1、 一、选择题一、选择题 9（2019苏州苏州）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC=4，BD=16 将ABO 沿点 A 到点 C 的方 向平移，得到ABO当点 A 与点 C 重合时，点 A 与点 B之问的距离为 （ ） A6 B8 C10 D12 （第 9 题） 【答案】C 【解【解析析】四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AOOC 1 2 AC2，OBOD 1 2 BD8，ABO 沿点 A 到 点 C 的方向平移，得到ABO，点 A与点 C 重合，OCOA2，OBOB8，COB90， AOAC+OC6，AB 2222 86O BAO10，故选 C 10（2019201
2、9温州）温州）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点 H，在边 BE 上取点 M 使 BM=BC，作 MNBG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N欧几里得在几何原本中利用该图解释了 (a+b)(a-b)=a2-b2现以点 F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段 DH 于点 P，连结 EP，记EPH 的面积为 S1， 图中阴影部分的面积为 S2若点 A，L，G 在同一直线上，则 1 2 S S 的值为 （ ） A 2 2 B 2 3 C 2 4 D 2 6 【答案答案】C 【解析】【解析】如图，连接 ALGL，PF由题意：S矩
3、形AMLDS阴a2b2，PH 22 -a b，点 A，L，G 在同一直 线上， AMGN， AMLGNL， ， ， 整理得 a3b， ，故选 C 9（2019 绍兴）绍兴）正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D，在点 E 从 点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积 ( ) A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 【答案】【答案】D 【解析解析】四边形 ABCD 和四边形 ECFG 是矩形， B=F=BCD=ECF=90 ， 又BCE+ECD=ECD+FCD=90 ， BCE=FCD，BCEFCD
4、； BCCF ECCD ，BCCD=FCCE，矩形 AEFG 与矩形 ABCD 的面积相等，故选 D. 10 （2019烟台）烟台）如图，面积为 24 的ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，过点 D 作DEBD交 BC 的延 长线于点 E，6DE ，则sinDCE的值为（ ） A 24 25 B 4 5 C 3 4 D 12 25 【答案答案】A 【解析】【解析】连接 AC，交 BD 于点 F，过点 D 作DMCE，垂足为 M， 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 F 是 BD 的中点，AD/BC， 所以DBCADB， 因为 BD 是 ABC的平分线， 所以ABDDBC， 所以AB
5、DADB ， 所以ABAD， 所以ABCD 是菱形， 所以ACBD， 又因为DEBD， 所以 AC/DE， 因为 AC/DE，F 是 BD 的中点， 所以 C 是 BE 的中点， 所以 1 3 2 CFDE， 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以26ACFC， 2 ABCD ACBD S 菱形 ， F AD B C E M 第 10 题答图 所以 22 24 8 6 ABCD S BD AC 菱形 ， 所以 1 4 2 BFBD， 在 RtBFD 中，由勾股定理得 22 5BCBFCF， 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以5DCBC， 因为 ABCD SBCDM 菱形 所以 24 5 ABC
6、D S DM BC 菱形 ， 在 RtDCM 中， 24 sin 25 DM DCE DC 6（2019江西）江西）如图，由如图，由 10 根完全相同的小棒拼接而成，请你再添根完全相同的小棒拼接而成，请你再添 2 根与前面完全相同的小棒，拼接后的根与前面完全相同的小棒，拼接后的 图形恰好有图形恰好有 3 个菱形的方法共有个菱形的方法共有（ ） A.3 种种 B.4 种种 C.5 种种 D.6 种种 【答案】【答案】B 【解题过程】【解题过程】具体拼法有具体拼法有 4 种，如图所示：种，如图所示： 4（20192019株洲）株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（） A对角线垂直且相等 B四
7、边都互相垂直 C四个角都相等 D是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案答案】C C 【解析】 根据矩形的性质可知， 矩形的对角线相等但不一定垂直， 所以选项 A 是错误的； 矩形相邻的边互相垂直， 对边互相平行，所以选项 B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图 形，又是中心对称图形，所以选项 D 是错误的；故选 C. 3 （2019娄底）娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】如图：菱形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点， E
