1、 1 2021 年高中数学年高中数学必修四数学公式概念必修四数学公式概念 第一章第一章 三角函数三角函数 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1.1.1 任意角 1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ZkkS,360. 与角终边垂直的角的集合：ZkkS,18090. 1.1.2 弧度制 2、如图，圆 O 的半径为 1，的长等于 1，AOB就是 1 弧度的角。 3、角的弧度数的绝对值是： r l 变形：rl l r 其中 半径r，圆心角，弧长l. 4、特殊弧度数 度 0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧度 0 12 6 4 3 12 5 2
2、 3 2 4 3 6 5 5、弧长公式：rl 6、扇形面积公式： 2 2 1 2 1 rlrS 扇形 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 1、如图：0 22 yxrOP 正弦： r y sin 余弦： r x cos 正切：)0(tanx x y 度 180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 “弧度”与“度”计算公式： 2 2 三角函数定义域 3、三角函数值的符号 4、诱导公式一 . ,ta n)2ta n( ,c o s)2c o s ( ,s in)2s i
3、n( Zk k k k 其中 利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为2 , 0内的三角函数值。 5、三角函数线 如图， x y ATOMxMPytan,cos,sin 三角函数 定义域 sin R cos R tan Zkk, 2 3 6、特殊角的三角函数 补充 1、 如图， 角平分线落在一、 三象限线xy上方， 则sincosxx. 补充 2、如图，当0, 2 时，sintan 证明： tansin 2 1 2 1 2 12 ATMP ATOAOAOMOA OATSOPASOPAS 扇形 1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 7、平方关系：1cossin 22 变形
4、： 22 cos1sin， 22 sin1cos 8、商数关系： tan cos sin 变形：costansin， tan sin cos 9、推导公式： 2 2 tan1 1 cos 2 2 2 tan1 tan sin cossin21cossin 2 2cossincossin 22 1.3 三角函数的诱导公式 公式二： 公式三： 公式四： .ta nta n ,c o sc o s ,s ins in .ta nta n ,c o sc o s ,s ins in .ta nta n ,c o sc o s ,s ins in 角度 0 30 45 60 90 120 135 150
5、 180 270 360 sin 正弦 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 1 0 cos 余弦 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 0 1 tan 正切 0 3 3 1 3 不存 在 3 1 3 3 0 不存 在 0 x=y 4 公式五： 公式六： . ta n 1 2 ta n ,sin 2 c o s ,c o s 2 sin . ta n 1 2 ta n ,sin 2 c o s ,c o s 2 sin 1.4 三角函数图象与性质三角函数图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 1、正弦、余弦函数图象
6、2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为： xysin，2 , 0 x：0,2,1, 2 3 ,0,1, 2 ,0, 0 xycos，2 , 0 x：1,2,0, 2 3 ,1,0, 2 ,1, 0 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 3、对于函数 xf， 如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时， 都有 xfTxf， 那么函数 xf就叫做周期函数 、非零常数T就叫做这个函数的周期 。 函数xAysin及函数xAycos的周期 2 T. 4、重要推论 （1）若函数xafxaf，则 xf关于ax 对称； 若函数xafxaf，则 xf关于点0, a对称. （2）与周期相
7、关的结论 xfaxf，则函数 xf的一个周期aT2； xf axf 1 ，则函数 xf的一个周期aT2； 5 xf axf 1 ，则函数 xf的一个周期aT2； bxfaxf，则函数 xf的一个周期baT； xf xf axf 1 1 ，则函数 xf的一个周期aT4； xf关于ax 和bx 对称，则 xf周期baT 2； xf关于0, a和0, b对称，则 xf周期baT 2； xf关于0, a和bx 对称，则 xf周期baT 4. 5、正弦函数xysin的定义域为R；值域为1, 1. 当Zkkx 2 2 时，y取最大值 1；当Zkkx 2 2 时，y取最小值1. 6、余弦函数xycos的定义
8、域为R；值域为1, 1. 当Zkkx2时，y取最大值 1；当Zkkx2时，y取最小值1. 7、奇偶性 由诱导公式xxsinsin，xxcoscos可知： 正弦函数是奇函数 ，余弦函数是偶函数 。 8、对称性 （1）正弦曲线对称中心坐标为Zkk0,；对称轴方程是Zkkx 2 . （2）余弦曲线对称中心坐标为Zkk 0, 2 ；对称轴方程是Zkkx. 9、单调性 （1）正弦函数xysin在Zkkk 2 2 ,2 2 上都是增函数，其值从1增大到 1；在 Zkkk 2 2 3 ,2 2 上都是减函数，其值从 1 减小到1. （2）余弦函数xycos在Zkkk2,2上都是增函数，其值从1增大到 1；在
9、 Zkkk2,2上都是减函数，其值从 1 减小到1. 6 1.4.3 正切函数的性质与图像正切函数的性质与图像 10、正切函数的图像 11、正切函数xytan的定义域是： Zkkxx, 2 . 12、周期性 由诱导公式Rxxx,tantan, Zkkx, 2 可知，正切函数是周期函数，周期是T. 13、奇偶性 由诱导公式Rxxx,tantan， Zkkx, 2 可知，正切函数是奇函数。 单调性：正切函数在开区间单调性：正切函数在开区间 14、Zkkk 2 , 2 内都是增函数。 15、值域：正切函数的值域为 R. 1.5 函数函数xAysin的图像的图像 1、对xysin，xR 图像的影响 函
