1、 一、选择题一、选择题 6. （2019遂宁）如图， ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O，OEBD 交 AD 于点 E，连接 BE，若 ABCD 的周长 为 28，则ABE 的周长为 ( ) A.28B. 24C. 21 D. 14 【答案】D 【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，OEBD，所以 OE 垂直平分 BD，所以 BE=DE,从而ABE 的周长等于 AB+AD，即 ABCD 的周长的一半，所以ABE 的周长为 14，故选 D. 二、填空题二、填空题 14 （2019武汉）如图，在ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90 ，BCD63 ，则
2、 ADE 的大小为_ 【答案】【答案】21 【解析】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，15ADF90 ，AEEF，DE 1 2 AF AE，1252AECD，DEAE，DECD，3431222， 422BCD63 ，5463 ，即 3263 ，221 ，即ADE21 故答案为 21. 1.（2019达州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的周长 是 8，则BCD 的周长为_ . 【答案】16 【解析】O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，点 E 是 AB 的中点，可得 OE= 2 1 AD，BE=
3、 2 1 AB， BO= 2 1 BD，可得BEO 的周长是BAD 周长的一半，而BCD 的周长和BAD 周长相等，即BCD 的周长为 16. 10 （2019烟台）烟台）如图，面积为 24 的ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，过点 D 作DEBD交 BC 的延 长线于点 E，6DE ，则sinDCE的值为（ ） A 24 25 B 4 5 C 3 4 D 12 25 【答案答案】A 【解析】【解析】连接 AC，交 BD 于点 F，过点 D 作DMCE，垂足为 M， 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 F 是 BD 的中点，AD/BC， 所以DBCADB， 因为 BD 是 ABC
4、的平分线， 所以ABDDBC， 所以ABDADB ， 所以ABAD， 所以ABCD 是菱形， 所以ACBD， 又因为DEBD， 所以 AC/DE， 因为 AC/DE，F 是 BD 的中点， 所以 C 是 BE 的中点， 所以 1 3 2 CFDE， 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以26ACFC， 2 ABCD ACBD S 菱形 ， 所以 22 24 8 6 ABCD S BD AC 菱形 ， 所以 1 4 2 BFBD， 在 RtBFD 中，由勾股定理得 22 5BCBFCF， 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以5DCBC， 因为 ABCD SBCDM 菱形 所以 24 5 ABCD
5、S DM BC 菱形 ， 在 RtDCM 中， 24 sin 25 DM DCE DC 7 （2019威海）威海） 如图，E 是ABCD 的边 AD 延长线上一点，连接 BE，CE，BD，BE 交 CD 于点 F.添加以下条 件，不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是（ ） F AD B C E M 第 10 题答图 AABDDCE B. DFCF C.AEBBCD D.AECCBD 【答案】C 【解析】【解析】根据平行四边形的性质，得ADBC，ABCD，所以DEBC，所以ABDCDB，若添加 ABDDCE，可得CDBDCE，从而可得BDCE，所以四边形BCED为平行四边形，故 A 正确；
6、 根据平行线的性质，得DEFCBF，若添加DFCF，由于EFDBFC，故DEFCBF，从而EF BF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形” ，得四边形BCED为平行四边形，故 B 正确； 根据平行线的性质，得AEBCBF，若添加AEBBCD，易得CBFBCD，求得CFBF，同 理，EFDF，不能判定四边形BCED为平行四边形，故 C 错误；根据平行线的性质，得DEC BCE180，若添加AECCBD，则得BCECBD180，所以BDEC，于是得四边形BCED 为平行四边形，故 D 正确故选 C. 三、解答题三、解答题 20 （2019淮安）淮安）已知：如图，在ABCD 中，点 E、F 分
7、别是边 AD、BC 的中点. 求证：BE=DF. 【解题过程】证明：【解题过程】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC. 点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点， DEBF，DE=BF， 四边形四边形 BFDE 是平行四边形，是平行四边形， BE=DF. 1.（2019重庆 A 卷）如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，连结 AE，EMAE，垂足为 E，交 CD 于点 M， AFBC，垂足为 F，BHAE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P 是 AD 上一点，连接 CP （1）若 DP2AP4，CP17，CD5，求ACD 的面积； （2）若 AEBN，ANC
