1、 2019-2020 学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合 题目要求，答案涂在答题卡上）题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）方程 1 1 1x 的解是( ) A无解 B1x C0 x D1x 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 3 （3 分）不等式36 0 x 的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C
2、D 4 （3 分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A对边相等 B对角相等 C对角线相等 D对角线互相平分 5 （3 分）函数 1 2 y x 中，x的取值范围是( ) A0 x B2x C2x D2x 6 （3 分）分解因式 23 a bb结果正确的是( ) A()()b ab ab B 2 ()b ab C 22 ()b ab D 2 ()b ab 7 （3 分）已知多项式 2 4xxm可以分解因式，一个因式是6x ，则另一个因式为( ) A2x B2x C3x D3x 8 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，2AD ， 5C
3、E ，则(CD ) A2 B3 C4 D2 3 9（3 分） 如图， 直线yxb和2ykx与x轴分别交于点( 2,0)A ， 点( 3 , 0 )B， 则不等式组 0 20 xb kx 的解集为( ) A2x B3x C23x D2x 或3x 10 （3 分）如图，在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件 使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( ) ABF BBBCF CACCF DADCF 二填空题（本大题二填空题（本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）分解因式： 2 1x 12 （4 分）一个多边
4、形的内角和是720，这个多边形的边数是 13 （4 分） 如图，将ABC绕点A逆时针旋转50得ADE， 若20BAC，则BAE的度数是 14 （4 分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点A和C为圆心，大于 1 2 AC的长为 半轻作弧， 两弧相交于点M和点N； 作直线MN交CD于点E， 若2AD ，6AB 则线段DE的长为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 54 分）分） 15 （8 分） （1）分解因式： 322 31212aa bab； （2）化简： 2 2 (1) 42 m mm 16 （12 分） （1）解不等式组： 622(4) 23
5、323 xx xx ； （2）解方程： 2 216 1 24 x xx 17 （6 分）先化简： 2 728 (3) 33 xx x xx ，再从不等式组 1 1 21 7 x x 的整数解中选一个合适的x代入 求值 18 （8 分）如图，将ABC沿着AC边翻折，得到ADC，且/ /ABCD （1）求证：四边形ABCD的是菱形； （2）若8AC ，5BC ，求四边形ABCD的面积 19 （10 分）随着网络电商与快递行业的飞速发展，叠加疫情影响，越来越多的人选择网络购物在暑 期来临之际，天猫超市为了促销，推出了普通会员与VIP会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购 商品的金额不超过 30
6、0 元，客户还需支付快递费 20 元；如果所购商品的金额超过 300 元，则所购商品给予 8 折优惠，并免除 20 元的快递费，VIP会员的收费方式是：缴纳VIP会员费 50 元，所购商品给予 7.5 折优 惠，并免除 20 元的快递费 （1）请分别写出按普通会员、VIP会员购买商品应付的金额y（元)与所购商品的金额x（元)之间的 函数关系式； （2）某网民计划在促销活动期间在天猫超市购买(300)x x 元的商品，则他应该选择哪种购买方式比 较合算？ 20 （10 分）如图，线段4AB ，射线BMAB，P为射线BM上一点(04)BP，以AP为边作正 方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，
7、在线段DP上取一点E，使EAPBAP连接CE并延长 交线段AB于点F （1）求证：AECE； （2）求证：CFAB； （3）试探究AEF的周长是否是定值？若是定值，求出AEF的周长；若不是定值，说明理由 四填空题（每小题四填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）如果5xy，2xy ，则 22 x yxy 22 （4 分）如图，菱形ABCD的周长为 12，点E，F分别在CD，CB上，2CE ，1CF ，点P为 对角线BD上一动点，则EPFP的最小值为 23 （4 分）关于x的分式方程 21 3 11 xa xx 的解为非负数，则a的取值范围为 24 （4 分）如图，在平
8、面直角坐标系中，已知点(4,0)A，(0,5)B将BOA绕点A顺时针方向旋转得 B O A ，若点B在B O 的延长线上，则直线BB的解析式为 25 （4 分）如图，正方形ABCD的边长为 5，点E在CD上，2DE ，BAE的平分线交BC于点F， 则CF的长为 五解答题（本大题共五解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 26 （8 分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵 0.3 元，已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数量相同 （1）求大本作业本与小本作业本每本
