1、2020-2021 学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1给出下列 4 个说法： 只有正数才有平方根； 2 是 4 的平方根； 平方根等于它本身的数只有 0； 27 的立方根是3其中，正确的有（ ） A B C D 2下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ） Aaba2a（b2a） Bx24x+1x（x4）+1 Cx+1x（1+） D （a+b） （ab）a2b2 3如图，点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线 OC，BOC100，一直角三角
2、板的直角顶点与点 O 重合， 边 OM 与 OB 重合，边 ON 在直线 AB 的下方若三角板绕点 O 按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一 周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角AOC，则 t 的值为（ ） A5 B4 C5 或 23 D4 或 22 4已知实数 a，b 为ABC 的两边，且满足4b+40，第三边 c，则第三边 c 上的高的值 是（ ） A B C D 5希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5 个女生种 3 棵树，3 个男生种 5 棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是（ ） A七（1）班 B七（2）班 C七（3）班 D七
3、（4）班 6下列计算正确的是（ ） A2 B2 C2 D2 7若 4x2+kx+25（2x+a）2，则 k+a 的值可以是（ ） A25 B15 C15 D20 8如图，长方形 ABCD 中，ADBC6，ABCD10点 E 为射线 DC 上的一个动点，ADE 与AD E 关于直线 AE 对称，当ADB 为直角三角形时，DE 的长为（ ） A2 或 8 B或 18 C或 2 D2 或 18 9已知，如图，ABC 是等边三角形，AECD，BQAD 于 Q，BE 交 AD 于点 P，下列说法：APE C，AQBQ，BP2PQ，AE+BDAB，其正确的个数有（ ）个 A1 B2 C3 D4 10如图，
4、ABC 是等边三角形，AQPQ，PRAB 于点 R，PSAC 于点 S，PRPS，则下列结论： 点 P 在A 的角平分线上； ASAR； QPAR； BRPQSP正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11已知 3a5，3b10，则 3a+2b的值为（ ） A50 B50 C500 D500 12如图，在 RtABC 中，ABAC，BAC90，D、E 为 BC 上两点，DAE45，F 为ABC 外 一点， 且 FBBC， FAAE， 则下列结论： CEBF； BD2+CE2DE2； ； CE2+BE2 2AE2，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题
5、（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13如图，等边ABC 的边长为 2，BD 是高，延长 BC 到点 E，使 CECD，则 DE 的长为 14甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时，甲看错了 a 的值，分解的结果是（x+6） （x2） ，乙看错了 b 的值， 分解的结果为（x8） （x+4） ，那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为 15对于任意实数 a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab2ab例如 342342若 xy 2，且 yx4，则 x+y 的值为 16课本第 78 页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：如图分别以直角三角形 的三条边为边，向形外分
6、别作正三角形，则图中的 S1，S2，S3满足的数量关系是 现将ABF 向上翻折，如图，已知 S甲6，S乙5，S丙4，则ABC 的面积是 17某校为了举办“庆祝建军 90 周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信 息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 人 18如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 1 小题，共小题，共 6 分）分） 19 （6 分）计算： （1）； （2）（2） ； （3）； （4） 四、解答题
7、（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 56 分）分） 20已知多项式 Ax2+2x+n2，多项式 B2x2+4x+3n2+3 （1）若多项式 x2+2x+n2是完全平方式，则 n ； （2）已知 xm 时，多项式 x2+2x+n2的值为1，则 xm 时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式 A 与 B 的大小关系并说明理由 21如图，AD 是ABC 的高，AD 垂直平分线分别交 AB，AC 于点 E，F （1）求证：BAED （2）若 DE1，求 AB 的长 22如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 的中点，连接 AD，CBE45，BE 分别交 AC，AD 于点 E
