1、三明市三明市 20202020- -20212021 学年第一学期普通高中期末质量检测学年第一学期普通高中期末质量检测 高高二二数学试题数学试题 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，仅有一项仅有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方 体的图形是（ ） A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，点2, 1,3A关于平面zOx的对称点为B，则A、B两点间的距离为（ ）
2、A.2 5 B.2 C.4 D.2 13 3.已知抛物线的方程为 2 4yx，则其准线方程为（ ） A. 1 16 x B. 1 16 y C.1x D.1y 4.日常生活中，我们常看到各式各样的简易遮阳棚（板）.现有直径为2m的圆面，在其圆周上选定一个点 固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚（板）.某一时刻的太阳光线与水平地面成40角， 若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚（板）与遮阴面所成角大小为（ ） A.60 B.50 C.45 D.40 5.圆 2 2 22xy上动点到直线20 xy的距离的最小值为（ ） A.2 B.2 2 C.3 2 D.4 2 6.过抛物线 2 :20C
3、ypx p的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于,A B两点， 过线段AB的中点 N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|3 |ABMN，则直线l的倾斜角角为（ ） A.15 B.30 C.45 D.60 7.直线10axy 与连接2,3A，3,2B 的线段相交，则a的取值范围是（ ） A.(, 13,) B.1,3 C. 1 (,1,) 3 D. 1 ,1 3 8.已知 1 F、 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的上、下焦点，若点 2 F关于双曲线渐近线的对称点P满 足 11 FPOPOF（O为坐标原点） ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 3 3 yx B.
4、3yx C.2yx D. 2 2 yx 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多个选有多个选 项符合题目要求项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分分，有选错的得有选错的得 0 0 分分，部分选对的得部分选对的得 3 3 分分. . 9.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是（ ） A.正三角形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形 10.有以下四种说法，其中正确的有（ ） A.“2x 且3y ”是“5xy”的充要条件 B.直线l，m，平面
5、，若m，则“l”是“lm”的充分不必要条件 C.“3x ”是“ 2 230 xx”的必要不充分条件 D.设, a bR，则“0a ”是“0ab”的既不充分也不必要条件 11.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M为线段 1 C D上的动点，则（ ） A. 11 AMBD B.三棱锥 11 MAB D的体积与点M的位置有关 C.异面直线BM与 1 AB所成角的取值范围是60 ,90 D.直线 1 DM与平面 11 AB D所成角的正弦值的最大值为 6 3 12.已知正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为 3，D是 11 BC的中点，E是线段 1 AD上的动点.若三棱维 EABC
6、的四个顶点都在球O的球面上，则球O的半径可能是（ ） A.2 B. 3 2 2 C. 21 2 D.3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分 13.某圆锥的侧面展开图是面积为8的半圆面，则该圆维的体积是_. 14.已知椭圆 22 :1 123 yx C，那么过点1,2P 且被P平分的弦所在直线的方程为_. 15.若,M N分别为圆 1 C： 22 654xy与圆 2 C： 22 211xy上的动点，P为直线 50 xy上的动点，则|PMPN的最小值为_. 16.已知O为坐标原点，F是双曲线: 22 22 1(0,0) xy a
7、b ab 的左焦点，,A B分别为的左、 右顶点， P为上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴 交于点N，若2| 3|OEON，则的离心率为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标2,5A ，1,6B ，2,3C. （1）求顶点D的坐标； （2）求平行四边形ABCD的面积. 18.设p：关于x的不等式 2 420 xxm有解，q: 2 540mm （1）若p为真命题，求实数m
