1、2019-2020 学年四川省乐山学年四川省乐山市二市二校校联考联考九年级 （下） 月考数学试卷 （九年级 （下） 月考数学试卷 （4 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1下列四个数中，最小的正数是（ ） A2 B1 C0 D1 2把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ） A祝 B你 C顺 D利 3下列运算正确的是（ ） A8aa8 B （a）4a4 Ca3a2a6 D （ab）2a2b2 4如图，已知 ab，直角三角板的直角顶点在直线 b 上，若160，则下列结论错误的是（ ） A26
2、0 B360 C4120 D540 5在“双创”期间，老师将全班分成 7 个小组开展“文明督导”活动，采用随机抽签法确定一个小组进行 展示活动则第 3 小组被抽到的概率是（ ） A B C D 6下列命题正确的是（ ） A用科学记数法表示 0.0000000032，记为 3.210 9 B两边及一角对应相等的两个三角形全等 C16 的平方根是 4 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多 50 米， 才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列方程正确的是
3、 （ ） A2 B2 C2 D2 8如图，A、B 是反比例函数 y图象上的两点，过点 A 作 ACy 轴，垂足为 C，AC 交 OB 于点 D，若 D 为 OB 的中点，AOD 的面积为 12，则 k 的值为（ ） A36 B32 C28 D14 9如图所示，已知直线 l 的解析式是，并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点一个半径为 1.5 的 C，圆心 C 从点（0，1.5）开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动，当C 与直线 l 相切时， 则该圆运动的时间为（ ） A6 秒或 10 秒 B6 秒或 16 秒 C3 秒或 16 秒 D3 秒或 6 秒 10设 m、n 是常
4、数，且 n0，抛物线 ymx2+nx+m2m6 为下图中四个图象之一，则 m 的值为（ ） A6 或1 B3 或2 C3 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 11函数 y中，自变量 x 的取值范围是 12因式分解 2x24x+2 13 如图， 是某射击选手 5 次射击成绩的折线图， 根据图示信息， 这 5 次成绩的众数、 中位数分别是 14如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB6m，已知木箱高 BE，斜坡 角为 30，则木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF 为 m 15如图，在菱形 ABCD 中，A
5、120，AB2，点 E 是 AB 边上的动点，过点 B 作直线 CE 的垂线，垂 足为 F，当点 E 从点 A 运动到点 B 时，点 F 的运动路径长为 16如图，曲线 l 是由函数 y在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45得到的图形，P 是曲线 l 上任意一点，点 A（2，2） ，B（4，4） （1）若 PAPO，则POA 的面积为 （2）若直线 AB 与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN 的面积为 三、本大题共三、本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 27 分分 17计算： 18解不等式组2+25，并在数轴上表示出它的解集 19已知：如图，ABCD，BFD
6、E，点 B、E、F、D 在同一直线上，AC求证：AECF 四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分. 20先化简，再求值： （2m+1） （2m1）（m1）2+（2m）3（8m） ，其中 m 是方程 x2+x20 的 根 21为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前， 对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根 据统计图所提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了 名学生，两幅统计图中的 m ，n （2）已知该校共有 960 名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少
7、人？ （3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者 2 男 1 女中随机选送 2 人参赛，求选送的 两名参赛同学为 1 男 1 女的概率是多少？ 22如图，ABCD 为正方形，E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕为 MN，若 tan AEN，DC+CE10 （1）求ANE 的面积； （2）求 sinENB 的值 五、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分. 23已知关于 x 的方程 x2（k+1）x+k2+10，根据下列条件，分别求出 k 的值 （1）方程两实根的积为 5； （2）方程的两实根 x1，x2满足|x1|x2 24如图，在ABC
