1、2020-2021 学年山东省临沂市沂南县九年级（上）期末数学试卷学年山东省临沂市沂南县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1tan45的值为（ ） A2 B2 C1 D1 2下列事件中，是必然事件的是（ ） A汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 B任意买一张电影票，座位号是 3 的倍数 C掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 3在平面直角坐标系中，点（
2、3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （2，3） B （3，2） C （3，2） D （2，3） 4如图是由 5 个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 5李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有 A、B、C、D 四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小组 和第二小组，则李明分到 A 项目的第一小组的概率是（ ） A B C D 6如图，ABCDCA，B33，D117，则BAD 的度数是（ ） A150 B147 C135 D120 7一元二次方程 x24x5 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 8已知点
3、 A（x1，4） ，B（x2，8）都在反比例函数 y的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ） Ax2x10 Bx10 x2 Cx1x20 Dx20 x1 9 如图， 从O 外一点 A 引圆的切线 AB， 切点为 B， 连接 AO 并延长交圆于点 C， 连接 BC 若A28， 则ACB 的度数是（ ） A28 B30 C31 D32 10如图，A、B 是函数 y的图象上关于原点对称的任意两点，BCx 轴，ACy 轴，ABC 的面积记 为 S，则（ ） AS2 BS4 C2S4 DS4 11某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦 CD 的高度，如图，点 P 处 放一水平的
4、平面镜光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CD BD，测得 AB1.5 米，BP2 米，PD52 米，那么该大厦的高度约为（ ） A39 米 B30 米 C24 米 D15 米 12 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点 正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y（k0）的图象上若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分
5、共 18 分）分） 13方程 x2x6 的解是 14在双曲线 y的每一支上，y 都随着 x 的增大而减小，则 k 的取值范围为 15 如图， 在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上， 则sinABC的值为 16如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上， 若 AC，B60，则 CD 的长为 17如图，在扇形 OAB 中，AOB90，点 C 为 OB 的中点，CDOB 交弧 AB 于点 D若 OA2，则 阴影部分的面积为 18某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛
6、物线所在平面与墙面垂 直， 如图） ， 如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米， 离地面米， 则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 19计算：2cos60+4sin60tan306cos245 20你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y（m） 是面条的横截面积 x（mm2） （x0）的反比例函数，其图象如图所示 （1）请写出点 P 的实际意义； （2）求出 y 与 x 的函数关系式； （3）当面条的横截面积是 1.6mm2时，求面条的总长度 21如图，某消防队在一居民
7、楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正 上方点 C 处还有一名求救者，在消防车上点 A 处测得点 B 和点 C 的仰角分别为 45和 65，点 A 距地 面 2.5 米，点 B 距地面 10.5 米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？ （结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin650.9，cos650.4，1.4） 22某商城销售一种进价为 10 元 1 件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满 足函数 y2x+100，设销售这种饰品每天的利润为 W（元） （1）求 W 与 x 之间的函数
8、表达式； （2）当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ （3）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利 750 元，该商城应将销售单 价定为多少？ 23如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是直径，ABBC，连接 BD，过点 D 的直线与 CA 的延长线相交 于点 E，且EDAACD （1）求证：直线 DE 是O 的切线； （2）若 AD6，CD8，求 BD 的长 24已知ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合） 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60得到线段 CE连结 DE、BE （1）依题意补全图形并证明 ADBE