8、HFGBD，EHFG 1 2 BD；EFHGAC，EFHG 1 2 AC， 故四边形 EFGH 是平行四边形， 又ACBD， EHEF，HEF90 四边形 EFGH 是矩形 故选 C 10（2019安徽）安徽）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 将对角线 AC 三等分，且 AC=12.点 P 在正方形的边上， 则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】【答案】D 【解题过程】【解题过程】如图，作点 F 关于 CD 的对称点 F/，连接 PF/、PF，则 PEPFEF/，根据两点之间线段最知可知 此时 PEPF 的值最小.过点 E 作 EH
9、FF/，垂足为点 H，FF交 CD 于点 G，易知EHF、CFG 是等腰直角三 角形， EHFHFGFG 2 2 EF2 2， EF 22 EHF H 22 2 26 2459.根据正方 形的对称性可知正方形 ABCD 的每条边上都有一点 P 使得 PEPF 最小值.连接 DE、 DF， 易求得 DEDF410 9，CECF120，故点 P 位于点 B、D 时，PEPF9，点 P 位于点 A、C 时，PEPF9，该正方形每 条边上都有 2 处点使得 PEPF9，共计点 P 有 8 处. 1.（2019无锡）无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为 360 B.对角线
10、互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】【答案】C 【解析】【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平 分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选 C 2. (2019泰安泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD2,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,连接 PB,则 PB 的最小值是 A.2 B.4 C.2 D.2 2 H P F A BC D E F G 【答案】【答案】D 【解析】【解析】F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,点 P 的运动轨迹为DEC 的中位线 MN,MNEC,连接 M
11、E,则四 边形 EBCM 为正方形,连接 BM,则 BMCE,易证 BMMN,故此时点 P 与点 M 重合,点 F 与点 C 重合,BP 取 到最小值,在 RtBCP 中,BP 22 BCCP2 2. 3.（2019眉山）眉山）如图，在矩形 ABCD 中 AB=6，BC=8，过对角线交点 O 作 EFAC 交 AD 于点 E， 交 BC 于点 F，则 DE 的长是 A1 B 7 4 C2 D 12 5 【答案答案】B 【解析】连接【解析】连接 CE，四边形，四边形 ABCD 是矩形，是矩形，ADC=90，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，EFAC， OA=OC，AE=CE，在，在 R
12、tDEC 中，中，DE2+DC2=CE2，即，即 DE2+36=（8-DE）2，解得：，解得：x= 7 4 ，故选，故选 B. 4.（2019攀枝花）攀枝花）下列说法错误的是（） A平行四边形的对边相等 B对角线相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 【答案】B 【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选 B 5.（2019攀枝花）攀枝花）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的一点，BE4，EC8，将正方形边 AB 沿 AE 折 叠到 AF， 延长 EF 交 DC 于 G。 连接 AG， 现在有如下四个结论：
13、EAG45 ； FGFC； FCAG； S GFC 14其中结论正确的个数是（） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】由题易知 ADABAF，则 RtADGRtAFG（HL） GDGF，DAGGAF 又FAEEAB， EAGGAFFAE 1 2 （BAFFAD） 1 2 BAD45 ，所以正确； 设 GFx，则 GDGFx 又BE4，CE8，DCBC12，EFBE4 CG12x, EG4x 在 RtECG 中，由勾股定理可得 82（12x）2（4x）2 ，解得 x6. FGDGCG6，又FGC60 ,FGC 不是等边三角形，所以错误； 连接 DF，由可知AFG 和ADC 是对称型全等三
14、角形，则 FDAG 又FGDGGC， DFC 为直角三角形，FDCF，FCAG，成立； EC8,SECG 1 2 EC CG24， 又 FCG ECG S S FG EG 3 5 ， SFCG 3 5 SECG 72 5 . 错误， 故正确结论为,选 B 【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等高不同底的三角形面积比 6.（2019金华）金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图 ，其中 FM、GN 是折痕，若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等，则 FM GF 的值是（） A. 52 2 B.21 C. 1 2 D.