8、 中，ABAC，ADBC 于点 D，过点 C 作O 与边 AB 相切于点 E，交 BC 于点 F， CE 为O 的直径 （1）求证：ODCE； （2）若 DF1，DC3，求 AE 的长 六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分. 25 AD 是ABC 的中线， 将 BC 边所在直线绕点 D 顺时针旋转 角， 交边 AB 于点 M， 交射线 AC 于点 N， 设 AMxAB，ANyAC （x，y0） （1）如图 1，当ABC 为等边三角形且 30时证明：AMNDMA； （2）如图 2，证明：+2； （3） 当 G 是 AD 上任意一点时 （点 G 不与
9、 A 重合） ， 过点 G 的直线交边 AB 于 M， 交射线 AC 于点 N， 设 AGnAD，AMxAB，ANyAC（x，y0） ，猜想：+是否成立？并说明 理由 26如图，抛物线 yax2+2x3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0） （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1，点 P 是直线 yx 上的动点，当直线 yx 平分APB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，已知直线 yx分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上 的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上
10、，连接 QE问： 以 QD 为腰的等腰QDE 的面积是否存在最大值？若存在， 请求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列四个数中，最小的正数是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】先找到正数，再比较正数的大小即可得出答案 【解答】解：正数有 1，2， 12， 最小的正数是 1 故选：B 2把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ） A祝 B你 C顺 D利 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，面“
11、你”与 面“考”相对，面“中”与面“顺”相对 故选：C 3下列运算正确的是（ ） A8aa8 B （a）4a4 Ca3a2a6 D （ab）2a2b2 【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则 分别化简求出答案 【解答】解：A、8aa7a，故此选项错误； B、 （a）4a4，正确； C、a3a2a5，故此选项错误； D、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； 故选：B 4如图，已知 ab，直角三角板的直角顶点在直线 b 上，若160，则下列结论错误的是（ ） A260 B360 C4120 D540 【分析】 根据平行线的性质： 两直线平
12、行， 同位角相等， 以及对顶角相等等知识分别求出2， 3， 4， 5 的度数，然后选出错误的选项 【解答】解：ab，160， 3160，2160， 4180318060120， 三角板为直角三角板， 5903906030 故选：D 5在“双创”期间，老师将全班分成 7 个小组开展“文明督导”活动，采用随机抽签法确定一个小组进行 展示活动则第 3 小组被抽到的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案 【解答】解：全班分成 7 个小组， 第 3 个小组被抽到的概率是 故选：C 6下列命题正确的是（ ） A用科学记数法表示 0.0000000032，记为 3
13、.210 9 B两边及一角对应相等的两个三角形全等 C16 的平方根是 4 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】根据科学记数法、全等三角形的判定定理、平方根的概念、平行四边形的概念判断即可 【解答】解：A、用科学记数法表示 0.0000000032，记为 3.210 9，本选项说法正确； B、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，本选项说法错误； C、16 的平方根是4，本选项说法错误； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，本选项说法错误； 故选：A 7施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多 50
14、 米， 才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列方程正确的是 （ ） A2 B2 C2 D2 【分析】设原计划每天铺设 x 米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间实际所 用时间2，列出方程即可 【解答】解：设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A 8如图，A、B 是反比例函数 y图象上的两点，过点 A 作 ACy 轴，垂足为 C，AC 交 OB 于点 D，若 D 为 OB 的中点，AOD 的面积为 12，则 k 的值为（ ） A36 B32 C28 D14 【分析】先设点 D 坐标
15、为（a，b） ，得出点 B 的坐标为（2a，2b） ，A 的坐标为（4a，b） ，再根据AOD 的面积为 6，列出关系式求得 k 的值 【解答】解：设点 D 坐标为（a，b） ， 点 D 为 OB 的中点， 点 B 的坐标为（2a，2b） ， k4ab， 又ACy 轴，A 在反比例函数图象上， A 的坐标为（4a，b） ， AD4aa3a， AOD 的面积为 12， 3ab12， ab8， k4ab4832 故选：B 9如图所示，已知直线 l 的解析式是，并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点一个半径为 1.5 的 C，圆心 C 从点（0，1.5）开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y