8、E，求证：AD2CM2CE F E CD B A 解：解： （1）如图 1，过点 C 作 CQAD 于点 Q DP2AP4， AP2，AD6 设 PQx， 则 DQ4x， 根据勾股定理，得 CP2PQ2CD2DQ2， 即 17x252(4x)2， 解得 x1，从而 CQ 22 534，故 SACD 1 2 ADCQ 1 2 6412 （2）如答图 2，连接 NE EMAE，AFBC，BGAE， AEBFBNAEBEAFAEBMEC90 EAFNBFMEC 在BFN 和AFE 中， BFNAFE FBNFAE BNAE ， BFNAFE（AAS） BFAF，NFEF ABC45，ENF45，FC
9、AFBF ANEBCD135，ADBC2AF 在ANE 和ECM 中， NAECEM ANEECM ANEC ， ANEECM（ASA） CMNE 又NF 2 2 NE 2 2 CM， AF 2 2 CMCE AD2CM2CE 2.（2019衢州衢州）如图，在44的方格子中，ABC的三个顶点都在格点上. （1）在图1中面出线段CD，使CDCB，其中D是格点. （2）在图 2 中面出平行四边形 ABEC，其中 E 是格点. 第 25 题答图 1 QP H N M F E D CB A A B C D E F M N H P 第 25 题答图 2 解：解： 线段CD就是所求作的图形；ABEC就是所
10、求作的图形. 3.（2019金华）金华）如图，在 7 6 的方格中，ABC 的顶点均在格点上.试按要求画出线段 EF（E，F 均为格点） ， 各画出一条即可. （第 20 题图） 解：如图， 22 （20192019 浙江省温州市，浙江省温州市，2222，1010 分）分） （本题满分 10 分） 如图，在ABC 中，BAC=90，点 E 在 BC 边上，且 CA=CE，过 A，C，E 三点的O 交 AB 于另一点 F，作直 径 AD，连结 DE 并延长交 AB 于点 G，连结 CD，CF （1）求证：四边形 DCFG 是平行四边形； （2）当 BE=4，CD= 3 8 AB 时，求O 的直径
11、长 图1：EF平分BC A C B 图2：EFAC A C B 图3：EF垂直平分AB A C B 图3：EF垂直平分AB图2：EFAC图1：EF平分BC A E C F B EA CF B A C E FB 图 1 图 2 【解题过程】【解题过程】 （1）连接 AE. BAC=90，CF 是O 的直径. AC=EC，CFAE.AD 为O 的直径，AED=90，即 GDAE，CFDG. AD 为O 的直径， ACD=90， ACD+BAC=180， ABCD， 四边形 DCFG 为平行四边形； （2）由 CD= 3 8 AB，可设 CD=3x,AB=8x，CD=FG=3x. AOF=COD，A
12、F=CD=3x，BG=8x-3x-3x=2x. GECF，BGECDE， 2 3 BEBG EGGF . 又 BE=4，AC=CE=6，BC=6+4=10，AB= 22 10 -6=8=8x，x=1. 在 RtACF 中，AF=3，AC=6，CF= 22 3 +6=35，即O 的直径长为 35. 22 （2019 江西省，江西省，22，9 分）分）在图在图 1，2，3 中，已知：中，已知：ABCD，ABC=120，点，点 E 为线段为线段 BC 上的动点，上的动点， 连接连接 AE，以，以 AE 为边向上作菱形为边向上作菱形 AEFG，且，且EAG=120. (1)如图如图 1，当点，当点 E
13、 与点与点 B 重合时，重合时，CEF= ; (2)如图如图 2，连接，连接 AF. 填空：填空：FAD EAB(填填” ，” ，” ， “” ， “=”)； 求证：点求证：点 F 在在ABC 的平分线上；的平分线上； (3)如图如图 3，连接，连接 EG，DG，并延长，并延长 DG 交交 BA 的延长线于点的延长线于点 H，当四边形，当四边形 AEGH 是平行四边形时，求是平行四边形时，求 AB BC 的值的值. 【解题过程】解： （【解题过程】解： （1）当点当点 E 与点与点 B 重合时，重合时， 四边形四边形 AEFG 是菱形，是菱形， ABE=AEF=180-EAG=180-120=
14、60， ABC=120， CEF=ABC-ABE=120-60=60. 答案：答案：60； （2）ABCD 中中ABC=120，BAD=180-ABC=180-120=60. 菱形菱形 AEFG 中中EAG=120，EAF= 2 1 EAG= 2 1 120=60. FAD=EAB. 答案：答案：= 如图所示，连接如图所示，连接 BE，以，以 BE 为边向下作等边为边向下作等边BEP， 第22题图 O G F E D CB A 第22题图 O G F E D CB A 则则 BE=PE，BEP=AEF=P=60，AE=FE， BEFPEA， EBF=P=60， 又又ABC=120， EBF=
15、2 1 ABC， 点点 F 在在ABC 的平分线上的平分线上. （3）四边形四边形 AEGH 是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形 AEFG 是菱形，是菱形，GH=AE=AG=DF=FE. EAG=120，H=HAG=AGE=FGE=AEG=FEG=BAE=DAE=ADE=AEB=30. DF=FG=GH=AE，AB=BE. AEGH， ABEHAD， 3 3 AE AE AE DH BE AD AB BC . 一、选择题一、选择题 11(2019海南海南) 如图,在ABCD 中,将ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处,若B 60,AB3,则ADE 的周