15、 2 2 【答案】A G F D A BC E G F D A BC E H D G N C F M BA E 【解析】连接 EG,FH 交于点 O,由折叠得OGF 是等腰直角三角形，OF 2 2 GF正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等，（OFFM） 2GF1 4 GF 5 4 GF2， 2 2 GFFM 5 2 GF，FM 5 2 GF 2 2 GF， FM GF 52 2 .故选 A 7. (2019台州台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和 EFGH,ABEF2cm,BCFG8cm,把纸片 ABCD 交叉叠放在纸 片 EFGH 上,使重叠部分为平行四边形时,且点 D 与点
16、 G 重合,当两张纸片交叉所成的角最小时,tan等于 ( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 8 17 D. 8 15 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 当点 B 与点 E 重合时,重叠部分为平行四边形且最小,两张矩形纸片全等,重叠部分为菱形,设 FM x,EMMD8x,EF2,在RtEFM中,EF2+FM2EM2,即22+x2(8x)2,解之得:x 15 4 ,tan EF FM 8 15 , 故选 D. 8. (2019台州台州)如图是用 8 块 A 性瓷砖(白色四边形)和 8 块 B 型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接而成的一个 正方形图案,图案中 A 型瓷砖的总面积与 B 型
17、瓷砖的总面积之比为( ) A.2:1 B3:2 C.3:1 D.2:2 第 10 题图 【答案】【答案】A x H D G NC F M B O A E 【解析】【解析】如图,是原图的 1 8 ,过点 E 作 EKAC,作 EFBC,易证AEK,BEF 为等腰直角三角形,设 AK 为 x,则 EKCFDFx,AEBD2x,KCEF 2+1x, 2 11 =212 =2+1 22 SEF DCxxx 阴影 , 2 1111 =21222=2+2 2222 SEF BDAC EKxxx xx 空白 , 2 2 2+ 2 =2 21 x S S x 空白 阴影 ， 故选 A. 9.（2019重庆 A
18、 卷）下列命题正确的是（） A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 【答案答案】A 【解析】【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题； B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； 故选：A 12（2019德州）德州）如图，正方形 ABCD，点 F 在边 AB 上，且 AF：FB1：2，CEDF，垂足为 M，且交 AD 于点 E，AC 与 DF 交于点 N，延长 CB 至 G，使 BGBC，连接 CM有
19、如下结论：DEAF；AN AB；ADFGMF；SANF：S 四边形 CNFB1：8上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】四边形 ABCD 是正方形，ADABCDBC，CDEDAF90，CEDF，DCE+ CDFADF+CDF90，ADFDCE，在ADF 与DCE 中， ADFDCE（ASA），DEAF；故正确；ABCD，AF：FB1：2，AF： ABAF：CD1：3，ACAB，ANAB；故正确； 作 GHCE 于 H，设 AFDEa，BF2a，则 ABCDBC3a，ECa，由CMDCDE，可得 CMa，由GHCCDE，可得 CHa，CHMHCM，GHCM，
20、GMGC， GMHGCH， FMG+GMH90， DCE+GCM90， FEGDCE， ADFDCE， ADFGMF；故正确，设ANF 的面积为 m，AFCD，AFNCDN， ADN 的面积为 3m，DCN 的面积为 9m，ADC 的面积ABC 的面积12m，SANF：S四边形CNFB 1：11，故错误，故选 C 10.（2019遂宁）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，BPC 是等边三角形，连接 DP 并延长交 CB 的延长 线于点 H，连接 BD 交 PC 于点 Q,下列结论： BPD=135；BDPHDBDQ;BQ=1：2;SBDP= 4 13 ,其中正确的有 ( ) A.B
21、.C.D. 【答案】D 【解析】由正方形 ABCD 可得BCD=90，BC=DC,由BPC 是等边三角形可得BCP =BPC=60，BC=PC,DCP=30，PC=DC,DPC=75，BPD=135，正确；正方形 ABCD， CBD=45，HBD=135=BPD，公共角 BDP,BDPHDB 成立，正确；如图，过 Q 作 QMBC 于 M， 反向延长交 AD 于 N， 则 RtCMQ 中， BCQ=60， 设 CM=x， 则 QM=x3 ， RtBMQ 中， QBM=45， 则 BM=QM=x3 ， 因为正方形边长为 1，所以x3+x=1，x= 2 1-3 ，MQ=x3= 2 33 ,NQ=1
