1、第一章三角形的证明第一章三角形的证明特色难点突破特色难点突破 1 1如图所示，ABC是边长为 1 的等边三角形，BDC是顶角120BDC的等腰三角形，以D为顶点 作一个60的角，角的两边交AB、AC于M、N，连结MN，求AMN周长. 2 2如图，A(m，n)，B(t，0)，C(m，0)，m、n、t 满足 2 1340mnt 点 P 是x轴上的一个 动点，点 E 是 AB 的中点，在PEF中，PEF90 ，PEEF （1）则 A、B、C 三点的坐标分别为：A ，B ，C （2）如图，当点 P 在线段 CB 上或其延长线上时，若 CP2BP，求点 F 的坐标 （3）如图，当点 P 在线段 CB 的
2、反向延长线上运动，连接 AF若 AEFPBE Sk S，k 的值在 14 45 k 变化，求点 F 运动路径的长度 3 3利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用 （1）如图，B，C，D 三点共线，ABBD 于点 B，DEBD 于点 D，ACCE，且 ACCE若 AB+DE 6，求 BD 的长 （2）如图，在平面直角坐标系中， ABC 为等腰直角三角形，直角顶点 C 的坐标为（1，0） ，点 A 的坐 标为（2，1） 求直线 AB 与 y 轴的交点坐标 （3）如图，ACB90 ，OC 平分AOB，若点 B 坐标为（b，0） ，点 A 坐标为（0
3、，a） 则 S四边形AOBC （只需写出结果，用含 a，b 的式子表示）11.如图所示，在等腰ABC中，AB=AC, BAC=50, BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则OEC的度数是 . 4在 ABCD 中，点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两个动点，APCQ，AD=BD （1）如图，求证：BP+BQ=BC； （2）请直接写出图，图中 BP、BQ、BC 三者之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若 DQ=2，DP=6，则 BC= 5 （问题提出） 平面上，若点 P 与 A、B、C 三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点
4、P 是 A、B、C 三点的巧妙点若 A、B、C 三点构成三角形，也称点 P 是 ABC 的巧妙点 （初步思考） （1）如图，在等边 ABC 的内部和外部各作一个 ABC 的巧妙点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹） （2）如图，在 ABC 中，ABAC，BAC36 ，点 D、E 是 ABC 的两个巧妙点，其中 ADAB，AE AC，BDBCCE，连接 DE，分别交 AB、AC 于点 M、N求证： DA2DB DE （深入研究） （3）在 ABC 中，ABAC，若存在一点 P，使 PBBA，PAPC点 P 可能为 ABC 的巧妙点吗？若可 能，请画出示意图，并直接写出BAC 的度数；若不可能
5、，请说明理由 6如图，ABBC，射线 CMBC，且 BC5，AB1，点 P 是线段 BC （不与点 B、C 重合）上的动点， 过点 P 作 DPAP 交射线 CM 于点 D，连结 AD （1）如图 1，当 BP 时， ADP 是等腰直角三角形 （请直接写出答案） （2）如图 2，若 DP 平分ADC，试猜测 PB 和 PC 的数量关系，并加以证明 （3） 若 PDC 是等腰三角形， 作点 B 关于 AP 的对称点 B， 连结 BD， 请画出图形， 并求线段 BD 的长度（参 考定理：若直角 ABC 中，C 是直角，则 BC2+AC2AB2） 7在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（2，0）
6、，点 B（0，2） ，点 E，点 F 分别为 OA，OB 的中点若 正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转，得正方形 OEDF，记旋转角为 （1）如图，当 =135时，求 AE，BF的长； （2）如图，当 0 180 时， AE和 BF有什么位置关系； （3）若直线 AE与直线 BF相交于点 P，求点 P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可） 8已知在ABC中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右 侧作等腰 RtADE 90DAE解答下列问题： （1）如果 ABAC，BAC90 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合）
