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重庆市北碚区等四区联考2020—2021学年八年级上期末数学试卷(含答案详解)

1、2020-2021 学年重庆市北碚区等四区联考八年级(上)期末数学试卷学年重庆市北碚区等四区联考八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,共小题,共 36 分)分) 1给出下列 4 个说法: 只有正数才有平方根; 2 是 4 的平方根; 平方根等于它本身的数只有 0; 27 的立方根是3其中,正确的有( ) A B C D 2下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( ) Aaba2a(b2a) Bx24x+1x(x4)+1 Cx+1x(1+) D (a+b) (ab)a2b2 3如图,点 O 在直线 AB 上,过 O 作射线 OC,BOC100,一直角三角

2、板的直角顶点与点 O 重合, 边 OM 与 OB 重合,边 ON 在直线 AB 的下方若三角板绕点 O 按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一 周,在旋转的过程中,第 t 秒时,直线 ON 恰好平分锐角AOC,则 t 的值为( ) A5 B4 C5 或 23 D4 或 22 4已知实数 a,b 为ABC 的两边,且满足4b+40,第三边 c,则第三边 c 上的高的值 是( ) A B C D 5希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树,已知在每小时内,5 个女生种 3 棵树,3 个男生种 5 棵树,各班学生人数如图所示,则植树最多的班级是( ) A七(1)班 B七(2)班 C七(3)班 D七

3、(4)班 6下列计算正确的是( ) A2 B2 C2 D2 7若 4x2+kx+25(2x+a)2,则 k+a 的值可以是( ) A25 B15 C15 D20 8如图,长方形 ABCD 中,ADBC6,ABCD10点 E 为射线 DC 上的一个动点,ADE 与AD E 关于直线 AE 对称,当ADB 为直角三角形时,DE 的长为( ) A2 或 8 B或 18 C或 2 D2 或 18 9已知,如图,ABC 是等边三角形,AECD,BQAD 于 Q,BE 交 AD 于点 P,下列说法:APE C,AQBQ,BP2PQ,AE+BDAB,其正确的个数有( )个 A1 B2 C3 D4 10如图,

4、ABC 是等边三角形,AQPQ,PRAB 于点 R,PSAC 于点 S,PRPS,则下列结论: 点 P 在A 的角平分线上; ASAR; QPAR; BRPQSP正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11已知 3a5,3b10,则 3a+2b的值为( ) A50 B50 C500 D500 12如图,在 RtABC 中,ABAC,BAC90,D、E 为 BC 上两点,DAE45,F 为ABC 外 一点, 且 FBBC, FAAE, 则下列结论: CEBF; BD2+CE2DE2; ; CE2+BE2 2AE2,其中正确的是( ) A B C D 二、填空题(本大题共二、填空题

5、(本大题共 6 小题,共小题,共 18 分)分) 13如图,等边ABC 的边长为 2,BD 是高,延长 BC 到点 E,使 CECD,则 DE 的长为 14甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时,甲看错了 a 的值,分解的结果是(x+6) (x2) ,乙看错了 b 的值, 分解的结果为(x8) (x+4) ,那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为 15对于任意实数 a,b,定义关于“”的一种运算如下:ab2ab例如 342342若 xy 2,且 yx4,则 x+y 的值为 16课本第 78 页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题:如图分别以直角三角形 的三条边为边,向形外分

6、别作正三角形,则图中的 S1,S2,S3满足的数量关系是 现将ABF 向上翻折,如图,已知 S甲6,S乙5,S丙4,则ABC 的面积是 17某校为了举办“庆祝建军 90 周年”活动,调查了本校所有学生,调查的结果如图,根据图中给出的信 息,这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 人 18如图,在 RtABC 中,ACB90,AC6,BC8,AD 平分CAB 交 BC 于 D 点,E,F 分别是 AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为 三、计算题(本大题共三、计算题(本大题共 1 小题,共小题,共 6 分)分) 19 (6 分)计算: (1); (2)(2) ; (3); (4) 四、解答题

