1、2020-2021 学年江西省九江市高一（上）期末数学试卷学年江西省九江市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|lnx0，Bx|1x1，则（ ） AAB BBA CAB DABB 2二次函数 y2x2的图象向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，所得图象对应的函数表达式 为（ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x1） 2+2 Cy2（x+1）22 Dy2（x1） 22 3若函数 f（x）lnx+2x3，则 f（x）的零点所在区间是（ ） A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4） 4过点（1，2）且与直线 x2
2、y+10 垂直的直线方程为（ ） Ax2y+30 Bx+2y50 C2x+y30 D2x+y40 5下列函数中是奇函数的是（ ） A B C D 6设 alg2，blg3，则 log318（ ） A B C D 7已知 a21.2，blog41.2，clog21.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 8 如图所示， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某一几何体的三视图， 则该几何体的体积为 （ ） A32+8 B32+12 C16+8 D16+12 9某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 500 元，不享受任何折扣；如果顾客购
3、物的 总金额超过 500 元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过 400 元的部分 10% 超过 400 元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为 60 元，则此人购物实际所付金额为（ ） A940 元 B1000 元 C1140 元 D1200 元 10函数的单调递增区间为（ ） A（0，+） B（0，e） C（1，+） D（0，1） 11函数 f（x）x2+ln|x|的图象大致是（ ） A B C D 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知两个圆 C1：（xa）2+（y1）24，C2：（x1）2+（ya）22 相交于 A
4、，B 两点，若|OA|OB|，则实数 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13若直线 l1：ax+4y20 与 l2：x+aya10 平行，则实数 a 的值为 14已知集合 Ax|x2axa20，B0，1，若 AB1，则实数 a 的取值范围是 15九章算术是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑如图，三棱锥 P ABC 为鳖臑，且 PA平面 ABC，ACBC1，则该鳖臑外接球的表面积为 16 某种热饮需用开水冲泡， 其基本操作流程如下： 先将水加热到 100C，
5、 水温 y （C） 与时间 t （min） 近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温 y（C）与时间 t（min）近似满足 函数的关系式为（a， b 为常数） ， 通常这种热饮在 40C 时口感最佳， 某天室温为 20 C，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的 时间为 min 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设全集 UR，已知集合， （）当 a2 时，求（RA）B； （）若 ABA，求实数 a 的取
6、值范围 18如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA12，ACB90，D 是 AB 的中点 （）求证：直线 AC1平面 B1CD； （）设 O 为线段 AC1上的动点，求三棱锥 OB1CD 的体积 19如图所示，已知圆 O：x2+y2r2（r0）与直线相切 （）求 r 的值 （）直线 l：ykx+m 与圆 O 相交于 P，Q 两点，若在圆 O 上存在一点 R，使四边形 OPRQ 为平行四 边形，求实数 m 的取值范围 20 某水产养殖户投资 243 万元建一个龙虾养殖基地， 已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 yax2+c，且第一年付出的各种维护费用为 3
7、万元，第二年付出的各种维护费用为 9 万元，龙虾养殖基 地每年收入 90 万元 （）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？ （）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： 年平均利润最大时，以 138 万元出售该龙虾养殖基地； 纯利润总和最大时，以 30 万元出售该龙虾养殖基地问该水产养殖户会选择哪种方案？ 21设函数（a0 且 a1，bR），已知 f（1）0，f（loga5）2 （）求 f（x）的单调区间； （）是否存在实数 ，使得 f（x）在区间m，n上的值域是2m，2n？若存在，请求出 的取值 范围；若不存在，请说明理由 请考生在第请
8、考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）x22x+1 （）求 f（x）的解析式； （）讨论函数 g（x）f（x）m（mR）的零点个数 23已知函数 f（x）（lgx）2lgx1 （）求 f（x）的最小值，并求此时 x 的值； （）若 a，b 分别是 f（x）的两个零点，求 logab+logba 的值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|lnx0，Bx|1x1，则（ ） AAB BBA CAB
