1、高一年级（数学） 第 1 页（共 8 页） 海淀区 2020-2021 学年第一学期期末练习 高一高一数学数学 2021.01 学校 班级 姓名 成绩 考 生 须 知 1本试卷共 6 页，共三道大题，19 道小题. 满分 100 分. 考试时间 90 分钟. 2在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名. 3试题答案一律填涂或书写在试卷上. 4考试结束，请将本试卷交回. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）已知集合1,2,3,4,5,6, 1,2,3 UA， 集 合 A 与 B 的关系如图所示，则集合B可能
2、是 （ ） A. 2 4 5 ， ， B. 1 2 5 ， ， C. 1 6 ， D. 1 3 ， （2） 若 1 :(0,),2pxx x ，则p为 （ ） A. 1 (0,),2xx x B. 1 (0,),2xx x C. 1 (0,),2xx x D. 1 (0,),2xx x （3） 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)上单调递减的是 （ ） A. 2 yx B. 1 2 yx C. 1 yx D. 3 yx （4） 某校高一年级有 180 名男生，150 名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样 的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了 30
3、人，则在男生中抽取了 （ ） A. 18 人 B. 36 人 C. 45 人 D. 60 人 （5） 已知, ,a b cR，且ab，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. 22 ab B. 11 ab C. | | |a cb c D. cacb （6） 从数字 2, 3, 4, 6 中随机取两个不同的数，分别记为 x 和 y，则 x y 为整数的概率是 （ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 2 D. 7 12 B U 高一年级（数学） 第 2 页（共 8 页） （7） 已知函数 5 ( )2xf x x ，下列区间中含有( )f x的零点的是 （ ） A. ( 1,0) B. (0
4、,1) C. (1,2) D. (2,3) （8） 已知函数 2 ( )2f xxax，则“0a ”是“函数( )f x在区间(0,)上单调递增”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （9） 对任意的正实数 x,y，不等式4xym xy恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A. 0,4( B. 0,2( C. (,4 D. (,2 （10）植物研究者在研究某种植物 15 年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示. 现要根据这 些数据用一个函数模型来描述这种植物在 15 年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是 （ ） A.
5、 (0,0,1) x ykab kaa且 B. log(0,0,1) a ykxb kaa且 C. (0) k yb k x D. 2 (0)yaxbxc a 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在题中横线上. （11）不等式 2 30 xx的解集为_. （12）某超市对 6 个时间段内使用, A B两种移动支付方式的 次数用茎叶图作了统计，如图所示. 使用支付方式 A 的次数的极差为_；若使用支付方式 B 的次数 的中位数为 17，则 m =_. （13）已知 2 1 3 2 11 log,2 , 33 abc ，则 a，b，c 的大小关系是_.（用“”连结
6、） （14）函数( )f x的定义域为 D，给出下列两个条件： 对于 12 ,x xD, 当 12 xx时，总有 12 ()()f xf x； ( )f x在定义域内不是 单调函数. 请写出一个同时满足条件的函数( )f x，则( )f x _. A支付方式B支付方式 1 0 2 7 6 9 m 6 1 42 10 53 0 植株高度y/m 生长阶段x/年12345 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高一年级（数学） 第 3 页（共 8 页） （15）已知函数 2 2 2 , ( ) 2 ,. xx xa f x xx xa 给出下列四个结论： 存在实数 a，使函数( )f x为奇函数； 对
7、任意实数 a，函数( )f x既无最大值也无最小值； 对任意实数 a 和 k，函数( )yf xk总存在零点； 对于任意给定的正实数 m，总存在实数 a，使函数( )f x在区间( 1,)m上单调递减. 其中所有正确结论的序号是_. 三、解答题：本大题共 4 小题，共 40. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16） （本小题共9分） 已知全集U R， |1| 2Ax x ， 05Bxx. 求： （）AB； （）() UA B. （17） （本小题共 10 分） 已知函数 1 ( )f xx x . （）用函数单调性的定义证明( )f x在区间(0,)上是增函数； （）解不等式 1
8、(2)(4 ) xx ff . 高一年级（数学） 第 4 页（共 8 页） （18） （本小题共 10 分） 某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为 3 年. 现 从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取 50 个，统计这些固态硬盘首次出现故 障发生在保修期内的数据如下： 型号 甲 乙 首次出现故障的 时 间x（ 年 ） 01x 12x 23x 01x 12x 23x 硬盘数（个） 2 1 2 1 2 3 假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立. （）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的 概
9、率； （）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故 障发生在保修期的第 3 年（即23x）的概率. （19） （本小题共 11 分） 函数( )f x的定义域为D，若存在正实数k，对任意的xD，总有|( )()|f xfxk，则称函数 ( )f x具有性质( )P k. （）判断下列函数是否具有性质(1)P，并说明理由. ( )2021f x ； ( )g xx； （）已知( )f x为二次函数，若存在正实数k，使得函数( )f x具有性质( )P k. 求证：( )f x是偶函数； （）已知0a ，k为给定的正实数，若函数 2 ( )log (4) x