22、-MQ= 2 1-3 ,DQ;BQ=NQ:MQ= 3 3 , 错误； 如图， 过点 D 作 BP 的延长线的垂线于点 E， 由知BPD=135， EPD=45， PE=DE， 设 PE=DE=a， 则 PB=a,BD= a2 ，RtBDE 中，由勾股定理可求得 222 2)1）（aa ， 2 31 a ，a0,所以 2 31 a S BDP= 4 13 ，故正确；故选 D. 二、填空题二、填空题 15（20192019温州）温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知AOB=AOE=90，菱形的较短对角线 长为 2cm若点 C 落在 AH 的延长线上，则ABE 的周长为 cm 【答案答
23、案】12+82 【解析】【解析】连接 AC、IC，AC 交 OI 于点 M、BO 于点 N，IC 交 BO 于点 P.设AHO=，则COB=IOB=，.点 C 落在 AH 的延长线上，A、H、C 三点共线.图中的三个菱形是形状大小相同的，CBO=CAO，又BNC= ANO， BCA=AOB=90.BCIO， CMO=BCA=90.CO=HO， HOM=COM=2， +2+=90， 则=22.5， 即BOI=22.5， PIO=67.5.作QIO=BOI=22.5， 交 BO 于点 Q， 则PIQ=45， PI=PN=1， IQ=QO =2，PO=1+2，BO=2+22，AB=2BO=22+4，
24、BE=2BO=4+42，ABE 的周长为 2AB+BE=(42 +8)+(4+42)=12+82. 故填：12+82. 16（2019 绍兴绍兴 ）.把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块，其中点 O 为正方形的中心，点 E,F 分别是 AB,AD 的中点， 用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙） ， 则四边形 MNPQ 的周长是 . 【答案】【答案】10 或或 8+22或或 6+22 【解析】通过动手操作可得如图所示，【解析】通过动手操作可得如图所示，再根据周长的定义即可求解 Q PN M 图 1 的周长为 1+2+3+226+22
25、；图 2 的周长为 1+4+1+410； 图 3 的周长为 3+5+2+8+22 故四边形 MNPQ 的周长是 6+22或 10 或 8+22 故答案为：6+22或 10 或 8+22 16（20192019杭州）杭州）如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF，GH 折叠(点 E，H 在 AD 边上.点 F，G 在 BC 边上)，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A点，D 点的对称点为 D点，若FPG-90，AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于_. 【答案答案】2（5+35） 【解析】【解析】四边形 ABC 是矩形，AB=C
26、D，AD=BC，设 AB=CD=x，由翻折可知：PA=AB=x，PD=CD=x，A EP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，AE=4DH，设 DH=a，则 AE=4a，AEPDPH，= ，=，x 2=4a2， x=2a 或-2a（舍弃） ，PA=PD=2a， a2a=1， a=1， x=2，AB=CD=2， PE=25，PH=5，AD=4+2+1=5+3，矩形 ABCD 的面积=2（5+35）故答 案为 2（5+35）. 13 （2019青岛） 如图，在正方形纸片 ABCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在统段 AE 上 的点 G 处，折痕为 AF. 若 AD=4cm
27、 ，则 CF 的长是为 cm. 【答案】6-25 【解析】由勾股定理得 AE=25,根据题意得 GE=2-45,设 BF=xcm,则 FC=(4-x)cm,所以(25 -4)2+x2=22+(4-x)2,解得 x=25-2,所以 CF=6-25. 16（2019淮安）淮安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，H 是 AB 的中点，将CBH 沿 CH 折叠，点 B 落 在矩形内点 P 处，连接 AP，则 tanHAP=. H G D P A A B E F C D 第 16 题图 【答案】4 【解析】如图所示，连接 PB 交 CH 于点 O. 第 16 题答图 H 是 AB 的中点，