7、(本大题共四、解答题(本大题共 7 小题,共小题,共 56 分)分) 20已知多项式 Ax2+2x+n2,多项式 B2x2+4x+3n2+3 (1)若多项式 x2+2x+n2是完全平方式,则 n ; (2)已知 xm 时,多项式 x2+2x+n2的值为1,则 xm 时,该多项式的值为多少? (3)判断多项式 A 与 B 的大小关系并说明理由 21如图,AD 是ABC 的高,AD 垂直平分线分别交 AB,AC 于点 E,F (1)求证:BAED (2)若 DE1,求 AB 的长 22如图,在ABC 中,ABAC,点 D 是 BC 的中点,连接 AD,CBE45,BE 分别交 AC,AD 于点 E

8、、F若 AB13,BC10,求 AF 的长度 23 随着互联网的发展, 同学们的学习习惯也有了改变, 一些同学在做题遇到困难时, 喜欢上网查找答案 针 对这个问题,某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为:赞成、无所谓、反对) ,并将调查结果绘制 成图 1 和图 2 两个不完整的统计图 请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了多少名学生? (2)将图 1 补充完整; (3)求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数; (4)根据抽样调查结果,请你估计该校 1500 名学生中有多少名学生持“无所谓”意见 24勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2

9、000 多年以前,人们就开始对它进行研究,至今已有 几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下,请同学们仔细阅读并解答相关 问题: 如图,分别以 RtABC 的三边为边长,向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI (1)连接 BI、CE,求证:ABIAEC; (2)过点 B 作 AC 的垂线,交 AC 于点 M,交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等; 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四边形 (3)由第(2)题可得: 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 的面积,即在 RtABC 中,AB2+BC2 25请阅读下列

10、材料: 我们可以通过以下方法求代数式 x2+6x+5 的最小值 x2+6x+5x2+2x3+3232+5(x+3)24, (x+3)20 当 x3 时,x2+6x+5 有最小值4 请根据上述方法,解答下列问题: ()x2+4x1x2+2x2+22221(x+a)2+b,则 ab 的值是 ; ()求证:无论 x 取何值,代数式 x2+2x+7 的值都是正数; ()若代数式 2x2+kx+7 的最小值为 2,求 k 的值 26 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目: 如图,点 O 为坐标原点,O 的半径为 1,点 A(2,0) 动点 B 在O 上,连结 AB,作等边ABC (A,

11、B,C 为顺时针顺序) ,求 OC 的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索,终于得到解题思路:在图中,连接 OB,以 OB 为边在 OB 的左侧作等边三角形 BOE,连接 AE (1)请你找出图中与 OC 相等的线段,并说明理由; (2)线段 OC 的最大值为 【灵活运用】 (3)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0) ,点 B 的坐标为(5,0) ,点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA2,PMPB,BPM90,求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标 【迁移拓展】 (4)如图,BC4,点 D 是以 BC 为直径的半圆上不同于 B、C 的一个动点,以 BD 为边作

12、等边 ABD,请直接写出 AC 的最值 2020-2021 学年重庆市北碚区等四区联考八年级(上)期末数学试卷学年重庆市北碚区等四区联考八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,共小题,共 36 分)分) 1给出下列 4 个说法: 只有正数才有平方根; 2 是 4 的平方根; 平方根等于它本身的数只有 0; 27 的立方根是3其中,正确的有( ) A B C D 【分析】分别根据平方根与立方根的定义判断即可 【解答】解:只有正数才有平方根,错误,0 的平方根是 0; 2 是 4 的平方根,正确; 平方根等于它本身的数只

13、有 0,正确; 27 的立方根是 3,故原说法错误 所以正确的有 故选:C 2下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( ) Aaba2a(b2a) Bx24x+1x(x4)+1 Cx+1x(1+) D (a+b) (ab)a2b2 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可 【解答】解:A等式由左到右的变形属于分解因式,故本选项符合题意; B等式由左到右的变形不属于分解因式,故本选项不符合题意; C等式由左到右的变形不属于分解因式,故本选项不符合题意; D等式由左到右的变形属于整式乘法,不属于分解因式,故本选项不符合题意; 故选:A 3如图,点 O 在直线 AB 上,过 O 作射线 OC,BOC1

