1、2020-2021 学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级(上)期中数学试卷学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级(上)期中数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每题小题,每题 3 分,共分,共 30 分)分) 1在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( ) A B C D 2下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ) A4,6,8 B6,8,10 C6,9,10 D5,11,13 3已知等腰三角形的一边长为 3,周长为 12,那么它的腰长为( ) A4.5 B6 C4.5 或 6 D不能确定 4下列说法中,正确的是( ) A形状相同的两个三角形全等 B线段不是轴
2、对称图形 C等腰三角形的底角必小于 90 D周长相等的两个三角形全等 5 “三角形具有稳定性”这个事实说明了( ) ASAS BASA CAAS DSSS 6如图,ABC 中,B90,边 AC 的垂直平分 ED,交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,已知C36, 则BAE 的度数为( ) A16 B17 C18 D19 7如图,ACBACB,ACB70,ACB100,则BCA的度数为( ) A30 B35 C40 D50 8如图, “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形,若小正方形的边长为 3, 大正方形边长为 15,则一个直角三角形的周长是( ) A45 B36 C
3、25 D18 9如图,RtACB 中,ACB90,ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P,过 P 作 PFAD 交 BC 的 延长线于点 F,交 AC 于点 H,则下列结论:APB135;BFBA;PHPD;连接 CP, CP 平分ACB,其中正确的是( ) A B C D 10ABC 中,BC10,ACAB4过 C 作BAC 的角平分线的垂线,垂足为 D,连结 BD,CD,则 S BDC的最大值为( ) A10 B15 C12 D14 二、填空题(共二、填空题(共 8 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 16 分)分) 11如图,AD,12,要得到ABCDEF,添加一个条件可以
4、是 12如图,在边长为 1 的正方形网格中,两格点 A,B 之间的距离为 d 3 (填“” , “”或“” ) 13如图,AD、BE 是等边ABC 的两条高线,AD、BE 交于点 O,则AOB 度 14如图,在ABC 中,C90,AB26cm,BC 的垂直平分线交 AB 于点 D,则点 C 与点 D 的距离是 cm 15古代数学的“折竹抵地”问题: “今有竹高九尺,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”意思是:现 有竹子高 9 尺,折后竹尖抵地与竹子底部的距离为 3 尺,问折处高几尺?若设 ACx 尺,则可列方程 为 16如图,正方形 ABCD 中,ABC90,ABBC,AEEB 于 E,CFB
5、F 于 F,AE5,CF7,则 AF 的长为 17如图,已知MON 是一个锐角,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OM、ON 于点 A、B,再 分别以点 A、B 为圆心,大于AB 长为半径画弧,两弧交于点 C,画射线 OC过点 A 作 ADON,交 射线 OC 于点 D,过点 D 作 DEOC,交 ON 于点 E设 OA10,DE12,则 OD 18如图,RtABC 中,A90,AC12,AB9,DEAC,CDBC,CEAC,P 是直线 AC 上一点,把CDP 沿 DP 所在的直线翻折后,点 C 落在直线 DE 上的点 H 处,CP 的长是 三、解答题(共三、解答题(共 8 小题,共
6、小题,共 54 分)分) 19如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,ABAC,BC,求证:BDCE 20如图,在ABC 中,AC20,AD16,CD12,BC15,求 AB 的长 21如图,在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,ABC 的三个顶点 A、B、C 都在格点 上 (1)在图 1 中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的A1B1C1; (2)在图 2 中画出ABC 的角平分线; (3)在正方形网格中存在 个格点,使得该格点与 A、C 两点构成以 AC 为腰的等腰三角形 22如图,在ABC 中,边 AB 的垂直平分线 OM 与边 AC 的垂直平分线 ON 交于