28、 HB= 2 1 AB= 2 3 . 将CBH 沿 CH 折叠，点 B 落在矩形内点 P 处， HP=HB，PB=2BO= 5 12 2 5 3 2 2) 2 3 ( 2 2 3 22 22 HC BCHB . HP=HB= 2 1 AB， APB 是直角三角形， tanHAP= PA PB = 22 PBAB PB = 22 ) 5 12 (3 5 12 = 5 9 5 12 =4. 1. (2019 泰安 泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB3 6,BC12,E 为 AD 中点,F 为 AB 上一点,将AEF 沿 EF 折叠后,点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处,则折痕 EF 的长是_
29、. 【答案】【答案】215 【解析】【解析】连接 CE,点 E 是 AD 的中点,AEEDEG,EGCD,EGCEDC,GCAB3 6,设 AFGFx,FB3 6x,在 RtFBC 中,FB2+BC2FC2,即(3 6x)2+122(x+3 6)2,解之,得:x2 6, 在 RtAFE 中,EF 22=2 15 AEAF. 2.（2019潍坊）潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2将A 向内翻折，点 A 在 BC 上，记为 A，折痕为 DE若将 B 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，则 AB= 【答案】【答案】3 【解析】【解析】由翻折可得AED=AED=AEB=60
30、， ADE=ADE=ADC=30 AD 平分EDC， ABDE，ACDC， AC=AB AB=AB AC=AB， BC=AD=2 AC=1 在 RtADC 中， tan30= 3 3 A C DC DC=3 AB=3 3.（2019天津）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 12，E 是边 CD 上一点，连接 AE，折叠该纸片，使点 A 落 在 AE 上的 G 点，并使折痕经过点 B，得到折痕 BF，点 F 在 AD 上，若 DE=5，则 GE 的长为 【答案】 13 49 【解析】由正方形 ABCD 可得 RtADE,由于 AD=12,DE=5，由勾股定理可得 AE=13。因为折叠可知，BF
31、 垂直 平分 AG， 所以ABF=DAE,又因为 AB=AD， BAD=DAE=90 ， 可以证明ABFDAE， 得出 AF=DE=5， 设 BF,AE 交于点 M， 根据 sinFAM=sinEAD 可得 AM= 13 60 ， 由于折叠可知 MG=AM= 13 60 ， 从而可求得 GE=13- 13 60 - 13 60 = 13 49 . 4.（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”由边长为 42的正方形 ABCD 可 以制作一副如图 1 所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形 EFGH 内拼成如图 2 所示的“拼搏兔”造型（其 中点 Q、 R 分别与图 2 中
32、的点 E、 G 重合， 点 P 在边 EH 上） ， 则 “拼搏兔” 所在正方形 EFGH 的边长是_ 【答案答案】4 5 【解析】【解析】如答图，延长 ET 交 GH 于点 N，延长 GJ 交 EF 于点 M，连接 MN，则 M、N 分别为 EF、GH 的中点由 图 1 可知 AC8，从而 ET2TKKM，TM4，在 RtETM 中，由勾股定理，得 EM 22 242 5， 从而 EF2EM4 5，因此答案为4 5 三、解答题三、解答题 24（2019 山东省德州市，山东省德州市，24，12）（1）如图 1，菱形 AEGH 的顶点 E、H 在菱形 ABCD 的边上，且BAD 60，请直接写出
33、 HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程） （2）将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图 2，求 HD：GC：EB； （3）把图 2 中的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD：ABAH：AE1：2，此时 HD：GC：EB 的结果与（2） 小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理 由 第 16 题答图 T L K J N M E FG H 图 1 图 2 第 16 题图 H G F E R Q P D C B A 【解题过程】【解题过程】（1）连接 AG， 菱形 AEGH 的顶点 E、H 在菱形 ABCD 的边上，且BAD
34、60， GAECAB30，AEAH，ABAD， A，G，C 共线，ABAEADAH， HDEB， 延长 HG 交 BC 于点 M，延长 EG 交 DC 于点 N，连接 MN，交 GC 于点 O，则 GMCN 也为菱形， GCMN，NGOAGE30， cos30， GC2OG， ， HGND 为平行四边形， HDGN， HD：GC：EB1：1 （2）如图 2，连接 AG，AC， ADC 和AHG 都是等腰三角形， AD：ACAH：AG1：，DACHAG30， DAHCAG， DAHCAG， HD：GCAD：AC1：， DABHAE60， DAHBAE， 在DAH 和BAE 中， DAHBAE（S