10、数xysin（0） 的图像， 可以看做是把xysin的图像上各点向左 （0） 或向右 （0） 平移个单位得到的。 （可简记为左“”右“” ） 2、0对xysin图像的影响 7 函数)sin(xy的图像上点的横坐标缩短1或伸长10到原来的 1 倍（纵坐标不变）而 得到的。 3、A0A对xAysin图像的影响 函数xAysin的图像，可以看做是把xysin上所有点的纵坐标伸长) 1(A或缩短 ) 10( A到原来的A倍（横坐标不变）而得到。 4、xAysin ，0,x，0, 0A 的性质 （1）对称轴：令1sinx，即 kx 2 ，)( 2 Zk k x （2）对称中心：令0sinx，kx， k
11、x，Zk k 0, （3）最值： kxykxy2 2 , 1,2 2 , 1 minmax （4）单调区间：,A均大于 0 以后，将x整体代入 5、当函数 0, 00sinAxxAy表示一个振动量 时，A为振幅 ， 2 T是周期 ， 2 1 T f是频率 ，x为相位 ，为初相 。 第二章第二章 平面向量平面向量 2.1 平面向量的基本概念平面向量的基本概念 2.1.1 平面向量的概念平面向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。 2.1.2 向量的几何表示 3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线
12、段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。 4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模） ，记作AB或 者a. 5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0。零向量的方向不确定，是任意的。 6、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量。 8 7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母、 、abc、表示向量；手写时，写成带箭头的小 写字母a b c、表示。 8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作a/b。零向量与 任一向量平行，即对于任意向量a，都有0/a.平行向量也叫做共线向量。 2.1.3 相等向量与共线
13、向量 9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。 10、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。 2.2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 1、三角形法则：如图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作 AB a，BC b，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，即 ABBCACab. 对于零向量与任一向量a，仍然有+=+=00aaa 2、平行四边形法则： 如图， 以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB， 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。记作ACab=. 3、向量a、b、ab的关系 （
14、1）a、b都为非零向量 （）当a、b不共线时，ababab （） 当a、b共线时， 同向， 则abab； 反向， 则abab （2）当a、b至少有一个为零向量时， ababab 综上所述：当a、b不共线时，一般地，我们有 ababab. 4、向量加法（1）交换律：abba （2）结合律：abcabc 2.2.2 向量减法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义 5、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a. 若a、b是互为相反的向量，则ab，ba，0ab. 9 6、向量的减法：如图，已知向量a于b，在平面内任取一点 O， 作OAa，OB b，则BAab，即ab表示的向量
15、从向 量b的终点指向向量a的终点的向量。 7、向量a、b、ab的关系 （1）a、b都为非零向量， （）当a、b不共线时：ababab （）当a、b共线时，同向，则abab；方向，则abab （2）当a、b少有一个为零向量时， ababab 综上所述：当a、b不共线时，一般地，我们有ababab. 2.2.3 向量乘法运算及其几何意义向量乘法运算及其几何意义 8、向量的数乘：实数于向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向 规定如下： a aa a 当0时，a的方向与a的方向相同； 当0时，a的方向与a的方向相反； 当0时，0a. 9、向量满足的运算律 设、为实数，则有
16、 结合律： aa； 第一分配律：aaa；第二分配律：abab. 特别的，我们有aaa；abab. 10、数乘向量与原向量之间的位置关系 （1）当0a时，a与a共线； （2）当 0a时，a与a同向，则0；反向，则0. 11、对于向量 0a a、b，如果有一个实数，使ba，那么由向量数乘的定义知，a与b共线。 12、共线向量定理 （1）判定定理：如果Rba，那么a/b （2）性质定理：如果a/b， 0a，那么存在唯一一个实数，使得ba 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理：如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任
17、意向量，那 么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数 1 、 2 ， 使 1 12 2 aee.我们把不共线的向量 1 e、 2 e 结果也是向量 10 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 2、两向量的夹角 如图，非零向量a、b中，作OAa，OB b，则 oo 0108AOB叫做 向量a与b的夹角。如果a与b的夹角是 90，我们说a与b垂直，记作ab. 2.3.2 平面性量的正交分解及坐标表示平面性量的正交分解及坐标表示 3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解 4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x、y使得xyaij. 把, x ya叫做向
18、量的坐标表示。 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 5、向量的加减法运算 若 11 ,x ya， 22 ,x yb，则 1212 ,xxyyab， 1212 ,xxyyab 两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 6、实数于向量的积 若 11 ,x ya， 22 ,x yb，则 1111 ,x yxya 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 7、若 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 2121 ,ABxx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 8、设 11