16、长为( ) A.12 B.15 C.18 D.21 第 11 题图 【答案】【答案】C 【解析】【解析】折叠后点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处,ACDE,ECCDAB3,ED6,B60, D60,AD2CD6,AE6,ADE 的周长AE+AD+ED18,故选 C. 【知识点】【知识点】折叠,三角函数,平行四边形 三、解答题三、解答题 19. （2019广安） 如图， 点E是ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，3CF ，2CE ， 求A B C D 的周长 【思路分析】【思路分析】先证明ADEFCE ，得到3ADCF，2DECE，从而可求平行四边形的面积 【解题过程
17、】解：四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC， DAEF，DECF 又EDEC， ()ADEFCE AAS 3ADCF，2DECE 4DC 平行四边形ABCD的周长为2()14ADDC 【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 19.（2019荆门）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB5，BC3，AC213 （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）求证：BDBC 【思路分析】【思路分析】（1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，设 BEx，由勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出平 行四边形的高，进而即可求出其面积； （2）利用全等三角形的判定与性质得出 AF
18、BE= 9 5，BF5 9 5 = 16 5 ，DFCE= 12 5 ，从而求出 BD 的长，在 BCD 中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直 【解题过程】解：（1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，如图： 设 BEx，CEh 在 RtCEB 中：x2+h29 在 RtCEA 中： （5+x）2+h252 联立解得：x= 9 5，h= 12 5 平行四边形 ABCD 的面积ABh12； （2）作 DFAB，垂足为 F DFACEB90 平行四边形 ABCD ADBC，ADBC DAFCBE 又DFACEB90，ADBC ADFBCE（AAS） AFBE= 9 5，BF5 9 5 =
19、 16 5 ，DFCE= 12 5 在 RtDFB 中：BD2DF2+BF2（12 5 ）2+（16 5 ）216 BD4 BC3，DC5 CD2DB2+BC2 BDBC 【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质 21 （2019 福建）在 RtABC 中，ABC=90，ACB30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转一定的角度 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E. (1)若点 E 恰好落在边 AC 上，如图 1，求ADE 的大小； (2) 若=60，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BFDE 是平行四边形. 【思路分析】(1)根据旋转后图形的形状大小不变，得ADC
20、为等腰三角形，利用等腰三角形性质求底角度数， 再利用直角三角形两个锐角互余，即可求出ADE 的大小；(2)根据 F 是 AC 中点，利用直角三角形斜边中 线等于斜边一半，可得 DEABBF，再利用等腰三角形三线合一证明 BFCE，从而得出 BFDE，即可 得出四边形 BFDE 是平行四边形. 【解题过程】解： （1）根据旋转性质得：DCE=ACB30，DEC=ABC90，CACD，ADC= DAC75，EDC=90ACD=60，ADE=ADCEDC=15； （2）延长 BF 交 CE 于点 G. 在 RtABC 中，ACB30，点 F 是边 AC 中点，BF=FC=AC，FBC=ACB=30，
21、由旋转性质 AB=DE，DEC=ABC=90，BCE=ACD=60，DE=BF，BGE=GBCECB=90， DEC=BGE=90，BFDE，四边形 BFDE 是平行四边形. 180 2 DCE 1 2 【知识点】图形的旋转；直角三角形性质；等边三角形性质与判定；平行四边形判定 24. （2019 扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分 DAB ，已知 6CE ， 8BE ， 10DE （1）求证： 90BEC； （2）求cos DAE 【思路分析】 （1）根据平行四边形的性质得出DC AB ，AD CB ， / /DCAB，推出 DEAEAB ，再根据 角平分线性质得出 DAEDEA