35、AS） HDEB， HD：GC：EB1：1 （3）有变化 如图 3，连接 AG，AC， AD：ABAH：AE1：2，ADCAHG90， ADCAHG， AD：ACAH：AG1：， DACHAG， DAHCAG， DAHCAG， HD：GCAD：AC1：， DABHAE90， DAHBAE， DA：ABHA：AE1：2， ADHABE， DH：BEAD：AB1：2， HD：GC：EB1：2 19. （2019遂宁）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，延长 BC 到 E,使 CE=BC,连接 AE 交 CD 于点 F，点 F 是 CD 的中点. 求证：（1）ADFECF; (2)四边形 ABC
36、D 是平行四边形 . 解：（1）证明：ADBC, DAF=CEF,ADF=ECF, 点 F 是 CD 的中点， DF=CF, ADFECF; （2）ADFECF AD=CE， CE=BC， AD=BC, ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形. 24（2019滨州，滨州，24，13 分）分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FGCD 交 BE 于点 G，连接 CG （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB6，AD10，求四边形 CEFG 的面积 （1）证明：由题意可得，BCEBFE，
37、 BECBEF，FECE FGCE，FGECEB，FGEFEG，FGFE，FGEC， 四边形 CEFG 是平行四边形 又CEFE，四边形 CEFG 是菱形 （2）矩形 ABCD 中，AB6，AD10，BCBF， BAF90，ADBCBF10，AF8，DF2 设 EFx，则 CEx，DE6x， FDE90，22+（6x）2x2，解得 x，CE， 四边形 CEFG 的面积是：CEDF2 24（2019绍兴，第绍兴，第 24 题，题，14 分分 ）如图，矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，点 M,N 分别在边 AB,CD 上，点 E,F 分别在 BC,AD 上，MN,EF 交于点 P，记k=MN
38、EF. （1）若 ab 的值是 1，当 MNEF 时，求 k 的值. （2）若ab的值是 2 1 ，求k的最大值和最小值. （3）若k的值是 3，当点 N 是矩形的顶点，MPE=60 ，MP=EF=3PE 时，求ab的值. 【思路分析】（【思路分析】（1）因为）因为 ab 的值是 1，从而可得四边形 ABCD 是正方形；可过 M 作 MQCD，FHBC， 由题意可证明 FHEMQN，从而可得 MNEF，从而可求出 k 的值. （2）由）由ab的值是 2 1 ，可得 b=2a，要求k的最大值和最小值，只要求出 MN 和 EF 的取值范围，由题意 可知 MN 的取值范围是 2aMN5a，EF 的取
39、值范围是的取值范围是 aEF5a.所以要求k的最大值，则 MN 取最长，EF 最短；要求k的最小值，则 MN 取最短，EF 最长从而可求出k的最大值和最小值. （3）连接 FN，ME由 k3，MPEF3PE，得 MNEF PMPE 3，得 PN PM PF PE 2，由PNFPME， 得 PN PM PF PE 2，MENF，设 PE2m，则 PF4m，MP6m，NP12m，再分两种情形：如图 2 中， 当点 N 与点 D 重合时，点 M 恰好与 B 重合如图 3 中，当点 N 与 C 重合，分别求解即可 【解题过程】【解题过程】 23（2019嘉兴）嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，
40、温故后进行了操作、推理与拓展 （1）温故：如图 1，在ABC中，ADBC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上， 若BC6，AD4，求正方形PQMN的边长 （2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图 2，任意画 ABC，在AB上任取一点P，画正方形PQMN，使Q，M在BC边上，N在ABC内，连结BN并延长交 AC于点N，画NMBC于点M，NPNM交AB于点P，PQBC于点Q，得到四边形PPQMN小波把线段BN称为 “波利亚线” （3）推理：证明图 2 中的四边形PQMN是正方形 （4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取
41、NENM，连结EQ，EM（如图 3）当 tanNBM时，猜 想QEM的度数，并尝试证明 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题 【解题过程】温故：【解题过程】温故：PN/BC，APNABC， PNAE BCAD ，即 4 64 PNPN ，解得 PN= 12 5 （2）推理：由画法可得）推理：由画法可得QMN= PNM=PQM=Q M N=90. 四边形四边形 PQMN 为矩形，为矩形，MM/ M N. BM NBNM， M NBN MNBN 同理可得同理可得 P NBN PNBN M NPN MNPN M N=PN MN=PN 四边形四边形 PQMN 为正方形为正方形. （3）拓
