1、20202021 学年学年高三高三（上）期末学业质量监测数学（上）期末学业质量监测数学试卷试卷 （共 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题分在每小题给给岀的四个选项中，只有岀的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足(1)2zii ，则复数 z 的模为（ ） A1 B2 C 2 2 D2 2已知集合 2 lg 4Ax yx，03Bxx，则AB （ ） A |23xx B | 22xx C |02xx DR 3已知盒子里有 10 个球（除颜色外其
2、他属性都相同） ，其中 4 个红球，6 个白球甲、乙两人依次不放回地 摸取 1 个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ） A 1 3 B 2 5 C 3 5 D 2 15 4攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等， 多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作个正六棱锥，设 正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ） A 3 3sin B 3 3cos C 1 2sin D 1 2cos 52020 年 4 月 22 日是第 51 个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，
3、人与自然和谐共生”某校 4 名 大学生到 A，B，C 三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传则不同的安排方案 共有（ ） A18 种 B36 种 C48 种 D72 种 6已知a、b为单位向量，且|2|3ab，则a，b的夹角为（ ） A 6 或 5 6 B 6 C 3 或 2 3 D 3 7已知4ln0 4 a a ，3ln0 3 b b，2ln0 2 c c ，则（ ） Acba Bbca Cabc Dacb 8已知定义域为 R 的函数( )f x在2,)单调递减，且(4)( )0fxf x，则使得不等式 2 (1)0f xxf x成立的实数 x 的取值范围是（ ） A
4、31x B1x 或3x C3x 或1x D1x 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9某高中积极响应国家“阳光体育运动的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校 3000 名学 生每周平均参加体育锻炼时间的情况， 从高一、 高二、高三三个年级学生中按照 433 的比例分层抽样， 收集 300 名学生每周平均体育运动时间的样本数据 （单位
5、： 小时） ， 整理后得到如图所示的频率分布直方图 下 列说法正确的是（ ） A估计该校学生每周平均体育运动时间为 5.8 小时 B估计高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数约为 300 人 C估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为 10% D估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的人数约为 600 人 10已知0a ，0b，231ab，下列结论正确的是（ ） A 22 ab的最小值为 1 12 B 2424 loglogab的最大值为1 C 11 ab 的最小值为4 6 D48 ab 的最小值为2 2 11已知抛物线 2 :4E yx的焦点为 F，准线
6、为 l，过 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影，且2AFBF，M 为AB中点，则下列结论正确的是（ ） A90CFD B直线AB的斜率为3 CAOB的面积为 3 2 2 DCMD为等腰直角三角形 12已知函数( ) |sin2 |cos2f xxx，则（ ） A( )()f xf x B( )f x的最小值为2 C( )f x的图象关于 8 x 对称 D( )f x在, 8 2 上单调递减 三、 填空题： 本题共三、 填空题： 本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分， 共分， 共 20 分 请把答案直接填写在答题卡相应位置上分 请把答案直接填写
7、在答题卡相应位置上 13在各项都为正数的等比数列 n a中，已知 1 01a，其前 n 项之积为 n T，且 126 TT，则 n T取最小值 时，n 的值是_ 14写出一个图象关于直线1x 对称的奇函数( )f x _ 15已知椭圆 22 1axby与直线1xy交于点 A，B，点 M 为AB的中点，直线MO（O 为原点）的 斜率为 2 2 ，则 b a _；又OAOB，则2ab_ 16若关于 x 的不等式ln x eaxa恒成立，则实数 a 的取值范围为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答解答应写岀文字说明、分请在答题卡指定区域内作