14、00,一直角三角板的直角顶点与点 O 重合, 边 OM 与 OB 重合,边 ON 在直线 AB 的下方若三角板绕点 O 按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一 周,在旋转的过程中,第 t 秒时,直线 ON 恰好平分锐角AOC,则 t 的值为( ) A5 B4 C5 或 23 D4 或 22 【分析】分两种情况进行讨论,分别依据直线 ON 恰好平分锐角AOC,得到三角板旋转的度数,进而 得到 t 的值 【解答】解:BOC100, AOC80, 当直线 ON 恰好平分锐角AOC 时,如下图: BONAOC40, 此时,三角板旋转的角度为 904050, t50105; 当 ON 在AOC 的内部时,

15、如下图: 三角板旋转的角度为 3609040230, t2301023; t 的值为:5 或 23 故选:C 4已知实数 a,b 为ABC 的两边,且满足4b+40,第三边 c,则第三边 c 上的高的值 是( ) A B C D 【分析】根据算术平方根及偶次方的非负性,勾股定理的逆定理及三角形面积进行计算即可 【解答】解:因为, 所以 a10,b20, 解得 a1,b2; 因为 a2+b212+225, , 所以 a2+b2c2, 所以ABC 是直角三角形,C90, 设第三边 c 上的高的值是 h, 则ABC 的面积, 所以 故选:D 5希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树,已知在每小

16、时内,5 个女生种 3 棵树,3 个男生种 5 棵树,各班学生人数如图所示,则植树最多的班级是( ) A七(1)班 B七(2)班 C七(3)班 D七(4)班 【分析】根据题意分别计算出各班植树的数目,于是得到结论 【解答】解:七(1)班共植树:22+1843.2(棵) , 七(2)班共植树:18+20(棵) , 七(3)班共植树:13+22(棵) , 七(4)班共植树:15+2144(棵) , 4443.2, 植树最多的班级是七(3)班, 故选:C 6下列计算正确的是( ) A2 B2 C2 D2 【分析】根据|a|进行计算即可 【解答】解:A、2,故原题计算正确; B、2,故原题计算错误;

17、C、4,故原题计算错误; D、4,故原题计算错误; 故选:A 7若 4x2+kx+25(2x+a)2,则 k+a 的值可以是( ) A25 B15 C15 D20 【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案 【解答】解:4x2+kx+25(2x+a)2, 当 a5 时,k20, 当 a5 时,k20, 故 k+a 的值可以是:25 故选:A 8如图,长方形 ABCD 中,ADBC6,ABCD10点 E 为射线 DC 上的一个动点,ADE 与AD E 关于直线 AE 对称,当ADB 为直角三角形时,DE 的长为( ) A2 或 8 B或 18 C或 2 D2 或 18 【分析】分两种情况:当

18、E 点在线段 DC 上时,当 E 点在线段 DC 的延长线上时,利用全等三角形 的判定和性质得出答案即可 【解答】解:分两种情况讨论: 当 E 点在线段 DC 上时, ADEADE, ADED90, ADB90, ADB+ADE180, B、D、E 三点共线, ,ADAD, BEAB10, , DEDE1082; 当 E 点在线段 DC 的延长线上时,如下图, ABD+CBEABD+BAD90, CBEBAD, 在ABD和BEC 中, , ABDBEC(ASA) , BEAB10, , DEDEBD+BE8+1018 综上所知,DE2 或 18 故选:D 9已知,如图,ABC 是等边三角形,A

19、ECD,BQAD 于 Q,BE 交 AD 于点 P,下列说法:APE C,AQBQ,BP2PQ,AE+BDAB,其正确的个数有( )个 A1 B2 C3 D4 【分析】根据等边三角形的性质可得 ABAC,BAEC60,再利用“边角边”证明ABE 和 CAD 全等, 【解答】证明:ABC 是等边三角形, ABAC,BAEC60, 在ABE 和CAD 中, , ABECAD(SAS) , 12, BPQ2+31+3BAC60, APEC60,故正确 BQAD, PBQ90BPQ906030, BP2PQ故正确, ACBCAEDC, BDCE, AE+BDAE+ECACAB,故正确, 无法判断 BQ

20、AQ,故错误, 故选:C 10如图,ABC 是等边三角形,AQPQ,PRAB 于点 R,PSAC 于点 S,PRPS,则下列结论: 点 P 在A 的角平分线上; ASAR; QPAR; BRPQSP正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得 AP 平分BAC,从而判断出正确,然 后根据等边对等角的性质可得APQPAQ,然后得到APQPAR,然后根据内错角相等两直线平 行可得 QPAB,从而判断出正确,然后证明出APR 与APS 全等,根据全等三角形对应边相等即 可得到正确,由BPRCPS,BRPQSP,即可得到正确 【解答】解