8、的取值范围； （2）若pq为假命题，pq为真命题，求实数m的取值范围. 19.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形. （1）求证：ABEF； （2）若CFAE，ABAE，求证：平面ABFE 平面CDEF. 20.已知圆C经过原点0,0O且与直线28yx相切于点4,0P. （1）求圆C的方程； （2） 在圆C上是否存在关于直线1yx对称的两点,M N， 使得以线段MN为直径的圆经过原点？若存 在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 21.如图 1， 在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDCD，24BCAD.将ABD沿BD 折起，折起后点A的位置为点P，得到三棱
9、锥PBCD如图 2 所示，平面PBD 平面BCD，直线PC与 平面PBD所成角的正切值为2. （1）求线段PB的长度； （2）试判断在线段BD上是否存在点E，使二面角DPCE的平面角的余弦值为 42 7 ？若存在，请确 定其位置；若不存在，请说明理由. 22.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右顶点分别为,A B，离心率 3 2 e ，椭圆E上任意一点M 到两个焦点 1 F， 2 F的距离之积的最大值为 4. （1）求椭圆E的方程； （2）已知点P为直线l：4x 上的任意一点，直线PA、PB与椭圆E分别交于两点C、D（不同于A、 B两点） ，求证：直线CD经过定点，并
10、求出该定点的坐标 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.A 二、二、选择题选择题 9.ABD 10.BD 11.ACD 12.BC 三、填空题三、填空题 13. 8 3 3 14.240 xy 15.9 16.5 四、解答题四、解答题 17.解法一： （1）设,D x y，则1,1AB ，2,3DCxy， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDC， 即有1,12,3xy，解得1x ，2y ， 即1,2D. （2）直线CD的斜率为 32 1 2 1 k ， 所以直线CD的方程为10 xy ， 点A到直线CD的距离为： | 25 1
11、| 3 2 2 d ， 又 22 |(2 1)(32)2DC ， 所以平行四边形ABCD的面积为3 226S 解法二： （1）因为2,5A ，2,3C，所以AC中点为0,4， 该点也为BD中点，设,D x y， 由 1 0 1 2 62 4 2 x x yy ，所以1,2D. （2）因为2 5AC ，2AB ，3 2BC ， 由余弦定理得cos0ABC 所以 2 sin1 (cos)1ABCABC， 四边形ABCD的面积为sin3 22 16SAB BCABC . 解法三： （1）同解法一、解法二 （2）依题意，1,1AB ，3, 3BC ， 因为0AB BC，所以ABBC， 又因为2AB ，
12、3 2BC ， 所以6SAB BC. 解法四： （1）同解法一、解法二 （2）依题意，1,1AB ，3, 3AD 所以| |131 3| 6SABAD 18.解法一： （1）p为真命题时，16 80m，解得2m 所以m的取值范围是(,2 （2）q为真命题时，即140mm，解得14m 所以q为假命题时4m或1m 由（1）知，p为假时2m 因为pq为假命题，pq为真命题，所以, p q为一真一假， p真q假，即 41 2 mm m 或 ，解得1m p假q真，即 14 2 m m ，解得24m 综上：m的取值范围是,1(2,4 19.（1）因为四边形ABCD是平行四边形 所以ABCD 因为AB平面C
13、DEF，CD平面CDEF 所以AB平面CDEF. 又因为AB 平面ABFE，平面ABFE平面CDEFEF 所以ABEF. （2）由（1）有ABEF 因为ABAE，所以EFAE. 又因为CFAE，EFCFF，EF 平面CDEF，CF 平面CDEF 所以AE 平面CDEF. 又因为AE 平面ABEF，所以平面ABEF 平面CDEF 20.解法一： （1）依题意，圆心C在过点4,0P且与28yx垂直的直线 1 2 2 yx 上. 由平几知识，圆心C在弦OP的中垂线2x 上 所以圆心2,1C. 所以半径|5rCO 所以圆C的方程为 22 215xy （2）设 11 ,M x y， 22 ,N x y
14、依题意，设直线MN的方程为yxt 联立 22 (2)(1)5 yxt xy ， 消去y整理得： 22 2(22)20 xtxtt 所以 12 2 12 0 1 2 2 xxt tt x x 又 2 12121 212 y yxtxtx xt xxt 依题，以MN为直径的圆过原点 所以0OM ON 所以 1212 0 x xy y 所以 2 1 212 20 x xt xxt 所以 22 2(1)0ttt tt 所以 2 30tt 所以0t 或3t 此时，都有0 所以存在满足条件的直线MN:yx 或3yx 解法二： （1）设圆C的方程为 222 ()()(0)xaybrr 可得 222 222