9、 （2）过点 A 作 AFEB 交 EB 延长线于点 F用等式表示线段 EB、DB 与 AF 之间的数量关系并证明 25如图，已知抛物线 yax2过点 A（3，） （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A，M（，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证：MC2MAMB； （3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行 四边形，求所有符合条件的 P 点坐标 2020-2021 学年山东省临沂市沂南县九年级（上）期末数学试卷学年山东省临沂市沂南县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解
10、析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1tan45的值为（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：tan451， 故选：C 2下列事件中，是必然事件的是（ ） A汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 B任意买一张电影票，座位号是 3 的倍数 C掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 【分析】根据事件发生的可能性大小，判断相应事件的类型即可 【解答】解：A、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是 3 的倍数，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚质
11、地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； D、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，符合题意； 故选：D 3在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （2，3） B （3，2） C （3，2） D （2，3） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是： （3，2） 故选：C 4如图是由 5 个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从左面看，第一层有 2 个正方形，第二层左侧有 1
12、个正方形 故选：A 5李明参加的社区抗疫志愿服务团队共有 A、B、C、D 四个服务项目，其中每个服务项目又分为第一小组 和第二小组，则李明分到 A 项目的第一小组的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和李明分到 A 项目的第一小组的情况数，然后根 据概率公式即可得出答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 8 种等可能的情况数，其中分到 A 项目的第一小组的有 1 种， 则李明分到 A 项目的第一小组的概率是 故选：A 6如图，ABCDCA，B33，D117，则BAD 的度数是（ ） A150 B147 C135 D120 【分析】根据相似三角形的性
13、质分别求出BAC、DAC，结合图形计算，得到答案 【解答】解：ABCDCA， BACD117，DCAB33， DAC1801173330， BADBAC+DAC147， 故选：B 7一元二次方程 x24x5 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】 把 a1， b4， c5 代入判别式b24ac 进行计算， 然后根据计算结果判断根的情况 【解答】解：原方程化为 x24x50， a1，b4，c5， b24ac（4）241（5）360， 方程有两个不相等的实数根 故选：B 8已知点 A（x1，4） ，B（x2，8）都在反比例函数 y
14、的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ） Ax2x10 Bx10 x2 Cx1x20 Dx20 x1 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4x15，8x25，则可求出 x1，x2， 然后对各选项进行判断 【解答】解：点 A（x1，4） ，B（x2，8）都在反比例函数 y的图象上， 4x15，8x25， 解得 x1，x2， x20 x1 故选：D 9 如图， 从O 外一点 A 引圆的切线 AB， 切点为 B， 连接 AO 并延长交圆于点 C， 连接 BC 若A28， 则ACB 的度数是（ ） A28 B30 C31 D32 【分析】连接 OB，如图，先根据切线的性质得到ABO90，再利用
15、互余计算出AOB62，然后 根据圆周角定理得到ACB 的度数 【解答】解：连接 OB，如图， AB 为切线， OBAB， ABO90， AOB90A902862， ACBAOB31 故选：C 10如图，A、B 是函数 y的图象上关于原点对称的任意两点，BCx 轴，ACy 轴，ABC 的面积记 为 S，则（ ） AS2 BS4 C2S4 DS4 【分析】设 A 点的坐标是（a，b） ，则根据函数的对称性得出 B 点的坐标是（a，b） ，求出 AC2b， BC2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 ab1，再根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：设 A 点的坐标是（a，b） ，则根据函数的
16、对称性得出 B 点的坐标是（a，b） ，则 AC 2b，BC2a， A 点在 y的图象上， ab1， ABC 的面积 S2ab212， 故选：A 11某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦 CD 的高度，如图，点 P 处 放一水平的平面镜光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CD BD，测得 AB1.5 米，BP2 米，PD52 米，那么该大厦的高度约为（ ） A39 米 B30 米 C24 米 D15 米 【分析】因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对 应边成比例即可解答 【解