21、:ABC 是等边三角形,PRAB,PSAC,且 PRPS, P 在A 的平分线上,故正确; 由可知,PBPC,BC,PSPR, BPRCPS, ASAR,故正确; AQPQ, PQC2PAC60BAC, PQAR,故正确; 由得,PQC 是等边三角形, PQSPCS, 又由可知,BRPQSP,故也正确, 都正确, 故选:D 11已知 3a5,3b10,则 3a+2b的值为( ) A50 B50 C500 D500 【分析】根据同底数幂的乘法的性质的逆用,先整理成已知条件的形式,然后代入数据计算即可 【解答】解:3a5,3b10, 3a+2b3a (3b)25100500 故选:C 12如图,在

22、 RtABC 中,ABAC,BAC90,D、E 为 BC 上两点,DAE45,F 为ABC 外 一点, 且 FBBC, FAAE, 则下列结论: CEBF; BD2+CE2DE2; ; CE2+BE2 2AE2,其中正确的是( ) A B C D 【分析】根据等腰直角三角形的性质,判断出AFBAEC,即可得出 CEBF,根据勾股定理与等量 代换可得正确,根据在等腰三角形中,角平分线与中线为一条直线即可得出,再根据勾股定理以及 等量代换即可得出 【解答】解:BAC90,FAAE,DAE45, CAE90DAEBAD45BAD, FAB90DAEBAD45BAD, FABEAC, ABAC,BAC

23、90, ABCACB45, FBBC, FBA45, AFBAEC, CEBF,故正确, :由中证明AFBAEC, AFAE, DAE45,FAAE, FADDAE45, AFDAED, 连接 FD, FBCE, FB2+BD2FD2DE2,故正确, :如图,设 AD 与 EF 的交点为 G, FADEAD45,AFAE, ADEF,EF2EG, SADEADEG, 故正确, :FB2+BE2EF2,CEBF, CE2+BE2EF2, 在 RTAEF 中,AFAE, AF2+AE2EF2, EF22AE2, CE2+BE22AE2,故正确 故选:A 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6

24、 小题,共小题,共 18 分)分) 13如图,等边ABC 的边长为 2,BD 是高,延长 BC 到点 E,使 CECD,则 DE 的长为 【分析】先根据等边三角形的性质和锐角三角函数(或勾股定理)求出 BD 的长,再判断出BDE 是等 腰三角形即可 【解答】解:ABC 是边长为 2 的等边三角形,BD 是 AC 边上的高, ACB60,BDAC,BD 平分ABC,DBEABC30, BDBCsin602, CDCE, CDEE ACB60,且ACB 为CDE 的外角, CDE+E60, CDEE30, DBEDEB30, BDDE 故答案为: 14甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时,甲看

25、错了 a 的值,分解的结果是(x+6) (x2) ,乙看错了 b 的值, 分解的结果为(x8) (x+4) ,那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为 (x6) (x+2) 【分析】根据甲、乙看错的情况下得出 a、b 的值,进而再利用十字相乘法分解因式即可 【解答】解:因式分解 x2+ax+b 时, 甲看错了 a 的值,分解的结果是(x+6) (x2) , b6(2)12, 又乙看错了 b 的值,分解的结果为(x8) (x+4) , a8+44, 原二次三项式为 x24x12, 因此,x24x12(x6) (x+2) , 故答案为: (x6) (x+2) 15对于任意实数 a,b,定义关于“

26、”的一种运算如下:ab2ab例如 342342若 xy 2,且 yx4,则 x+y 的值为 6 【分析】利用题中的新定义化简已知等式列出方程组,求出方程组的解即可求出所求 【解答】解:根据题中的新定义得:, +得:x+y6 故答案为:6 16课本第 78 页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题:如图分别以直角三角形 的三条边为边,向形外分别作正三角形,则图中的 S1,S2,S3满足的数量关系是 S1+S2S3 现将 ABF 向上翻折,如图,已知 S甲6,S乙5,S丙4,则ABC 的面积是 7 【分析】由勾股定理得出 AC2+BC2AB2,由等边三角形的面积公式得出 S1AC2,S

