆心到直线 y= 的距离为 dr= 1 2 = 3 2 1+( ) 2， 解得 c3b，所以 a22， 则双曲线的离心率为 e= = 3 22 = 32 4 ， 故答案为： （3 2 ，0） ，32 4 16 （5 分）正方体 ABCDABCD的棱长为 a，P 是正方体表面上的动点，若|AP|= 2a， 则动点 P 的轨迹长度为 3 2 【解答】 解： 正方体 ABCDABCD的棱长为 a， P 是正方体表面上的动点， 若|AP|= 2a， 所以 P 点在不含点 A 的三个平面上，如图，是 3 个1
34、 4的圆周， 动点 P 的轨迹长度为：3 1 4 2 = 3 2 第 14 页（共 21 页） 故答案为：3 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分） 在csinB= 3bcosC， 2cosCsin （3 2 2C） 2cos2C， SABC= sinC 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_，c2 （1）求角 C； （2）求ABC 周长的取值范围 【解答】解： （1）选，csi
35、nB= 3bcosC， 由正弦定理得，sinCsinB= 3sinBcosC， 因为 sinB0， 所以 sinC= 3cosC，即 tanC= 3， 由 C 为三角形内角得，C= 3， 选，2cosCsin（3 2 2C）2cos2C， 2cosC+cos2C2cos2C， 整理得，cosC= 1 2， 由 C 为三角形内角得，C= 3， 选，SABC= sinCbacosCsinC， 由三角形面积公式得，abcosCsinC= 1 2 sinC， 故 cosC= 1 2， 由 C 为三角形内角得，C= 3， （2）因为 c2， 第 15 页（共 21 页） 由余弦定理得，c2a2+b22a
36、bcosC， 故 4（a+b）23ab， 所以（a+b）24+3ab 4 + 3 (+ 2 )2，当且仅当 ab 时取等号， 解得，a+b4， 因为 a+bc2， 故 2a+b4 ABC 周长 a+b+c 的取值范围（4，6 18 （12 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnanlog2an+1，设数列bn的前 n 项和为 Tn，当 Tnk0 对任意 nN*都成立 时，求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）sn2an2， 当 n1 时，a12a12，解得 a12， 当 n2 时，ansnsn1（2an2）（
37、2an12）2an2an1， an2an1， 数列an是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， an2n （2）bnanlog2an+12n22:1=（n+1）2n， 数列bn的前 n 项和为 Tn22+322+423+（n+1）2n， 2Tn222+323+n2n+（n+1） 2n+1， 相减可得：Tn4+22+23+n2n（n+1） 2n+12+ 2(12) 12 （n+1） 2n+1， 化为：Tnn2n+1 （Tn）min4， 当 Tnk0 对任意 nN*都成立时， k（Tn）min4， 实数 k 的取值范围是（，4 19 （12 分）为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代
38、学校体育工作，某校开 展阳光体育 “冬季长跑活动” 为了解学生对 “冬季长跑活动” 的兴趣度是否与性别有关， 某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查， 其中认为感兴趣的人数占80% 第 16 页（共 21 页） （1）根据所给数据，完成下面的 2x2 列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为 学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 12 女生 36 合计 100 （2）若用频率估计概率，在随机抽取的 100 名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取 1 名学生，求这 2 人中恰有 1 人不感兴趣的概率； （3）若不感兴趣的男学生中恰有 5 名
39、是高三学生现从不感兴趣的男学生中随机选出 3 名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 【解答】解： （1）列联表如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 44 12 56 女生 36 8 44 合计 80 20 100 计算 K2= 100(4483612)2 80205644 0.1622.706， 没有 9
40、0%的把握认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关； （2）设这 2 人中恰有 1 人不感兴趣为事件 A， 则 P（A）= 44 56 8 44 + 12 56 36 44 = 7 22； （3）由题意可知，X 的取值可能为 0，1，2，3， 则 P（X0）= 7 3 12 3 = 7 44，P（X1）= 7 2 5 1 12 3 = 21 44， P（X2）= 7 1 5 2 12 3 = 7 22，P（X3）= 5 3 12 3 = 1 22 故 X 的分布列为 第 17 页（共 21 页） X 0 1 2 3 P 7 44 21 44 7 22 1 22 E（X）0 7 44 + 1
