1、2021 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|2x2，Bx|x23x40，则 AB（ ） Ax|2x4 Bx|1x2 Cx|1x4 Dx|2x2 2已知命题 p：“xR，ax2+bx+c0”，则p 为（ ） Ax0R，ax02+bx0+c0 Bx0R，ax02+bx0+c0 Cx0R，ax02+bx0+c0 Dx0R，ax02+bx0+c0 3已知等比数列an满足 a11，4a4a1a740，则 a7（ ） A4 B C8 D 4刘徽（约公元 225 年295 年），魏晋时期伟大的数
2、学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆 术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视 为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如 图所示），当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想，估 计 sin4的值为（ ） A0.0524 B0.0628 C0.0785 D0.0698 5已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 a33a1，a23a11，则数列的前 10 项和为（ ） A B55 C D65 6已知 alog23，b0.23，clog34，
3、则 a、b、c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Ccab Dacb 7 已知 F 为双曲线的左焦点， 若双曲线右支上存在一点 P， 使直线 PF 与圆 x 2+y2 a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 8若，则 等于（ ） A B C D 9函数 f（x）lncosx 的图象大致为（ ） A B C D 10已知函数，给出下列结论： f（x）的最小正周期为 ； 点，是函数 f（x）的一个对称中心； f（x）在上是增函数； 把 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度就可以得到 f（x）的图象 则正确的是（ ） A B C D 11已知，若 f（x）k 有四个零点
4、，则 k 的取值范围为（ ） A B C D 12已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，AB 2，若四棱锥 PABCD 外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（ ） A4 B6 C8 D10 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13若向量 、 、 满足 ，| | |1，则（ ） 14已知曲线 yx3+ax2 与 x 轴相切，则 a 15已知直线 l：xmy+1 过抛物线 C：y22px 的焦点 F，交抛物线 C 于 A、B 两点，若，则直线 l 的斜率为 1
5、6如图，已知梭长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，给出下列结论： 异面直线 AP 与 DD1所成的角范围为； 平面 PBD1平面 A1C1D； 点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值； 存在一点 P，使得直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 其中正确的结论是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17设 a 为实数，函数 （1）若 a1，求 f（x）的定义域； （2）若 a0，且 f（x）a 有两个不同的实数根，求 a 的取值
6、范围 18数列an满足 a12， （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求bn的前 n 项和 Tn 19在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2ab2ccosB （1）求角 C； （2）若 a2，D 在边 AB 上，且2，CD，求 b 20 如图， 四棱锥 SABCD 中， ABCD， BCCD， 侧面 SCD 为等边三角形， ABBC4， CD2， （1）求证：BCSD； （2）求二面角 BASD 的余弦值 21已知椭圆 C：1（ab0）过点 A（1，），B（0，1） （1）求 C 的方程； （2）经过 D（2，1），且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 P，
7、Q 两点（均异于点 B），证明：直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值 22已知函数 （1）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|2x2，Bx|x23x40，则 AB（ ） Ax|2x4 Bx|1x2 Cx|1x4 Dx|2x2 解：Ax|2x2，Bx|1x4， ABx|1x2 故选：B 2已知命题 p：“xR，ax2+bx+c0”，则p 为（ ） Ax0R，ax02+bx0+c0 Bx0R，ax02+bx0+c0 Cx0R，ax02+bx0+c0 Dx0R，ax02+bx0+c0 解：由