9、各多少元？ （2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍，总费 用不超过 15 元则大本作业本最多能购买多少本？ 27 （10 分） 如图， 已知60AOB， 在A O B的平分线OM上有一点C（不与点O重合） 将一个120 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E （1）如图 1，当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：3ODOEOC； （2） 如图 2， 当D C E绕点C旋转到CD与OA不垂直时， （1） 中的结论是否还成立？若成立， 请证明； 若不成立，说明理由； （3）当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相
10、交时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数 量关系？请直接写出你的结论，不需证明 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为( 2 3，0)，将x轴绕点A逆时针旋转30得 直线l，直线l交y轴于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于点C （1）求直线BC的解析式； （2）线段AB，BC的中点分别是D，E，点F在x轴上，且以点D，E，C，F为顶点的四边形是 平行四边形，求点F的坐标； （3） 在平面直角坐标系内是否存在两个点， 使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形？若存在， 请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由 2019-2020 学年四川省成都市成华区八年级（下）期
11、末数学试卷学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合 题目要求，答案涂在答题卡上）题目要求，答案涂在答题卡上） 1 （3 分）方程 1 1 1x 的解是( ) A无解 B1x C0 x D1x 【分析】移项可得 1 10 11 x xx ，可得0 x ； 【解答】解： 1 1 1x ， 移项可得 1 10 11 x xx ， 0 x， 经检验0 x 是方程的根， 方程的根是0
12、 x ； 故选：C 【点评】本题考查分式方程的解法；掌握分式方程的求解方法，验根是关键 2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3 （
13、3 分）不等式36 0 x 的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为 1 可得 【解答】解：36 0 x ， 36x ， 2x ， 故选：A 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需 要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 4 （3 分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A对边相等 B对角相等 C对角线相等 D对角线互相平分 【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等 【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定
14、相等 故选：C 【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具 备而一般平行四边形不具备的性质如，矩形的对角线相等 5 （3 分）函数 1 2 y x 中，x的取值范围是( ) A0 x B2x C2x D2x 【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可 【解答】解：根据题意得：20 x ， 解得2x 故选：D 【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决 问题的关键 6 （3 分）分解因式 23 a bb结果正确的是( ) A()()b ab ab B 2 ()b ab C 22 ()b ab D
15、2 ()b ab 【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解： 23 a bb 22 ()b ab ()()b ab ab 故选：A 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键 7 （3 分）已知多项式 2 4xxm可以分解因式，一个因式是6x ，则另一个因式为( ) A2x B2x C3x D3x 【分析】由于x的多项式 2 4xxm分解因式后的一个因式是6x ，所以当6x 时多项式的值为 0， 由此得到关于m的方程，解方程即可求m的值，再分解因式求出另一个因式 【解答】解：x的多项式 2 4xxm分解因式后的一个因式是6
16、x ， 当6x 时多项式的值为 0， 即 2 64 60m ， 120m， 12m 22 4412(6)(2)xxmxxxx，即另一个因式是2x 故选：A 【点评】本题主要考查因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求 解 8 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，2AD ， 5CE ，则(CD ) A2 B3 C4 D2 3 【分析】根据直角三角形的性质得出5AECE，进而得出3DE ，利用勾股定理解答即可 【解答】解：在Rt ABC中，90ACB，CE为AB边上的中线，5CE ， 5AECE， 2AD ， 3DE，