8、、F若 AB13，BC10，求 AF 的长度 23 随着互联网的发展， 同学们的学习习惯也有了改变， 一些同学在做题遇到困难时， 喜欢上网查找答案 针 对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对） ，并将调查结果绘制 成图 1 和图 2 两个不完整的统计图 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图 1 补充完整； （3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校 1500 名学生中有多少名学生持“无所谓”意见 24勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2
9、000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有 几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关 问题： 如图，分别以 RtABC 的三边为边长，向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI （1）连接 BI、CE，求证：ABIAEC； （2）过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M，交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等； 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 的面积，即在 RtABC 中，AB2+BC2 25请阅读下列
10、材料： 我们可以通过以下方法求代数式 x2+6x+5 的最小值 x2+6x+5x2+2x3+3232+5（x+3）24， （x+3）20 当 x3 时，x2+6x+5 有最小值4 请根据上述方法，解答下列问题： （）x2+4x1x2+2x2+22221（x+a）2+b，则 ab 的值是 ； （）求证：无论 x 取何值，代数式 x2+2x+7 的值都是正数； （）若代数式 2x2+kx+7 的最小值为 2，求 k 的值 26 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点 O 为坐标原点，O 的半径为 1，点 A（2，0） 动点 B 在O 上，连结 AB，作等边ABC （A，
11、B，C 为顺时针顺序） ，求 OC 的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接 OB，以 OB 为边在 OB 的左侧作等边三角形 BOE，连接 AE （1）请你找出图中与 OC 相等的线段，并说明理由； （2）线段 OC 的最大值为 【灵活运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（5，0） ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90，求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标 【迁移拓展】 （4）如图，BC4，点 D 是以 BC 为直径的半圆上不同于 B、C 的一个动点，以 BD 为边作
12、等边 ABD，请直接写出 AC 的最值 2020-2021 学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1给出下列 4 个说法： 只有正数才有平方根； 2 是 4 的平方根； 平方根等于它本身的数只有 0； 27 的立方根是3其中，正确的有（ ） A B C D 【分析】分别根据平方根与立方根的定义判断即可 【解答】解：只有正数才有平方根，错误，0 的平方根是 0； 2 是 4 的平方根，正确； 平方根等于它本身的数只
13、有 0，正确； 27 的立方根是 3，故原说法错误 所以正确的有 故选：C 2下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ） Aaba2a（b2a） Bx24x+1x（x4）+1 Cx+1x（1+） D （a+b） （ab）a2b2 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可 【解答】解：A等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； B等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； C等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； D等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 故选：A 3如图，点 O 在直线 AB 上，过 O 作射线 OC，BOC1
14、00，一直角三角板的直角顶点与点 O 重合， 边 OM 与 OB 重合，边 ON 在直线 AB 的下方若三角板绕点 O 按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一 周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角AOC，则 t 的值为（ ） A5 B4 C5 或 23 D4 或 22 【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线 ON 恰好平分锐角AOC，得到三角板旋转的度数，进而 得到 t 的值 【解答】解：BOC100， AOC80， 当直线 ON 恰好平分锐角AOC 时，如下图： BONAOC40， 此时，三角板旋转的角度为 904050， t50105； 当 ON 在AOC 的内部时，
15、如下图： 三角板旋转的角度为 3609040230， t2301023； t 的值为：5 或 23 故选：C 4已知实数 a，b 为ABC 的两边，且满足4b+40，第三边 c，则第三边 c 上的高的值 是（ ） A B C D 【分析】根据算术平方根及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积进行计算即可 【解答】解：因为， 所以 a10，b20， 解得 a1，b2； 因为 a2+b212+225， ， 所以 a2+b2c2， 所以ABC 是直角三角形，C90， 设第三边 c 上的高的值是 h， 则ABC 的面积， 所以 故选：D 5希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小
