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江西省九江市2020-2021学年高一上期末数学试卷(含答案详解)

1、2020-2021 学年江西省九江市高一(上)期末数学试卷学年江西省九江市高一(上)期末数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Ax|lnx0,Bx|1x1,则( ) AAB BBA CAB DABB 2二次函数 y2x2的图象向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数表达式 为( ) Ay2(x+1)2+2 By2(x1) 2+2 Cy2(x+1)22 Dy2(x1) 22 3若函数 f(x)lnx+2x3,则 f(x)的零点所在区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 4过点(1,2)且与直线 x2

2、y+10 垂直的直线方程为( ) Ax2y+30 Bx+2y50 C2x+y30 D2x+y40 5下列函数中是奇函数的是( ) A B C D 6设 alg2,blg3,则 log318( ) A B C D 7已知 a21.2,blog41.2,clog21.2,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 8 如图所示, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某一几何体的三视图, 则该几何体的体积为 ( ) A32+8 B32+12 C16+8 D16+12 9某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过 500 元,不享受任何折扣;如果顾客购

3、物的 总金额超过 500 元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算: 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过 400 元的部分 10% 超过 400 元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为 60 元,则此人购物实际所付金额为( ) A940 元 B1000 元 C1140 元 D1200 元 10函数的单调递增区间为( ) A(0,+) B(0,e) C(1,+) D(0,1) 11函数 f(x)x2+ln|x|的图象大致是( ) A B C D 12在平面直角坐标系 xOy 中,已知两个圆 C1:(xa)2+(y1)24,C2:(x1)2+(ya)22 相交于 A

4、,B 两点,若|OA|OB|,则实数 a 的值为( ) A0 B1 C2 D1 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13若直线 l1:ax+4y20 与 l2:x+aya10 平行,则实数 a 的值为 14已知集合 Ax|x2axa20,B0,1,若 AB1,则实数 a 的取值范围是 15九章算术是我国古代数学名著,书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑如图,三棱锥 P ABC 为鳖臑,且 PA平面 ABC,ACBC1,则该鳖臑外接球的表面积为 16 某种热饮需用开水冲泡, 其基本操作流程如下: 先将水加热到 100C,

5、 水温 y (C) 与时间 t (min) 近似满足一次函数关系;用开水将热饮冲泡后在室温下放置,水温 y(C)与时间 t(min)近似满足 函数的关系式为(a, b 为常数) , 通常这种热饮在 40C 时口感最佳, 某天室温为 20 C,冲泡热饮的部分数据如图所示,那么按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用,最少需要的 时间为 min 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17设全集 UR,已知集合, ()当 a2 时,求(RA)B; ()若 ABA,求实数 a 的取

6、值范围 18如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACBCAA12,ACB90,D 是 AB 的中点 ()求证:直线 AC1平面 B1CD; ()设 O 为线段 AC1上的动点,求三棱锥 OB1CD 的体积 19如图所示,已知圆 O:x2+y2r2(r0)与直线相切 ()求 r 的值 ()直线 l:ykx+m 与圆 O 相交于 P,Q 两点,若在圆 O 上存在一点 R,使四边形 OPRQ 为平行四 边形,求实数 m 的取值范围 20 某水产养殖户投资 243 万元建一个龙虾养殖基地, 已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 yax2+c,且第一年付出的各种维护费用为 3

7、万元,第二年付出的各种维护费用为 9 万元,龙虾养殖基 地每年收入 90 万元 ()扣除投资和各种维护费用,求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润? ()若干年后该水产养殖户为了投资其他项目,对该龙虾养殖基地有两种处理方案: 年平均利润最大时,以 138 万元出售该龙虾养殖基地; 纯利润总和最大时,以 30 万元出售该龙虾养殖基地问该水产养殖户会选择哪种方案? 21设函数(a0 且 a1,bR),已知 f(1)0,f(loga5)2 ()求 f(x)的单调区间; ()是否存在实数 ,使得 f(x)在区间m,n上的值域是2m,2n?若存在,请求出 的取值 范围;若不存在,请说明理由 请考生在第请

