1、相似三角形相似三角形 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、比例：一、比例： 1.1.成比例线段成比例线段( (简称比例线段简称比例线段) )： （1）对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即 d c b a (或 a：b=c：d)； 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （2）如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a 或 a：b=b：c； 那么线段 b 叫做线段 a，c 的比例中项。 2.黄金分割： （1） 用一点 P 将一条线段 AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长 之比，则
2、可得出这一比值等于 0618；这种分割称为黄金分割； （2）分割点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 3.3.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理： （1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； （2）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； （3）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 【例题【例题 1 1】（2020 秋崇明区期末）已知线段 a、b、c、d 的长度满足等式 abcd，如果某班 四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ） Aa b = c d Ba c
3、 = d b Cb c = d a Db d = c a 【答案】A 【解析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积对选项一一分析 解：A、a b = c dadbc，符合题意；B、 a c = d babcd，不符合题意； C、b c = d aabcd，不符合题意；D、 b d = c aabcd，不符合题意故选：A。 【变式练习【变式练习 1 1】（2020 秋宝山区期末）如果 C 是线段 AB 延长线上一点，且 AC：BC3：1， 那么 AB：BC 等于（ ） A2：1 B1：2 C4：1 D1：4 【答案】A 【解析】设 AC3x，则 BCx，AB2x，据此即可求解 解：AC：
4、BC3：1， 设 AC3x，则 BCx，AB2x， 则 AB：BC2：1故选：A 【例题【例题 2 2】（2020 秋海淀区期末）如图，ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 的反向延长线 上，且 DEBC若 AE2，AC4，AD3，则 AB 为（ ） A9 B6 C3 D3 2 【答案】B 【解析】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例， 据此可得结论 解：点 D，E 分别在边 AB，AC 的反向延长线上，且 DEBC， AE AC = AD AB，即 2 4 = 3 AB，解得 AB6，故选：B。 【变式练习【变式练习 2 2】（2020 秋苏州期末
5、）如图，l1l2l3，直线 a，b 分别与 l1，l2，l3相交于点 A，B，C 和点 D，E，F，若 AB3，BC5，DE4，则 EF 的长为（ ） A32 3 B20 3 C22 3 D8 【答案】B 【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案 解：l1l2l3，AB3，BC5，DE4， AB BC = DE EF，即 3 5 = 4 EF，解得，EF= 20 3 ，故选：B。 二、图形相似及相似三角形：二、图形相似及相似三角形： 1.相似： （1）概念：相同形状相同形状的图形叫相似图形； （2）特点：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。 2.
6、相似三角形： （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （2）相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 3.三角形相似的判定方法： （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似； （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原 三角形相似； （3）两个三角形相似的判定定理： 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等； 那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相 等；那么这两个三
7、角形相似； 可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两 个三角形相似； 可简述为三边对应成比例，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似。 4.直角三角形相似判定定理: （1）以上各种判定方法均适用； （2）定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似； （3）垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2
8、）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。 【例题【例题 3 3】（2020 秋青白江区期末）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框， 其中不一定是相似图形的是（ ） 【答案】B 【解析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案 解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B。 【变式练习【变式练习
9、3 3】（2020河北）在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似 图形是（ ） A四边形 NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形 NHMR 【答案】A 【解析】 由以点 O 为位似中心， 确定出点 C 对应点 M， 设网格中每个小方格的边长为 1， 则 OC= 5，OM25，OD= 2，OB= 10，OA= 13，OR= 5，OQ22，OP210，OH35，ON 213，由OM OC =2，得点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N，即可得出结果 解：以点 O 为位似中心， 点 C 对应点 M， 设网格中每个小方格的边长为 1，
10、则 OC= 22+ 12= 5，OM= 42+ 22=25，OD= 2，OB= 32+ 12= 10， OA= 32+ 22= 13，OR= 22+ 12= 5，OQ22，OP= 62+ 22=210， OH= 62+ 32=35，ON= 62+ 42=213， OM OC = 25 5 =2， 点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N， 以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ，故选：A 【例题【例题 4 4】（2020 秋宝安区期末）如图，在ABC 中，BDAC 于点 D，AEBC 于点 E，交 BD 于点 F，下列三角形中不一定与BCD 相似
11、的是（ ） ABFE BAFD CACE DBAE 【答案】D 【解析】根据相似三角形的判定定理可得出答案 解：BDAC，AEBC，BDCAEC90， DBC+CEAC+C90， DBCEAC， ACEBCD， 又ADFBDC90， AFDBCD， FBEDBC，BEFBDC90， BFEBCD， 一定与BCD 相似的是BFE，AFD，ACE， 故不一定与BCD 相似的是BAE故选：D 【变式练习【变式练习 4 4】 （2020重庆） 如图， 在平面直角坐标系中， ABC 的顶点坐标分别是 A （1， 2） ， B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF 与A
12、BC 成位似 图形，且相似比为 2：1，则线段 DF 的长度为（ ） A5 B2 C4 D25 【答案】D 【解析】把 A、C 的横纵坐标都乘以 2 得到 D、F 的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段 DF 的长 解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为 2：1， 而 A（1，2），C（3，1）， D（2，4），F（6，2）， DF= (2 6)2+ (4 2)2=25故选：D。 【例题【例题 5 5】（2020重庆）如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心已知 OA：OD1：2， 则ABC 与DEF 的面积比为（ ） A1：2 B1：
13、3 C1：4 D1：5 【答案】C 【解析】 根据位似图形的概念求出ABC 与DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可 解：ABC 与DEF 是位似图形，OA：OD1：2，ABC 与DEF 的位似比是 1：2 ABC 与DEF 的相似比为 1：2， ABC 与DEF 的面积比为 1：4，故选：C 【变式练习【变式练习 5 5】（2020铜仁市）已知FHBEAD，它们的周长分别为 30 和 15，且 FH6， 则 EA 的长为（ ） A3 B2 C4 D5 【答案】B 【解析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答 解：FHB 和EAD 的周长分别为 30 和 15，FHB 和EAD 的周长比为 2：1， FHBEAD，FH EA =2，即 6 EA =2，解得，EA3，故选：A。