16、 轴向下运动，当C 与直线 l 相切时， 则该圆运动的时间为（ ） A6 秒或 10 秒 B6 秒或 16 秒 C3 秒或 16 秒 D3 秒或 6 秒 【分析】先求得 AB 两点的坐标，再分两种情况：圆心 C 在点 B 上方和下方，可证出BDEBOA， BFGBAO，根据相似三角形的性质，求得 BE，BF，再根据圆的移动速度，求出移动的时间 【解答】解：令 x0，得 y4； 令 y0，解得 x3； A（3，0） ，B（0，4） ， AB5， DEl，GFl， BDEBOA，BFGBAO， ， 即， 解得 BE2.5，BF2.5， 圆移动的距离为 3 或 8， 圆心 C 从点（0，1.5）开始
17、以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动， 移动的时间为 6s 或 16s 故选：B 10设 m、n 是常数，且 n0，抛物线 ymx2+nx+m2m6 为下图中四个图象之一，则 m 的值为（ ） A6 或1 B3 或2 C3 D2 【分析】可根据函数的对称轴，以及当 x0 时，y 的值来确定符合题意的函数式，进而确定 m 的值 【解答】解：ymx2+nx+m2m6， x， 因为 n0，所以对称轴不可能是 x0，所以第一个图，第二个图不正确 三，四两个图都过原点， m2m60，即 （m3） （m+2）0， m3 或2 第三个图中 m0，开口才能向下 对称轴为：x0， 所以 m 可以为2
18、 第四个图，m0，开口才能向下， x0，而从图上可看出对称轴小于 0，从而 m3 不符合题意 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案 【解答】解：由题意得，2x0， 解得，x2， 故答案为：x2 12因式分解 2x24x+2 2（x1）2 【分析】先提取 2，然后用完全平方公式分解即可 【解答】解：2x24x+22（x22x+1）2（x1）2 故答案为 2（x1）2 13如图，是某射击选手 5 次射击成绩的折线图，根据图示信息，这 5 次成绩的众数、中位数分别是 7， 8
19、 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位 数，众数是一组数据中出现次数最多的数据 【解答】解：在这一组数据中 7 出现了 2 次，出现的次数最多，故众数是 7； 将这组数据从小到大的顺序排列 7，7，8，9，10，处于中间位置的那个数是 8， 则这组数据的中位数是 8 故答案为：7，8 14如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB6m，已知木箱高 BE，斜坡 角为 30，则木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF 为 m 【分析】根据正弦的定义求出 DE，根据直角三角形的性质求出 BD，进而得到 AD 的长，求出 DF，结合
20、 图形计算，得到答案 【解答】解：设 AB、EF 交于点 D， DAF30， ADF903060， BDE60， 在 RtBDE 中，sinBDE， ， 解得，DE2（m） ， BD1m， ADABBD5（m） ， 在 RtADF 中，DAF30， DFAD（m） ， EFDE+DF（m） ， 故答案为： 15如图，在菱形 ABCD 中，A120，AB2，点 E 是 AB 边上的动点，过点 B 作直线 CE 的垂线，垂 足为 F，当点 E 从点 A 运动到点 B 时，点 F 的运动路径长为 【分析】因为CFB90，推出点 F 的运动轨迹是以 BC 为直径的，圆弧 BM，求出圆心角BOM 即 可
21、解决问题 【解答】解：如图，取 BC 的中点 O，连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，ABC180BAD60，AMCM， 当点 E 与 A 重合时，点 F 与 AC 中点 M 重合， CFB90， 点 F 的运动轨迹是以 BC 为直径的，圆弧 BM， 点 O 是 BC 中点，AMCM， BOOM1，OMAB， BOM120， 的长， 故答案为 16如图，曲线 l 是由函数 y在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45得到的图形，P 是曲线 l 上任意一点，点 A（2，2） ，B（4，4） （1）若 PAPO，则POA 的面积为 12 （2）若
22、直线 AB 与曲线 l 相交于点 M、N，则OMN 的面积为 8 【分析】 （1）由题意 A（2，2） ，B（4，4） ，可知 OAOB，建立如图新的坐标系（OA 为 x轴，OB 为 y轴，应用反比例函数比例系数 k 的性质和等腰三角形的性质即可求解； （2）在新的坐标系中取出直线 AB 的解析式，解析式联立，利用方程组求出 M、N 的坐标，根据 SOMN SOAMSOAN计算即可 【解答】解：A（2，2） ，B（4，4） OAOB， 建立如图新的坐标系，OA 为 x轴，OB 为 y轴 过点 P 作 PDOA 于点 D， PAPO， D 为 OA 中点 SPADSPOD， 由反比例函数比例系数
23、 k 的性质，SPOD6， POA 的面积是 12， 故答案为 12； （2）在新的坐标系中，A（4，0） ，B（0，8） ， 直线 AB 解析式为 y2x+8， 由，解得或， M（1，6） ，N（3，2） ， SOMNSOAMSOAN46428， 故答案为 8 三解答题三解答题 17计算： 【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数 4 个考点在计算时，需要针对每 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式22+61， 21+61， 6 18解不等式组2+25，并在数轴上表示出它的解集 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公