8、全称命题的否定为特称命题， 由命题 p：“xR，ax2+bx+c0”， 得p 为“x0R，ax02+bx0+c0” 故选：C 3已知等比数列an满足 a11，4a4a1a740，则 a7（ ） A4 B C8 D 解：因为 4a4a1a740， 所以，所以 a42， 再由 a11 得 q32， 故选：A 4刘徽（约公元 225 年295 年），魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆 术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视 为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如 图所
9、示），当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想，估 计 sin4的值为（ ） A0.0524 B0.0628 C0.0785 D0.0698 解：将一个单位圆平均分成 90 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 360904， 因为这 90 个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积， 所以 9011sin445sin4， 所以 sin40.0698 故选：D 5已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 a33a1，a23a11，则数列的前 10 项和为（ ） A B55 C D65 解：设等差数列an的公差为 d，则， 所以 a11，d1，S
10、n ， 所以，数列的前 10 项和， 故选：C 6已知 alog23，b0.23，clog34，则 a、b、c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Ccab Dacb 解：由题知 0b1， ， a，1c ， acb， 故选：D 7 已知 F 为双曲线的左焦点， 若双曲线右支上存在一点 P， 使直线 PF 与圆 x 2+y2 a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 解：直线 PF 与圆 x2+y2a2相切，则直线 PF 的斜率 ， 又点 P 在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以，即， 故选：B 8若，则 等于（ ） A B C D 解：m， tan， 则 t ， 故选
11、：C 9函数 f（x）lncosx 的图象大致为（ ） A B C D 解：根据题意，函数 f（x）lncosx，必有0，解可得2x2， 即函数的定义域为（2，2）， 有，则 f（x）为奇函数，可排除 BD； 又由 f（1）ln3cos11，排除 C， 故选：A 10已知函数，给出下列结论： f（x）的最小正周期为 ； 点，是函数 f（x）的一个对称中心； f（x）在上是增函数； 把 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度就可以得到 f（x）的图象 则正确的是（ ） A B C D 解：函数， ， 对于，由题知，则周期 T，故正确； 对于，由于，故正确； 对于，当时，故正确； 对于，把 y2
12、sin2x 的图像向左平移个单位长度就可以得到 f（x）的图像，故错误， 故选：C 11已知，若 f（x）k 有四个零点，则 k 的取值范围为（ ） A B C D 解：， 由 f（x）0，得 x0 或 x1 或 x1， 可知 f（x）在 x0 处取极小值，x1 或 x1 处取极大值， 因 f（0）0， 所以时，f（x）k 有四个零点， 故选：A 12已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，AB 2，若四棱锥 PABCD 外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（ ） A4 B6 C8 D10 解：如图， 设矩形 ABCD 的中心
13、为 F，三角形 PAD 的外心为 E，分别过 F、E 作所在平面的垂线，交于 O， 则 O 为四棱锥 PABCD 外接球的球心， 设 ADa，又 AB2，可得 OF，AF， OA 四棱锥 PABCD 外接球的体积为， 解得：a ， 该四棱锥的表面积为 S 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13若向量 、 、 满足 ，| | |1，则（ ） 0 解：因为， 所以 故答案为：0 14已知曲线 yx3+ax2 与 x 轴相切，则 a 3 解：设曲线上切点坐标为， 因为 y3x2+a，所以 ，解得 x01，a3 故答案为
14、：3 15已知直线 l：xmy+1 过抛物线 C：y22px 的焦点 F，交抛物线 C 于 A、B 两点，若，则直线 l 的斜率为 解：由直线 xmy+1 过（1，0），所以 p2， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，可得 y12y2， 直线 xmy+1 与抛物线 y24x 联立得，y24my+4， 所以 y1y24，可得 ， 所以 故答案为： 16如图，已知梭长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，给出下列结论： 异面直线 AP 与 DD1所成的角范围为； 平面 PBD1平面 A1C1D； 点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值； 存在一
