1、 深圳中考专项复习第 7 讲之尺规作图 【考点介绍】 近几年的深圳中考卷中，都有一道中等偏下难度的尺规作图识别题，考查几何 5 个基本作图（作一条线段等于已 知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）的作 图痕迹识别。 【最近五年中考实题详解】 1.(2020 深圳)如图，已知 AB=AC，BC=6，山尺规作图痕迹可求出 BD=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】由作图痕迹可知 AD 为BAC 的角平分线，而 AB=AC，由等腰三角形的三线合一知 D 为 BC 重点，BD=3， 故选 B。 2.(2019 深圳)如图，已知 AB
2、=AC，AB=5，BC=3，以 AB 两点为圆心，大于1 2AB 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 M、 N，连接 MN 与 AC 相交于点 D，则BDC 的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【解析】 由作图痕迹可知DM为线段AB的垂直平分线， AD=BD， 则BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=8， 故选 A。 3.(2018 深圳) 已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上， 这个菱形称 为这个三角形的亲密菱形， 如图 1， 菱形 ADFE 为ABC 的亲密菱形。 如图书 2， 在CFE 中，
3、CF=6， CE=12,FCE=45， 以点C为圆心， 以任意长为半径作 AD， 再分别以点 A 和点 D 为圆心， 大于1 2AD长为半径做弧， 交 EF 于点 B， AB/CD. (1)求证：四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形； (2)求四边形 ACDB 的面积. 【解析】中等难度题型，以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。 (1)证明：由尺规作图痕迹可得：AC=CD，AB=DB，BC 是FCE 的角平分线，则：ACB=DCB， 又AB/CD，ABC=DCB，ACB=ABC，AC=AB， 又AC=CD，AB=DB，AC=CD=DB=BA， 四边形 ACDB 是菱形.ACD 与F
4、CE 重合，它的对角ABD 的顶点在 EF 上，四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形. (2)解：设菱形 ACDB 的边长为x，AB/CE，FA FC = AB CE ，即6x 6 = x 12 ,解得： 4x, 过 A 点作 AHCD 于点 H，在直角CAH 中，FCE=45，AH=AC sin45 = 4 2 2 = 22, 菱形 ACDB 的面积为：4 22 = 82. 4.(2017 深圳)如图，已知线段 AB，分别以 A、B 为圆心，大于AB 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 l，在直 线 l 上取一点 C，使得CAB=25，延长 AC 至 M，求BCM 的度数为（ ） A40 B
5、50 C60 D70 【解析】由作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，AC=BC，CAB=CBA=25， BCM=CAB+CBA=25+25=50故选 B 5.(2016 深圳)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=3,BC=5,以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA、BC 于 点 P、Q，再分别以 P、Q 为圆心，以大于1 2PQ 的长为半径作弧，两弧在ABC 内交于点 M，连接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为_. 【解析】由作法可知 BE 为角平分线，所以，ABECBE，又 ADBC，所以，AEBCBE，所以， AEBABE，AEAB3，ADBC5，
