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2021届山西省吕梁市高考一模数学试卷(理科)含答案解析

1、2021 年山西省吕梁市高考数学一模试卷(理科)年山西省吕梁市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Ax|2x2,Bx|x23x40,则 AB( ) Ax|2x4 Bx|1x2 Cx|1x4 Dx|2x2 2已知命题 p:“xR,ax2+bx+c0”,则p 为( ) Ax0R,ax02+bx0+c0 Bx0R,ax02+bx0+c0 Cx0R,ax02+bx0+c0 Dx0R,ax02+bx0+c0 3已知等比数列an满足 a11,4a4a1a740,则 a7( ) A4 B C8 D 4刘徽(约公元 225 年295 年),魏晋时期伟大的数

2、学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆 术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,这可视 为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如 图所示),当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想,估 计 sin4的值为( ) A0.0524 B0.0628 C0.0785 D0.0698 5已知 Sn为等差数列an的前 n 项和,满足 a33a1,a23a11,则数列的前 10 项和为( ) A B55 C D65 6已知 alog23,b0.23,clog34,

3、则 a、b、c 的大小关系为( ) Acba Bbac Ccab Dacb 7 已知 F 为双曲线的左焦点, 若双曲线右支上存在一点 P, 使直线 PF 与圆 x 2+y2 a2相切,则双曲线离心率的取值范围是( ) A B C D 8若,则 等于( ) A B C D 9函数 f(x)lncosx 的图象大致为( ) A B C D 10已知函数,给出下列结论: f(x)的最小正周期为 ; 点,是函数 f(x)的一个对称中心; f(x)在上是增函数; 把 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度就可以得到 f(x)的图象 则正确的是( ) A B C D 11已知,若 f(x)k 有四个零点

4、,则 k 的取值范围为( ) A B C D 12已知四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD底面 ABCD,AB 2,若四棱锥 PABCD 外接球的体积为,则该四棱锥的表面积为( ) A4 B6 C8 D10 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13若向量 、 、 满足 ,| | |1,则( ) 14已知曲线 yx3+ax2 与 x 轴相切,则 a 15已知直线 l:xmy+1 过抛物线 C:y22px 的焦点 F,交抛物线 C 于 A、B 两点,若,则直线 l 的斜率为 1

5、6如图,已知梭长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 在线段 B1C 上运动,给出下列结论: 异面直线 AP 与 DD1所成的角范围为; 平面 PBD1平面 A1C1D; 点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值; 存在一点 P,使得直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 其中正确的结论是 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17设 a 为实数,函数 (1)若 a1,求 f(x)的定义域; (2)若 a0,且 f(x)a 有两个不同的实数根,求 a 的取值

6、范围 18数列an满足 a12, (1)求证:数列为等比数列; (2)设,求bn的前 n 项和 Tn 19在ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 2ab2ccosB (1)求角 C; (2)若 a2,D 在边 AB 上,且2,CD,求 b 20 如图, 四棱锥 SABCD 中, ABCD, BCCD, 侧面 SCD 为等边三角形, ABBC4, CD2, (1)求证:BCSD; (2)求二面角 BASD 的余弦值 21已知椭圆 C:1(ab0)过点 A(1,),B(0,1) (1)求 C 的方程; (2)经过 D(2,1),且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 P,

7、Q 两点(均异于点 B),证明:直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值 22已知函数 (1)若 f(x)0,求实数 a 的取值范围; (2)求证: 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Ax|2x2,Bx|x23x40,则 AB( ) Ax|2x4 Bx|1x2 Cx|1x4 Dx|2x2 解:Ax|2x2,Bx|1x4, ABx|1x2 故选:B 2已知命题 p:“xR,ax2+bx+c0”,则p 为( ) Ax0R,ax02+bx0+c0 Bx0R,ax02+bx0+c0 Cx0R,ax02+bx0+c0 Dx0R,ax02+bx0+c0 解:由

8、全称命题的否定为特称命题, 由命题 p:“xR,ax2+bx+c0”, 得p 为“x0R,ax02+bx0+c0” 故选:C 3已知等比数列an满足 a11,4a4a1a740,则 a7( ) A4 B C8 D 解:因为 4a4a1a740, 所以,所以 a42, 再由 a11 得 q32, 故选:A 4刘徽(约公元 225 年295 年),魏晋时期伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆 术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,这可视 为中国古代极限观念的佳作割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如 图所