27、2BC2,S3 AB2,得出 S1+S2S3;设ABC 的面积为 S,图中 2 个白色图形的面积分别为 a、b,由 S1+S2 S3,得出 S甲+a+S乙+bS丙+a+b+S,得出 S甲+S乙S丙+S,即可得出答案 【解答】解:ACB90, AC2+BC2AB2, ACE、BCD、ABF 是等边三角形, S1AC2,S2BC2,S3AB2,S1+S2(AC2+BC2)AB2S3, 即 S1+S2S3; 设ABC 的面积为 S,图中 2 个白色图形的面积分别为 a、b,如图所示: S1+S2S3, S甲+a+S乙+bS丙+a+b+S, S甲+S乙S丙+S, SS甲+S乙S丙6+547; 故答案为

28、:S1+S2S3;7 17某校为了举办“庆祝建军 90 周年”活动,调查了本校所有学生,调查的结果如图,根据图中给出的信 息,这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 90 人 【分析】根据题意和统计图中的数据,可以计算出本次调查的人数,然后再根据扇形统计图中的数据, 即可计算出这所学校赞成举办演讲比赛的学生人数 【解答】解:由题意可得, 本次调查的人数为:16040%400, 则这所学校赞成举办演讲比赛的学生有:400(140%37.5%)40022.5%90(人) , 故答案为:90 18如图,在 RtABC 中,ACB90,AC6,BC8,AD 平分CAB 交 BC 于 D 点,E,F 分别是

29、AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为 【分析】如图所示:在 AB 上取点 F,使 AFAF,过点 C 作 CHAB,垂足为 H因为 EF+CE EF+EC,推出当 C、E、F共线,且点 F与 H 重合时,FE+EC 的值最小 【解答】解:如图所示:在 AB 上取点 F,使 AFAF,过点 C 作 CHAB,垂足为 H 在 RtABC 中,依据勾股定理可知 BA10 CH, EF+CEEF+EC, 当 C、E、F共线,且点 F与 H 重合时,FE+EC 的值最小,最小值为, 故答案为: 三、计算题(本大题共三、计算题(本大题共 1 小题,共小题,共 6 分)分) 19 (6 分)计算

30、: (1); (2)(2) ; (3); (4) 【分析】 (1)把分母相同的结合在一起,然后进行有理数的加减法运算; (2)先计算开方和乘方,然后计算乘除和加减; (3)先计算乘方,后计算乘除,最后计算加减; (4)先计算乘法,然后计算加减即可 【解答】解: (1)原式 3; (2)原式316(2) 3+8 11; (3)原式 1080 90; (4)原式 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 7 小题,共小题,共 56 分)分) 20已知多项式 Ax2+2x+n2,多项式 B2x2+4x+3n2+3 (1)若多项式 x2+2x+n2是完全平方式,则 n 1 或1 ; (2)已知 xm

31、时,多项式 x2+2x+n2的值为1,则 xm 时,该多项式的值为多少? (3)判断多项式 A 与 B 的大小关系并说明理由 【分析】 (1)根据完全平方式的定义计算即可; (2)根据题意可得(m+1)2+n20,再根据实数的非负性解答即可; (3)可得 BA(x1)2+2n2+2,再根据实数的非负性解答即可 【解答】解: (1)x2+2x+n2是一个完全平方式, n21, n1 故答案为:1 或1; (2)当 nm 时 m2+2m+n21, m2+2m+1+n20, (m+1)2+n20, (m+1)20,n20, xm1,n0, xm 时,多项式 x2+2x+n2的值为 m22m+n23;

32、 (3)BA 理由如下:BA2x2+4x+3n2+3(x2+2x+n2)x22x+2n2+3(x+1)2+2n2+2, (x+1)20,2n20, (x+1)2+2n2+20, BA 21如图,AD 是ABC 的高,AD 垂直平分线分别交 AB,AC 于点 E,F (1)求证:BAED (2)若 DE1,求 AB 的长 【分析】 (1)根据线段垂直平分线的性质得到 EAED,根据等腰三角形的性质得到AEHDEH, 根据平行线的性质证明结论; (2)根据 EFBC,AEDE,BAED,可得出 BEDE,得到 AB2BE2DE2 【解答】 (1)证明:EF 是 AD 的垂直平分线, EAED, E

