1、赣州市赣州市 20202021 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高三数学高三数学（文科文科）试卷试卷 第卷第卷（选择题共选择题共 60 分分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1.已知 R 为实数集，集合lg(3)Ax yx，2Bx x，则()AB R （ ） A.3x x B.3x x C.3x x D.32xx 2.已知复数 i () 1 i a za R是纯虚数，则z的值为（ ） A.1 B.2 C. 1 2 D.-1 3.对具有线性相关关系的变量x， y， 有一组观测数据,(1,2,
2、8) ii x yi ， 其回归直线方程是4yxa ， 且 128 2xxx， 128 32yyy ，则实数 a 的值为（ ） A.-5 B.-24 C.5 D.-3 4.如图，正方形的边长为 a，以 A，C 为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此 点取自阴影部分的概率是（ ） A.2 2 B.2 3 C.1 3 D.1 2 5.已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 42 23aa，则 11 S（ ） A.30 B.33 C.36 D.66 6.已知函数( )f x的图像向左平移 6 个单位后， 得到函数( )cos2g x 的图像， 则函数( )f x的单调
3、递增区间 为（ ） A. 5 , 1212 kk ，kZ B. 2 , 63 kk ，kZ C., 36 kk ，kZ D. 2 , 36 kk ，kZ 7.已知函数log (1)2(0,1) a yxaa恒过定点 A， 则过点(1,1)B且以 A 点为圆心的圆的方程为 （ ） A. 22 (1)(2)1xy B. 22 (2)(2)2xy C. 22 (1)(2)5xy D. 22 (2)(2)10 xy 8.己知 sin 6 2a ， 2 7 tan 6 b ， 3 11 logcos 6 c ，则 a，b，c 的大小为（ ） A.abc B.acb C.bac D.bca 9.设定义域为
4、 R 的奇函数( )f x在(0,)上为增函数，且( 4)0f ，则不等式 ()( ) 0 fxf x x 的解集 是（ ） A.( 4,0)(4,) B.(, 4)(0,4) C.( 4,0)(0,4) D.(, 4)(4,) 10.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出“面度制”去度量角，因为在半径不同的同心圆 中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度 作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为 3 ，则角的余弦值为（ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 11.如图是某四面体ABCD水
5、平放置时的三视图 （图中网格纸的小正方形的边长为 1， 则四面体ABCD外接 球的体积为（ ） A. 500 3 B.100 3 C.125 6 D.20 12.若 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 与椭圆 22 1 1625 xy 的共同焦点， 点P是两曲线的一个交点， 且 12 PFF为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A.2 2yx B. 2 4 yx C. 7 3 yx D. 3 7 7 yx 第卷第卷（非选择题共非选择题共 90 分分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13.已知向量( , 1)am，(
6、2,1)bm ，若()aab，则 m=_. 14.若曲线ln1yxx在1x 处的切线与直线2(1)30axay垂直，则 a=_. 15.已知不等式 0 320 60 xy xy xy 表示的平面区域为 D，若存在( , )x yD，使得不等式20 xyt 成立， 则实数 t 的最大值为_. 16.已知数列 n a的首项 1 2a ，前 n 项和为 n S，且 1* 1 21 n nn SSn N，则 11 S_. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共
7、 60 分） 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos(2)cosaBcbA. （1）求 A； （2）已知3b，若2ABACAM且 13 2 AM ，求ABC的面积. 18.（本小题满分 12 分） 如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆 O，AB是圆 O 的直径，矩形BCDE所在的平面垂直于圆 O 所在的平面. （1）证明：平面ADE 平面ADC； （2）若2AB ，1AC ，45EAB，试求该简单组合体的体积. 19.（本小题满分 12 分） 2021 届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学
8、生视力情 况进行调查，在高三年级 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检数据，并得到如左图的频率分布直方 图. 年级名次 是否近视 1100 1011000 近视 40 30 不近视 10 20 （1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到 0.01） ； （2） 该校医务室发现， 学习成绩突出的学生， 近视的比较多， 为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系， 对抽取的 100 名学生名次在1100名和1011000名的学生的体检数据进行了统计，得到右表中数据，根 据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关
9、系? （3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了 6 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在 这 6 人中任取 2 人，至少有 1 人的年级名次在1100名的概率. 2 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 e1 ( )ln x f xkx xx ，其中 k 为常数，e2.71828为自然对数的底数. （1）若 2 ek ，求函数( )f x的极值；
10、（2）若函数( )f x在区间(1,2)上单调，求 k 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线 2 :2(0)M xpy p的焦点为(0,1)F，过焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，在 A， B 两点处的切线相交于 N，再分别过 A，B 两点作准线的垂线，垂足分别为 C，D. （1）求证：点 N 在定直线上； （2）是否存在点 N，使得BDN的面积是ACN的面积和ABN的面积的等差中项，若存在，请求出 点 N 的坐标，若不存在，请说明理由. （二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分） 22.选修 4-4
11、：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知过点( ,0)P m的直线 l 的参数方程是 2 2 2 2 xmt yt （t 为参数） ，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos. （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，且1PA PB，求实数 m 的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数( ) |21|2|f xxxa， 1 ( )2g xx x . （1）若1a ，解不等式 4f x ； （2）如果任意 1 x R，都存在 2 x R，使得 12 f xg x，求实数
12、a 的取值范围. 赣州市赣州市 20202021 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高三数学高三数学（文科文科）参考答案参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D B C B A C B C B 二、填空题 13.0 或 1； 14. 1 3 ； 15.-1； 16.1366 或写成 6 42 3 . 三、解答题 17.解（1）因为cos(2)cosaBcbA 由正弦定理得sincos(2sinsin)cosABCBA 即sincossincos2sincosABBACA 所以sin2sincosCCA 因为在ABC中si
13、n0C 所以 1 cos 2 A 因为0A 所以 3 A （2）由2ABACAM两边平方得 222 24ABACAB ACAM 因为3b， 13 2 AM 所以 2 2 113 92 34 22 cc 解得1c或4c（舍去） 所以ABC的面积为 133 3 3 1 224 S 18.解 （1）证明：因为ABC内接于圆 O 且AB为直径 所以BCAC 在矩形BCDE中有BCDC且AC与DC相交于点 C 所以BC 面ADC 而/BC ED 所以ED 面ADC 因此面ADE 面ADC （2）解：由题知EBBC，面BCDE 面ABC且面BCDE面ABCBC 所以EB 面ABC 所以EBAB. 又因为4
14、5EAB 所以2EBAB 同理AC 面BCDE 在RtABC中 22 213BC ，所以矩形BCDE的面积为2 3 因此该简单组合体的体积 12 3 2 3 1 33 V 19.解（1）由图可知，第三组和第六组的频数为100 0.8 0.2 16人 第五组的频数为100 1.2 0.224人 所以前四组的频数和为10024 1660人 而前四组的频数依次成等比数列 故第一组的频数为 4 人，第二组的频数为 8 人，第四组的频数为 32 人 所以中位数落在第四组，设为 x， 因此有 4.650(48 16) 0.232 x （或1.6(4.6)0.22x） 解得4.7375x 所以中位数是 4.