17、 CD为AB边上的高， 在Rt CDE中， 2222 534CDCEDE， 故选：C 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出5AECE 9（3 分） 如图， 直线yxb和2ykx与x轴分别交于点( 2,0)A ， 点( 3 , 0 )B， 则不等式组 0 20 xb kx 的解集为( ) A2x B3x C23x D2x 或3x 【分析】结合图象，写出两个函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可 【解答】解：直线yxb和2ykx与x轴分别交于点( 2,0)A ，点(3,0)B， 0 20 xb kx 解集为23x ， 故选：C 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不
18、等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度 不大 10 （3 分）如图，在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件 使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( ) ABF BBBCF CACCF DADCF 【分析】利用三角形中位线定理得到 1 / / 2 DEAC ，结合平行四边形的判定定理进行选择 【解答】解：在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点， DE是ABC的中位线， / /12DEAC A、根据BF 不能判定/ /ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误 B、 根据BBCF 可以判定/ /CFAB， 即/ /CFAD，
19、 由 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确 C、根据ACCF不能判定/ /ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误 D、根据ADCF，/ /FDAC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定三角形中位线定理：三角形的 中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 二填空题（本大题二填空题（本大题 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）分解因式： 2 1x (1)(1)xx 【分析】利用平方差公式分解即可求得答
20、案 【解答】解： 2 1(1)(1)xxx 故答案为：(1)(1)xx 【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识题目比较简单，解题需细心 12 （4 分）一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是 6 【分析】根据内角和定理180(2)n即可求得 【解答】解：多边形的内角和公式为(2) 180n， (2) 180720n， 解得6n ， 这个多边形的边数是 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180(2)n，难度适中 13（4 分） 如图， 将ABC绕点A逆时针旋转50得ADE， 若20BAC， 则BAE的度数是 30 【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到CAE
21、的度数，再根据20BAC，即可得到BAE的度 数 【解答】解：由题意可得， 50CAE， 20BAC， 502030BAECAEBAC ， 故答案为：30 【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 14 （4 分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点A和C为圆心，大于 1 2 AC的长为 半轻作弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交CD于点E，若2AD ，6AB 则线段DE的长为 8 3 【分析】连接AE，根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，所以AECE，根据四边形ABCD 是矩形，可得90D，6DCAB，所以6CECDDEDEAE，根据勾
22、股定理，即可求出DE的 长 【解答】解：如图，连接AE， 根据作图过程可知； MN是AC的垂直平分线， AECE， 四边形ABCD是矩形， 90D，6DCAB， 6CECDDEDEAE， 在Rt ADE中，根据勾股定理，得 222 ADDEAE， 即 222 2(6)DEDE， 解得 8 3 DE 故答案为： 8 3 【点评】本题考查了作图复杂作图、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 54 分）分） 15 （8 分） （1）分解因式： 322 31212aa bab； （2）化简： 2 2 (1) 42 m mm 【
23、分析】 （1）先提取公因式3a，然后利用完全平方公式进行因式分解； （2）先化除法为乘法，然后通过约分进行分式化简 【解答】解： （1）原式 222 3 (44)3 (2 )a aabba ab； （2）原式 22 (2)(2)2 mm mmm 2 (2)(2) mm mmm 1 2m 【点评】本题主要考查了分式的混合运算，提公因式法与公式法的综合运用，分式的混合运算注意运 算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的 16 （12 分） （1）解不等式组： 622(4) 23 323 xx xx ； （2）解方程： 2 216 1 24 x xx 【分析】 （1）根据不等式性质，
24、分别求出每个不等式的解集，再根据不等式求解集的方法，确定一元 一次不等式组的解集； （2）先根据分式的加减运算法则计算，把不等式左边进行加减计算，再分式方程两边同时乘以最简公 分母(2)(2)xx，求得x的值，最后 需检验x的值是否为分式方程的根 【解答】解： （1）由622(4)xx， 解得： 3 2 x ， 23 323 xx 两边同乘以 6， 得42(3)2xx， 解得：1x， 所以不等式组得解集为： 3 1 2 x ； （2）原方程可化为： 2216 22(2)(2) xx xxxx ， 得 416 2(2)(2)xxx ， 两边同时乘以(2)(2)xx， 得4(2)16x， 解得2x