22、，推出 10ADDE ，得出 16ABCD ，由勾股定理的逆定理即可得出 结论； （2） 由平行线得出 90ABEBEC ， 由勾股定理求出 22 8 5AEABBE ， 得出cos cosDAEEAB ， 即可得出结果 【解题过程】解： （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， DCAB，ADBC ， / /DCAB， DEAEAB ， AE平分DAB ， DAEEAB ， DAEDEA 10ADDE ， 10BC ， 16ABCDDECE ， 22222 68100CEBEBC ， BCE 是直角三角形， 90BEC； （2）解： / /ABCD， 90ABEBEC ， 2222 1688
23、 5AEABBE ， 162 5 coscos 58 5 AB DAEEAB AE 【知识点】解直角三角形；平行四边形的性质；勾股定理的逆定理 22. （2019连云港）如图，在 ABC 中，AB AC 将 ABC 沿着BC方向平移得到 DEF ，其中点E在边BC 上，DE与AC相交于点O （1）求证： OEC 为等腰三角形； （2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由 【思路分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出 BACB ，根据平移得出 / /ABDE，求出BDEC ，再求 出 ACBDEC 即可； （2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形A
24、ECD是矩形即可 【解题过程】解： （1）证明： ABAC ， BACB ， ABC 平移得到 DEF ， / /ABDE ， BDEC ， ACBDEC ， OEOC ， 即 OEC 为等腰三角形； （2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形， 理由是： ABAC ，E为BC的中点， AEBC ，BE EC ， ABC 平移得到 DEF ， / /BEAD ，BE AD ， / /ADEC ，AD EC ， 四边形AECD是平行四边形， AEBC ， 四边形AECD是矩形 【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；平行四边形的判定；平移的性质 7. （2019广州）如图， ABC
25、D 中，AB2，AD4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ） AEHHG B四边形 EFGH 是平行四边形 CACBD DABO 的面积是EFO 的面积的 2 倍 【答案】B 【解析】E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，在 ABCD 中，AB2，AD4， EH= 1 2AD2，HG= 1 2 = 1 2AB1，EHHG，故选项 A 错误； E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点， EH= 1 2 = 1 2 = ，四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正确； 由题目中的条
26、件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误； 点 E、F 分别为 OA 和 OB 的中点， EF= 1 2 ，EFAB，OEFOAB， = ( ) 2 = 1 4， 即ABO 的面积是EFO 的面积的 4 倍，故选项 D 错误， 故选 B 【知识点】平行四边形的判定与性质； 相似三角形的判定与性质 一、选择一、选择题题 17. （2019 台湾）如图，将一张面积为 14 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边 形纸片根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？( ) A 21 5 B 42 5 C 24 7 D 48 7 【答案】【答案】D 【解析】【解析】
27、解：如图，设ADE，BDF，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为 1 S， 2 S， 3 S和S， 过点D作/ /DHEC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而DFHEGC ， 3DFH SS ， / /DEBC， ADEABC，3DE ，7BC ， 1 9 49 ABC S S ， 14 ABC S， 1 9 14 49 S， 1 :(4):32:3 2 BDH SS ， 2 3 BDH SS ， 29 1414 349 SS， 48 7 S 故选：D 【知识点】【知识点】平行四边形的性质；三角形的面积 8 （2019 永州） 如图， 四边形 ABCD 的对角线
28、相交于点 O， 且点 O 是 BD 的中点， 若 AB=AD=5， BD=8， ABD CDB，则四边形 ABCD 的面积为 A40 B24 C20 D15 【答案】B 【解析】 ABDCDB， ABCD， O 是 BD 的中点， BO=DO， 又AOBCOD， AOBCOD， AB=CD， 又 ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形 AB=AD， 四边形 ABCD 是菱形 ACBD 在 RtABO 中， BO= 2 1 BD=4， AO= 22 BOAB = 22 45 =3， AC=2AO=6， 四边形 ABCD 的面积为 2 1 AC BD= 2 1 6 8=24故选 B 8. （2