16、时内，5 个女生种 3 棵树，3 个男生种 5 棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是（ ） A七（1）班 B七（2）班 C七（3）班 D七（4）班 【分析】根据题意分别计算出各班植树的数目，于是得到结论 【解答】解：七（1）班共植树：22+1843.2（棵） ， 七（2）班共植树：18+20（棵） ， 七（3）班共植树：13+22（棵） ， 七（4）班共植树：15+2144（棵） ， 4443.2， 植树最多的班级是七（3）班， 故选：C 6下列计算正确的是（ ） A2 B2 C2 D2 【分析】根据|a|进行计算即可 【解答】解：A、2，故原题计算正确； B、2，故原题计算错误；
17、C、4，故原题计算错误； D、4，故原题计算错误； 故选：A 7若 4x2+kx+25（2x+a）2，则 k+a 的值可以是（ ） A25 B15 C15 D20 【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案 【解答】解：4x2+kx+25（2x+a）2， 当 a5 时，k20， 当 a5 时，k20， 故 k+a 的值可以是：25 故选：A 8如图，长方形 ABCD 中，ADBC6，ABCD10点 E 为射线 DC 上的一个动点，ADE 与AD E 关于直线 AE 对称，当ADB 为直角三角形时，DE 的长为（ ） A2 或 8 B或 18 C或 2 D2 或 18 【分析】分两种情况：当
18、E 点在线段 DC 上时，当 E 点在线段 DC 的延长线上时，利用全等三角形 的判定和性质得出答案即可 【解答】解：分两种情况讨论： 当 E 点在线段 DC 上时， ADEADE， ADED90， ADB90， ADB+ADE180， B、D、E 三点共线， ，ADAD， BEAB10， ， DEDE1082； 当 E 点在线段 DC 的延长线上时，如下图， ABD+CBEABD+BAD90， CBEBAD， 在ABD和BEC 中， ， ABDBEC（ASA） ， BEAB10， ， DEDEBD+BE8+1018 综上所知，DE2 或 18 故选：D 9已知，如图，ABC 是等边三角形，A
19、ECD，BQAD 于 Q，BE 交 AD 于点 P，下列说法：APE C，AQBQ，BP2PQ，AE+BDAB，其正确的个数有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据等边三角形的性质可得 ABAC，BAEC60，再利用“边角边”证明ABE 和 CAD 全等， 【解答】证明：ABC 是等边三角形， ABAC，BAEC60， 在ABE 和CAD 中， ， ABECAD（SAS） ， 12， BPQ2+31+3BAC60， APEC60，故正确 BQAD， PBQ90BPQ906030， BP2PQ故正确， ACBCAEDC， BDCE， AE+BDAE+ECACAB，故正确， 无法判断 BQ
20、AQ，故错误， 故选：C 10如图，ABC 是等边三角形，AQPQ，PRAB 于点 R，PSAC 于点 S，PRPS，则下列结论： 点 P 在A 的角平分线上； ASAR； QPAR； BRPQSP正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得 AP 平分BAC，从而判断出正确，然 后根据等边对等角的性质可得APQPAQ，然后得到APQPAR，然后根据内错角相等两直线平 行可得 QPAB，从而判断出正确，然后证明出APR 与APS 全等，根据全等三角形对应边相等即 可得到正确，由BPRCPS，BRPQSP，即可得到正确 【解答】解
21、：ABC 是等边三角形，PRAB，PSAC，且 PRPS， P 在A 的平分线上，故正确； 由可知，PBPC，BC，PSPR， BPRCPS， ASAR，故正确； AQPQ， PQC2PAC60BAC， PQAR，故正确； 由得，PQC 是等边三角形， PQSPCS， 又由可知，BRPQSP，故也正确， 都正确， 故选：D 11已知 3a5，3b10，则 3a+2b的值为（ ） A50 B50 C500 D500 【分析】根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可 【解答】解：3a5，3b10， 3a+2b3a （3b）25100500 故选：C 12如图，在
22、 RtABC 中，ABAC，BAC90，D、E 为 BC 上两点，DAE45，F 为ABC 外 一点， 且 FBBC， FAAE， 则下列结论： CEBF； BD2+CE2DE2； ； CE2+BE2 2AE2，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出AFBAEC，即可得出 CEBF，根据勾股定理与等量 代换可得正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出，再根据勾股定理以及 等量代换即可得出 【解答】解：BAC90，FAAE，DAE45， CAE90DAEBAD45BAD， FAB90DAEBAD45BAD， FABEAC， ABAC，BAC
23、90， ABCACB45， FBBC， FBA45， AFBAEC， CEBF，故正确， ：由中证明AFBAEC， AFAE， DAE45，FAAE， FADDAE45， AFDAED， 连接 FD， FBCE， FB2+BD2FD2DE2，故正确， ：如图，设 AD 与 EF 的交点为 G， FADEAD45，AFAE， ADEF，EF2EG， SADEADEG， 故正确， ：FB2+BE2EF2，CEBF， CE2+BE2EF2， 在 RTAEF 中，AFAE， AF2+AE2EF2， EF22AE2， CE2+BE22AE2，故正确 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6