6、所以，DE532。 【针对练习巩固】 1如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOB=AOB 的依据是（ ） ASAS BSSS CAAS DASA 【解析】由作法易得 OD=OD=OC=OC,CD=CD,则依 SSS 可证OCDOCD,得AOB=AOB，故选 B. 2.通过如下尺规作图，能确定点 D 是 BC 边中点的是（ ） 【解析】由作图痕迹可知是垂直平分线的尺规作图，故选 A 3.数学课上，小丽用尺规这样作图： （1） ，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA，OB 于 D，E 两点； （2）分别 以点 D，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧交于点 C
7、；第三部，作射线 OC 并连接 CD，CE，下列结论不正确 的是（ ） A1=2 BSOCE=SOCD COD=CD DOC 垂直平分 DE 【解析】 由作法易得 OC 是AOB 的角平分线， 则1=2， 由 SAS 易证OCEOCD,则 SOCE=SOCD， 由OCEOCD 可得 CE=CD，则 OC 垂直平分 DE，故选 C. 4.如图，已知AOB，按以下步骤作图：以点 O 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AOB 的两边于 C、D 两点， 连接 CD；分别以点 C、D 为圆心，以大于线段 OC 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 E，连接 CE、DE；连 接 OE 交 CD 于点 M
8、.下列结论错误的是： （ ） A. CEO=DEO B. CM=MD C. OCD=ECD D. S四边形 OCED= 1 2CD OE 【解析】由作图痕迹可知 OC=OD，CE=DE，则 SSSOCEODE,则选项 A 正确；则 CE=DE 可得直线 OE 垂直平分线段 OC，则选项 B 正确；由 CDOE 可知四边形 OCED 是筝形，筝形的面积会等于对角线乘积的一半，选项 D 正确，故选 C 5如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 x 轴、y 轴于点 M、点 N，再 分别以点 M、 N 为圆心， 大于MN 的长为半径画弧， 两弧在第二象限交于点 P
9、 （a， b） ， 则 a 与 b 的数量关系为 （ ） Aa+b0 Ba+b0 Cab0 Dab0 【解析】利用作图得点 OP 为第二象限的角平分线，所以 a+b0故选：A 6. 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点 P，用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQl于 点 Q ”，分别作出了下列四个图形其中做法错误的是（ ） A. B. C. D. 【解析】解：A.没有任何作法依据，A 选项的作法错误； B.作了线段的垂直平分线，则 PQl，所以 C 选项的作法正确； C.作了直径所对的圆周角，则 PQl，所以 D 选项的作法正确 D.作了 P 点关于 l 的对称点，则
10、PQl，所以 B 选项的作法正确；故选 A 7如图，在ABC 中，B70，C30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相 交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD 的度数为（ ） A40 B45 C50 D60 【解析】B70，C30，BAC18010080，由作图可知：MN 垂直平分线段 AC， DADC，DACC30，BAD803050，故选：C 8.如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B、C 为圆心，以大于1 2BC 为半径作弧，两弧相交于两点 M、N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD； 若 CD=AC
11、,A=50，则ACB 的度数为（ ） A. 90 B. 95 C. 100 D. 105 【解析】CD=AC，A=50，ADC=A=50，根据题意得：MN 是 BC 的垂直平分线，CD=BD， BCD=B，B= 1 2 ADC=25，ACB=180-A-B=105故选：D 9如图， 点 B 是直线 l 外一点，在 l 的另一侧任取一点 K， 以 B 为圆心，BK 为半径作弧， 交直 线 l 与点 M、 N；再分别以 M、N 为圆心，以大于1 2MN 为半径作弧，两弧相交于点 P； 连接 BP 交直线 l 于点 A；点 C 是直线 l 上一点， 点 D、 E 分别是线段 AB、 BC 的中点；