7、点 O,这两条垂直平分线 分别交 BC 于点 D、E (1)若ABC30,ACB40,求DAE 的度数; (2)已知ADE 的周长 7cm,分别连接 OA、OB、OC,若OBC 的周长为 15cm,求 OA 的长 23 (1)如图 1,在ABC 中,BAC90,ABAC,点 D 在 BC 上,且 BDBA,点 E 在 BC 的延长 线上且 CECA,试求DAE 的度数; (2)如图 2,如果把第(1)题中“ABAC”的条件去掉,其余条件不变,那么DAE 的度数会改变吗? 说明理由 24在小学,我们已经初步了解到,长方形的对边平行且相等,每个角都是 90如图,长方形 ABCD 中, AD9cm,
8、AB4cm,E 为边 AD 上一动点,从点 D 出发,以 1cm/s 向终点 A 运动,同时动点 P 从点 B 出发,以 acm/s 向终点 C 运动,运动的时间为 ts (1)当 t3 时,求线段 CE 的长; (2)若 a1,当CEP 是以 C 为顶点的等腰三角形时,求 t 的值; (3)连接 DP,当点 C 与点 E 关于 DP 对称时,直接写出 t 与 a 的值 25阅读理解: 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1,利用此图,可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考,不难发现: 大正方形的面积小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式
9、: ; (用含字母 a、b、c 的式子表示) 化简证得勾股定理:a2+b2c2 【初步运用】 (1)如图 1,若 b2a,则小正方形面积:大正方形面积 ; (2) 现将图 1 中上方的两直角三角形向内折叠, 如图 2, 若 a4, b6 此时空白部分的面积为 ; 【迁移运用】 如果用三张含 60的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢?带着这个疑问,小丽拼出图 3 的等边 三角形,你能否仿照勾股定理的验证,发现含 60的三角形三边 a、b、c 之间的关系,写出此等量关系 式及其推导过程 知识补充:如图 4,含 60的直角三角形,对边 y:斜边 x定值 k 26已知,如图 1,线段 AB10,点
10、 C 为线段 AB 上一点,DCAC,DCAC2,点 E 从点 C 开始,以 1cm/s 的速度向点 B 运动, 点 E 的运动过程中, DEF 始终为等腰直角三角形, EDF90, DEDF, 若点 E 运动的时间为 t 秒 (1)若 t4 时,点 F 的运动路程为 (2)如图 2,过点 A 作直线 lAB,取 EF 的中点 M,直线 CM 与直线 l 相交于点 N,则 AN 的长是否为 定 值 ? 若 为 定 值 , 请 求 出 这 个 定 值 , 若 不 是 , 请 用t的 代 数 式 表 示 2020-2021 学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级(上)期中数学试卷学年江苏省无锡市江阴市
11、澄江片八年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、是轴对称图形,故本选项正确; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项错误 故选:B 2下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ) A4,6,8 B6,8,10 C6,9,10 D5,11,13 【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角
12、形 【解答】解:A、42+625282,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; B、62+82102,能构成直角三角形,故本选项符合题意; C、62+92102,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; D、52+112146132,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; 故选:B 3已知等腰三角形的一边长为 3,周长为 12,那么它的腰长为( ) A4.5 B6 C4.5 或 6 D不能确定 【分析】分 3 是腰长与底边两种,根据等腰三角形两腰相等列式求解即可 【解答】解:3 是腰长时,三边分别为 3、3、6,不能组成三角形; 3 是底边时,腰长为(123)4.5,三边分别为 4.5、4
13、.5、3,能组成三角形 综上所述,腰长为 4.5 故选:A 4下列说法中,正确的是( ) A形状相同的两个三角形全等 B线段不是轴对称图形 C等腰三角形的底角必小于 90 D周长相等的两个三角形全等 【分析】分别根据全等三角形的定义与判定,对称轴图形的定义,等腰三角形的性质以及三角形的内角 和定理逐一判断即可 【解答】解:A、形状相同的两个三角形不一定全等,故本选项不合题意; B、线段是轴对称图形,故本选项不合题意; C、等腰三角形的底角必小于 90,说法正确,故本选项符合题意; D、周长相等的两个三角形不一定全等,故本选项不合题意 故选:C 5 “三角形具有稳定性”这个事实说明了( ) AS
