1、2020-2021 学年山西省晋中市榆次区八年级（上）期中数学试卷学年山西省晋中市榆次区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1有理数 9 的平方根是（ ） A3 B3 C3 D 2下列实数，0，2，3.1010010001（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）中有 理数的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 3我们学习了一次函数的图
2、象和性质，回顾学习过程，是按照列表、描点、连线得到其图象，然后根据图 象研究其性质这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A分类讨论 B数形结合 C转化 D抽象 4下列各组数，不可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A6，8，10 B4，6，8 C0.3，0.4，0.5 D7，24，25 5和数轴上的点成一一对应关系的数是（ ） A自然数 B有理数 C无理数 D实数 6若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 7一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为（1，1） ， （1，2） ， （3，1） ，那么第 四个顶点的坐标为（ ） A （3，2
3、） B （2，3） C （3，3） D （2，2） 8一个正数的两个平方根分别为 a+3 和 42a，则这个正数为（ ） A7 B10 C10 D100 9一次函数 y1k1x+b1的图象 l1如图所示，将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2，l2的函数表达式为 y2k2x+b2下列说法中错误的是（ ） Ak1k2 Bb1b2 Ck1k2 D当 x5 时，y1y2 10已知一次函数 y1ax+b 和 y2bx+a（ab0 且 ab） ，这两个函数的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）
4、 11实数 64 的立方根是 12已知 A（m，n）在第二象限，则点 B（n，m）在第 象限 13已知点（2，y1） ， （2，y2）都在直线 y2x3 上，则 y1 y2 （填“”或“”或“” ） 14化简： 15如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动 1 个单位长度，依 次得到点 P1（0，1） ，P2（1，1） ，P3（1，0） ，P4（1，1） ，P5（2，1） ，P6（2，0），则 P2020的 坐标是 三、解答题（本大题含三、解答题（本大题含 8 个小题，共个小题，共 55 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤） 16 （4 分）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式2 2 （21） （1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程 17 （6 分）计算 （1）； （2） 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（0，2） ，B（2，2） ， C（4，1） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的图形A1B1C1；点 C1的坐标为 ； （2）判断ABC 的形状并说明理由； （3）在图中找一点 D，使 AD，CD 19 （5 分）我国古代的数学名著九章算术中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去
6、本三尺问：折者高 几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹 子根部 3 尺远问：原处还有多高的竹子？（1 丈10 尺） 20 （8 分）书籍是人类进步的台阶为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使 用租书卡，另一种是使用会员卡，图中 l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金 y（元）与租 书时间 x（天）之间的关系 （1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的函数关系式； （2）小红准备租某本名著 50 天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费 90 元租书，选择哪种租书 方式
7、比较合算？ 21 （5 分）请仔细阅读材料并完成相应的任务 据说， 我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求它的立方根（提示：59319 是一个整数的立方） 华罗庚脱口而出答案，邻座的 乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ （1）由 1031000，10031000000，100059319100000，确定是 位数； （2）由 59319 的个位数字是 9，确定的个位上的数是 ； （3） 如果划去 59319 后面的 319 得到数 59， 而 3327， 4364， 确定的十位上
8、的数是 22 （7 分）已知正比例函数 yx 和一次函数 ykx+b 的图象交于点 A（a，2） ，一次函数的图象与 y 轴交 于点 B（0，4） ，与 x 轴交于点 C （1）求 a 的值和一次函数表达式； （2）求AOC 的面积 23 （10 分） 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一， 西方国家称之为毕达哥拉斯定理 在我国古书 周 髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一 幅“弦图” （如图 1） ，后人称之为“赵爽弦图” ，流传至今 （1）请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任