25、 ； 把2x 代入(2)(2)0 xx， 所以原分式方程无解 【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，合理应用解题法则是解决本题的 关键，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些 解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的 解集；利用数轴求公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到解 分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论本题属于基础运算题，属于简 答题型 17 （6 分）先化简： 2 728 (3) 33 xx x xx ，再从不等式组
26、 1 1 21 7 x x 的整数解中选一个合适的x代入 求值 【分析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的 值，把已知数据代入即可 【解答】解：原式 2 973(4)(4)34 32 (4)32 (4)2 xxxxxx xx xxx xx ， 解不等式组 1 1 21 7 x x ，得04x剟， 其整数解为 0，1，2，3，4 要使原分式有意义， x可取 2 当2x 时，原式 243 222 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，正确掌握分式的混合运算法 则是解题关键 18 （8 分）如图，将ABC沿着AC边翻折，得到A
27、DC，且/ /ABCD （1）求证：四边形ABCD的是菱形； （2）若8AC ，5BC ，求四边形ABCD的面积 【分析】 （1）利用四边相等的四边形为菱形可证明结论； （2）先利用菱形的性质结合勾股定理求解BD的长，再根据菱形的面积对角线乘积的一半可计算求 解 【解答】解： （1）由翻折的性质可知：ADAB，BCDC，BACDAC ， / /ABCD， BACDCA ， DACDCA ， ADDC， ABADDCBC， 四边形ABCD为菱形； （2）连接BD，交AC于点O 四边形ABCD为菱形，8AC ，5BC ， ACBD， 1 4 2 OCAC，2BDOB， 2222 543OBBCOC
28、， 26BDOB， 11 6 824 22 ABCD SACBD 菱形 ， 即四边形ABCD的面积为 24 【点评】本题主要考查菱形的判定与性质，灵活运用菱形的性质是解题的关键 19 （10 分）随着网络电商与快递行业的飞速发展，叠加疫情影响，越来越多的人选择网络购物在暑 期来临之际，天猫超市为了促销，推出了普通会员与VIP会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购 商品的金额不超过 300 元，客户还需支付快递费 20 元；如果所购商品的金额超过 300 元，则所购商品给予 8 折优惠，并免除 20 元的快递费，VIP会员的收费方式是：缴纳VIP会员费 50 元，所购商品给予 7.5 折优
29、 惠，并免除 20 元的快递费 （1）请分别写出按普通会员、VIP会员购买商品应付的金额y（元)与所购商品的金额x（元)之间的 函数关系式； （2）某网民计划在促销活动期间在天猫超市购买(300)x x 元的商品，则他应该选择哪种购买方式比 较合算？ 【分析】 （1）根据两种购买方式的优惠方案，可找出y与x之间的函数关系式； （2）分0.80.7550 xx，0.80.7550 xx及0.80.7550 xx三种情况，求出x的取值范围或x值， 进而可得出结论 【解答】解： （1）按普通会员购买商品应付的金额 20(0300) 0.8 (300) xx y x x ； 按VIP会员购买商品应付的
30、金额0.7550yx （2）当0.80.7550 xx时，1000 x ； 当0.80.7550 xx时，1000 x ； 当0.80.7550 xx时，1000 x 答：当3001000 x时，选择按普通会员购买比较合算；当1000 x 时，选择两种方式所需费用相同； 当1000 x 时，选择按VIP会员购买比较合算 【点评】 本题考查了一次函数的应用、 一元一次不等式的应用以及解一元一次方程， 解题的关键是：（1） 根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式； （2）分0.80.7550 xx，0.80.7550 xx及 0.80.7550 xx三种情况，分别求出x的取值范围或x的值
31、 20 （10 分）如图，线段4AB ，射线BMAB，P为射线BM上一点(04)BP，以AP为边作正 方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使EAPBAP连接CE并延长 交线段AB于点F （1）求证：AECE； （2）求证：CFAB； （3）试探究AEF的周长是否是定值？若是定值，求出AEF的周长；若不是定值，说明理由 【分析】 （1）四边形APCD正方形，则DP平分APC，PCPA，45APDCPD ，证明 ()AEPCEP SAS ，由全等三角形的性质可得出答案； （2）AEPCEP ， 则E A PE C P ， 而E A PB A P ， 则B A PF C
32、P ， 又90FCPCHP， 则90AHFPAB即可求解； （3） 过点C作CNPB于点N 证明()PCNAPB AAS ， 则C NP BB F，PNAB， 即可求解 【解答】解： （1）证明：四边形APCD正方形， DP平分APC，PCPA， 45APDCPD ， ()AEPCEP SAS ， AECE； （2）CFAB，理由如下： AEPCEP ， EAPECP ， EAPBAP， BAPFCP ， 90FCPCHP ，AHFCHP ， 90AHFPAB ， 90AFH， CFAB； （3）AEF的周长是定值，AEF的周长为 8 过点C作CNPB于点N CFAB，BMAB， / /FCB