8、考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)x22x+1 ()求 f(x)的解析式; ()讨论函数 g(x)f(x)m(mR)的零点个数 23已知函数 f(x)(lgx)2lgx1 ()求 f(x)的最小值,并求此时 x 的值; ()若 a,b 分别是 f(x)的两个零点,求 logab+logba 的值 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Ax|lnx0,Bx|1x1,则( ) AAB BBA CAB

9、 DABB 解:lnx0,0 x1,解得 A 集合为 Ax|lnx0 x|0 x1, 因为 Bx|1x1, 由集合的关系可得 A 是 B 集合的真子集, 故选:A 2二次函数 y2x2的图象向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数表达式 为( ) Ay2(x+1)2+2 By2(x1) 2+2 Cy2(x+1)22 Dy2(x1) 22 解:向上平移 2 个单位长度得 y2x2+2,再向右平移一个单位长度得 y2(x1)2+2, 故选:B 3若函数 f(x)lnx+2x3,则 f(x)的零点所在区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)

10、 解:函数 f(x)lnx+2x3,在 x0 时是连续增函数, 因为 f(1)2310,f(2)ln2+43ln2+10, 所以 f(1)f(2)0,由零点判定定理可知,函数的零点在(1,2) 故选:B 4过点(1,2)且与直线 x2y+10 垂直的直线方程为( ) Ax2y+30 Bx+2y50 C2x+y30 D2x+y40 解:因为直线 x2y+10 的斜率为, 又所求直线与直线 x2y+10 垂直, 所以所求直线的斜率为2, 故所求直线方程为 y22(x1),即 2x+y40 故选:D 5下列函数中是奇函数的是( ) A B C D 解:根据题意,依次判断选项: 对于 A,其定义域为(

11、0,+),是非奇非偶函数,不符合题意, 对于 B,y2x+,其定义域为 R,有 f(x)2x+ 2x+f(x),是偶函数,不符合题 意, 对于 C,yx+,其定义域为x|x0,有 f(x)(x+ )f(x),是奇函数,符合题意, 对于 D,yx2+,其定义域为x|x0,有 f(x)x2+ f(x),是偶函数,不符合题意, 故选:C 6设 alg2,blg3,则 log318( ) A B C D 解: 故选:C 7已知 a21.2,blog41.2,clog21.2,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 解:21.2201,log41.2log41.44l

12、og21.2log221, bca 故选:D 8 如图所示, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某一几何体的三视图, 则该几何体的体积为 ( ) A32+8 B32+12 C16+8 D16+12 解:由三视图可知该几何体的下部分是底面边长为 4,高为 2 的正四棱柱, 上部分是底面直径为 4,高为 2 的圆柱, V442+22232+8, 故选:A 9某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过 500 元,不享受任何折扣;如果顾客购物的 总金额超过 500 元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算: 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过 400 元的部

13、分 10% 超过 400 元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为 60 元,则此人购物实际所付金额为( ) A940 元 B1000 元 C1140 元 D1200 元 解:设此人购物总金额为 x 元,可获得购物折扣金额为 y 元, 由题意知, 6040, x900, 由 0.2(x900)+4060, 得 0.2(x900)20, 得 x900100, 即 x1000, 故此时购物实际所付金额为 100060940 元, 故选:A 10函数的单调递增区间为( ) A(0,+) B(0,e) C(1,+) D(0,1) 解:当 x1 时,; 当 0 x1 时,f(x)x 即, 画出函

14、数 f(x)的图象,知 f(x)在(0,1)上单调递增, 故选:D 11函数 f(x)x2+ln|x|的图象大致是( ) A B C D 解:函数 f(x)是偶函数,排除 B 当 x0 时,f(x)x2+lnx 在(0,+)上单调递增,排除 A 又 f(1)10,排除 D, 故选:C 12在平面直角坐标系 xOy 中,已知两个圆 C1:(xa)2+(y1)24,C2:(x1)2+(ya)22 相交于 A,B 两点,若|OA|OB|,则实数 a 的值为( ) A0 B1 C2 D1 解:根据题意,圆 C1:(xa)2+(y1)24,圆心为(a,1), C2:(x1)2+(ya)22,圆心为(1,

