1、2020 学年第学年第一一学期期末教学质量调测学期期末教学质量调测 高三数学试题高三数学试题 注意事项：注意事项： 1. 请将学校、班级、姓名、考号分别填写在答卷纸相应位置上请将学校、班级、姓名、考号分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷本卷答案必须做在答卷纸纸 相应位置上相应位置上. 2. 全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知全集1,2,3,4,5,6U ，集合1,2A，2,4B ，则 U CAB （ ） A. 1,2
2、,4 B. 3,5,6 C. 2,3,5,6 D. 1,3,4,5,6 2. 已知复数z满足 34iz，则z （ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 2 3. 若实数x，y满足 220 220 40 xy xy xy ，则xy的最大值为（ ） A. 2 B. 8 3 C. 4 D. 8 4. 函数 1 cosyx x 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位： 3 cm）为（ ） A. 4 3 B. 2 C. 4 D. 6 6. 已知空间互不重合的三条直线m，n，l.则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l 两两
3、平行”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设数列 n a是公差大于 0 的等差数列， n S为其前n项和，若 52 SS，则 5 6 a a 的值可以是（ ） A. 3 5 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 5 8. 已知两定点0, 1M，0,1N，直线l：3yx，在l上满足2 2PMPN的点P的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 或 1 或 2 9. 已知, a bR，且0ab，对任意0 x均有(ln)()()0 xa xb xab，则（ ） A. 0a，0b B. 0a，0b C. 0a，0b
4、 D. 0a，0b 10. 已知 1 a， 2 a， 5 a为 1，2，3，4，5 的任意一个排列.则满足：对于任意1,2,3,4,5n，都有 121n aaana的排列 1 a， 2 a， 5 a有（ ） A. 49 个 B. 50 个 C. 31 个 D. 72 个 二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分. 11. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 4 3 , 5 5 P ，则sin _，cos2_. 12. 多项式 52345 012345 (2)xaa xa xa xa xa x，则 0 a _， 3 a
5、_. 13. 已知直线l：ykxb经过点2,1且被圆C： 22 9xy截得的弦长为 4，k _，b _. 14. 已知函数 2 1 2,0 ( ) ln(),0 x x f x x x x ，( )( )g xf xxa，若函数( )g x只有唯一零点，则实数a的取 值范围是_. 15. 盒中有 6 个球，其中 1 个红球，2 个绿球，3 个黄球.从盒中随机取球，每次取 3 个，记取出的球颜色种 数为，则2P_.若摸出的三个球颜色相同或各不相同设为中奖，记某人 5 次重复摸球（每 次摸球后放回）中奖次数为X，则E X _. 16. 已知平面向量a、b、c满足2a ，1ba，/ /cb，6a c
6、 ，则c的最大值为_. 17. 已知三棱锥ABCD的三条侧棱两两垂直，AB与底面BCD成30角，P是平面BCD内任意一点， 则 AP BP 的最小值是_. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知函数( )2sin()0,0 2 f xx 的部分图像如图所示，P为该图像的最高点. （1）若 2 ，求cosAPB的值； （2）若45PAB，P的坐标为1,2，求( )f x的解析式. 19. 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 1 2 2 ABBCACBB， 1 B在底面ABC上的射影恰好是点A，E 是 11 AC的中点. （1）证
7、明： 1 / /AB平面 1 BCE； （2）求 1 AB与平面 11 BCC B所成角的正弦值. 20. 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 n nn apaq ， （其中p、q为常数， * nN）. （1）若1p ，1q ，求数列 n a的通项公式； （2）若2p ，1q ，数列 1n n a a 的前n项和为 n T.证明：22 n Tn， * nN. 21. 已知,1T m为抛物线C： 2 20 xpy p上一点，F是抛物线C的焦点，且2TF . （1）求抛物线C的方程； （2） 过圆E： 2 2 21xy上任意一点G， 作抛物线C的两条切线 1 l，2l， 与抛物线相切于点M，N
8、， 与x轴分别交与点A，B，求四边形ABNM面积的最大值. 22. 已知函数( )ln(1) n x fxx n ，其中 * nN. （1）证明： 2 1( ) 1 x f x x ； （2）证明：对任意的2n，存在0 n x ，使得0 nn fx； （3）在（2）的条件下，证明： 1 1 nn xx . 2020 学年第学年第一一学期期末高中教学质量检测学期期末高中教学质量检测 高三数学参考答案高三数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1-5：BADCB 6-10：DABBA 二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共