9、示),当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想,估 计 sin4的值为( ) A0.0524 B0.0628 C0.0785 D0.0698 解:将一个单位圆平均分成 90 个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为 360904, 因为这 90 个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积, 所以 9011sin445sin4, 所以 sin40.0698 故选:D 5已知 Sn为等差数列an的前 n 项和,满足 a33a1,a23a11,则数列的前 10 项和为( ) A B55 C D65 解:设等差数列an的公差为 d,则, 所以 a11,d1,S

10、n , 所以,数列的前 10 项和, 故选:C 6已知 alog23,b0.23,clog34,则 a、b、c 的大小关系为( ) Acba Bbac Ccab Dacb 解:由题知 0b1, , a,1c , acb, 故选:D 7 已知 F 为双曲线的左焦点, 若双曲线右支上存在一点 P, 使直线 PF 与圆 x 2+y2 a2相切,则双曲线离心率的取值范围是( ) A B C D 解:直线 PF 与圆 x2+y2a2相切,则直线 PF 的斜率 , 又点 P 在双曲线的右支上,所以,即, 所以,所以,即, 故选:B 8若,则 等于( ) A B C D 解:m, tan, 则 t , 故选

11、:C 9函数 f(x)lncosx 的图象大致为( ) A B C D 解:根据题意,函数 f(x)lncosx,必有0,解可得2x2, 即函数的定义域为(2,2), 有,则 f(x)为奇函数,可排除 BD; 又由 f(1)ln3cos11,排除 C, 故选:A 10已知函数,给出下列结论: f(x)的最小正周期为 ; 点,是函数 f(x)的一个对称中心; f(x)在上是增函数; 把 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度就可以得到 f(x)的图象 则正确的是( ) A B C D 解:函数, , 对于,由题知,则周期 T,故正确; 对于,由于,故正确; 对于,当时,故正确; 对于,把 y2

12、sin2x 的图像向左平移个单位长度就可以得到 f(x)的图像,故错误, 故选:C 11已知,若 f(x)k 有四个零点,则 k 的取值范围为( ) A B C D 解:, 由 f(x)0,得 x0 或 x1 或 x1, 可知 f(x)在 x0 处取极小值,x1 或 x1 处取极大值, 因 f(0)0, 所以时,f(x)k 有四个零点, 故选:A 12已知四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面 PAD底面 ABCD,AB 2,若四棱锥 PABCD 外接球的体积为,则该四棱锥的表面积为( ) A4 B6 C8 D10 解:如图, 设矩形 ABCD 的中心

13、为 F,三角形 PAD 的外心为 E,分别过 F、E 作所在平面的垂线,交于 O, 则 O 为四棱锥 PABCD 外接球的球心, 设 ADa,又 AB2,可得 OF,AF, OA 四棱锥 PABCD 外接球的体积为, 解得:a , 该四棱锥的表面积为 S 故选:B 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13若向量 、 、 满足 ,| | |1,则( ) 0 解:因为, 所以 故答案为:0 14已知曲线 yx3+ax2 与 x 轴相切,则 a 3 解:设曲线上切点坐标为, 因为 y3x2+a,所以 ,解得 x01,a3 故答案为

14、:3 15已知直线 l:xmy+1 过抛物线 C:y22px 的焦点 F,交抛物线 C 于 A、B 两点,若,则直线 l 的斜率为 解:由直线 xmy+1 过(1,0),所以 p2, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由,可得 y12y2, 直线 xmy+1 与抛物线 y24x 联立得,y24my+4, 所以 y1y24,可得 , 所以 故答案为: 16如图,已知梭长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 P 在线段 B1C 上运动,给出下列结论: 异面直线 AP 与 DD1所成的角范围为; 平面 PBD1平面 A1C1D; 点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值; 存在一

15、点 P,使得直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 其中正确的结论是 解:对于,当 P 在 C 点时,DD1AC, 异面直线 AC 与 DD1所成的角最大为, 当 P 在 B1点时,异面直线 AB1与 DD1所成的角最小为 , 异面直线 AP 与 DD1所成的角的范围为,故错误; 对于,因为 BD1平面 A1C1D,所以平面 PBD1平面 A1C1D,故正确; 对于,B1C平面 A1C1D,所以点 P 到平面 A1C1D 的距离为定值,且等于 BD1的 , 即,故正确; 对于,直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为APB, 当 BPB1C 时,BP 最小,tanAPB 最大,最大值为