14、AS BASA CAAS DSSS 【分析】 当三角形三边的长度确定后, 三角形的形状和大小就能唯一确定下来, 故三角形具有稳定性 这 一特性主要应用在实际生活中 【解答】解:当三角形三边的长度确定后,三角形的形状和大小就能唯一确定下来,故三角形具有稳定 性观察选项,只有选项 D 符合题意 故选:D 6如图,ABC 中,B90,边 AC 的垂直平分 ED,交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,已知C36, 则BAE 的度数为( ) A16 B17 C18 D19 【分析】根据三角形内角和定理求出BAC,根据线段垂直平分线的性质得到 EAEC,得到EAC C36,结合图形计算,得到答案 【解答
15、】解:在 RtABC 中,B90,C36, BAC903654, DE 是线段 AC 的垂直平分线, EAEC, EACC36, BAEBACCAE18, 故选:C 7如图,ACBACB,ACB70,ACB100,则BCA的度数为( ) A30 B35 C40 D50 【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论 【解答】解:ACBACB, ACBACB70, ACB100, BCBACBACB30, BCAACBBCB40, 故选:C 8如图, “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形,若小正方形的边长为 3, 大正方形边长为 15,则一个直角三角形的周长是( )
16、 A45 B36 C25 D18 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为 a 和 b,根据大正方形的面积等于 4 个直角三角形的面积加 上小正方形的面积可得,2ab216,再根据完全平方公式求出 a+b 的值,进而可得一个直角三角形的周 长 【解答】解:设直角三角形两条直角边长分别为 a 和 b, 由题意可知:中间小正方形的边长为:ab3, 根据大正方形的面积等于 4 个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知: 2254ab+9, 所以 2ab216, 根据勾股定理,得 a2+b2152, 所以(a+b)2a2+b2+2ab225+216441, 因为 a+b0, 所以 a+b21, 所以 2
17、1+1536 所以一个直角三角形的周长是 36 故选:B 9如图,RtACB 中,ACB90,ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P,过 P 作 PFAD 交 BC 的 延长线于点 F,交 AC 于点 H,则下列结论:APB135;BFBA;PHPD;连接 CP, CP 平分ACB,其中正确的是( ) A B C D 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断;根据全等三角形的判定和性质判断;根 据角平分线的判定与性质判断 【解答】解:在ABC 中,ACB90, BAC+ABC90, 又AD、BE 分别平分BAC、ABC, BAD+ABE(BAC+ABC)45, APB135,故正
18、确 BPD45, 又PFAD, FPB90+45135, APBFPB, 又ABPFBP,BPBP, ABPFBP, BAPBFP,ABFB,PAPF,故正确 在APH 和FPD 中, APHFPD90,PAHBAPBFP,PAPF, APHFPD, PHPD,故正确 ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P, 点 P 到 AB、AC 的距离相等,点 P 到 AB、BC 的距离相等, 点 P 到 BC、AC 的距离相等, 点 P 在ACB 的平分线上, CP 平分ACB,故正确 故选:D 10ABC 中,BC10,ACAB4过 C 作BAC 的角平分线的垂线,垂足为 D,连结 BD,CD,
19、则 S BDC的最大值为( ) A10 B15 C12 D14 【分析】延长 AB,CD 交点于 E,可证ADEADC(ASA) ,得出 ACAE,DECD,则 SBDC SBCE,当 BEBC 时,SBEC最大面积为 20,即 SBDC最大面积为 10 【解答】解:如图:延长 AB,CD 交点于 E, AD 平分BAC, CADEAD, CDAD, ADCADE90, 在ADE 和ADC 中, , ADEADC(ASA) , ACAE,DECD; ACAB4, AEAB4,即 BE4; DEDC, SBDCSBEC, 当 BEBC 时,SBDC面积最大, 即 SBDC最大面积10410 故选