8、答解答应写岀文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分）已知集合|2 ,Ax xn n N， |3 , n Bx xn N，将AB中所有元 素按从小到大的顺序排列构成数列 n a，设数列 n a的前 n 项和为 n S （1）若27 m a ，求 m 的值； （2）求 50 S的值 18 （ 本 小 题 满 分12分 ） 在 2 cos2aCcb， 2 3 c o sc o sc o s 24 BC BC ， 22 (sinsin)sin3sinsinBCABC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a
9、，b，c，且_ （1）求角 A 的大小； （2）若2a ，求ABC面积的最大值 19 （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD， E 是PD 上的点 （1）当 E 是PD的中点时，求证：PB平面AEC； （2）设1PAAB，3PC ，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为 1 3 ，求PE的长 20 （本小题满分 12 分）今年疫情期间，许多老师进行抖音直播上课某校团委为了解学生喜欢抖音上课是 否与性别有关，从高三年级中随机抽取 30 名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 男生 女生 合计 喜欢抖音上课 10 不喜欢抖音上课 8 合计
10、30 已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是 8 15 （1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有 95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关？ （2）若从这 30 人中的女生中随机抽取 2 人，记喜欢抖音上课的人数为 X，求 X 的分布列、数学期望 附临界值表： 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.010 0.005 0 k 2.706 3.841 6.63 7.879 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 21 （本小题满分 12 分）已知双曲线 22 :1 45 xy C的左、右顶点分
11、别为 A，B，过右焦点 F 的直线 l 与双 曲线 C 的右支交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） （1）若3PFFQ，求直线 l 的方程； （2）设直线,AP BQ的斜率分别为 12 ,k k，证明： 1 2 k k 为定值 22 （本小题满分 12 分）已知函数( ), x f xaex aR （1）若( )f x在0 x 处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值； （2）若( )f x有两个不同的零点 12 ,x x 求实数 a 的取值范围； 证明： 12 2xx 参考答案参考答案 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40
12、 分在每小题给岀的四个选项中，只有分在每小题给岀的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 【答案】B 2 【答案】C 3 【答案】A 4 【答案】A 5 【答案】B 6 【答案】D 7 【答案】C 解：令( )lnf xxx， 11 ( )10 x fx xx ，1x ( )f x在(0,1)，(1,) 4ln0 4 a a ln4ln4aa ( )(4)f af 同理( )(3)f bf，( )(2)f cf abc，选 C 8 【答案】C 解：(4)( )0fxf x，则( )f x关于(2,0)对称 ( )f x在2,)单调递减 ( )f x在 R 上单调递减 (
13、1)(3)f xfx 222 (1)0(3)0(3)f xxf xf xxfxf xxfx 2 31xxxx或3x ，选 C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给岀的选项中，有多项符分在每小题给岀的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 【答案】ABD 10 【答案】BD 11 【答案】AC 解：令AFC，BFD ACAF，ABF，2BAF BFBDBDF，2DBF 又2 2 90CFD，A 正确 设AB：1x