42、展：猜想）拓展：猜想QEM=90，理由如下：由，理由如下：由 tanNBM= MN BM = 3 4 ，可设 MN=3k，BM=4k. 则则 BN=5k，BQ=k，BE=2k， BQ BE = 2 k k = 1 2 ， BE BM = 2 4 k k = 1 2 ， BQ BE = BE BM QBE=EBM QBEBEM. BEQ=BME. NE=NM，NEM=NME BME+EMN=90，BEQ+NEM=90. QEM=90. 21（20192019 浙江省杭州市，浙江省杭州市，2121，1010 分）分）(本题满分 10 分) 如图.已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG
43、 的面积为S1， 点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的延长线.设以线段 AD 和 DE 为邻 边的矩形的面积为 S2.且 S1=S2. (1)求线段 CE 的长. (2)若点 H 为 BC 边的中点，连接 HD，求证:HD=HG. 【解题过程【解题过程】（1）设正方形 CEFG 的边长为 a， 正方形 ABCD 的边长为 1，DE=1-a， S1=S2，a 2=1（1-a）， 解得，（舍去），即线段 CE的 长是； （2）证明：点 H 为 BC 边的中点，BC=1，CH=0.5，DH=， CH=0.5，CG=，HG=，HD=HG 22（2019 山东烟台，山东烟台，22，9 分）分）
44、如图，在矩形 ABCD 中，2CD ，4AD ，点 P 在 BC 上，将ABP沿 AP 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的 E 点，O 为 AC 上一点，O经过点 A，P (1)求证：BC 是O的切线 (2)在边 CB 上截取 CF=CE，点 F 是线段 BC 的黄金分割点吗？请说明理由 【解题过程】【解题过程】 （1）证明：连接）证明：连接 OP， A B D C O P E F （第 21 题） H G F D A BC E 第 22 题答图 因为四边形因为四边形 ABCD 为矩形，为矩形， 所以所以90B ， 因为因为APE 是由是由ABP 折叠得到，折叠得到， 所以所以APEAB
45、P， 所以所以BAPEAP , 因为因为OAOP, 所以所以APOEAP, 所以所以BAPAPO, 所以所以 AB/OP, 所以所以90OPCB , 所以所以OPBC, 所以所以 BC 是是O的切线的切线 （2）解：点）解：点 F 是线段是线段 BC 的黄金分割点，理由如下：的黄金分割点，理由如下： 设设 CF=x，则，则 CE=x， 因为四边形因为四边形 ABCD 为矩形，为矩形， 所以所以90D，2,4ABCDBCAD， 因为因为APE 是由是由ABP 折叠得到，折叠得到， 所以所以APEABP， 所以所以2AEAB, 所以所以2ACAEECx, 在在 RtADC 中，由勾股定理得，中，由
46、勾股定理得， 222 A CC DA D，即，即 222 ( 2)24x，解得，解得252x （舍去）或（舍去）或252x ， 所以所以252FC ， 因为因为 25251 42 FC BC ， 所以点所以点 F 是线段是线段 BC 的黄金分割点的黄金分割点 23（2019山东省青岛市，23，10分）问题提出： 如图，图是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张ab的方格纸（ab的方格纸指边 长分别为a,b的矩形，被分成ab个边长为1的小正方形，其中a2，b2，且a，b为正整数），把图放置在图 中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究: 为探究规
47、律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论. 探究一： 把图放置在22的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，对于22的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法. 探究二： 把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，在32的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有24=8种不同的放置方法. 探究三： 把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，在a2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法. 探究四： 把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如