15、a), 两个圆 C1和 C2相交于 A,B 两点,则线段 C1C2的垂直平分线为 AB, 又由|OA|OB|,则 O 也在线段 C1C2的垂直平分线上,则 O、C1、C2三点共线, 则有,则有 a21,解得 a1 或 a1 当 a1 时,两圆内含,没有公共点, 故 a1, 故选:D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13若直线 l1:ax+4y20 与 l2:x+aya10 平行,则实数 a 的值为 2 解:因为直线 l1:ax+4y20 与 l2:x+aya10 平行, 所以,解得 a2 故答案为:2 14 已知集合 A

16、x|x2axa20, B0, 1, 若 AB1, 则实数 a 的取值范围是 解:集合 Ax|x2axa20,B0,1,若 AB1, 依题意得 1A,0A, ,解得, 即实数 a 的取值范围是 故答案为:2,) 15九章算术是我国古代数学名著,书中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑如图,三棱锥 P ABC 为鳖臑,且 PA平面 ABC,ACBC1,则该鳖臑外接球的表面积为 4 解:PA平面 ABC,AB,BC平面 ABC,ABPA,BCPA, 又ABC 是直角三角形,ACBC1,BCAC,又 PAACA, PA,AC平面 PAC,BC平面 PAC,又 PC平面 PAC,BCPC, 该鳖臑外接

17、球的球心为 PB 的中点,则(2R)2PA2+AC2+BC2, 4R21+1+24, 该鳖臑外接球的表面积为 4R24 故答案为:4 16 某种热饮需用开水冲泡, 其基本操作流程如下: 先将水加热到 100C, 水温 y (C) 与时间 t (min) 近似满足一次函数关系;用开水将热饮冲泡后在室温下放置,水温 y(C)与时间 t(min)近似满足 函数的关系式为(a, b 为常数) , 通常这种热饮在 40C 时口感最佳, 某天室温为 20 C,冲泡热饮的部分数据如图所示,那么按上述流程冲泡一杯热饮,并在口感最佳时饮用,最少需要的 时间为 25 min 解:依题意,当 t0 时,y20,当

18、t2.5 时,y60, 水加热到 100C,水温 y(C)与时间 t(min)近似满足一次函数关系为 y16t+20 又当 t5 时,y100,当 t15 时,y60, ,解得 a5,b20, ,令 y40,解得 t25 故答案为:25 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17设全集 UR,已知集合, ()当 a2 时,求(RA)B; ()若 ABA,求实数 a 的取值范围 解:()当 a2 时,Ax|212x2x|1x1,Bx|1x2, RAx|x1 或 x1,(RA)B

19、(1,2; ()ABA,BA, Ax|1xlog2a,log2a2,解得 a4, 实数 a 的取值范围是4,+) 18如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACBCAA12,ACB90,D 是 AB 的中点 ()求证:直线 AC1平面 B1CD; ()设 O 为线段 AC1上的动点,求三棱锥 OB1CD 的体积 解:()证明:连接 BC1交 B1C 于 E,连接 DE, 四边形 BB1C1C 为正方形,E 为 BC1的中点, 又 D 是 AB 的中点,在ABC1中,AC1DE, 又 AC1平面 B1CD,DE平面 B1CD, 直线 AC1平面 B1CD ()AC1平面 B1CD, , 三