24、 小题，共小题，共 18 分）分） 13如图，等边ABC 的边长为 2，BD 是高，延长 BC 到点 E，使 CECD，则 DE 的长为 【分析】先根据等边三角形的性质和锐角三角函数（或勾股定理）求出 BD 的长，再判断出BDE 是等 腰三角形即可 【解答】解：ABC 是边长为 2 的等边三角形，BD 是 AC 边上的高， ACB60，BDAC，BD 平分ABC，DBEABC30， BDBCsin602， CDCE， CDEE ACB60，且ACB 为CDE 的外角， CDE+E60， CDEE30， DBEDEB30， BDDE 故答案为： 14甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时，甲看
25、错了 a 的值，分解的结果是（x+6） （x2） ，乙看错了 b 的值， 分解的结果为（x8） （x+4） ，那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为 （x6） （x+2） 【分析】根据甲、乙看错的情况下得出 a、b 的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可 【解答】解：因式分解 x2+ax+b 时， 甲看错了 a 的值，分解的结果是（x+6） （x2） ， b6（2）12， 又乙看错了 b 的值，分解的结果为（x8） （x+4） ， a8+44， 原二次三项式为 x24x12， 因此，x24x12（x6） （x+2） ， 故答案为： （x6） （x+2） 15对于任意实数 a，b，定义关于“
26、”的一种运算如下：ab2ab例如 342342若 xy 2，且 yx4，则 x+y 的值为 6 【分析】利用题中的新定义化简已知等式列出方程组，求出方程组的解即可求出所求 【解答】解：根据题中的新定义得：， +得：x+y6 故答案为：6 16课本第 78 页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：如图分别以直角三角形 的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 S1，S2，S3满足的数量关系是 S1+S2S3 现将 ABF 向上翻折，如图，已知 S甲6，S乙5，S丙4，则ABC 的面积是 7 【分析】由勾股定理得出 AC2+BC2AB2，由等边三角形的面积公式得出 S1AC2，S
27、2BC2，S3 AB2，得出 S1+S2S3；设ABC 的面积为 S，图中 2 个白色图形的面积分别为 a、b，由 S1+S2 S3，得出 S甲+a+S乙+bS丙+a+b+S，得出 S甲+S乙S丙+S，即可得出答案 【解答】解：ACB90， AC2+BC2AB2， ACE、BCD、ABF 是等边三角形， S1AC2，S2BC2，S3AB2，S1+S2（AC2+BC2）AB2S3， 即 S1+S2S3； 设ABC 的面积为 S，图中 2 个白色图形的面积分别为 a、b，如图所示： S1+S2S3， S甲+a+S乙+bS丙+a+b+S， S甲+S乙S丙+S， SS甲+S乙S丙6+547； 故答案为
28、：S1+S2S3；7 17某校为了举办“庆祝建军 90 周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信 息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 90 人 【分析】根据题意和统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后再根据扇形统计图中的数据， 即可计算出这所学校赞成举办演讲比赛的学生人数 【解答】解：由题意可得， 本次调查的人数为：16040%400， 则这所学校赞成举办演讲比赛的学生有：400（140%37.5%）40022.5%90（人） ， 故答案为：90 18如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是
29、AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 【分析】如图所示：在 AB 上取点 F，使 AFAF，过点 C 作 CHAB，垂足为 H因为 EF+CE EF+EC，推出当 C、E、F共线，且点 F与 H 重合时，FE+EC 的值最小 【解答】解：如图所示：在 AB 上取点 F，使 AFAF，过点 C 作 CHAB，垂足为 H 在 RtABC 中，依据勾股定理可知 BA10 CH， EF+CEEF+EC， 当 C、E、F共线，且点 F与 H 重合时，FE+EC 的值最小，最小值为， 故答案为： 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 1 小题，共小题，共 6 分）分） 19 （6 分）计算
30、： （1）； （2）（2） ； （3）； （4） 【分析】 （1）把分母相同的结合在一起，然后进行有理数的加减法运算； （2）先计算开方和乘方，然后计算乘除和加减； （3）先计算乘方，后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘法，然后计算加减即可 【解答】解： （1）原式 3； （2）原式316（2） 3+8 11； （3）原式 1080 90； （4）原式 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 56 分）分） 20已知多项式 Ax2+2x+n2，多项式 B2x2+4x+3n2+3 （1）若多项式 x2+2x+n2是完全平方式，则 n 1 或1 ； （2）已知 xm