9、 DABB 解：lnx0，0 x1，解得 A 集合为 Ax|lnx0 x|0 x1， 因为 Bx|1x1， 由集合的关系可得 A 是 B 集合的真子集， 故选：A 2二次函数 y2x2的图象向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，所得图象对应的函数表达式 为（ ） Ay2（x+1）2+2 By2（x1） 2+2 Cy2（x+1）22 Dy2（x1） 22 解：向上平移 2 个单位长度得 y2x2+2，再向右平移一个单位长度得 y2（x1）2+2， 故选：B 3若函数 f（x）lnx+2x3，则 f（x）的零点所在区间是（ ） A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4）
10、 解：函数 f（x）lnx+2x3，在 x0 时是连续增函数， 因为 f（1）2310，f（2）ln2+43ln2+10， 所以 f（1）f（2）0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2） 故选：B 4过点（1，2）且与直线 x2y+10 垂直的直线方程为（ ） Ax2y+30 Bx+2y50 C2x+y30 D2x+y40 解：因为直线 x2y+10 的斜率为， 又所求直线与直线 x2y+10 垂直， 所以所求直线的斜率为2， 故所求直线方程为 y22（x1），即 2x+y40 故选：D 5下列函数中是奇函数的是（ ） A B C D 解：根据题意，依次判断选项： 对于 A，其定义域为（
11、0，+），是非奇非偶函数，不符合题意， 对于 B，y2x+，其定义域为 R，有 f（x）2x+ 2x+f（x），是偶函数，不符合题 意， 对于 C，yx+，其定义域为x|x0，有 f（x）（x+ ）f（x），是奇函数，符合题意， 对于 D，yx2+，其定义域为x|x0，有 f（x）x2+ f（x），是偶函数，不符合题意， 故选：C 6设 alg2，blg3，则 log318（ ） A B C D 解： 故选：C 7已知 a21.2，blog41.2，clog21.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 解：21.2201，log41.2log41.44l
12、og21.2log221， bca 故选：D 8 如图所示， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某一几何体的三视图， 则该几何体的体积为 （ ） A32+8 B32+12 C16+8 D16+12 解：由三视图可知该几何体的下部分是底面边长为 4，高为 2 的正四棱柱， 上部分是底面直径为 4，高为 2 的圆柱， V442+22232+8， 故选：A 9某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 500 元，不享受任何折扣；如果顾客购物的 总金额超过 500 元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过 400 元的部
13、分 10% 超过 400 元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为 60 元，则此人购物实际所付金额为（ ） A940 元 B1000 元 C1140 元 D1200 元 解：设此人购物总金额为 x 元，可获得购物折扣金额为 y 元， 由题意知， 6040， x900， 由 0.2（x900）+4060， 得 0.2（x900）20， 得 x900100， 即 x1000， 故此时购物实际所付金额为 100060940 元， 故选：A 10函数的单调递增区间为（ ） A（0，+） B（0，e） C（1，+） D（0，1） 解：当 x1 时，； 当 0 x1 时，f（x）x 即， 画出函
14、数 f（x）的图象，知 f（x）在（0，1）上单调递增， 故选：D 11函数 f（x）x2+ln|x|的图象大致是（ ） A B C D 解：函数 f（x）是偶函数，排除 B 当 x0 时，f（x）x2+lnx 在（0，+）上单调递增，排除 A 又 f（1）10，排除 D， 故选：C 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知两个圆 C1：（xa）2+（y1）24，C2：（x1）2+（ya）22 相交于 A，B 两点，若|OA|OB|，则实数 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D1 解：根据题意，圆 C1：（xa）2+（y1）24，圆心为（a，1）， C2：（x1）2+（ya）22，圆心为（1，
15、a）， 两个圆 C1和 C2相交于 A，B 两点，则线段 C1C2的垂直平分线为 AB， 又由|OA|OB|，则 O 也在线段 C1C2的垂直平分线上，则 O、C1、C2三点共线， 则有，则有 a21，解得 a1 或 a1 当 a1 时，两圆内含，没有公共点， 故 a1， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13若直线 l1：ax+4y20 与 l2：x+aya10 平行，则实数 a 的值为 2 解：因为直线 l1：ax+4y20 与 l2：x+aya10 平行， 所以，解得 a2 故答案为：2 14 已知集合 A
16、x|x2axa20， B0， 1， 若 AB1， 则实数 a 的取值范围是 解：集合 Ax|x2axa20，B0，1，若 AB1， 依题意得 1A，0A， ，解得， 即实数 a 的取值范围是 故答案为：2，） 15九章算术是我国古代数学名著，书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑如图，三棱锥 P ABC 为鳖臑，且 PA平面 ABC，ACBC1，则该鳖臑外接球的表面积为 4 解：PA平面 ABC，AB，BC平面 ABC，ABPA，BCPA， 又ABC 是直角三角形，ACBC1，BCAC，又 PAACA， PA，AC平面 PAC，BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，BCPC， 该鳖臑外接
17、球的球心为 PB 的中点，则（2R）2PA2+AC2+BC2， 4R21+1+24， 该鳖臑外接球的表面积为 4R24 故答案为：4 16 某种热饮需用开水冲泡， 其基本操作流程如下： 先将水加热到 100C， 水温 y （C） 与时间 t （min） 近似满足一次函数关系；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温 y（C）与时间 t（min）近似满足 函数的关系式为（a， b 为常数） ， 通常这种热饮在 40C 时口感最佳， 某天室温为 20 C，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的 时间为 25 min 解：依题意，当 t0 时，y20，当