20、棱锥 OB1CD 的体积为: , 三棱锥 OB1CD 的体积 19如图所示,已知圆 O:x2+y2r2(r0)与直线相切 ()求 r 的值 ()直线 l:ykx+m 与圆 O 相交于 P,Q 两点,若在圆 O 上存在一点 R,使四边形 OPRQ 为平行四 边形,求实数 m 的取值范围 解:()圆心 O 到直线的距离为, 直线与圆 O 相切,r2 ()设 P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组 , 消去 y 得(k2+1)x2+2kmx+m240, , 四边形 OPRQ 为平行四边形,线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点, R 点的坐标为(x1+x2,y1+y2), 即, 由点 R

21、在圆 O 上,整理得 m2k2+1, 此时4k2m24(k2+1)(m24)4(4k2m2+4)12(k2+1)0, m21,即 m1 或 m1,即 m 的取值范围为(,11,+) 20 某水产养殖户投资 243 万元建一个龙虾养殖基地, 已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 yax2+c,且第一年付出的各种维护费用为 3 万元,第二年付出的各种维护费用为 9 万元,龙虾养殖基 地每年收入 90 万元 ()扣除投资和各种维护费用,求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润? ()若干年后该水产养殖户为了投资其他项目,对该龙虾养殖基地有两种处理方案: 年平均利润最大时,以 138

22、万元出售该龙虾养殖基地; 纯利润总和最大时,以 30 万元出售该龙虾养殖基地问该水产养殖户会选择哪种方案? 解:()由已知得,当 x1 时,y3;当 x2 时,y12, 即,解得 a3,c0, y3x2 又投资 243 万元,x 年收入共 90 x 万元, 第 x 年获得纯利润为 y90 x3x2243(xN*), 令 y0,即 90 x3x22430,x230 x+810, 解得 3x27(xN*),从第 4 年开始获得纯利润 ()方案:年平均利润, 当,即 x9 时,t 取最大值 36 年平均利润最大时,以 138 万元出售该基地共获利润 369+138462(万元) 方案:纯利润总和 y

23、90 x3x22433(x15)2+432(nN*), 当 x15 时,纯利润总和最大,为 432 万元, 纯利润总和最大时,以 30 万元出售该基地共获利润 432+30462(万元), 两种方案盈利相同,但方案时间比较短,所以选择方案 21设函数(a0 且 a1,bR),已知 f(1)0,f(loga5)2 ()求 f(x)的单调区间; ()是否存在实数 ,使得 f(x)在区间m,n上的值域是2m,2n?若存在,请求出 的取值 范围;若不存在,请说明理由 解:()对于函数(a0 且 a1,bR), 由 f(1)0,得 loga(ab)0,即 ab1, 由 f(loga5)2,得 loga(

24、5b)2,即 5ba2, a2+a60,解得 a2,b1, , 2x10,x0,故 f(x)的定义域为(0,+), f(x)在区间(0,+)上单调递增,故 f(x)的单调区间为(0,+) ()假设存在实数 ,nm0, 由()知 f(x)在(0,+)单调递增,即, 令,(t1,t21), 即 t1,t2为方程 t2t0t+t00 的两不等实数根且 t1,t 21, 令 g(t)t2t0t+t0,则 , 解得 t04 即 24,2, 故存在实数 符合条件, 的取值范围是(2,+) 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做

25、的第一题计分. 22已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)x22x+1 ()求 f(x)的解析式; ()讨论函数 g(x)f(x)m(mR)的零点个数 解:()当 x0 时,x0,f(x)(x)22(x)+1x2+2x+1, f(x)是 R 上的偶函数,f(x)x2+2x+1, ()函数 f(x)的图象如图所示 当 m0 时,g(x)没有零点 当 m0 或 m1 时,g(x)有 2 个零点, 当 0m1 时,g(x)有 4 个零点, 当 m1 时,g(x)有 3 个零点 23已知函数 f(x)(lgx)2lgx1 ()求 f(x)的最小值,并求此时 x 的值; ()若 a,b 分别是 f(x)的两个零点,求 logab+logba 的值 解:()令 tlgx,tR,则, 当时,即当时, ()依题意,得 lga,lgb 是方程 t2t10 的两个实数根, 由韦达定理,得 lga+lgb1,lga lgb1, 原式