17、答】解：根据题意，得到：ABPPDC 即， 故 CDAB1.539 米； 那么该大厦的高度是 39 米 故选：A 12 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点 正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y（k0）的图象上若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由一次函数的关系式可求出与 x 轴，y 轴的交点坐标，即求出 OA、OB 的长，由正方形的性质、 三角形全等可以求出 DE、AE、CF、BF 的长，进而
18、求出 G 的坐标，最后求出 CG 的长就是 n 的值 【解答】解：过 D、C 分别作 DEx 轴，CFy 轴，垂足分别为 E、F，CF 交反比例函数的图象于 G， 把 x0 和 y0 分别代入 y4x+4 得：y4 和 x1， A（1，0） ，B（0，4） ， OA1，OB4； 由 ABCD 是正方形，易证AOBDEABCF （AAS） ， DEBFOA1，AECFOB4， D（5，1） ，F（0，5） ， 把 D（5，1） ，代入 y得，k5， 把 y5 代入 y得，x1，即 FG1， CGCFFG413，即 n3， 故选：B 二填空题二填空题 13方程 x2x6 的解是 x2 或 x3 【
19、分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：x2x60， （x+2） （x3）0， x2 或 x3； 14在双曲线 y的每一支上，y 都随着 x 的增大而减小，则 k 的取值范围为 k2 【分析】根据反比例函数的性质可得 2k0，再解即可 【解答】解：由题意得：2k0， 解得：k2， 故答案为：k2 15 如图， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上， 则 sinABC 的值为 【分析】根据勾股定理求出 AD，根据正弦的定义计算即可 【解答】解：由题意得，ADBC， 在 RtADB 中，AB5， 则 sinABC， 故答案为： 16如图，将 RtABC
20、绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上， 若 AC，B60，则 CD 的长为 1 【分析】在直角三角形 ABC 中利用三角函数首先求得 AB 和 BC 的长，然后证明ABD 是等边三角形， 根据 CDBCBD即可求解 【解答】解：直角ABC 中，AC，B60， AB1，BC2， 又ADAB，B60， ABD 是等边三角形， BDAB1， CDBCBD211 故答案是：1 17如图，在扇形 OAB 中，AOB90，点 C 为 OB 的中点，CDOB 交弧 AB 于点 D若 OA2，则 阴影部分的面积为 【分析】连接 DO，则 ODOAOB2先由
21、 CDOA，AOB90，得出OCD180AOB 90，然后在 RtCOD 中求出 cosCOD，得到COD60，再根据扇形面积公式计算、三角 形面积公式即可 【解答】解：连接 DO，则 ODOAOB2 CDOA，AOB90， OCD180AOB90， C 为 OB 的中点， COOBDO， cosCOD， COD60， 则 CD， 阴影部分的面积1， 故答案为： 18某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂 直，如图） ，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面米，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是 3 【分析】由题意可以知道
22、M（1，） ，A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当 y0 时就可以求出 x 的值，这样就可以求出 OB 的值 【解答】解：设抛物线的解析式为 ya（x1）2+，由题意，得 10a+， a 抛物线的解析式为：y（x1）2+ 当 y0 时， 0（x1）2+， 解得：x11（舍去） ，x23 OB3 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19计算：2cos60+4sin60tan306cos245 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案 【解答】解：原式2+46（）2 1+23 0 20你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成
23、拉面，面条的总长度 y（m） 是面条的横截面积 x（mm2） （x0）的反比例函数，其图象如图所示 （1）请写出点 P 的实际意义； （2）求出 y 与 x 的函数关系式； （3）当面条的横截面积是 1.6mm2时，求面条的总长度 【分析】 （1）根据函数图象可得点 P 的实际意义； （2）根据反比例函数图象经过点（4，32） ，利用待定系数法即可求出 y 与 x 的函数关系式； （3）把 x1.6 代入函数解析式，计算即可求出总长度 y 的值 【解答】解： （1）由图象知，点 P 的实际意义是：当面条的横截面积是 4mm2时，面条的总长度是 32m； （2）设 y 与 x 的函数关系式为 y
24、， 反比例函数图象经过点（4，32） ， 32，解得 k128， y 与 x 的函数关系式是 y（x0） ； （3）当 x1.6 时，y80 答：面条的总长度是 80m 21如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正 上方点 C 处还有一名求救者，在消防车上点 A 处测得点 B 和点 C 的仰角分别为 45和 65，点 A 距地 面 2.5 米，点 B 距地面 10.5 米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？ （结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin650.9，cos650.4，1.4） 【分析】