7、，线段 CE，BD 之间的位置关系为_ 如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，的结论是否仍然成立，如果不成立请说明理由，如果成立请 加以说明 （2）如果 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 的延长线上时，试探究：45ACB时（点 C 与点 E 重合除外） ，求：ECA的度数？ 答案答案 1 AMN 的周长为 2 2 （1） （1，3） ， （4，0） ， （1，0） ； （2） （4，2）或（4，6） ； （3）11. （2） 如图中， 当点 P 落在线段 CB 上时， 连接 EC， BF 证明CEPBEF（SAS） ， 再证明90 ,CBF 当点 P 在 CB 的延长线上时
8、，同理可证CEPBEF，同理有90 ,CBF从而可得结论 （3）首先证明 PC=BF，BFPB，再证明, AEFPEC SS 推出, PECPBE SkS求出 k= 1 4 或 4 5 两种情形 时 BF 的值即可解决问题 3 （1）6； （2） （0，2） ； （3） 2 () 4 ab 4 （1）证明见解析； （2）答案见解析； （3）4 或 8 【解析】 （1） 根据平行四边形的性质证明 ADPCBQ， 得 BQ=PD， 由 AD=BD=BC 得： BC=BD=BP+PD=BP+BQ； （2）图，证明 ABPCDQ，得 PB=DQ，根据线段的和得结论； 图，证明 ADPCBQ，得 PD=
9、BQ，同理得出结论； （3）分别代入图和图条件下的 BC，计算即可 解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC，ADB=CBD， APCQ，APQ=CQB，ADPCBQ， DP=BQ，AD=BD，AD=BC，BD=BC，BD=BP+DP，BC=BP+BQ； （2）图：BQBP=BC，理由是：APCQ，APB=CQD， ABCD，ABD=CDB，ABP=CDQ，AB=CD，ABPCDQ， BP=DQ，BC=AD=BD=BQDQ=BQBP； 图：BPBQ=BC，理由是：同理得： ADPCBQ，PD=BQ， BC=AD=BD=BPPD=BPBQ； （3）图，BC=BP+BQ=
10、DQ+PD=2+6=8，图，BC=BQBP=PDDQ=62=4，BC=4 或 8 5 （1）作图见解析； （2）证明见解析； （3）点 P 能为 ABC 的巧妙点，画出示意图见解析，画图见解析，60BAC，36，108或120 【解析】 （1）根据“巧妙点”的定义利用：点 P 在三角形的内部时，点 P 到 ABC 的三个顶点的距离相等，所以点 P 是三角形的外心；点 P 在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连 接而成的三角形是等腰三角形即可； （2）先证明 ADBABC， ACEABC，得到相等的角，再证 明BMD=ABD，得到 DB=DM最后证明 DAMDE
11、A，得到 DMDA DADE ，即 DA=DMDE，由 DM=DB，所以 DA=DBDE （3）在 ABC 中，AB=AC，若存在一点 P，使 PB=BA，PA=PC点 P 能为 ABC 的巧妙点，分别画出图 形即可解答 本题解析： （1） 如下图 （2） ,ADABACAE DBBCCE ADBABCACE36DABBACCAE 72ADBABDABCACBACEAEC 1 0 8 ;3 6A M DD A EA D MD A MA E D ADMDAE ADDM DEAD , 2 DADM DE 又 DMDB DA2DB DE （3）第一种如图或（只需画出一个即可） ，60BAC 第二种如图，36BAC 第三种如图，108BAC 第四种如图，120BAC 点睛：本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解决本 题的关键是理解巧妙点的定义. 6 （1）4； （2）PB 和 PC 的数量关系：PBPC，证明见解析； （3）线段 BD 的长度为 5 7 （1）AE,BF的长都等于5； （2）AEBF； （3）点 P 的纵坐标的最大值为3+12. 8 （1）CEBD；CEBD成立，理由见解析； （2）45 .ACE