33、HAD, AEHDEH, EFAD,BCAD, EFBC, AEHB, BAED; (2)解:由(1)得:EFBC, HEDEDB, AEHHED,AEHB, BEDB, BEDE, AB2BE2DE212 22如图,在ABC 中,ABAC,点 D 是 BC 的中点,连接 AD,CBE45,BE 分别交 AC,AD 于点 E、F若 AB13,BC10,求 AF 的长度 【分析】根据点 D 是 BC 的中点得到 BD5,由勾股定理计算可得 AD 的长,由等腰直角三角形性质得 DF5,最后由线段的差可得结论 【解答】解:ABAC,ADBC, BDCD, BC10, BD5, 在 RtABD 中,A

34、B13, , 在 RtBDF 中,CBE45, BDF 是等腰直角三角形, DFBD5, AFADDF1257 23 随着互联网的发展, 同学们的学习习惯也有了改变, 一些同学在做题遇到困难时, 喜欢上网查找答案 针 对这个问题,某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为:赞成、无所谓、反对) ,并将调查结果绘制 成图 1 和图 2 两个不完整的统计图 请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了多少名学生? (2)将图 1 补充完整; (3)求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数; (4)根据抽样调查结果,请你估计该校 1500 名学生中有多少名学生

35、持“无所谓”意见 【分析】 (1)根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中,共调查了多少名学生; (2)根据(1)中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数,从而可以将条形统计图补充完整; (3)根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数; (4)根据统计图中的数据可以估计该校 1500 名学生中有多少名学生持“无所谓”意见 【解答】解: (1)13065%200, 答:此次抽样调查中,共调查了 200 名学生; (2)反对的人数为:2001305020, 补全的条形统计图如右图所示; (3)扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是:360

36、36; (4)1500375, 答:该校 1500 名学生中有 375 名学生持“无所谓”意见 24勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前,人们就开始对它进行研究,至今已有 几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下,请同学们仔细阅读并解答相关 问题: 如图,分别以 RtABC 的三边为边长,向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHI (1)连接 BI、CE,求证:ABIAEC; (2)过点 B 作 AC 的垂线,交 AC 于点 M,交 IH 于点 N 试说明四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等; 请直接写出图中与正方形 BCFG 的面积相等的四

37、边形 (3)由第(2)题可得: 正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积 正方形 ACHI 的面积,即在 RtABC 中,AB2+BC2 AC2 【分析】 (1)由正方形的性质得出 ABAE,ACAI,BAECAI90,得出EACBAI,即 可得出ABIAEC(SAS) ; (2)证 BMAI,得出四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积,同理:正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积,由ABIAEC,即可得出四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 易证CPHABC(AAS) ,四边形 CMNH 是矩形,得 PHBC,由BCH 的面积CHNH BCPH,得 CHNHBC2,

38、即可得出结论; (3)由(2)得即可得出答案 【解答】 (1)证明:四边形 ABDE、四边形 ACHI 是正方形, ABAE,ACAI,BAECAI90, EACBAI, 在ABI 和AEC 中, ABIAEC(SAS) ; (2)证明:BMAC,AIAC, BMAI, 四边形 AMNI 的面积2ABI 的面积, 同理:正方形 ABDE 的面积2AEC 的面积, 又ABIAEC, 四边形 AMNI 与正方形 ABDE 的面积相等 解:四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等,理由如下: 连接 BH,过 H 作 HPBC 于 P,如图所示: 易证CPHABC(AAS) ,四边形 CMNH

39、 是矩形, PHBC, BCH 的面积CHNHBCPH, CHNHBC2, 四边形 CMNH 与正方形 BCFG 的面积相等; (3)解:由(2)得:正方形 ABDE 的面积+正方形 BCFG 的面积正方形 ACHI 的面积; 即在 RtABC 中,AB2+BC2AC2; 故答案为:正方形 ACHI,AC2 25请阅读下列材料: 我们可以通过以下方法求代数式 x2+6x+5 的最小值 x2+6x+5x2+2x3+3232+5(x+3)24, (x+3)20 当 x3 时,x2+6x+5 有最小值4 请根据上述方法,解答下列问题: ()x2+4x1x2+2x2+22221(x+a)2+b,则 a