14、my，令 11 ,A x y， 22 ,B xy 2 1 4 xmy yx 消 x 可得 2 440ymy 12 12 4 4 yym yy 2AFFB， 12 2yy 1 2 2y ， 2 2y ， 2 4 m ，2 2k 或 1 2 2y ， 2 2y ， 2 4 m ，2 2k 即2 2k ，B 错 121212 9 1124 2 ABxxxxmymy O 到AB距离 2 12 2 3 1 d m 192 23 2 3232 AOB S，C 正确 1 2 2y 时， 1 2x ，(2,2 2)A，此时 1 ,2 2 B 52 ,( 1,2 2),( 1,2) 42 MCD 3 173 1
15、7 ,3 2 44 DMCMCD CDM不是等腰直角三角形，D 错 12 【答案】AD 三、 填空题： 本题共三、 填空题： 本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分， 共分， 共 20 分 请把答案直接填写在答题卡相应位置上分 请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13 【答案】9 14 【答案】sin 2 x 15 【答案】2；2 2 解： 11 ,A x y， 22 ,B xy 22 11 22 22 1 1 axby axby ， 2222 1212 0a xxb yy 22 12 22 12 0 ayy bxx ， 1212 1212 0 ayy yy bxxxx ，即 2 ( 1
16、)0 2 a b 2 2 a b 2 b a 22 21 1 axay yx 消 y 可得 2 (2 )2 2210aa xaxa 12 12 42 2 21 2 xx a x x aa 12121212 21 1112 23 2 a y yxxx xxx aa OAOB 1212 0 x xy y 2 22 2 230 2 a aa 2( 21)2 22a 42 2b 22 2ab 答案：2,2 2 16 【答案】0, e 解：lnlnln xxx eaxaeaxaeaex 若0a ，0 x 时，lnex，1 x e lnaex 此时ln x eaex不恒成立 0a lnln xx eaex
17、exeaexex 令( ) x g xxe ( )(1)0,1 x g xxex ( )g x在(, 1) ，( 1,) min 1 ( )( 1)g xg e ( )(ln)eg xagex ln()0ex 时，( )0g x ，(ln)0gex 不等式恒成立 ln()0ex 时， ( ) (ln) g xa gexe 令( )lnf xxex， 11 ( )10 x fx xx ，1x ( )f x在(0,1)，(1,) min ( )(1)0f xf，lnxex ( )(ln)g xgex，即 ( ) 1 (ln) g x gex 1 a e ，0ae 四、解答题：本题共四、解答题：本题
18、共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答解答应写岀文字说明、分请在答题卡指定区域内作答解答应写岀文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17解： （1）因为27 m a ， 所以数列 n a中前 m 项中含有 A 中的元素为 2，4，6，26，共有 13 项， 数列 n a中前 m 项中含有 B 中的元素为 3，9，27，共有 3 项， 所以16m （2）因为2 50100， 4 381100， 5 3243100 所以数列 n a中前 50 项中含有 B 中的元素为 3，9，27，81 共有 4 项 所以数列 n a中前 50 项中含有 A 中的元素为2 1,22
19、,2 3,246，共有 46 项， 所以 50 (392781)(2 1222 3246)2282S 18解： （1）选，由正弦定理得2sincossin2sinACCB， 所以2sincossin2sin()2(sincoscossin)ACCACACAC， 即sin(2cos1)0CA，又(0, )C，所以sin0C ，所以 1 cos 2 A， 又(0, )A，从而得 3 A 选，因为 2 1cos() coscoscoscoscos 22 BCBC BCBC 1coscossinsin1cos()3 224 BCBCBC ， 所以 1 cos() 2 BC ， 1 coscos() 2
20、 ABC ，又因为(0, )A，所以 3 A 选因为 22 (sinsin)sin3sinsinBCABC， 所以 222 sinsin2sinsinsin3sinsinBCBCABC， 即 222 sinsinsinsinsinBCABC， 所以由正弦定理得 222 bcabc， 由余弦定理知 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为(0, )A，所以 3 A （2）由（1）得 3 A ，又2a ，由余弦定理 22222 2cos2abcbcAbcabbcbcbc， 所以4bc ，当且仅当2bc时取得等号， 113 sin43 222 ABC SbcA ，所以ABC面积的最大值为