33、N， CPNPCFEAPPAB ， 又APCP， ()PCNAPB AAS ， CNPBBF，PNAB， AEPCEP ， AECE， AEF的周长AEEFAF， CEEFAF， BNAF， PNPBAF， ABCNAF， ABBFAF， 2AB， 8 【点评】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，证明()PCNAPB AAS 是解本题的关键 四填空题（每小题四填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）如果5xy，2xy ，则 22 x yxy 10 【分析】直接提取公因式xy，进而求出即可 【解答】解：5xy，2xy ， 22 ()2 510 x
34、 yxyxy xy 故答案为：10 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键 22 （4 分）如图，菱形ABCD的周长为 12，点E，F分别在CD，CB上，2CE ，1CF ，点P为 对角线BD上一动点，则EPFP的最小值为 3 【分析】作F点关于BD的对称点F，连接EF交BD于点P，则PFPF，由两点之间线段最短可 知当E、P、F在一条直线上时，EPFP有最小值，然后求得EF的长度即可 【解答】解：作F点关于BD的对称点F，连接EF交BD于点P，则PFPF EPFPEPF P 由 两 点 之 间 线 段 最 短 可 知 ： 当E、P、F在 一 条 直 线 上 时 ，
35、EPFP的 值 最 小 ， 此 时 EPFPEPF PEF 四边形ABCD为菱形，周长为 12， 3ABBCCDDA，/ /ABCD， 2CE ，1CF ， 1CFAFDE ， 四边形AF ED是平行四边形， 3EFAD EPFP的最小值为 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称 路径最短问题，明确当E、P、F在一条直线上 时EPFP有最小值是解题的关键 23 （4 分）关于x的分式方程 21 3 11 xa xx 的解为非负数，则a的取值范围为 4a且3a 【分析】根据解分式方程的方法和方程 21 3 11 xa xx 的解为非负数，可以求得a的取值范围 【解答】解：
36、21 3 11 xa xx ， 方程两边同乘以1x ，得 213(1)xax ， 去括号，得 2133xax ， 移项及合并同类项，得 4xa， 关于x的分式方程 21 3 11 xa xx 的解为非负数，10 x ， 40 (4)10 a a ， 解得，4a且3a ， 故答案为：4a且3a 【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法 24 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A，(0,5)B将BOA绕点A顺时针方向旋转得 B O A ，若点B在B O 的延长线上，则直线BB的解析式为 9 5 40 yx 【分析】首先证明OOAB ，求
37、出直线OO解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出O坐 标，设直线B O 解析式为ymxn，把B与O坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式 【解答】解：连接OO交AB于M， BOA绕点A按顺时针方向旋转得B O A ， BOAB O A ， ABAB，OAAO， 点B在B O 的延长线上，AOBC ， BOB OOB ， OAAO，BOB OBO ， OOAB ， 设直线AB解析式为ykxb， 把A与B坐标代入得： 40 5 kb b ， 解得： 5 4 5 k b ， 直线AB解析式为 5 5 4 yx ， 直线OO解析式为 4 5 yx， 联立得： 5 5 4 4 5 yx y ，
38、 解得： 100 41 80 41 x y ，即 100 ( 41 M， 80) 41 ， M为线段OO的中点， 200 ( 41 O ， 160) 41 ， 设直线B O 解析式为ymxn， 把B与O坐标代入得： 200160 4141 5 mn n ， 解得： 9 40 m ，4n ， 则直线CD解析式为 9 5 40 yx 故答案为： 9 5 40 yx 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标， 坐标与图形性质，以及旋转的性质，得出B，O，B三点共线是解本题的关键 25 （4 分）如图，正方形ABCD的边长为 5，点E在CD上，2DE ，B
39、AE的平分线交BC于点F， 则CF的长为 729 【分析】延长CD到N，使DNBF，连接AN，由SAS证得ABFADN 得出BAFDAN ，则 90NAF， 由90EANFAE，9090NDANBAF，BAFFAE， 得出EANN ， 则AEEN，由勾股定理求得AE，便可求得BF，进而求得CF即可 【解答】解：延长CD到N，使DNBF，连接AN，如图所示： 四边形ABCD是正方形， ABAD，90BADABFADN ， 在ABF和ADN中， ABAD ABFADN BFDN ， ()ABFADN SAS ， BAFDAN ， 90NAF， 90EANFAE，9090NDANBAF， BAFFA
40、E， EANN ， AEEN， 22 25429AEADDE， 229ENEDDNBF， 292BF ， 5292729CFBCBF， 故答案为：729 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线定义、等腰三角形的判定与 性质等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线得出全等三角形是解题的关键 五解答题（五解答题（本大题共本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 26 （8 分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵 0.3 元，已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买