31、时，多项式 x2+2x+n2的值为1，则 xm 时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式 A 与 B 的大小关系并说明理由 【分析】 （1）根据完全平方式的定义计算即可； （2）根据题意可得（m+1）2+n20，再根据实数的非负性解答即可； （3）可得 BA（x1）2+2n2+2，再根据实数的非负性解答即可 【解答】解： （1）x2+2x+n2是一个完全平方式， n21， n1 故答案为：1 或1； （2）当 nm 时 m2+2m+n21， m2+2m+1+n20， （m+1）2+n20， （m+1）20，n20， xm1，n0， xm 时，多项式 x2+2x+n2的值为 m22m+n23；
32、 （3）BA 理由如下：BA2x2+4x+3n2+3（x2+2x+n2）x22x+2n2+3（x+1）2+2n2+2， （x+1）20，2n20， （x+1）2+2n2+20， BA 21如图，AD 是ABC 的高，AD 垂直平分线分别交 AB，AC 于点 E，F （1）求证：BAED （2）若 DE1，求 AB 的长 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质得到 EAED，根据等腰三角形的性质得到AEHDEH， 根据平行线的性质证明结论； （2）根据 EFBC，AEDE，BAED，可得出 BEDE，得到 AB2BE2DE2 【解答】 （1）证明：EF 是 AD 的垂直平分线， EAED， E
33、HAD， AEHDEH， EFAD，BCAD， EFBC， AEHB， BAED； （2）解：由（1）得：EFBC， HEDEDB， AEHHED，AEHB， BEDB， BEDE， AB2BE2DE212 22如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 的中点，连接 AD，CBE45，BE 分别交 AC，AD 于点 E、F若 AB13，BC10，求 AF 的长度 【分析】根据点 D 是 BC 的中点得到 BD5，由勾股定理计算可得 AD 的长，由等腰直角三角形性质得 DF5，最后由线段的差可得结论 【解答】解：ABAC，ADBC， BDCD， BC10， BD5， 在 RtABD 中，A
34、B13， ， 在 RtBDF 中，CBE45， BDF 是等腰直角三角形， DFBD5， AFADDF1257 23 随着互联网的发展， 同学们的学习习惯也有了改变， 一些同学在做题遇到困难时， 喜欢上网查找答案 针 对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对） ，并将调查结果绘制 成图 1 和图 2 两个不完整的统计图 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图 1 补充完整； （3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校 1500 名学生中有多少名学生
35、持“无所谓”意见 【分析】 （1）根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名学生； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； （4）根据统计图中的数据可以估计该校 1500 名学生中有多少名学生持“无所谓”意见 【解答】解： （1）13065%200， 答：此次抽样调查中，共调查了 200 名学生； （2）反对的人数为：2001305020， 补全的条形统计图如右图所示； （3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：360
36、36； （4）1500375， 答：该校 1500 名学生中有 375 名学生持“无所谓”意见 24勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有 几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关 问题： 如图，分别以 RtABC 的三边为边长，向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI （1）连接 BI、CE，求证：ABIAEC； （2）过点 B 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M，交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等； 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四
37、边形 （3）由第（2）题可得： 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 正方形 ACHI 的面积，即在 RtABC 中，AB2+BC2 AC2 【分析】 （1）由正方形的性质得出 ABAE，ACAI，BAECAI90，得出EACBAI，即 可得出ABIAEC（SAS） ； （2）证 BMAI，得出四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积，同理：正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积，由ABIAEC，即可得出四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 易证CPHABC（AAS） ，四边形 CMNH 是矩形，得 PHBC，由BCH 的面积CHNH BCPH，得 CHNHBC2，
38、即可得出结论； （3）由（2）得即可得出答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形， ABAE，ACAI，BAECAI90， EACBAI， 在ABI 和AEC 中， ABIAEC（SAS） ； （2）证明：BMAC，AIAC， BMAI， 四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积， 同理：正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积， 又ABIAEC， 四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 解：四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等，理由如下： 连接 BH，过 H 作 HPBC 于 P，如图所示： 易证CPHABC（AAS） ，四边形 CMNH