24、共部分，然后把不等式的解集表示在 数轴上即可 【解答】解：， 由得 x2， 由得 x1， 不等式组的解集是1x2， 在数轴上表示为： 19已知：如图，ABCD，BFDE，点 B、E、F、D 在同一直线上，AC求证：AECF 【分析】根据平行线的性质得BD，再利用 BFDE 得到 BEDF，则可根据”AAS“判断ABE CDF，从而得到结论 【解答】解：ABCD， BD， BFDE， BE+EFEF+DF， BEDF， 在ABE 和CDF 中 ， ABECDF（AAS） ， AECF 20先化简，再求值： （2m+1） （2m1）（m1）2+（2m）3（8m） ，其中 m 是方程 x2+x20
25、的 根 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出 m2+m 2，代入计算可得 【解答】解：原式4m21（m22m+1）+8m3（8m） 4m21m2+2m1m2 2m2+2m2 2（m2+m1） ， m 是方程 x2+x20 的根， m2+m20，即 m2+m2， 则原式2（21）2 21为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前， 对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根 据统计图所提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了 120 名学生，两幅
26、统计图中的 m 48 ，n 15 （2）已知该校共有 960 名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者 2 男 1 女中随机选送 2 人参赛，求选送的 两名参赛同学为 1 男 1 女的概率是多少？ 【分析】 （1）用 A 类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去 A，C，D 类的人数，即可求出 m 的值，用 C 类的人数除以总人数，即可得出 n 的值； （2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数学校总人数A 类的百分比求解即可； （3）列出图形，即可得出答案 【解答】解： （1）这次调查的学生人数为 4235%120
27、（人） ， m12042181248， 1812015%；所以 n15 故答案为：120，48，15 （2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：96035%336（人） ， （3）抽出的所有情况如图： 两名参赛同学为 1 男 1 女的概率为： 22如图，ABCD 为正方形，E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕为 MN，若 tan AEN，DC+CE10 （1）求ANE 的面积； （2）求 sinENB 的值 【分析】 要求ANE 的面积， 就要求出这个三角形的底和高， 由已知条件 tanAEN 的值， DC+CE10， 又因为AENEAN，所以可以先设 BEa，
28、从而求出 AB3a，CE2a 进而求出 a 的值，求出 BE 2，AB6，CE4求出底 AD 的长，然后再由 tanAEN 与边的关系，求出高，最后利用面积公式求面 积；sinENB 的值用正弦定义求即可 【解答】解：由折叠可知：MN 为 AE 的垂直平分线， ANEN， EANAEN（等边对等角） ， tanAENtanEAN， 设 BEa，AB3a，则 CE2a， DC+CE10， 3a+2a10， a2， BE2，AB6，CE4， AE2， EGAE2， 又， NG， AN， ANNE， SANE， sinENB 23已知关于 x 的方程 x2（k+1）x+k2+10，根据下列条件，分别
29、求出 k 的值 （1）方程两实根的积为 5； （2）方程的两实根 x1，x2满足|x1|x2 【分析】 （1）先根据判别式的意义得到（k+1）24（k2+1）0，解得 k，再根据根与系数的 关系得 x1+x2k+1，x1x2k2+1，根据条件得到k2+15，解得 k4，然后根据（1）中 k 的取值范 围确定 k 的值； （2）把已知等式两边平方可得到（x1+x2） （x1x2）0，则 x1+x20 或 x1x20，所以 k+10 或 0，再分别求出 k，然后根据（1）中 k 的取值范围确定 k 的值 【解答】解：根据题意得（k+1）24（k2+1）0，解得 k， x1+x2k+1，x1x2k2
30、+1， （1）x1x25， k2+15，解得 k4， k， k 的值为 4； （2）|x1|x2， x12x22， （x1+x2） （x1x2）0， x1+x20 或 x1x20， k+10 或0， k1 或 k， k 的值为 24如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，过点 C 作O 与边 AB 相切于点 E，交 BC 于点 F， CE 为O 的直径 （1）求证：ODCE； （2）若 DF1，DC3，求 AE 的长 【分析】 （1）O 与边 AB 相切于点 E，且 CE 为O 的直径，得到 CEAB，由等腰三角形的性质三线 合一得到 BDDC，根据三角形的中位线的性质得到结论； （
31、2）连接 EF，由 CE 为O 的直径，且点 F 在O 上，得到EFC90，又因为 CEAB，得到 BEF+FECFEC+ECF90，推出BEFECF，于是得到 tanBEFtanECF，得到等积 式，求得 EF2，由勾股定理得 BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解 【解答】解： （1）O 与边 AB 相切于点 E，且 CE 为O 的直径， CEAB， ABAC，ADBC， BDDC， 又OEOC， ODEB， ODCE； （2）连接 EF， CE 为O 的直径，且点 F 在O 上，EFC90， CEAB， BEC90 BEF+FECFEC+ECF90， BEFECF， tanBEF