12、F 在 CA 的延长线上， FDAB， AC8， AB6， 则四边形 AEDF 的周长为（ ） A8 B10 C16 D18 【解析】 由作图方法可得 ABAC 于点 A， 则在 RtABC 中， 由勾股定理可得 BC=10,由 DE 是中位线可得 DE=1 2AC=4,DE AB，DE/AC,由 AE 是斜边上的中线可得 AE=BE=1 2BC=5,B=EAB,FDAB，FDAEAB，DF/AE, 四边形 AEDF 是平行四边形，则平行四边形 AEDF 的周长=2（DE+AE）=18,故选 D 10.如图，在矩形 ABCD 中，BAC=60，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧分别交 AB、A
13、C 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于1 2MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE=1，则矩形 ABCD 的面积等于 _ 【解析】由作法可知，AP 是BAC 的角平分线，BAC=60,BAP=CAP=30,在矩形 ABCD 中， BAE=30,BE=1,AB=3,BC=3,面积=33 11.如图， 平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O， 按以下步骤作图： 以点 A 为圆心， 任意长为半径作弧， 分别交 AO、 AB 于点 M、N；以点 O 为圆心，AM 的长为半径作弧，交 OC 于点 M；以点 M为圆心，MN 的长为半径作弧，在 COB
14、 内部交前面的弧于点 N；过点 N作射线 ON交 BC 于点 E，若 AB=8，则线段 OE 的长为_ 【解析】由作图可知COE=CAB，OE/AB，OE 是中位线，OE=4 13.根据尺规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） 【解析】外心是垂直平分线的交点，故选 C 14.如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC，D=90，AD=4，BC=3，分别以点 A、C 为圆心，大于1 2AC 的长为半径作弧， 两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为_ 【解析】由作法可知 BE 是线段 AC 的垂直平分线，则 BA=
15、BC=3,由 AD/BC 可得 CDBC，过点 B 作 BGAD 于点 G，则 BGDC 是矩形，DG=BC=3,AG=1,由勾股定理可得 BG=22=CD. 15.如图，在菱形 ABCD 中，点 O 是对角线的交点，ABC=60，AB=2，分别以点 A、C 为圆心，以 AO 的长为半径画 弧，分别与菱形的边相交，则图中的阴影部分的面积为_.（结果保留） 【解析】由题可知ABC 与ACD 都是等边三角形，则 AC=AB=2，OA=1 2AB=1,BD=2BO=23, S阴= S菱形 ABCD S两个扇形= 2 3 2 120 360 12= 23 2 3 16.已知锐角AOB，如图， （1）在
16、射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心、OC 为半径作PQ ，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）连接 OM、 ，MN.根据以上作图过程，下列结论中错误的是（ ） A.COM=COD B.若 OM=MN，则AOB=20 C. MN/CD D. MN=3CD 【解析】(1)连接 ON，由作法可知COM=COD=DON,选项 A 正确； （2）由 OM=ON,OM=MN,则 OM=ON=MN,OMN 是等边三角形，MON=60，AOB=20,选项 B 正确； （3） 设 MN 与 OA 交于点 E， 与 OB 交于点 F， OM=ON， OMN=ONM， MOE=NOF， MOENOF
17、， OE=OF， OEF=OFE，OC=OD，OCD=ODC，EOF=COD，OEF=OCD，MN/CD，选项 C 正确； （4）连接 MN、DN，则 MC=CD=DN，MC+CD+DNMN,3CDMN，选项 D 错误，故选 D 17.如图， 直线 MN/PQ， 直线 AB 分别与 MN、PQ 交于点 A、 B，小明同学利用尺规按以下步骤作图： 以点 A 为圆心， 适当长度为半径作弧，分别交边 AN、AB 于点 C、D；分别以点 C、D 为圆心，大于1 2CD 的长为半径作弧，两弧在 NAB 内交于点 E；作射线 AE，交边 PQ 于点 F，若 AB=2,ABP=60,则线段 AF 的长为_