29、019泸州）四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能判定四边形 ABCD 为 平行四边形的是（ ） AADBC BOAOC，OBOD CADBC，ABDC DACBD 【答案】【答案】B 【解析】【解析】OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形；故选：B 【知识点】【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定 二、填空题二、填空题 16.（2019 梧州）如图，ABCD中，119ADC，BEDC于点E，DFBC于点F，BE与DF交于 点H，则BHF 度 【答案】【答案】61 【解析】【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC，/
30、/DCAB， 119ADC，DFBC， 90ADF， 则29EDH， BEDC， 90DEH， 902961DHEBHF 故答案为：61 【知识点】【知识点】平行四边形的性质 6. （2019云南）在平行四边形 ABCD 中，A30，AD43，BD4，则平行四边形 ABCD 的面积等于. 【答案】316或38 【解析】本题考查了解直角三角形，涉及 30 度直角三角形及勾股定理，对图形进行分类是解决本题的关键， 过 D 作 DEAB 于 E， 在 RtADE 中，A30，AD4， DEAD2，AEAD6， 在 RtBDE 中，BD4， BE2， 如图 1，AB8， 平行四边形 ABCD 的面积A
31、BDE8216， 如图 2，AB4， 平行四边形 ABCD 的面积ABDE428， 故答案为：16或 8 3 （2019龙东地区）龙东地区）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 _，使四边形 ABCD 是平行四边形 【答案】【答案】答案不唯一，ADBC 或 AB=CD 或A+B=180等. 【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可【解析】根据平行四边形的判定方法填上一个合适的条件即可. 【知识点】【知识点】平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法 A B D C 三、解答题三、解答题 17 （2019张家界）如图，平行四边形 ABC
32、D 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC 交于点F，G （1）求证：BF=CF; （2）若 BC=6,DG=4,求 FG 的长 解析：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质 （1）由平行四边形 的性质证BEFCDF，得证； （2）由平行线得到ADGCFG，根据相似三角形的性质得到成比例线段求 解. 答案：解： （1）平行四边形 ABCD，AECD,AB=CD,EBF=DCF,BEF=CDF,AB=BE, BE=CD, BEFCDF,BF=CF； （2）ADBC,ADGCFG, DG FG AD CF ,即 46
33、3FG ,FG=2. 21. （2019本溪）本溪）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD，B=45 ，延长 CD 到点 E，使 DE=DA， 连接 AE. （1）求证：AE=BC； （2）若 AB=3，CD=1，求四边形 ABCE 的面积. （1）证明：ADCD，ABCD， ADE=DAB=90 . AD=DE， E=DAE=45 ， EAB=135 . B=45 ， B+EAB=180 ， AEBC， 四边形 ABCE 是平行四边形， AE=BC. （2）解：由（1）知 AB=CE， CD=1，AB=3， DE=2. AD=DE， AD=2， S四边形ABCE=3 2=6. 【知
34、识点】【知识点】平行四边形的判定与性质；面积计算. 21 （2019雅安）雅安）如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 经过 O，分别 交 AB、CD 于点 E、F， EF 的延长线交 CB 的延长线于 M （1）求证：OE=OF； （2）若 AD=4，AB=6，BM=1，求 BE 的长 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，ABCD，BC=AD，1=2，3=4，AOE COF（ASA） ，OE=OF； （2）解：过点 O 作 ONBC 交 AB 于 N，易证AONABC，OA=OC，ON= 1 2 BC=2，BN= 1 2 AB=3， ONBC，ONEM
35、BE， ONNE BMBE ， ONBMNEBE BMBE ，BM=1，BE=1 【知识点】【知识点】平行四边形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质平行四边形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 26 （2019永州）(本小题 12 分)(1)如图 261，在平行四边形 ABCD 中，A=30 ，AB=6，AD=8，将平行四边 形 ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽(保留分割线的痕 迹) 解：矩形的长为 8，宽为 3 (2)若将一边长为 1 的正方形按如图 2621 所示剪开，恰好能拼成如图 2622 所示的矩形，则 m 的值