21、3 19解： （1）连接BD，使AC交BD于点 O，连接EO， 因为 O，E 分别为BD，PD的中点， 所以OEPB 又OE 平面AEC，PB 平面AEC， 所以PB平面AEC （2）因为PA 平面ABCD，AC 平面ABCD， 所以PAAC，由1PA ，3PC ，得2AC ， 因为底面ABCD为菱形且1AB ，所以 222 ABBCAC， 所以ABBC，所以底面ABCD为正方形，从而,AB AD AP两两互相垂直， 分别以,AB AD AP为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，(0,1,0)D，(0,0,1)P，(1,0,0)B，(1,1,0)C， 不妨设(0,
22、1, 1)PEPD， 所以(0,0,1)(0, ,)(0, ,1)AEAPPE， (1,1,0)AC ，(1,1, 1)PC ， 设平面AEC的法向量为( , , )nx y z， 由 (1)0 0 nAEyz xy nAC ， 令1x ，则1y ， 1 z ，所以1, 1, 1 n ， 设直线PC与平面AEC所成角为， 则 2 1 sin|cos,| | | 3 1 1 1 PC n PC n PCn 由 1 sin 3 ，解方程得 1 2 ，故 2 2 PE 20解： （1）列联表补充如下： 男生 女生 合计 喜欢抖音上课 10 6 16 不喜欢抖音上课 6 8 14 合计 16 14 3
23、0 由 30 人中随机抽取 1 人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是 8 15 ， 故喜欢抖音上课的学生共有 16 人 由已知数据可求得： 2 30(10 866) 1.1583.841 16 14 16 14 k ， 所以没有 95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关 （2）X 的可能取值为 0，1，2 2112 8866 222 141414 44815 (0), (1), (2) 139191 CC CC P XP XP X CCC ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 4 13 48 91 15 91 X 的数学期望为： 448156 ()012 1391917 E X 21解：
24、（1）设直线PQ方程为3xmy， 11 ,P x y， 22 ,Q xy 22 22 3 5(3)420 5420 xmy myy xy 22 5430250mymy 2 2 30 0 2 54 0 255 0 54 m m m m 22 12 22 3020130201 , 2 542 54 mmmm yy mm 22 22 3020132112 33 42 2 30201321 PFmmmm m FQ mmmm 直线 l 方程为 2 32 26 20 4 xyxy （2） 2 2 5 4 PAPB b kk a ，要证 1 2 k k 为定值，只需证 5 4 PBBQ k k 为定值 12
25、12 1212 2211 BPBQ yyy y kk xxmymy 22 2 2 1212 22 2525 5454 2530 1 1 5454 mm m m y ym yy mm mm 222 2525 2530544mmm 1 2 541 4255 k k 为定值 21 题其他解法（1）法一：解析法 设点 1122 ,P x yQ xy，由3PFFQ，知3PFFQ， 所以 1122 3,33,xyxy，即 12 12 123 3 xx yy 将 22 123, 3Pxy， 22 ,Q xy代入双曲线 C 方程得 22 22 22 22 1233 1, 45 1 45 xy xy 消去 2
26、y解得 2 22 9 x ， 又点 P 在 x 轴上方，所以点 Q 在 x 轴下方，所以 2 10 2 9 y ， 所以 2210 2 , 99 Q ，所以2 2 FQ k， 所以直线 l 的方程为2 26 20 xy 法二：几何法 设直线 l 的倾斜角为，分别过 P，Q 作右准线 4 3 x 的垂线，垂足分别为 11 ,P Q， 过 Q 作 1 PP的垂线，垂足为 H， 因为3PFFQ，不妨设3PFt，FQt，双曲线 C 的离心率为 3 2 ， 由双曲线的第二定义得， 11 33 , 22 PFFQ PPQQ ， 所以 1 2PPt， 1 2 3 QQt，所以 4 3 PHt， 又4PQt，