18、【解析】由作法可知，AF 是NAB，由数学模型“角平分线+平行线=等腰三角形”可得 BA=BF=2,作 BGAF,AG=FG, ABP=60,BAF=BFA=30,在 RtBFG 中，FG=BFcosBFA=3,AF=2FG=23. 18.如图，已知平行四边形 AOBC 的顶点 O（0，0） ，A（-1，2） ，点 B 在 x 轴正半轴上，按以下步骤作图：以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA、OB 于点 D、E；分别以点 D、E 为圆心，大于1 2DE 的长为半径作弧， 两弧在AOB 内交于点 F；作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G 的坐标为_ 【解析】 设 AC 与
19、 y 轴交于点 H， 由 AC/OB 可得 AHy 轴， A(-1,2),OA=5,由作法可知 OF 平分AOB， AOF= BOF=AGO，AG=AO=5,HG=AG-AH=5 1,点 G 的坐标为（5 1，2） 19.如图，点 A 在双曲线y = k x (x 0)上，过点 A 作 ABx 轴于点 B，分别以点 O 和点 A 为圆心，大于1 2OA 的长为半 径作弧，两弧交于 D、E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 F(0,2),连接 AC，若 AC=1，则 k 的值为_ 【解析】设 DE 与 AO 交于点 G，由作法可知 DE 为线段 OA 的垂直平分线，DEAO
20、,OG=AG，OC=AC=1,在 RtFOC 中， 由勾股定理可得 CF=5， OG=25 5 ,OA=45 5 ,易证FOCOBA， SOBA SFOC = (OA FC) 2， SOBA = 16 25， k=2SOBA= 32 25. 20.如图，在ABC 中，AB=13，AC=12，BC=5，按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、 AC 于点 M、N；分别以点 M、N 为圆心，以大于1 2MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 E；作射线 AE；以同样的 方法作射线 BF、AE 交 BF 于点 O，连接 OC，则 OC=_ 【解析】由作法可得 O 是角平分线的交点
21、，则 OC 也是角平分线，过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线段 OQ、OG、OH， 则OQ=OG=OH， 则四边形OGCH是正方形， 由面积补割可得1 2AC BC = 1 2OH BC + 1 2OG AC + 1 2OQ AB,可得OQ=OG=OH=2, 则 OC=22 21如图，AC 是O 的直径，点 B 在O 上，ACB=30，按以下步骤作图：以点 B 为圆心，小于 AB 的长为半径 画弧，分别交 AB、BC 于点 M、N； 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；连结 BG 交 AC 边于点 E，交O 于点 D，连接 CD，求ABE 与CDE 的
22、面积之比为 【解析】由A=D,AEB=DEC 易证ABEDCE,则它们的面积比=(AB CD) 2,由作图方法可知 BD 是ABC 的角平分 线，ABD=CBD，连接 AD，则 AD=CD，则ADC 是等腰直角三角形，则 CD= 2 2 AC，在 RtABC 中，由ACB=30 可得 AB=1 2AC,( AB CD) 2 = 1 2,即ABE 与CDE 的面积之比 1 2. 【答案详解】 1 【解析】由作法易得 OD=OD=OC=OC,CD=CD,则依 SSS 可证OCDOCD,得AOB=AOB，故选 B. 2.【解析】由作图痕迹可知是垂直平分线的尺规作图，故选 A 3.【解析】由作法易得
23、OC 是AOB 的角平分线，则1=2，由 SAS 易证OCEOCD,则 SOCE=SOCD，由OCE OCD 可得 CE=CD，则 OC 垂直平分 DE，故选 C. 4.【解析】由作图痕迹可知 OC=OD，CE=DE，则 SSSOCEODE,则选项 A 正确；则 CE=DE 可得直线 OE 垂直平分线 段 OC，则选项 B 正确；由 CDOE 可知四边形 OCED 是筝形，筝形的面积会等于对角线乘积的一半，选项 D 正确，故 选 C 5 【解析】利用作图得点 OP 为第二象限的角平分线，所以 a+b0故选：A 6. 【解析】A.没有任何作法依据，A 选项的作法错误； B.作了线段的垂直平分线，