10、f xax具有性质( )P k，求a的取值 范围. 高一年级（数学） 第 5 页（共 8 页） 海淀区 2020-2021 学年第一学期期末练习 高一高一数学数学 参考答案及评分建议参考答案及评分建议 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B D B C A C B 二、填空题： （11） |03xx （12）23；8 （13）acb （14） 1 x （答案不唯一） （15） 注：第（11）题解答正确但未写成集合形式或集合书写不正确的得 3 分；第（12）题每空 2 分；第 （13）题写成 bca 的不扣分；第（14）题答案不唯一，只要解析式符合题意
11、均得满分；第（15） 题分为 0 分，2 分和 4 分三档，不答或含有的得 0 分，答案是中的一个或两个的得 2 分，答 案是的得 4 分. 三、解答题：本大题共 4 题，共 40.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （16）解：不等式|1| 2x 的解为13x ， 故13Axx . 2 分 （）13 05 03ABxxxxxx . 5 分 （） |13 UA x xx 或， 7 分 ()|1305|10 UA Bxxxxxxxx 或或. 9 分 （17） （）证明：任取 12 ,(0,)x x ，且 12 xx， 1 分 则 1212 12 11 ( )()()()f xf xxx x
12、x 2 分 12 12 1 ()(1)xx x x 4 分 12 ,(0,)x x ，且 12 xx， 12 12 1 0,10 xx x x . 5 分 12 ( )()0f xf x. 高一年级（数学） 第 6 页（共 8 页） 即 12 ()()f xf x. 函数( )f x在区间(0,)上单调递增. 6 分 （） 1 20,40 xx , 7 分 又函数( )f x在区间(0,)上单调递增，且 1 (2)(4 ) xx ff , 1 24 xx ， 8 分 1 21 x , 9 分 1x . 不等式的解集为(,1). 10 分 （18）解： （）在图表中甲品牌的50个样本中，首次出现
13、故障发生在保修期内的频率为 5 50 ，即 1 10 . 1 分 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件A. 2 分 利用频率估计概率，得 1 ( ) 10 P A . 所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，估计其首次出现故障发生在保修期内的 概率为 1 10 . 4 分 （）在图表中甲品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为 2 50 ，即 1 25 . 在图表中乙品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为 3 50 . 5 分 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修
14、期内的第三年为事 件B，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内的第三年 为事件C. 6 分 利用频率估计概率，得 1 ( ) 25 P B ， 3 ( ) 50 P C . 7 分 ()( ) ( )( ) ( ) ( )1( )1( ) ( ) 1313 (1)(1) 25502550 119 1250 P BCBCP B P CP B P C P BP CP B P C 所以某人在该商城同时购买了甲、 乙两个品牌的固态硬盘各一个， 估计保修期内恰有一个首次出现 故障的概率为 119 1250 . 10 分 高一年级（数学） 第 7 页（共 8 页） （19
15、）解： （）对于 ，对于任意实数 x，可得|( )()| |20212021| 01f xfx, 所以( )f x具有性 质(1)P； 2 分 对于，对于任意实 x，可得| ( )()| |()| |2 |g xgxxxx . 易知, 只需取1x , 则可得| (1)( 1)| 21gg, 所以( )g x不具有性质(1)P. 4 分 （）设二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a满足性质( )P k. 则对于任意实数 x, 满足 22 |( )()| |()| |2|f xfxaxbxcaxbxcbxk . 5 分 若0b , 则可取 0 0 | k x b , 有 000 |()()
16、| |2| 2f xfxbxkk, 矛盾. 6 分 所以0b , 此时 2 ( )(0)f xaxc a 即( )f x为偶函数. 7 分 （）由于0a , 函数 2 ( )log (4) x f xax的定义域为 R. 易知 22 ( )log (4)log (22 ) xxx f xaxa . 若函数( )f x具有性质( )P k，则对于任意实数 x, 有 222 22 |( )()| |log (22 ) log (22 )| |log| 22 xx xxxx xx a f xfxaak a . 即 2 22 log 22 xx xx a kk a . 8 分 即 2 4 log 14
17、 x x a kk a . 由于函数 2 logyx在(0,)上单调递增, 可得 4 22 14 x kk x a a . 9 分 即 1 1 22 14 kk x a a aa . 当1a 时，得21 2 kk ，对任意实数 x 恒成立. 当1a 时，易知 1 0a a ，由141 x a，得 1 01 14xa ，得 1 1 0 14x a a a aa ， 得 1 11 14x a a a aaa . 依题意， 1 1 22 14 kk x a a aa 对任意实数 x 恒成立， 高一年级（数学） 第 8 页（共 8 页） 所以 1 2 , 2 . k k a a 即12 . k a 当1a 时，易知 1 0a a ，由141 x a，得 1 01 14xa ，得 1 1 0 14x a a a aa ， 得 1 11 14x a a a aaa . 依题意， 1 1 22 14 kk x a a aa 对任意实数 x 恒成立， 所以 2 , 1 2 . k k a a 即12 . k a 综上所述，a 的取值范围为2 ,2 kk . 11 分 注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分. .