20、:A 二填空题(共二填空题(共 8 小题)小题) 11 如图, AD, 12, 要得到ABCDEF, 添加一个条件可以是 DFAC 或 CDAF 【分析】根据 ASA 即可解决问题 【解答】解:12,DA, 要得到ABCDEF,必须添加条件 DFAC 或 CDAF 故答案为:DFAC 或 CDAF 12如图,在边长为 1 的正方形网格中,两格点 A,B 之间的距离为 d 3 (填“” , “”或“” ) 【分析】根据勾股定理求出 AB,根据实数的大小比较法则比较,得到答案 【解答】解:由勾股定理得,AB2, , 23, 故答案为: 13如图,AD、BE 是等边ABC 的两条高线,AD、BE 交
21、于点 O,则AOB 120 度 【分析】根据等边三角形的性质得出 ABACBC,CABABC60,根据“三线合一”得出 BADBAC30,ABEABC30,再根据三角形内角和定理求出即可 【解答】解:ABC 是等边三角形, ABACBC,CABABC60, AD、BE 是等边ABC 的两条高线, BADBAC30,ABEABC30, AOB180BADABE1803030120, 故答案为:120 14如图,在ABC 中,C90,AB26cm,BC 的垂直平分线交 AB 于点 D,则点 C 与点 D 的距离是 13 cm 【分析】连接 CD,根据线段垂直平分线的性质得到 DCDB,得到DCBB
22、,根据直角三角形的性 质、等腰三角形的性质解答即可 【解答】解:连接 CD, BC 的垂直平分线交 AB 于点 D, DCDB, DCBB, B+A90,DCA+DCB90, ADCA, DCDA, CDAB13(cm) , 故答案为:13 15古代数学的“折竹抵地”问题: “今有竹高九尺,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”意思是:现 有竹子高 9 尺,折后竹尖抵地与竹子底部的距离为 3 尺,问折处高几尺?若设 ACx 尺,则可列方程为 x2+32(9x)2 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面 x 尺,则斜边为(9x)尺,利用勾 股定理解题即可 【解答】解:设竹子折断
23、处离地面 ACx 尺,折后竹尖抵地与竹子底部的距离为 BC3 尺,则斜边为 AB(9x)尺, 根据勾股定理得:AC2+BC2AB2, 即 x2+32(9x)2, 故答案为:x2+32(9x)2 16如图,正方形 ABCD 中,ABC90,ABBC,AEEB 于 E,CFBF 于 F,AE5,CF7,则 AF 的长为 13 【分析】依据正方形的性质以及垂线的定义,即可得到ABEBCF,进而得出 BFAE5,CFBE 7,再根据勾股定理进行计算,即可得到 AF 的长 【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, ABBC,ABC90, 又AEEB 于 E,CFBF 于 F, AEBBFC90, ABE
24、+BAEABE+CBF90, BAECBF, ABEBCF(AAS) , BFAE5,CFBE7, EFBE+BF7+512, 在 RtAEF 中,AF13, 故答案为:13 17如图,已知MON 是一个锐角,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OM、ON 于点 A、B,再 分别以点 A、B 为圆心,大于AB 长为半径画弧,两弧交于点 C,画射线 OC过点 A 作 ADON,交 射线 OC 于点 D,过点 D 作 DEOC,交 ON 于点 E设 OA10,DE12,则 OD 16 【分析】连接 AB,首先证明 ABOD,推出 ABDE,推出四边形 ABED 是平行四边形,再证明 OA
25、ADOBBE10,利用勾股定理求解即可 【解答】解:连接 AB 由作图可知,OAOB,OD 平分AOB, ODAB, DEOD, ABDE, ADBE, 四边形 ABED 是平行四边形, ADBE, ADOE, ADODOE, OD 平分AOB, AODDOEADO, ADOAOBBE10, OE20, ODE90, OD16 故答案为 16 18如图,RtABC 中,A90,AC12,AB9,DEAC,CDBC,CEAC,P 是直线 AC 上一点,把CDP 沿 DP 所在的直线翻折后,点 C 落在直线 DE 上的点 H 处,CP 的长是 10 或 【分析】分两种情况:当 P 点在 E 点左边
26、时;当 P 点在 E 点右边时分别画出图形,利用折叠性质和勾 股定理解答便可 【解答】解:当 P 点在 E 点左边时,如图 1, 由折叠性质得 PCPH,DCDH, BAC90,AC12,AB9, BC15, CDBC,CEAC, CD5,CE4, DEAC, DE3, DHCD5, EHED+DH8, 设 PCx,则 PHx,PEx4, PH2PE2EH2, x2(x4)264, 解得,x10, 即 CP10; 当 P 点在 E 点右边时,如图 2, 由折叠知,DHDC5, EHDHDE532, 设 PCx,则 PECEPC4x,PHx, PH2PE2EH2, x2(4x)24, 解得,x,