32、tanECF ， 又DF1，BDDC3， BF2，FC4， EF2， EFC90， BFE90， 由勾股定理，得， EFAD， ， 25 AD 是ABC 的中线， 将 BC 边所在直线绕点 D 顺时针旋转 角， 交边 AB 于点 M， 交射线 AC 于点 N， 设 AMxAB，ANyAC （x，y0） （1）如图 1，当ABC 为等边三角形且 30时证明：AMNDMA； （2）如图 2，证明：+2； （3） 当 G 是 AD 上任意一点时 （点 G 不与 A 重合） ， 过点 G 的直线交边 AB 于 M， 交射线 AC 于点 N， 设 AGnAD，AMxAB，ANyAC（x，y0） ，猜想：
33、+是否成立？并说明 理由 【分析】 （1）利用“两角法”证得两个三角形相似； （2）如图 1，过点 C 作 CFAB 交 MN 于点 F，构建相似三角形：CFNAMN，利用该相似三角形 的对应边成比例求得通过证CFDBMD 得到 BMCF，利用比例的性质和相关线段的代 入得到，即； （3）猜想：+ 成立需要分类讨论：如图乙，过 D 作 MNMN交 AB 于 M，交 AC 的 延长线于 N由平行线截线段成比例得到，易求，利用（2）的结果 可以求得； 如图丙，当过点 D 作 M1N1MN交 AB 的延长线于 M1，交 AC1 于 N1，则同理可得 【解答】解： （1）证明： 如图 1，在AMD 中
34、， AD 是ABC 的中线，ABC 为等边三角形， ADBC，MAD30， 又BDM30， MDA60 AMD90， 在AMN 中，AMN90，MAN60， AMNDMA90，MANMDA， AMNDMA； （2）证明：如图甲，过点 C 作 CFAB 交 MN 于点 F，则CFNAMN CFBM， BDCF， 在CFD 和BMD 中， CFDBMD， BMCF， ， ，即； （3）猜想：+ 成立理由如下： 如图乙，过 D 作 MNMN交 AB 于 M，交 AC 的延长线于 N， 则 ， 即， 由（2）知 如图丙，当过点 D 作 M1N1MN交 AB 的延长线于 M1，交 AC1 于 N1，则同
35、理可得 26如图，抛物线 yax2+2x3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0） （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1，点 P 是直线 yx 上的动点，当直线 yx 平分APB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，已知直线 yx分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上 的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE问： 以 QD 为腰的等腰QDE 的面积是否存在最大值？若存在， 请求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）把 B 点坐标代入抛物
36、线解析式可求得 a 的值，可求得抛物线解析式，再令 y0，可解得相 应方程的根，可求得 A 点坐标； （2）当点 P 在 x 轴上方时，连接 AP 交 y 轴于点 B，可证OBPOBP，可求得 B坐标，利用 待定系数法可求得直线 AP 的解析式，联立直线 yx，可求得 P 点坐标；当点 P 在 x 轴下方时，同理可 求得BPOBPO，又BPO 在APO 的内部，可知此时没有满足条件的点 P； （3） 过 Q 作 QHDE 于点 H， 由直线 CF 的解析式可求得点 C、 F 的坐标， 结合条件可求得 tanQDH， 可分别用 DQ 表示出 QH 和 DH 的长，分 DQDE 和 DQQE 两种
37、情况，分别用 DQ 的长表示出QDE 的面积，再设出点 Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得QDE 的面积的最大值 【解答】解： （1）把 B（1，0）代入 yax2+2x3， 可得 a+230，解得 a1， 抛物线解析式为 yx2+2x3， 令 y0，可得 x2+2x30，解得 x1 或 x3， A 点坐标为（3，0） ； （2）若 yx 平分APB，则APOBPO， 如图 1，若 P 点在 x 轴上方，PA 与 y 轴交于点 B， 由于点 P 在直线 yx 上，可知POBPOB45， 在BPO 和BPO 中 ， BPOBPO（ASA） ， BOBO1， 设直线 AP 解析式为 ykx+b，
38、把 A、B两点坐标代入可得 ，解得， 直线 AP 解析式为 yx+1， 联立，解得， P 点坐标为（，） ； 若 P 点在 x 轴下方时，同理可得BOPBOP， BPOBPO， 又BPO 在APO 的内部， APOBPO，即此时没有满足条件的 P 点， 综上可知 P 点坐标为（，） ； （3）如图 2，作 QHCF，交 CF 于点 H， CF 为 yx， 可求得 C（，0） ，F（0，） ， tanOFC， DQy 轴， QDHMFDOFC， tanHDQ， 不妨设 DQt，DHt，HQt， QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形， 若 DQDE，则 SDEQDEHQttt2， 若 DQQE，则 SDEQDEHQ2DHHQttt2， t2t2， 当 DQQE 时DEQ 的面积比 DQDE 时大 设 Q 点坐标为（x，x2+2x3） ，则 D（x，x） ， Q 点在直线 CF 的下方， DQtx（x2+2x3）x2x+， 当 x时，tmax3， （SDEQ）maxt2， 即以 QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为