15、74 （2）因为 2 2 100 (40 2030 10) 50 50 70 30 K 所以 2 100 4.762 21 K 所以 2 3.841K 因此在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系 （3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 6 人中年级名次在1100名和 1011000名的分别有 2 人和 4 人 从 6 人中任意抽取 2 人的基本事件共 15 个 至少有 1 人来自于 1100 名的基本事件有 9 个 所以至少有 1 人的年级名次在1100名的概率为 93 155 P 20.解（1） 2222 (1)e11(1)e1 ( ) xx xxx fxkk
16、 xxxxx 即 2 (1) e ( ) x xk fx x 当 2 ek 时 2 2 (1) ee ( ) x x fx x 令( )0fx得01x或2x 即( )f x在(0,1和2,)上单调递增，在(1,2)上单调递减 所以( )f x的极小值为 2 (2)e ln2f 极大值为 2 (1)eef （2）由于 2 (1) e ( ) x xk fx x ，(1,2)x 因为函数( )f x在区间(1,2)上单调 所以( )0fx或( )0fx在区间(1,2)上恒成立 即e0 x k或e0 x k在区间(1,2)上恒成立 因此ke或 2 ek 所以 k 的取值范围为 2 (,ee , 21
17、.解（1）由题知2p 所以 2 :4M xy 设直线:1AB ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y 联立 2 1 4 ykx xy 得 2 440 xkx 所以 12 12 4 4 xxk x x 对 2 4 x y 求导得 2 x y 所以直线AN的斜率为 1 2 AN x k 所以直线 1 11 : 2 x AN yyxx即 1 2 1 : 24 xx AN yx 同理直线 2 2 2 : 24 xx BN yx 联立和得 12 12 2 2 1 4 xx xk x x y 所以点 N 的坐标为(2 , 1)k ，即点 N 在定直线1y 上 （2）由（1）知点 N 为CD的中
18、点 取AB的中点 E，则 2 ACBD EN 由题知ACBDAB 所以2ABEN 所以2 2222 ABNAENBEN EN CNEN DNEN CNAB CN SSS 而 22 ACN AC CNAF CN S ， 22 BDN BD DNBF CN S 若存在点 N 满足题意 则2 BDNACNABN SSS 即2BFAFAB 所以 2121 200 xxxx即 21 2xx 又因为 12 12 4 4 xxk x x 将代入解得 2 = 4 k 由（1）知(2 , 1)Nk 即 2 , 1 2 N 经检验，存在 2 , 1 2 N 满足题意 22.解： （1）由 2 2 2 2 xmt
19、yt 得xmy即0 xym 由2cos得 2 2 cos 则曲线 C 的直角坐标方程为 22 2xyx，即 22 20 xxy （2）把 2 2 2 2 xmt yt 代入 22 20 xxy， 得 22 2220tmtmm 由 2 2 22420mmm 得1212m 设点 A，B 对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 2 12 2t tmm 因为 2 12 21PAPBt tmm，所以 2 21mm 当 2 21mm时，且12m （舍） 当 2 21mm时，1m 所以综上1m （2）方法二 由 22 0 20 xym xxy 得 22 2(22 )0 xm xm 由 22 (22 )80m
20、m 得1212m 设点 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 22 1 2 m xxm ， 2 12 2 m xx 因为 2222 22 112212 22PA PBxmyxmyxmxm 所以 2 121212 22PAPBxm xmx xm xxm 所以 2 22 2(1)21 2 m PA PBmmmmm 当 2 21mm时，且12m （舍） 当 2 21mm时，1m 综上1m 23.解： （1）当1a 时， 1 4 , 2 11 ( ) |21|21|2, 22 1 4 , 2 xx f xxxx xx 4f x ，当 1 2 x 时，44x，1x 当 1 2 x 时，44x，1x 所以 4f x 的解集为(, 11,) （2）由任意 1 x R，都存在 2 x R，使得 12 f xg x得： ( )( )y yf xy yg x 又因为( ) |21|2| |21 (2)| |1|f xxxaxxaa 11 ( )2 |24g xxx xx 所以14a 所以5a或3a.