16、,故不正确, 故答案为: 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17设 a 为实数,函数 (1)若 a1,求 f(x)的定义域; (2)若 a0,且 f(x)a 有两个不同的实数根,求 a 的取值范围 解:(1)当 a1 时,对任意的 x,函数 f(x)x 成立, 所以|x+1|10,即|x+1|1, 所以 x+11 或 x+11, 解得 x2 或 x0, 所以 f(x)的定义域为(,20,+) (2)由 f(x)a,得x+a, 设 x+at,t0,所以t 有 2 个不同的实数

17、根 整理得 att2, 设 f(t)tt2,t0,则 0f(t), 由题意知,a 的取值范围是(0,) 18数列an满足 a12, (1)求证:数列为等比数列; (2)设,求bn的前 n 项和 Tn 【解答】(1)证明:由,得, 又,所以为首项为 1,公比为的等比数列 (2)解:由(1)得,即 所以 Tn+ , +, 由得, , 所以 19在ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 2ab2ccosB (1)求角 C; (2)若 a2,D 在边 AB 上,且2,CD,求 b 解:(1)根据题意,若 2ccosB2ab, 则有:2c2ab, 整理得:a2+b2c2ab, 可得

18、:cosC, 又在ABC 中,0C180, C60 (2)设 BDx,可得 AD2x, 因为 cosBDCcosADC,DC,a2, 由余弦定理可得:,解得 b26x21, 又 cosACB,解得 b29x22b4, 联立,解得 b2+4b110,解得 b2,(负值舍去) 20 如图, 四棱锥 SABCD 中, ABCD, BCCD, 侧面 SCD 为等边三角形, ABBC4, CD2, (1)求证:BCSD; (2)求二面角 BASD 的余弦值 【解答】(1)证明:由已知 BC4,SC2,得,SB2BC2+SC2, 所以BCS90,所以 BCSC, 又 BCCD,CD平面 SCD,SC平面

19、SCD, 所以 BC平面 SCD, 又 SD平面 SCD,所以 BCSD (2)解:以 D 为坐标原点,取 AB 中点 E,的方向分别为 x 轴,y 轴正方向建立如图所示的空间 直角坐标系 Dxyz, 则 B(4,2,0),A(4,2,0), 所以, 平面 DAS 的法向量为, 则,即, 即 x1,则 y2, 所以 平面 BAS 的法向量为, 则,即,得 b0, 取,则 c4,所以, 从而 因二面角 BASD 为锐角,故二面角 BASD 的余弦值为 21已知椭圆 C:1(ab0)过点 A(1,),B(0,1) (1)求 C 的方程; (2)经过 D(2,1),且斜率为 k 的直线 l 交椭圆

20、C 于 P,Q 两点(均异于点 B),证明:直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值 解:(1)因为椭圆 C 过点 A(1,),B(0,1), 所以 b1,+1,解得 a23, 所以椭圆的方程为+y21 (2)证明:根据题意设直线 l 的方程为 yk(x2)+1,即 ykx2k+1, 联立,得(1+3k2)x2+(12k2+6k)x+12k212k0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 所以 x1+x2 ,x1x2 , y1y2(kx12k+1)(kx22k+1)k2x1x2+(2k+1)k(x1+x2)+(2k+1)2 k2 +(2k+1)k()+(2k+1)2, kBP+kBQ+ 2

21、k+(22k)2k+(22k)1 22已知函数 (1)若 f(x)0,求实数 a 的取值范围; (2)求证: 【解答】解法 1:(1)因为,x0, 当 a0 时,符合题意, 当 a0 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递减, 而,不合题意, 当 a0 时,令 f(x)0,得 0 x4a2, 令 f(x)0,得 x4a2, 即 f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+)上单调递减, 所以,解得 综上,实数 a 的取值范围为 解法 2:由已知若 f(x)0,即对x0 恒成立, 当 x0 时,01,不等式显然成立; 当 x1 时,由得, 设,则, 由 g(x)0 得 xe2,由 g(x)0,得 0 xe2, 即 g(x)在(0,e2)单调递减,在(e2,+)单调递增, 所以,所以 当 0 x1 时,由,得, 由,因为 0 x1,所以 g(x)0, 即 g(x)在(0,1)上单调递减,且当 x0 时,g(x)0, 所以,g(x)0,所以 a0 综上, 证明:(2)由(1)知,当 a1 时,即, 所以, 所以, 所以,即证