25、如图作 AHCN 于 H想办法求出 BH、CH 即可解决问题； 【解答】解：如图作 AHCN 于 H 在 RtABH 中，BAH45，BH10.52.58（m） ， AHBH8（m） ， 在 RtAHC 中，tan65， CH82.117（m） ， BCCHBH1789（m） ， 22某商城销售一种进价为 10 元 1 件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满 足函数 y2x+100，设销售这种饰品每天的利润为 W（元） （1）求 W 与 x 之间的函数表达式； （2）当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ （3）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城
26、还要通过销售这种饰品每天获利 750 元，该商城应将销售单 价定为多少？ 【分析】 （1）根据销售利润销售量（售价进价） ，依据题意易得出 W 与 x 之间的函数关系式， （2）将（1）中的函数解析式配方后即可确定最大利润； （3）令 W750，求解即可，因为要确保顾客得到优惠，故最后 x 应取最小值 【解答】解： （1）根据题意，得：W（2x+100） （x10） 整理得 W2x2+120 x1000 W 与 x 之间的函数关系式为：W2x2+120 x1000； （2）由（1）知，W2x2+120 x10002（x30）2+800， 20， 当 x30 时，W 有最大值 即销售单价为 30
27、 时，该商城获利最大，最大利润为 800 元 （3）每天销售利润 W 为 750 元， W2x2+120 x1000750 解得 x135，x225 又要确保顾客得到优惠， x25 答：应将销售单价定为 25 元 23如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 是直径，ABBC，连接 BD，过点 D 的直线与 CA 的延长线相交 于点 E，且EDAACD （1）求证：直线 DE 是O 的切线； （2）若 AD6，CD8，求 BD 的长 【分析】 （1）连接 OD想办法证明 ODDE 即可 （2）解法一：过点 A 作 AFBD 于点 F，则AFBAFD90，想办法求出 BF，DF 即可 解法二：过点
28、 B 作 BHBD 交 DC 延长线于点 H证明BDH 是等腰直角三角形，求出 DH 即可 【解答】 （1）证明：连接 OD， OCOD， OCDODC， AC 是直径， ADC90， EDAACD， ADO+ODCEDA+ADO90， EDOEDA+ADO90， ODDE， OD 是半径， 直线 DE 是O 的切线 （2）解法一：过点 A 作 AFBD 于点 F，则AFBAFD90， AC 是直径， ABCADC90， 在 RtACD 中，AD6，CD8， AC2AD2+CD262+82100， AC10， 在 RtABC 中，ABBC， BACACB45， ， ， ADBACB45， 在
29、RtADF 中，AD6， ， ， ， 在 RtABF 中， ， 解法二：过点 B 作 BHBD 交 DC 延长线于点 H DBH90， AC 是直径， ABC90， ABD90DBC，CBH90DBC， ABDCBH， 四边形 ABCD 内接于O， BAD+BCD180， BCD+BCH180， BADBCH， ABCB， ABDCBH（ASA） ， ADCH，BDBH， AD6，CD8， DHCD+CH14， 在 RtBDH 中，BD2DH2BH2，BDBH，则 BD298 24已知ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合） 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转
30、60得到线段 CE连结 DE、BE （1）依题意补全图形并证明 ADBE （2）过点 A 作 AFEB 交 EB 延长线于点 F用等式表示线段 EB、DB 与 AF 之间的数量关系并证明 【分析】 （1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出 ABBCAC，AB60，由旋转的 性质得： ACBDCE60， CDCE， 得出ACDBCE， 证明ACDBCE， 即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出 ADBE，CBECAD60，求出ABF180ABCCBE 60，在 RtABF 中，由三角函数得出sin60，ABAFAF，即可得出结论 【解答】解： （1）补全图形如图 1 所示，ADBE，
31、理由如下： ABC 是等边三角形， ABBCAC，AB60， 由旋转的性质得：ACBDCE60，CDCE， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， ADBE （2）结论：EB+DBAF； 理由：由（1）得：ACDBCE， ADBE，CBECAD60， ABF180ABCCBE60， AFEB， AFB90， 在 RtABF 中，sin60， ABAFAF， AD+DBAB， EB+DBAB， EB+DBAF 25如图，已知抛物线 yax2过点 A（3，） （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 l 过点 A，M（，0）且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于
32、点 C，求证：MC2MAMB； （3）若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行 四边形，求所有符合条件的 P 点坐标 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题 （2）构建方程组确定点 B 的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 （3）如图 2 中，设 P（t，t2） ，根据 PDOC 构建方程求出 t 即可解决问题 【解答】解： （1）把点 A（3，）代入 yax2， 得到9a， a， 抛物线的解析式为 yx2 （2）设直线 l 的解析式为 ykx+b，则有， 解得， 直线 l 的解析式为 yx+， 令 x0，得到 y， C（0，） ， 由，解得或， B（1，） ， 如图 1 中，过点 A 作 AA1x 轴于 A1，过 B 作 BB1x 轴于 B1，则 BB1OCAA1， ， ， 即 MC2MAMB （3）如图 2 中，设 P（t，t2） OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， PDOC，PDOC， D（t，t+） ， |t2（t+）|， 整理得：t2+2t60 或 t2+2t0， 解得 t1或1+或2 或 0（舍弃） ， P（1，2+）或（1+，2）或（2，1）