40、b 的值是 10 ; ()求证:无论 x 取何值,代数式 x2+2x+7 的值都是正数; ()若代数式 2x2+kx+7 的最小值为 2,求 k 的值 【分析】 ()根据配方的过程求得 a、b 的值代入求值即可; ()先利用完全平方公式配方,再根据偶次方非负数的性质列式求解; ()先利用完全平方公式配方,再根据偶次方非负数的性质列式求解 【解答】解: ()x2+4x1x2+2x2+22221(x+2)25(x+a)2+b, a2,b5, ab2(5)10 故答案是:10; ()证明:x2+2x+7x2+2x+()2()2+7(x+)2+1 (x+)20, x2+2x+7 的最小值是 1, 无论

41、 x 取何值,代数式 x2+2x+7 的值都是正数; ()2x2+kx+7(x)2+2xk+(k)2(k)2+7(x+k)2k2+7 (x+k)20, (x+k)2k2+7 的最小值是k2+7, k2+72, 解得 k2 26 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目: 如图,点 O 为坐标原点,O 的半径为 1,点 A(2,0) 动点 B 在O 上,连结 AB,作等边ABC (A,B,C 为顺时针顺序) ,求 OC 的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索,终于得到解题思路:在图中,连接 OB,以 OB 为边在 OB 的左侧作等边三角形 BOE,连接 AE (1)请你找出

42、图中与 OC 相等的线段,并说明理由; (2)线段 OC 的最大值为 3 【灵活运用】 (3)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0) ,点 B 的坐标为(5,0) ,点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA2,PMPB,BPM90,求线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标 【迁移拓展】 (4)如图,BC4,点 D 是以 BC 为直径的半圆上不同于 B、C 的一个动点,以 BD 为边作等边 ABD,请直接写出 AC 的最值 【分析】 (1)结论:OCAE只要证明CBOABE 即可; (2)利用三角形的三边关系即可解决问题; (3)连接 BM,将APM 绕着点 P 顺时针旋转 9

43、0得到PBN,连接 AN,得到APN 是等腰直角三角 形,根据全等三角形的性质得到 PNPA2,BNAM,根据当 N 在线段 BA 的延长线时,线段 BN 取得 最大值, 即可得到最大值为 2+3; 过 P 作 PEx 轴于 E, 根据等腰直角三角形的性质, 即可得到结论; (4)如图 4 中,以 BC 为边作等边三角形BCM,由ABCDBM,推出 ACMD,推出欲求 AC 的 最大值,只要求出 DM 的最大值即可,由 BC4定值,BDC90,推出点 D 在以 BC 为直径的 O 上运动,由图象可知,当点 D 在 BC 上方,DMBC 时,DM 的值最大; 【解答】解: (1)如图中,结论:O

44、CAE, 理由:ABC,BOE 都是等边三角形, BCBA,BOBE,CBAOBE60, CBOABE, CBOABE, OCAE (2)在AOE 中,AEOE+OA, 当 E、O、A 共线, AE 的最大值为 3, OC 的最大值为 3 故答案为 3 (3)如图 1,连接 BM, 将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN,连接 AN,则APN 是等腰直角三角形, PNPA2,BNAM, A 的坐标为(2,0) ,点 B 的坐标为(5,0) , OA2,OB5, AB3, 线段 AM 长的最大值线段 BN 长的最大值, 当 N 在线段 BA 的延长线时,线段 BN 取得最大值(如图 2

45、 中) 最大值AB+AN, ANAP2, 最大值为 2+3; 如图 2,过 P 作 PEx 轴于 E, APN 是等腰直角三角形, PEAE, OEBOABAE532, P(2,) (4)如图 4 中,以 BC 为边作等边三角形BCM, ABDCBM60, ABCDBM,ABDB,BCBM, ABCDBM, ACMD, 欲求 AC 的最大值,只要求出 DM 的最大值即可, BC4定值,BDC90, 点 D 在以 BC 为直径的O 上运动, 由图象可知,当点 D 在 BC 上方,DMBC 时,DM 的值最大,最大值2+2 , AC 的最大值为 2+2 当点 A 在线段 BD 的右侧时,同法可得 AC 的最小值为 22