18、t2.5 时，y60， 水加热到 100C，水温 y（C）与时间 t（min）近似满足一次函数关系为 y16t+20 又当 t5 时，y100，当 t15 时，y60， ，解得 a5，b20， ，令 y40，解得 t25 故答案为：25 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设全集 UR，已知集合， （）当 a2 时，求（RA）B； （）若 ABA，求实数 a 的取值范围 解：（）当 a2 时，Ax|212x2x|1x1，Bx|1x2， RAx|x1 或 x1，（RA）B
19、（1，2； （）ABA，BA， Ax|1xlog2a，log2a2，解得 a4， 实数 a 的取值范围是4，+） 18如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA12，ACB90，D 是 AB 的中点 （）求证：直线 AC1平面 B1CD； （）设 O 为线段 AC1上的动点，求三棱锥 OB1CD 的体积 解：（）证明：连接 BC1交 B1C 于 E，连接 DE， 四边形 BB1C1C 为正方形，E 为 BC1的中点， 又 D 是 AB 的中点，在ABC1中，AC1DE， 又 AC1平面 B1CD，DE平面 B1CD， 直线 AC1平面 B1CD （）AC1平面 B1CD， ， 三
20、棱锥 OB1CD 的体积为： ， 三棱锥 OB1CD 的体积 19如图所示，已知圆 O：x2+y2r2（r0）与直线相切 （）求 r 的值 （）直线 l：ykx+m 与圆 O 相交于 P，Q 两点，若在圆 O 上存在一点 R，使四边形 OPRQ 为平行四 边形，求实数 m 的取值范围 解：（）圆心 O 到直线的距离为， 直线与圆 O 相切，r2 （）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组 ， 消去 y 得（k2+1）x2+2kmx+m240， ， 四边形 OPRQ 为平行四边形，线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点， R 点的坐标为（x1+x2，y1+y2）， 即， 由点 R
21、在圆 O 上，整理得 m2k2+1， 此时4k2m24（k2+1）（m24）4（4k2m2+4）12（k2+1）0， m21，即 m1 或 m1，即 m 的取值范围为（，11，+） 20 某水产养殖户投资 243 万元建一个龙虾养殖基地， 已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 yax2+c，且第一年付出的各种维护费用为 3 万元，第二年付出的各种维护费用为 9 万元，龙虾养殖基 地每年收入 90 万元 （）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润？ （）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： 年平均利润最大时，以 138
22、万元出售该龙虾养殖基地； 纯利润总和最大时，以 30 万元出售该龙虾养殖基地问该水产养殖户会选择哪种方案？ 解：（）由已知得，当 x1 时，y3；当 x2 时，y12， 即，解得 a3，c0， y3x2 又投资 243 万元，x 年收入共 90 x 万元， 第 x 年获得纯利润为 y90 x3x2243（xN*）， 令 y0，即 90 x3x22430，x230 x+810， 解得 3x27（xN*），从第 4 年开始获得纯利润 （）方案：年平均利润， 当，即 x9 时，t 取最大值 36 年平均利润最大时，以 138 万元出售该基地共获利润 369+138462（万元） 方案：纯利润总和 y
23、90 x3x22433（x15）2+432（nN*）， 当 x15 时，纯利润总和最大，为 432 万元， 纯利润总和最大时，以 30 万元出售该基地共获利润 432+30462（万元）， 两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案 21设函数（a0 且 a1，bR），已知 f（1）0，f（loga5）2 （）求 f（x）的单调区间； （）是否存在实数 ，使得 f（x）在区间m，n上的值域是2m，2n？若存在，请求出 的取值 范围；若不存在，请说明理由 解：（）对于函数（a0 且 a1，bR）， 由 f（1）0，得 loga（ab）0，即 ab1， 由 f（loga5）2，得 loga（
24、5b）2，即 5ba2， a2+a60，解得 a2，b1， ， 2x10，x0，故 f（x）的定义域为（0，+）， f（x）在区间（0，+）上单调递增，故 f（x）的单调区间为（0，+） （）假设存在实数 ，nm0， 由（）知 f（x）在（0，+）单调递增，即， 令，（t1，t21）， 即 t1，t2为方程 t2t0t+t00 的两不等实数根且 t1，t 21， 令 g（t）t2t0t+t0，则 ， 解得 t04 即 24，2， 故存在实数 符合条件， 的取值范围是（2，+） 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做
25、的第一题计分. 22已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）x22x+1 （）求 f（x）的解析式； （）讨论函数 g（x）f（x）m（mR）的零点个数 解：（）当 x0 时，x0，f（x）（x）22（x）+1x2+2x+1， f（x）是 R 上的偶函数，f（x）x2+2x+1， （）函数 f（x）的图象如图所示 当 m0 时，g（x）没有零点 当 m0 或 m1 时，g（x）有 2 个零点， 当 0m1 时，g（x）有 4 个零点， 当 m1 时，g（x）有 3 个零点 23已知函数 f（x）（lgx）2lgx1 （）求 f（x）的最小值，并求此时 x 的值； （）若 a，b 分别是 f（x）的两个零点，求 logab+logba 的值 解：（）令 tlgx，tR，则， 当时，即当时， （）依题意，得 lga，lgb 是方程 t2t10 的两个实数根， 由韦达定理，得 lga+lgb1，lga lgb1， 原式