15、点 P，使得直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 其中正确的结论是 解：对于，当 P 在 C 点时，DD1AC， 异面直线 AC 与 DD1所成的角最大为， 当 P 在 B1点时，异面直线 AB1与 DD1所成的角最小为 ， 异面直线 AP 与 DD1所成的角的范围为，故错误； 对于，因为 BD1平面 A1C1D，所以平面 PBD1平面 A1C1D，故正确； 对于，B1C平面 A1C1D，所以点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值，且等于 BD1的 ， 即，故正确； 对于，直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为APB， 当 BPB1C 时，BP 最小，tanAPB 最大，最大值为
16、，故不正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17设 a 为实数，函数 （1）若 a1，求 f（x）的定义域； （2）若 a0，且 f（x）a 有两个不同的实数根，求 a 的取值范围 解：（1）当 a1 时，对任意的 x，函数 f（x）x 成立， 所以|x+1|10，即|x+1|1， 所以 x+11 或 x+11， 解得 x2 或 x0， 所以 f（x）的定义域为（，20，+） （2）由 f（x）a，得x+a， 设 x+at，t0，所以t 有 2 个不同的实数
17、根 整理得 att2， 设 f（t）tt2，t0，则 0f（t）， 由题意知，a 的取值范围是（0，） 18数列an满足 a12， （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求bn的前 n 项和 Tn 【解答】（1）证明：由，得， 又，所以为首项为 1，公比为的等比数列 （2）解：由（1）得，即 所以 Tn+ ， +， 由得， ， 所以 19在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 2ab2ccosB （1）求角 C； （2）若 a2，D 在边 AB 上，且2，CD，求 b 解：（1）根据题意，若 2ccosB2ab， 则有：2c2ab， 整理得：a2+b2c2ab， 可得
18、：cosC， 又在ABC 中，0C180， C60 （2）设 BDx，可得 AD2x， 因为 cosBDCcosADC，DC，a2， 由余弦定理可得：，解得 b26x21， 又 cosACB，解得 b29x22b4， 联立，解得 b2+4b110，解得 b2，（负值舍去） 20 如图， 四棱锥 SABCD 中， ABCD， BCCD， 侧面 SCD 为等边三角形， ABBC4， CD2， （1）求证：BCSD； （2）求二面角 BASD 的余弦值 【解答】（1）证明：由已知 BC4，SC2，得，SB2BC2+SC2， 所以BCS90，所以 BCSC， 又 BCCD，CD平面 SCD，SC平面
19、SCD， 所以 BC平面 SCD， 又 SD平面 SCD，所以 BCSD （2）解：以 D 为坐标原点，取 AB 中点 E，的方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立如图所示的空间 直角坐标系 Dxyz， 则 B（4，2，0），A（4，2，0）， 所以， 平面 DAS 的法向量为， 则，即， 即 x1，则 y2， 所以 平面 BAS 的法向量为， 则，即，得 b0， 取，则 c4，所以， 从而 因二面角 BASD 为锐角，故二面角 BASD 的余弦值为 21已知椭圆 C：1（ab0）过点 A（1，），B（0，1） （1）求 C 的方程； （2）经过 D（2，1），且斜率为 k 的直线 l 交椭圆
20、C 于 P，Q 两点（均异于点 B），证明：直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值 解：（1）因为椭圆 C 过点 A（1，），B（0，1）， 所以 b1，+1，解得 a23， 所以椭圆的方程为+y21 （2）证明：根据题意设直线 l 的方程为 yk（x2）+1，即 ykx2k+1， 联立，得（1+3k2）x2+（12k2+6k）x+12k212k0， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以 x1+x2 ，x1x2 ， y1y2（kx12k+1）（kx22k+1）k2x1x2+（2k+1）k（x1+x2）+（2k+1）2 k2 +（2k+1）k（）+（2k+1）2， kBP+kBQ+ 2
21、k+（22k）2k+（22k）1 22已知函数 （1）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 【解答】解法 1：（1）因为，x0， 当 a0 时，符合题意， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减， 而，不合题意， 当 a0 时，令 f（x）0，得 0 x4a2， 令 f（x）0，得 x4a2， 即 f（x）在（0，4a2）上单调递增，在（4a2，+）上单调递减， 所以，解得 综上，实数 a 的取值范围为 解法 2：由已知若 f（x）0，即对x0 恒成立， 当 x0 时，01，不等式显然成立； 当 x1 时，由得， 设，则， 由 g（x）0 得 xe2，由 g（x）0，得 0 xe2， 即 g（x）在（0，e2）单调递减，在（e2，+）单调递增， 所以，所以 当 0 x1 时，由，得， 由，因为 0 x1，所以 g（x）0， 即 g（x）在（0，1）上单调递减，且当 x0 时，g（x）0， 所以，g（x）0，所以 a0 综上， 证明：（2）由（1）知，当 a1 时，即， 所以， 所以， 所以，即证