41、小本作业本的数量相同 （1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？ （2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍，总费 用不超过 15 元则大本作业本最多能购买多少本？ 【分析】 （1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本(0.3)x元，根据数量总价单价结合用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数量相同， 即可得出关于x的分式方程， 解之经检验后 即可得出结论； （2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，根据总价单价数量结合总费用不超过 15 元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论 【解
42、答】解： （1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本(0.3)x元， 依题意，得： 85 0.3xx ， 解得：0.5x ， 经检验，0.5x 是原方程的解，且符合题意， 0.30.8x 答：大本作业本每本 0.8 元，小本作业本每本 0.5 元 （2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本， 依题意，得：0.80.5 215mm， 解得： 25 3 m m为正整数， m的最大值为 8 答：大本作业本最多能购买 8 本 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系， 正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
43、27 （10 分） 如图， 已知60AOB， 在A O B的平分线OM上有一点C（不与点O重合） 将一个120 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E （1）如图 1，当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：3ODOEOC； （2） 如图 2， 当D C E绕点C旋转到CD与OA不垂直时， （1） 中的结论是否还成立？若成立， 请证明； 若不成立，说明理由； （3）当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数 量关系？请直接写出你的结论，不需证明 【分析】 （1）先判断出60OCE，再利用特殊角的三角函数得出 3 2 OD
44、OC，同 3 2 OEOC，即 可得出结论； （2）同（1）的方法得3OFOGOC，再判断出CFDCGE ，得出DFEG，最后等量代换即 可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论 【解答】解： （1）OM是AOB的角平分线， 1 30 2 AOCBOCAOB ， CDOA， 90ODC， 60OCD， 60OCEDCEOCD ， 在Rt OCD中， 3 cos30 2 ODOCOC ， 同理： 3 2 OEOC， 3ODOEOC； （2） （1）中结论仍然成立，理由： 如图 2，过点C作CFOA于F，CGOB于G， 90OFCOGC ， 60AOB， 120FCG， 同（1）的方法得，
45、3 2 OFOC， 3 2 OGOC， 3OFOGOC， CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点， CFCG， 120DCE，120FCG， DCFECG ， ()CFDCGE ASA ， DFEG， OFODDFODEG，OGOEEG， OFOGODEGOEEGODOE， 3ODOEOC； （3）结论为：3OEODOC， 理由：如图 3，过点C作CFOA于F，CGOB于G， 90OFCOGC ， 60AOB， 120FCG， 同（1）的方法得， 3 2 OFOC， 3 2 OGOC， 3OFOGOC， CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点， CFCG， 120D
46、CE，120FCG， DCFECG ， ()CFDCGE ASA ， DFEG， OFDFODEGOD，OGOEEG， OFOGEGODOEEGOEOD， 3OEODOC 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特 殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为( 2 3，0)，将x轴绕点A逆时针旋转30得 直线l，直线l交y轴于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于点C （1）求直线BC的解析式； （2）线段AB，BC的中点分别是D，E，点F在x轴上，且以点D，E，C，F为顶点的
47、四边形是 平行四边形，求点F的坐标； （3） 在平面直角坐标系内是否存在两个点， 使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形？若存在， 请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据直角三角形的性质分别求B和C的坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式； （2）分两种情况：先根据中点坐标公式可得D和E的坐标，根据平行四边形的性质可得两种情况下点 F的坐标； （3）画出图形，有两种情况：以AB为边和对角线，作辅助线，构建全等三角形，可得另两点的坐标， 同理可得结论 【解答】解： （1）如图 1，点A的坐标为( 2 3，0)， 2 3OA， 由旋转得：30BAO， Rt ABO中，2OB，4AB ， (0,2)B， ABBC， 90ABC， 4