39、 是矩形， PHBC， BCH 的面积CHNHBCPH， CHNHBC2， 四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等； （3）解：由（2）得：正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积正方形 ACHI 的面积； 即在 RtABC 中，AB2+BC2AC2； 故答案为：正方形 ACHI，AC2 25请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 x2+6x+5 的最小值 x2+6x+5x2+2x3+3232+5（x+3）24， （x+3）20 当 x3 时，x2+6x+5 有最小值4 请根据上述方法，解答下列问题： （）x2+4x1x2+2x2+22221（x+a）2+b，则 a
40、b 的值是 10 ； （）求证：无论 x 取何值，代数式 x2+2x+7 的值都是正数； （）若代数式 2x2+kx+7 的最小值为 2，求 k 的值 【分析】 （）根据配方的过程求得 a、b 的值代入求值即可； （）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解； （）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解 【解答】解： （）x2+4x1x2+2x2+22221（x+2）25（x+a）2+b， a2，b5， ab2（5）10 故答案是：10； （）证明：x2+2x+7x2+2x+（）2（）2+7（x+）2+1 （x+）20， x2+2x+7 的最小值是 1， 无论
41、 x 取何值，代数式 x2+2x+7 的值都是正数； （）2x2+kx+7（x）2+2xk+（k）2（k）2+7（x+k）2k2+7 （x+k）20， （x+k）2k2+7 的最小值是k2+7， k2+72， 解得 k2 26 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点 O 为坐标原点，O 的半径为 1，点 A（2，0） 动点 B 在O 上，连结 AB，作等边ABC （A，B，C 为顺时针顺序） ，求 OC 的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接 OB，以 OB 为边在 OB 的左侧作等边三角形 BOE，连接 AE （1）请你找出
42、图中与 OC 相等的线段，并说明理由； （2）线段 OC 的最大值为 3 【灵活运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（5，0） ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90，求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标 【迁移拓展】 （4）如图，BC4，点 D 是以 BC 为直径的半圆上不同于 B、C 的一个动点，以 BD 为边作等边 ABD，请直接写出 AC 的最值 【分析】 （1）结论：OCAE只要证明CBOABE 即可； （2）利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）连接 BM，将APM 绕着点 P 顺时针旋转 9
43、0得到PBN，连接 AN，得到APN 是等腰直角三角 形，根据全等三角形的性质得到 PNPA2，BNAM，根据当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得 最大值， 即可得到最大值为 2+3； 过 P 作 PEx 轴于 E， 根据等腰直角三角形的性质， 即可得到结论； （4）如图 4 中，以 BC 为边作等边三角形BCM，由ABCDBM，推出 ACMD，推出欲求 AC 的 最大值，只要求出 DM 的最大值即可，由 BC4定值，BDC90，推出点 D 在以 BC 为直径的 O 上运动，由图象可知，当点 D 在 BC 上方，DMBC 时，DM 的值最大； 【解答】解： （1）如图中，结论：O
44、CAE， 理由：ABC，BOE 都是等边三角形， BCBA，BOBE，CBAOBE60， CBOABE， CBOABE， OCAE （2）在AOE 中，AEOE+OA， 当 E、O、A 共线， AE 的最大值为 3， OC 的最大值为 3 故答案为 3 （3）如图 1，连接 BM， 将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，则APN 是等腰直角三角形， PNPA2，BNAM， A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（5，0） ， OA2，OB5， AB3， 线段 AM 长的最大值线段 BN 长的最大值， 当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值（如图 2
45、 中） 最大值AB+AN， ANAP2， 最大值为 2+3； 如图 2，过 P 作 PEx 轴于 E， APN 是等腰直角三角形， PEAE， OEBOABAE532， P（2，） （4）如图 4 中，以 BC 为边作等边三角形BCM， ABDCBM60， ABCDBM，ABDB，BCBM， ABCDBM， ACMD， 欲求 AC 的最大值，只要求出 DM 的最大值即可， BC4定值，BDC90， 点 D 在以 BC 为直径的O 上运动， 由图象可知，当点 D 在 BC 上方，DMBC 时，DM 的值最大，最大值2+2 ， AC 的最大值为 2+2 当点 A 在线段 BD 的右侧时，同法可得 AC 的最小值为 22