41、 21 44 + 2 7 22 + 3 1 22 = 5 4 20 （12 分） 如图， 四棱锥 SABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 侧面 SAD 为等腰直角三角形， SASD22， AB2， F 是 BC 的中点， 二面角 SADB 的大小为 120， 设平面 SAD 与平面 SBC 的交线为 l （1）在线段 AD 上是否存在点 E，使 l平面 SEF？若存在，确定点 E 的位置；若不存 在，请说明理由； （2）若点 Q 在 l 上，直线 SB 与平面 QCD 所成角的正弦值为 3 4 ，求线段 DQ 的长 【解答】解： （1）因为底面 ABCD 为矩形，所以 BCAD， 又因为
42、AD平面 SAD，BC平面 SAD， 所以 BC平面 SAD， 又因为平面 SAD平面 SBCl，BC平面 SBC， 所以 BCl，从而 ADl 取 AD 中点 O，连接 OF，OS， 因为 SASD，所以 ADSO， 因为 O、F 分别为矩形 ABCD 对边中点，所以 ADOF， 所以 AD平面 SOF， 因为 lAD，所以 l平面 SOF， 故当 E 在 O 点时，l平面 SEF （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知SEF 为二面角 SADB 的平面角，其大小为 120， 因为侧面 SAD 为等腰直角三角形，SASD22， 所以 OAODOS2，所以 S（0，1，3） ，B（2
43、，2，0） ，D（2，0，0） ，C（2， 第 18 页（共 21 页） 2，0） ， 设 Q（t，1，3） ，则 =（2，3，3） ， =（0，2，0） ， =（t+2，1，3） ， 设平面 QCD 的法向量为 =（x，y，z） ， = 2 = 0 = ( + 2) + 3 = 0 ，令 x= 3， =（3，0，t+2） ， 直线 SB 与平面 QCD 所成角的正弦值为 | | | | | = 3|:4| 43:(:2)2 = 3 4 ， 解得 t+2= 1 4， 所以线段 DQ 的长为( + 2)2+ (1)2+ (3)2= 65 4 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2
44、=1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，上、下顶 点分别为 B1， B2，左焦点为 F1，且过点 M（1， 2 2 ） O 为坐标原点，A1B1F1与OA2B2 的面积的比值为 1 2 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l：ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记直线 OP，OQ 的斜 率分别为 k1，k2，若 k 为 k1，k2的等比中项，求OPQ 面积的取值范围 【解答】解： （1）根据题意可得 1 2 + 1 22 = 1 1 2() 1 2 = 1 2 2 2= 2+ 2 ， 解得 a22，b2c21， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 +y21 第
45、 19 页（共 21 页） （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立 = + 2 2 + 2= 1，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m220， （4km）24（1+2k2） （2m22）16k2m2（4+8k2） （2m22）16k2m28m2+8 16k2m2+16k28m2+8+16k20（*） ， 所以 x1+x2= 4 1+22，x1x2= 222 1+22 ， 所以 k1k2= 1 1 2 2 = 12 12 = (1:)(2:) 12 = 212:(1:2):2 12 = 2222 1+22 +( 4 1+22) 2+2 222 1+22 = 22222422+
46、2(1+22) 222 = 22+2 222 ， 因为 k 为 k1，k2的等比中项， 所以 k1k2k2， 所以;2 2:2 22;2 =k2， 化简得 k2= 1 2， 代入（*） ，得 0m22， |PQ|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 1 + 2( 4 1+22) 2 4 222 1+22 = 1 + 28 2+8+162 (1+22)2 ， 点 O 到直线 l 的距离 d= | 1+2， 所以 SOPQ= 1 2|PQ|d= 1 21 + 282+8+16 2 (1+22)2 | 1:2 = 1 2 82+8+162 (1+22)2 |m| = 1 2 82+8+161 2
47、(1+21 2) 2 |m| = (22+ 4) 2，0m22， 第 20 页（共 21 页） 所以当 m21 时， （SOPQ）max= 2， 所以OPQ 面积的取值范围（0，2 22 （12 分）设函数 f（x）xlnxax2x，g（x）ex 13ax+a（e 为自然对数的底数） （1）若函数 f（x）有两个极值点，求 a 的取值范围； （2）设函数 h（x）g（x）f（x） ，其中 f（x）为 f（x）的导函数，求证：h（x）的 极小值不大于 1 【解答】解： （1）因为 f（x）xlnxax2x，f（x）lnx2ax， 所以 f（x）xlnxax2x 有两个极值点就是方程 lnx2ax0 有两个解，即 y2a 与 m （x）= 的图象有两个交点， 因为 m（x）= 1 2 ，当 x（0，e）时，m（x）0，m（x）单调递增；当 x（e，+ ）时，m（x）0，m（x）单调递减， 所以 m（x）有极大值 m（e）= 1 ， 又因为 x（0，1时，m（x）0； 当 x（1，+）时，0m（x） 1 ， 所以当 02a 1 ，即 0a 1 2， y2a 与 m（x）= 的图象有两个交点， 所以 a 的取值范围为（