19、,A x y， 22 ,B xy， 其中 0b， 当且仅当 1221 0 x yx y时， 向量a、b共线。 即a/b（ 0b） 1221 0 x yx y. 11 2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的含义 1、数量积：已知两个非零向量a与b，我们把数量cosa b叫做a与b的数量积（或内积） ，记作a b， 即cosa ba b.其中，是a与b的夹角。 我们规定，零向量与任一向量的数量积为 0.即00 a. 注意： （1）a、b运算结果是数量； （2）它在0, 2 为正，, 2 为负。 2、根据向量数量积的定义得出的结论 （1）0aba b （2）当a与b同
20、向时，a ba b；当a与b反向时， a ba b. 特别的， 2 2 a aaa或 2 aaa a. （3）a ba b （共线时取等号） （4）求投影，由cosa ba bcos a b a b . 求夹角，由cosa ba bcos a b a b 3、平面向量数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积。 4、向量的运算律 （1）交换律：a bb a （2）结合律：a ba bab （3）分配律：cab cab c （4） 2 22 2abaa bb （5） 22 ababab 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 5、平面向量数量积的坐标
21、表示 设 11 ,A xy， 22 ,B xy，则 1212 x xy ya b. 也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 6、向量的长度（模）的坐标表示 （1）向量的长度（模） ：若, xya，则有 2 22 xya， 22 xya. （2）两点间的距离公式：设A、B两点坐标分别为 AA yx , ， BB yx ,，则 12 22 AABB ABxxyy 7、两向量垂直的充要条件的坐标表示 设 11 ,xya， 22 ,xyb，则 1212 0 x xy yab 8、两向量夹角的坐标表示 设 11 ,xya， 22 ,xyb，a，b的夹角为，则有 1212 2222 112
22、2 cos x xy y xyxy a b a b 平面向量补充内容平面向量补充内容 补充 1、平面内不同四点为, , ,O A B C，则 ,A B C三点共线1OCOAOB或 1OCOAOB. 特别的，当 2 1 时，C为AB中点， 1 2 OCOAOB. 补充 2、 （1）若GA GBGC0，则G为ABC的重心。 （2）若 11 ,A xy， 22 ,B xy， 33, y xC，则G坐标为 123 123 3 3 xxx x yyy y 补充 3、当 12 PPPP时，则 1122 ,xxyyxxyy 12 12 xxxx yyyy 12 12 1 1 xx x yy y 总结：若P
23、PP P 起分分终，则 , 11 xxyy 起终起终 . 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 13 1、coscoscossinsin （ C ） 给出任意角，的正弦、余弦值与其夹角的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式。简记作 C . 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2、两角和的余弦公式 coscoscossi nsi n （ C ） 3、两角和（差）的正弦公式 si nsi ncoscossi n （ S ） si nsi ncoscos
24、si n （ S ） 4、两角和（差）的正切公式 t a nt a n t a n 1t a nt a n （ T ） t a nt a n t a n 1t a nt a n （ T ） 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 5、二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 22 sincos （ 2 S ） 2222 c o s 2c o ss i n2 c o s112 s i n （ 2 C ） 2 2 t a n t a n 2 1t a n （ 2 T ） 8、公式的逆运算即变形公式 （1） 2 22 1 sin2sincos2sincossincos （2
25、）升幂公式： 2 1 cos2cos 2 2 1 cos2sin 2 降幂公式： 2 1cos2 cos 2 2 1c o s 2 sin 2 补充 1：辅助角公式： 22 2222 sincossincos ab abab abab 补充 2：若在三角形“”中，sin,cosAaBb， 则sinsinabABAB. 14 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 6、半倍角的正弦、余弦、正切公式 1co s s i n 22 1 cos cos 22 1co ss i n1co s t an 21co s1co ss i n 7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式 2 1c o s sin
26、 22 2 1 cos cos 22 2 1c o s t a n 21c o s 8、象限角符号的判定 2 2 sin 2 cos 2 tan 第一象限 第一、三象限 、 、 第二象限 第一、三象限 、 、 第三象限 第二、四象限 、 、 第四象限 第二、四象限 、 、 若给出角的范围（某一区间）时，可先求出 2 的范围，然后再根据 2 所在的范围来确定符号。如果 没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号 9、三角函数的积化和差公式 1 s i nc o ss i ns i n 2 1 c o ss i ns i ns i n 2 1 c o sc o sc o sc o s 2 1
27、s i ns i nc o sc o s 2 10、三角函数的和差化积公式 s i ns i n2 s i nc o s 22 s i ns i n2 c o ss i n 22 c o sc o s2 c o sc o s 22 c o sc o s2 s i ns i n 22 15 11、三倍角的正弦、余弦、正切公式三倍角的正弦、余弦、正切公式 3 s i n 33 s i n4 s i n 3 cos34cos3cos 3 2 3 t a nt a n t a n 3 13 t a n 12、其他一些恒等变换 2 2tan 2 sin 1tan 2 2 2 1t a n2 c o s 1t a n2 2 2tan 2 tan 1tan 2