36、 E O D C A B M F 3 4 2 1 E O D C A B M F N 是多少？ 解：由两个图形的面积相等，有 m(m1)=1，解得 m= 2 51 或 m= 2 51 (舍去) 所以 m 的值是 2 51 (3)四边形 ABCD 是一个长为 7，宽为 5 的矩形(面积为 35)，若把它按如图 2631 所示的方式剪开，分成 四部分，重新拼成如图 2632 所示的图形，得到一个长为 9，宽为 4 的矩形(面积为 36)问：重新拼 成的图形的面积为什么会增加？请说明理由 解：如图，tanAFG= FG AG = 2 34 = 2 1 ，tanFCH= HC FH = 7 3 ， 因
37、为 2 1 7 3 ，所以AFGFCH，因此点 A，F，C 三点不在同一直线上，即原图形不能拼成新图形 19 （2019郴州）如图，ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，连 接 AC，DF 求证：四边形 ACDF 是平行四边形 解析：本题考查了平行四边形、平行线的判定，全等三角形的性质，解题的关键 是得到 AFCD，且 AFCD 答案：证明：ABCD 是平行四边形， ABCD，即 AFCD， AFEDCE 点 E 是边 AD 的中点， EFEC， 又AEFDEC， AEFDEC， AFDC 四边形 ACDF 是平行四边形 22 （2019 柳州
38、）柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形请你证明 这个判定定理 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明： 【解题过程】【解题过程】连接 AC，如图所示：在ABC 和CDA 中，ABCCDA（SSS） ， BACDCA，ACBCAD，ABCD，BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形 【知识点】【知识点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质 21 （2019 常州）如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C 处， BC 与 AD 相交于点 E （1）连接 AC ，则 AC
39、与 BD 的位置关系是_； （2）EB 与 ED 相等吗?证明你的结论 【解题过程】【解题过程】解： （1） AC BD； （2）EBED理由如下： 由折叠可知CBDEBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC CBDEDB 第 21 题答图 第 21 题图 EBDEDB EBED 【知识点】【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定 25 （2019陕西） （12 分）问题提出： （1）如图 1，已知ABC，试确定一点 D，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个 平行四边形； 问题探究： （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB4，BC
40、10，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC，且使BPC 90，求满足条件的点 P 到点 A 的距离； 问题解决： （3）如图 3，有一座草根塔 A，按规定，要以塔 A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的 草根景区 BCDE根据实际情况，要求顶点 B 是定点，点 B 到塔 A 的距离为 50 米，CBE120，那么， 是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形 BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由 （塔 A 的占地面积忽略不计） 【分析】 （1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可 （2）以点 O 为圆心，OB 长为半径作
41、O，O 一定于 AD 相交于 P1，P2两点，点 P1，P2即为所求 （3）可以，如图所示，连接 BD，作BDE 的外接圆O，则点 E 在优弧上，取的中点 E，连接 E B，ED，四边形 BCDE即为所求 【解答】解： （1）如图记为点 D 所在的位置 （2）如图， AB4，BC10，取 BC 的中点 O，则 OBAB 以点 O 为圆心，OB 长为半径作O，O 一定于 AD 相交于 P1，P2两点， 连接 BP1，P1C，P1O，BPC90，点 P 不能再矩形外； BPC 的顶点 P1或 P2位置时，BPC 的面积最大， 作 P1EBC，垂足为 E，则 OE3， AP1BEOBOE532， 由
42、对称性得 AP28 （3）可以，如图所示，连接 BD， A 为BCDE 的对称中心，BA50，CBE120， BD100，BED60 作BDE 的外接圆O，则点 E 在优弧上，取的中点 E，连接 EB，ED， 则 EBED，且BED60，BED 为正三角形 连接 EO 并延长，经过点 A 至 C，使 EAAC，连接 BC，DC， EABD， 四边形 ED 为菱形，且CBE120， 作 EFBD，垂足为 F，连接 EO，则 EFEO+OAEO+OAEA， SBDEBDEFBDEASEBD， S平行四边形BCDES平行四边形BCDE2SEBD1002sin605000（m2） 所以符合要求的BCDE 的最大面积为 5000m2 【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解 题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题