27、所以 1 1 cos 3 QPP，又 1 QPP，所以 1 cos 3 ， 又为锐角，所以tan2 2，所以直线 l 的方程为2 26 20 xy （2）法一：因为点 P 在 x 轴上方，所以直线 l 的斜率不为 0，(3,0)F， 可设直线 l 的方程为3xmy， 11 3,P myy， 22 3,Q myy， 联立方程 22 3, 1, 45 xmy xy 消去 x 整理得， 22 5430250mymy， 则 2 22 540, 900425540, m mm 即 2 5 5 m ， 12 2 30 54 m yy m ， 12 2 25 54 y y m ， 又( 2,0)A ，(2,
28、0)B， 1 1 1 5 AP y kk my ， 2 2 2 1 BQ y kk my ， 所以 12 1121 221122 1 55 ymykmy yy kymymy yy ， 又因为 1212 2 255 546 m my yyy m ，所以 121 1 2 122 5 1 6 5 5 5 6 yyy k k yyy 即 1 2 1 5 k k 为定值 法二：设 11 ,P x y，则 22 11 1 45 xy ，从而 22 11 5 4 4 yx， 因为( 2,0), (2,0)AB， 所以 2 111 2 111 5 2244 PAPB yyy k k xxx ， 因为点 P 在
29、 x 轴上方，所以直线 l 的斜率不为 0， 可设直线 l 的方程为3xmy， 1122 3,3,P myyQ myy， 联立方程 22 3, 1, 45 xmy xy 消去 x 整理得， 22 5430250mymy， 则 2 22 540, 900425540, m mm 即 2 5 5 m ， 12 2 30 54 m yy m ， 12 2 25 54 y y m ， 又(2,0)B， 12 12 , 11 PBBQ yy kk mymy ， 所以 1212 2 121212 111 PBBQ y yy y k k mymym y ym yy 2 2 22 30 25 54 25304
30、 1 5454 m m m mm mm ， 所以 1 2 1 5 APPAPB BQPBBQ kkk k kkk k 22解： （1）( )1 x fxae，(0)101faa （2）法一：( )1 x fxae 当0a 时，( )0fx，( )f x在 R 上单调递减，不可能有两个零点，舍去 当0a 时，令 1 ( )0lnfxx a 且当 1 lnx a 时，( )0fx，( )f x；当 1 lnx a 时，( )0f x ，( )f x min 111 ( )ln1ln1ln00f xfaa aae 当且仅当 1 0a e 时，(0)0fa， 1 2 1111 0 a faea aaa
31、a ( )f x在 1 0,ln a 和 1 1 ln, a a 上各有一个零点 由 1 12121212 2 1 1212122 01 20 xxxxxxxxx x aexeeeeeeee axxxxxxaex 1 2 n xx，证毕！ 法二：由( )1 x fxae， 若0a ，则( )10 x fxae ，( )f x单调递减， 所以( )f x最多有一个零点，不合题意； 若0a ，由( )0fx，得 1 lnx a 列表如下： 1 ,ln a 1 ln a 1 ln, a ( )fx - 0 + ( )f x 极小值1 lna 由上表知， min ( )1lnf xa 又( )f x有
32、两个不同的零点 12 ,x x，所以1 ln0a， 解得 1 0a e 所以实数 a 的取值范围为 1 0, e 当 1 0a e 时，( 1)10 a f e ， 1 ln0f a 又( )f x的图象是不间断的曲线， 所以( )f x在 1 1,ln a 上有且只有一个零点； 又 22 1111 lnln2lnfa aaaa 令 11 ( )2ln0h aaa ae 22 1221 ( )0 a h a aaa ，所以( )h a在 1 0, e 上为减函数， 所以 1 ( )20h ahe e ， 又( )f x的图象是不间断的曲线， 所以( )f x在 2 11 ln,ln aa 上有
33、且只有一个零点 因此当实数 a 的取值范围为 1 0, e 时， ( )f x有两个不同的零点 由( )0 x f xaex，得0 x x a e ， 令( ) x x g xa e ，则 1 ( ) x x g x e ， 由 1 ( )0 x x g x e ，得 1x ；由 1 ( )0 x x g x e ，得 1x 所以( )g x在(,1)上单调递增，(1,)单调递减 由于 12 ,x x是方程( )0g x 的实根，不妨设 12 1xx ， 要证 12 2xx，只要证 21 21xx 由于( )g x在(1,)单调递减，故只要证 21 2g xgx， 由于 12 0g xg x， 故只要证 11 2g xgx， 令 2 2 ( )( )(2)(1) xx xx H xg xgxx ee ， 则 2 22 11 ( )(1) xx xx xxee H xx eee ， 因为1x ，所以10,2xxx，所以 2 xx ee ，即 2 0 xx ee ， 所以( )0H x，所以( )H x在(,1)上为增函数 所以( )(1)0H xH，即有 11 2g xgx成立 所以 12 2xx