15、(4) 1 42 abr abr b a 解得 2 1 5 a b r 所以圆C的方程为 22 215xy （2）同解法一 21.（1）因为平面PBD 平面BCD，平面PBD平面BCDBD 又CD面BCD，CDBD 所以CD面PBD 所以CP与面PBD所成角为CPD，又tan2 CD CPD PD 所以2 2CD 因为在直角梯形ABCD中，90BADBDC，ABDBCD 所以ABDDCB 所以 ABAD CDBD ，令ABa 那么 2 2 2 2 4 a a ，所以2a 所以2AB ，即2PB （2）以BD的中点O为坐标原点， 又OB，OP为x轴，z轴建立如图空间直角坐标系 2,0,0B， 2
16、,2 2,0C ， 2,0,0D ， 0,0, 2P， 设 ,0,022E mm 2,0,2PB ， ,0,2PEm， 2,2 2,2PC . 设二面角DPCE的平面角为 设平面PCE的一个法向量为, ,nx y z. 由 nPE nPC 得 0 0 n PE n PC 即 20 22 220 mxz xyz 取2 2x ，得 2 2,2, 2nmm . 取面PCD的一个法向量 2,0,2PB 则 2 |22 |cos| |cos,| | | 52 22 PB nm PB n PBn mm （此处应有绝对值符号） 所以 2 2 2 4222 7 52 22 m mm 化简整理得： 2 2 m
17、或2 2m（舍去） 当 2 2 m 时， 1 4 DEDB 所以E为DB的四等分点，且 1 4 DEDB 22.解法一： （1）由椭圆的定义知 12 | 2MFMFa 所以 2 122 12 2 MFMF MF MFa 已知 12 | 4MFMF ，所以 2 4a ，2a . 因为 3 2 e ，所以3c . 因为 222 abc，所以1b，所以椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设l上任意点4,Pm，设, CC C xy，, DD D xy 则直线PA的方程为2 6 m yx 联立 2 2 (2) 6 1 4 m yx x y 消去y得 2222 944360mxm xm 由韦达
18、定理得 2 2 436 2 9 C m x m ，解得 2 22 1826 , 99 mm C mm 因为直线PB的方程为2 2 m yx 联立 2 2 (2) 4 2 1 m yx x y 消去y得 2222 14440mxm xm 由韦达定理得 2 2 44 2 1 D m x m ，解得 2 22 222 , 11 mm D mm 当 CD xx时，即 22 22 18222 91 mm mm 时 即 2 3m 时，:1 CD lx 过定点1,0 当 CD xx时，即 2 3m 时 22 222 22 26 2 19 221823 19 CD mm m mm k mmm mm 则 2 2
19、22 2222 : 131 CD mmm lyx mmm 整理得： 2 2 :(1) 3 CD m lyx m 易得直线CD经过定点1,0 综上所述：直线CD经过定点1,0 解法二： （1）同解法一 （2）当点C是椭圆上顶点时，直线AC的方程为 1 2 2 yx， 可得4,3P，则 3 :2 2 PB lyx与 2 2 1 4 x y联立解得 83 , 55 D ， 所以直线CD的方程为：10 xy ， 由椭圆的对称性可知，直线CD经过x轴上的定点， 所以直线CD经过定点1,0N. 以下证明一般性： 设l上任意点4,Pm，设, CC C xy，, DD D xy 则直线PA的方程为2 6 m
20、yx 联立 2 2 (2) 6 1 4 m yx x y 消去y得 2222 944360mxm xm 由韦达定理得 2 2 436 2 9 C m x m ，解得 2 22 1826 , 99 mm C mm 因为直线PB的方程为2 2 m yx 联立 2 2 (2) 4 2 1 m yx x y 消去y得 2222 14440mxm xm 由韦达定理得 2 2 44 2 1 D m x m ，解得 2 22 222 , 11 mm D mm 直线CD经过定点1,0N，即, ,N C D三点共线 因为 2 22 936 , 99 mm NC mm ， 2 22 32 , 11 mm ND m
21、m 因为 22 2222 93263 9191 mmmm mmmm 33 22 186618 91 mmmm mm 0 所以NCND，那么, ,N C D三点共线 所以直线CD经过定点1,0N 解法三： （1）同解法一 （2）设 11 ,C x y， 22 ,D xy， 1 2x ， 2 2x 所以 2 1 2 111 22 1111 4 1 1 22444 ACBC x yyy kk xxxx 所以 11 11 21 24 yx xy 依题意，设直线CD的方程为xtym 联立 22 44 xtym xy ， 消去x整理得： 222 4240tytmym 所以 2 12 2 2 12 2 40
22、 0 2 4 4 4 t tm yy t m y y t 又因为CA: 1 1 2 2 y yx x ，BD: 2 2 2 2 y yx x 且CA与BD交于直线l：4x 上的点P 所以，当4x 时， 12 12 62 22 yy y xx 所以 12 12 226 42 xy yx 所以 121212 4322322y yxxtymtym 所以 22 121212 4 (2)(2) 3 y yt y yt myym 所以 222222 4 442(2)(2)4 3 mtmmtmmt 所以2m或 222 4 (2)(2)2(2) 4 3 mtmmtmt 所以2m或1m 又因为C、D不同于A、B两点，故2m 所以直线CD的方程为1xty 所以直线CD过定点1,0N