27、 即 PC; 综上,PC10 或 故答案为:10 或 三解答题三解答题 19如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,ABAC,BC,求证:BDCE 【分析】要证 BDCE 只要证明 ADAE 即可,而证明ABEACD,则可得 ADAE 【解答】证明:在ABE 与ACD 中 , ABEACD(ASA) ADAE BDCE 20如图,在ABC 中,AC20,AD16,CD12,BC15,求 AB 的长 【分析】在直角ACD 中利用勾股定理得出 CD 的长,在直角BCD 中利用勾股定理求得 BD,再根据 线段的和差关系求得 AB 的长 【解答】解:AC20,AD16,CD12, CD2+A
28、D2AC2, ADC90, 在直角BCD 中,BC15,CD12, BD9, ABAD+BD25 21如图,在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,ABC 的三个顶点 A、B、C 都在格点 上 (1)在图 1 中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的A1B1C1; (2)在图 2 中画出ABC 的角平分线; (3)在正方形网格中存在 8 个格点,使得该格点与 A、C 两点构成以 AC 为腰的等腰三角形 【分析】 (1)分别作出 A,B,C 的对应点 A1,B1,C1即可 (2)取格点 G,H,R,连接 AR,GH,交于点 P,作射线 BP,射线 BP 即为所求 (3)画出满足条件
29、的点即可判断 【解答】解: (1)如图 1 中,A1B1C1即为所求 (2)如图 2 中,射线 BP 即为所求 (3)如图 2 中,使得该格点与 A、C 两点构成以 AC 为腰的等腰三角形的格点有 8 个, 故答案为:8 22如图,在ABC 中,边 AB 的垂直平分线 OM 与边 AC 的垂直平分线 ON 交于点 O,这两条垂直平分线 分别交 BC 于点 D、E (1)若ABC30,ACB40,求DAE 的度数; (2)已知ADE 的周长 7cm,分别连接 OA、OB、OC,若OBC 的周长为 15cm,求 OA 的长 【分析】 (1)求出BAC110,根据线段垂直平分线的性质得到 DADB,
30、EAEC,可求出答案; (2)连接 OA,OB,OC,根据三角形的周长公式求出 OB+OC,根据线段垂直平分线的性质得到 OB OC,计算即可 【解答】解: (1)ABC30,ACB40, BAC180ABCACB1803040110, DM 是线段 AB 的垂直平分线, DADB, DABABC30, 同理,EAEC, EACACB40, DAEBACBADEAC110304040; (2)连接 OA,OB,OC, ADE 的周长 7cm AD+DE+EA7(cm) , BCDB+DE+ECAD+DE+EA7(cm) ; OBC 的周长为 15, OB+OC+BC15, BC7, OB+OC
31、8, OM 垂直平分 AB, OAOB, 同理,OAOC, OAOBOC4(cm) 23 (1)如图 1,在ABC 中,BAC90,ABAC,点 D 在 BC 上,且 BDBA,点 E 在 BC 的延长 线上且 CECA,试求DAE 的度数; (2)如图 2,如果把第(1)题中“ABAC”的条件去掉,其余条件不变,那么DAE 的度数会改变吗? 说明理由 【分析】 (1)在ABC 中,BAC90,ABAC,是等腰直角三角形,所以BACB45,根 据其他边相等可求出解 (2) 先设CAEx, 由已知 CACE 可求ACBCAE+E2x, B902x, 又因为 BDBA, 所以BADBDAx+45,
32、 再根据三角形的内角和是 180, 可求BAE90+x, 即DAEBAE BAD(90+x)(x+45)45 度 【解答】解: (1)ABAC,BAC90, BACB45, BDBA, BADBDA(180B)67.5, CECA, CAEEACB22.5, 在ABE 中,BAE180BE112.5, DAEBAEBAD112.567.545 度; (2)不改变, 理由:设CAEx, CACE, ECAEx, ACBCAE+E2x, 在ABC 中,BAC90, B90ACB902x, BDBA, BADBDA(180B)x+45, 在ABE 中,BAE180BE,180(902x)x90+x,
33、 DAEBAEBAD,(90+x)(x+45)45 24在小学,我们已经初步了解到,长方形的对边平行且相等,每个角都是 90如图,长方形 ABCD 中, AD9cm,AB4cm,E 为边 AD 上一动点,从点 D 出发,以 1cm/s 向终点 A 运动,同时动点 P 从点 B 出发,以 acm/s 向终点 C 运动,运动的时间为 ts (1)当 t3 时,求线段 CE 的长; (2)若 a1,当CEP 是以 C 为顶点的等腰三角形时,求 t 的值; (3)连接 DP,当点 C 与点 E 关于 DP 对称时,直接写出 t 与 a 的值 【分析】 (1)先得出 BPat3a,DEt3,CPBCBP