24、则 PQl，所以 C 选项的作法正确； C.作了直径所对的圆周角，则 PQl，所以 D 选项的作法正确 D.作了 P 点关于 l 的对称点，则 PQl，所以 B 选项的作法正确；故选 A 7 【解析】B70，C30，BAC18010080，由作图可知：MN 垂直平分线段 AC， DADC，DACC30，BAD803050，故选：C 8.【解析】CD=AC，A=50，ADC=A=50，根据题意得：MN 是 BC 的垂直平分线，CD=BD， BCD=B，B= 1 2 ADC=25，ACB=180-A-B=105故选：D 9【解析】 由作图方法可得 ABAC 于点 A， 则在 RtABC 中， 由勾
25、股定理可得 BC=10,由 DE 是中位线可得 DE=1 2AC=4,DE AB，DE/AC,由 AE 是斜边上的中线可得 AE=BE=1 2BC=5,B=EAB,FDAB，FDAEAB，DF/AE, 四边形 AEDF 是平行四边形，则平行四边形 AEDF 的周长=2（DE+AE）=18,故选 D 10.【解析】由作法可知，AP 是BAC 的角平分线，BAC=60,BAP=CAP=30,在矩形 ABCD 中， BAE=30,BE=1,AB=3,BC=3,面积=33 11.【解析】由作图可知COE=CAB，OE/AB，OE 是中位线，OE=4 13.【解析】外心是垂直平分线的交点，故选 C 14
26、. 【解析】 由作法可知 BE 是线段 AC 的垂直平分线， 则 BA=BC=3,由 AD/BC 可得 CDBC， 过点 B 作 BGAD 于点 G， 则 BGDC 是矩形，DG=BC=3,AG=1,由勾股定理可得 BG=22=CD. 15.【解析】由题可知ABC 与ACD 都是等边三角形，则 AC=AB=2，OA=1 2AB=1,BD=2BO=23, S阴= S菱形 ABCD S两个扇形= 2 3 2 120 360 12= 23 2 3 16.【解析】(1)连接 ON，由作法可知COM=COD=DON,选项 A 正确； （2）由 OM=ON,OM=MN,则 OM=ON=MN,OMN 是等边
27、三角形，MON=60，AOB=20,选项 B 正确； （3） 设 MN 与 OA 交于点 E， 与 OB 交于点 F， OM=ON， OMN=ONM， MOE=NOF， MOENOF， OE=OF， OEF=OFE，OC=OD，OCD=ODC，EOF=COD，OEF=OCD，MN/CD，选项 C 正确； （4）连接 MN、DN，则 MC=CD=DN，MC+CD+DNMN,3CDMN，选项 D 错误，故选 D 17. 【解析】 由作法可知， AF 是NAB， 由数学模型 “角平分线+平行线=等腰三角形” 可得 BA=BF=2,作 BGAF,AG=FG, ABP=60,BAF=BFA=30,在 R
28、tBFG 中，FG=BFcosBFA=3,AF=2FG=23. 18.【解析】设 AC 与 y 轴交于点 H，由 AC/OB 可得 AHy 轴，A(-1,2),OA=5,由作法可知 OF 平分AOB， AOF=BOF=AGO，AG=AO=5,HG=AG-AH=5 1,点 G 的坐标为（5 1，2） 19.【解析】设 DE 与 AO 交于点 G，由作法可知 DE 为线段 OA 的垂直平分线，DEAO,OG=AG，OC=AC=1,在 Rt FOC 中，由勾股定理可得 CF=5，OG=25 5 ,OA=45 5 ,易证FOCOBA，SOBA SFOC = (OA FC) 2，SOBA = 16 25
29、， k=2SOBA=32 25. 20.【解析】由作法可得 O 是角平分线的交点，则 OC 也是角平分线，过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线段 OQ、OG、 OH，则 OQ=OG=OH，则四边形 OGCH 是正方形，由面积补割可得1 2AC BC = 1 2OH BC + 1 2OG AC + 1 2OQ AB,可得 OQ=OG=OH=2,则 OC=22 21 【解析】 由A=D,AEB=DEC 易证ABEDCE,则它们的面积比=(AB CD) 2,由作图方法可知 BD 是ABC 的角平 分线，ABD=CBD，连接 AD，则 AD=CD，则ADC 是等腰直角三角形，则 CD= 2 2 AC，在 RtABC 中，由ACB=30 可得 AB=1 2AC,( AB CD) 2 = 1 2,即ABE 与CDE 的面积之比 1 2.