9、 36 分. 11. 3 sin 5 ， 2 7 cos21 2sin 25 12. 0 32a ， 3 40a 13. -2，5 14. 2a 15. 13 2 20 P， 77 5 204 E X 16. max 2 3c 17. min 1 2 AP BP 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解析： （1）由题设可知，在APB中， 2 4AB ， max( ) 2PQfx， 所以 222 145APAQPQ ， 222 10BPPQBQ， 由余弦定理可得： 222 2 cos 220 APPBAB APB APBP . （2）易
10、知2 4 T ，8T ，所以 4 ， 又 2 ，所以 4 ，所以( )2sin 44 f xx . 19. 解析： （1）连接 1 BC与 1 BC相交于M，连接EM， 由于E，M分别是 11 AC， 1 BC的中点，则 1 / /EMAB， 因为EM 平面 1 BCE， 1 AB 平面 1 BCE，所以 1 / /AB平面 1 BCE. （2）取BC中点F，连接AF， 1 B F，则AFBC， 因为 1 B A平面ABC，所以 1 B ABC，所以BC 平面 1 AB F， 所以平面 1 AB F 平面 11 BCC B，过N作 1 NOB F于O， 则NO 平面 11 BCC B，连接OB
11、，则OBN即为 1 AB与平面 11 BCC B所成角， 设 1 2BB ，易知 22 110 2 22 BNANAB， 由 11 ONBAFB， 1 1 42 14 B N ONAF B F ， 所以 105 sin 35 ON OBN BN . 20. 解析： （1）1p ，1q ， 1 ( 1)n nn aa ，即 1 ( 1)n nn aa ， 当2n： 121 11221 ( 1)( 1)( 1) nn nnnn aaaaaa ， 得 1 ( 1)1 2 n n aa ， 1 1a ， 1 ( 1) 2 n n a ， 当1n ： 1 1a 也符合上式，故 * 1 ( 1) 2 n
12、n anN （或 1, 0, n n a n 为奇数 为偶数 ）. （2）2p ，1q ， 1 21 nn aa ， 1 121 nn aa ， 即 1 1 2 1 n n a a ，1 n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 12n n a ，即 * 21 n n anN. 又 11 1 2122 12 22 21112 1 22 nn n nnn n n a a ， 1 1 1 2 222 122 1 2 1 2 n n n Tnnn ， 综上说述： * 22 n TnnN. 21. 解： （1）2TF ，由抛物线定义知，12 2 p ，2p ， 2 4xy. （2）设 11 ,
13、M x y， 22 ,N x y， 00 ,G x y， 0 3, 1y ， 切线AM： 11 2x xyy， 因此： 11 1 2 2 A yx x x ， 切线AN： 22 2x xyy， 因此： 22 2 2 2 B yx x x ， 另一方面，点 00 ,G x y在两切线上，从而满足： 1010 2020 2 2 x xyy x xyy ， 因此切点弦MN的方程为： 00 2x xyy， 直线MN与抛物线 2 4xy进行方程联立： 2 00 240 xx xy， 从而 120 120 2 4 xxx x xy ，且 2 222 0 00000 141644 4 x xyxxMNy，
14、ABMNGMNGAB SSS 2 00 22 12 0000 2 0 4 11 44 2222 4 xy xx xxyy x 2 33 000222 22 0001200 4111 44 2422 yxy xyyxxxy 2222 000000000 11 448373 22 xyxyyyyyy ， 当 0 3, 1y 时， 2 2 000 11 834132 3 22 yyy， 2 2 000 737 739 24 yyy ， 9 3 ABMN S，当且仅当 0 3y 时，取到最大值. 22.（1）解：设 2 1 ( )( )ln(1) 11 xx g xf xx xx ，则 2 ( ) (
15、1) x g x x ， 所以( )g x在1,0单调递减，在0,单调递增， 所以 ( )00g xg，即 2 1( ) 1 x f x x . （2）证明： 11(1) ( ) 1(1) n nx fx xnn x ， 所以( ) n fx在1,1n上单调递增，在1,n 单调递减， 且 00 n f，由（1）可知 111 (1)ln0 n nnn fnn nnn ， 取 2 0 4xn， 0000 ln 14ln 1 24 n fxxnxxn 00 2ln 14240 xnxn， 由以上知 0 n fx 在0,存在唯一的非零实数根 n x. （3）解法一：当2n时，设 ln 11 n n n
16、 x g x xn ， 1 1 1 ln 11 1 n n n x g x xn ， 2 ln(1) 1 ( )0 x x x g x x ，所以函数( )g x单调递减， 所以 1 1 nn xx 等价于证明 1 1 1 1 nn g xg x n ， 等价于 1 11 ln 2ln 1 nn nn xx n xx ， 设( )(1)ln(1)ln(2)ln(1)ln(2)(0)h xxxxxxx x， 12ln(1)ln(2) ( )ln 2221 xxx h x xxxx ，由（1）可知ln(1) 1 x xx x ， 所以 111 lnln 1 222 x xxx ， ln(2)111 1122 xx xxxx ， 所以当0 x时， ln(1) ( )0 2 x h x x ，故( )h x在0,单调递减， 所以 ( )00h xh，故 1 1 nn xx .