34、93a,在 RtCDE 中,根据勾股定理得, CE5; (2) 先得出 DEt, BPt, CP9t, 再分两种情况CECP, CEPE, 建立方程即可得出结论; (3)先判断出 DECD,PEPC,进而求出 tt,再构造出直角三角形,得出 PE2(54a)2+16, 进而建立方程即可得出结论 【解答】解: (1)四边形 ABCD 是长方形, ADBC,BCAD9,CDAB4, 当 t3 时,由运动知,BPat3a,DEt3, CPBCBP93a 在 RtCDE 中,根据勾股定理得,CE5; (2)当 a1 时,由运动知,DEt,BPt, CP9t, 在 RtCDE 中,CE, CEP 是以
35、CE 为腰的等腰三角形, CECP, 16+t2(9t)2, t CEPE, CPDE, 9t2t, t3, 即:t 的值为 3 或; (3)如图, 由运动知,BPat,DEt, CPBCBP9at, 点 C 与点 E 关于 DP 对称, DECD,PEPC, t4, BP4a,CP94a, 过点 P 作 PFAD 于 F, 四边形 CDFP 是长方形, PFCD4,DFCP, 在 RtPEF 中,PF4,EFDFDE54a, 根据勾股定理得,PE2(54a)2+16, (54a)2+16(94a)2, a 25阅读理解: 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1,利用
36、此图,可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考,不难发现: 大正方形的面积小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式: (a+b)2c2+4ab ; (用含字母 a、b、c 的式子表示) 化简证得勾股定理:a2+b2c2 【初步运用】 (1)如图 1,若 b2a,则小正方形面积:大正方形面积 5:9 ; (2)现将图 1 中上方的两直角三角形向内折叠,如图 2,若 a4,b6 此时空白部分的面积为 28 ; 【迁移运用】 如果用三张含 60的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢?带着这个疑问,小丽拼出图 3 的等边 三角形,你能否仿照勾股定理的验证,发现含 60的三角
37、形三边 a、b、c 之间的关系,写出此等量关系 式及其推导过程 知识补充:如图 4,含 60的直角三角形,对边 y:斜边 x定值 k 【分析】 【探索新知】根据大正方形的面积小正方形的面积+4 个直角三角形的面积,构建关系式即可 解决问题 【初步运用】 (1)如图 1,求出小正方形的面积,大正方形的面积即可 (2)根据空白部分的面积小正方形的面积2 个直角三角形的面积计算即可 【迁移运用】根据大正三角形面积三个全等三角形面积+小正三角形面积,构建关系式即可 【解答】解:探索新知由题意:大正方形的面积(a+b)2c2+4ab, a2+2ab+b2c2+2ab, a2+b2c2 【初步运用】 (1
38、)由题意:b2a,ca, 小正方形面积:大正方形面积5a2:9a25:9, 故故答案为 5:9 (2)空白部分的面积为5224628 故答案为 28 迁移运用结论:a2+b2abc2 理由:由题意:大正三角形面积三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得:(a+b)k(a+b)3bka+cck, (a+b)23ab+c2 a2+b2abc2 26已知,如图 1,线段 AB10,点 C 为线段 AB 上一点,DCAC,DCAC2,点 E 从点 C 开始,以 1cm/s 的速度向点 B 运动, 点 E 的运动过程中, DEF 始终为等腰直角三角形, EDF90, DEDF, 若点 E 运动的时间为
39、t 秒 (1)若 t4 时,点 F 的运动路程为 4 (2)如图 2,过点 A 作直线 lAB,取 EF 的中点 M,直线 CM 与直线 l 相交于点 N,则 AN 的长是否为 定值?若为定值,请求出这个定值,若不是,请用 t 的代数式表 示 【分析】 (1)由“SAS”可证EDEFDF,可得 EEFF4; (2)过点 F 作 FGCD,交 CD 的延长线于点 G,延长 GF 交直线 CM 与点 H,利用全等三角形的性质 可证 GCGH,由等腰直角三角形的性质可求解 【解答】解: (1)如图 1,当点 E与点 C 重合时,作出等腰直角三角形 DEF,连接 FF, t4, CE4, DEF,DE
40、F 都是等腰直角三角形, DEDF,DEDF,EDFEDF90, EDEFDF, 在EDE 和FDF 中, , EDEFDF(SAS) , EEFF4, 故答案为 4; (2)如图 2,过点 F 作 FGCD,交 CD 的延长线于点 G,延长 GF 交直线 CM 与点 H, FGCD, GDCEFDE90, GDF+CDE90CDE+DEC, GDFDEC, 在CDE 和GFD 中, , CDEGFD(AAS) , CDGF,CEGD, 点 M 是 EF 的中点, FMEM, GHCE, HHCE, 在MFH 和MEC 中, , MFHMEC(AAS) , FHCE, GDFH, GCGH, GCH45, ACN45ANC, ACAN2