9、选一种证明该定 理； （以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图 4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 S1，S2，S3满足的关系是 ； （3）如图 5，直角三角形的两直角边长分别为 3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两 个月形图案（阴影部分）的面积为 2020-2021 学年山西省晋中市榆次区八年级（上）期中数学试卷学年山西省晋中市榆次区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每个
10、小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1有理数 9 的平方根是（ ） A3 B3 C3 D 【分析】直接利用平方根的定义计算即可 【解答】解：3 的平方是 9， 9 的平方根是3 故选：A 2下列实数，0，2，3.1010010001（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）中有 理数的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理 数由此即可判定选择项 【解答】解：有理数有：，0，共有 3 个 故选：B 3我们学习了一次函数的图象和
11、性质，回顾学习过程，是按照列表、描点、连线得到其图象，然后根据图 象研究其性质这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A分类讨论 B数形结合 C转化 D抽象 【分析】根据题意，可以写出研究方法主要体现的数学思想，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 研究方法主要体现的数学思想是数形结合的思想， 故选：B 4下列各组数，不可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A6，8，10 B4，6，8 C0.3，0.4，0.5 D7，24，25 【分析】利用勾股定理逆定理进行计算即可 【解答】解：A、62+82102，可以构成直角三角形，故此选项不合题意； B、62+4282，不能构成直角三角形，故此选项符
12、合题意； C、0.32+0.420.52，可以构成直角三角形，故此选项不合题意； D、72+242252，可以构成直角三角形，故此选项不合题意； 故选：B 5和数轴上的点成一一对应关系的数是（ ） A自然数 B有理数 C无理数 D实数 【分析】根据数轴特点，数轴上的点都表示一个实数，实数都可以用数轴上的点来表示 【解答】解：任何实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任何一点都表示一个实数， 和数轴上的点成一一对应关系的数是实数 故选：D 6若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可 【解答】解：根据二次根式有意
13、义的条件得：x10， x1， 故选：A 7一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为（1，1） ， （1，2） ， （3，1） ，那么第 四个顶点的坐标为（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，3） D （2，2） 【分析】过（1，2） 、 （3，1）两点分别作 x 轴、y 轴的平行线，得出交点，即可得出第四个顶点的 坐标 【解答】解：如图所示： 过（1，2） 、 （3，1）两点分别作 x 轴、y 轴的平行线， 交点为（1，1）和（3，2） ， 则第四个顶点坐标为（3，2） ， 故选：A 8一个正数的两个平方根分别为 a+3 和 42a，则这个正数为（ ） A7 B10 C1
14、0 D100 【分析】利用平方根的定义得出 a+3+42a0，求出 a，进而求出答案 【解答】解：一个正数的两个平方根分别为 a+3 和 42a， a+3+42a0， 解得：a7， 则 a+310，42a10， 故这个正数是 100 故选：D 9一次函数 y1k1x+b1的图象 l1如图所示，将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2，l2的函数表达式为 y2k2x+b2下列说法中错误的是（ ） Ak1k2 Bb1b2 Ck1k2 D当 x5 时，y1y2 【分析】根据两函数图象平行 k 相同，以及向下平移减即可判断 【解答】解：将直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2， 直线 l1直线
15、 l2， k1k2， 直线 l1向下平移若干个单位后得直线 l2， b1b2， 当 x5 时，y1y2， 故选：C 10已知一次函数 y1ax+b 和 y2bx+a（ab0 且 ab） ，这两个函数的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据题意和一次函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决 【解答】解：当 a0，b0 时，一次函数 y1ax+b 的图象经过第一、二、三象限，y2bx+a 的图象经 过第一、二、三象限，故选项 A 错误，选项 B 错误，选项 D 正确； 当 a0，b0 时，一次函数 y1ax+b 的图象经过第一、二、四象限，y2bx+a 的图象经过第一、三
16、、 四象限，故选项 C 错误； 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11实数 64 的立方根是 4 【分析】利用立方根定义开立方即可求出值 【解答】解：4364， 64 的立方根是 4， 故答案为：4 12已知 A（m，n）在第二象限，则点 B（n，m）在第 四 象限 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出答案 【解答】解：A（m，n）在第二象限， m0，n0， 则点 B（n，m）在第四象限 故答案为：四 13已知点（2，y1） ， （2，y2）都在直线 y2x3 上，则 y1 y2 （填“”或“”或“” ）
17、 【分析】 由 k20， 利用一次函数的性质可得出 y 随 x 的增大而增大， 再结合22 即可得出 y1y2 【解答】解：k20， y 随 x 的增大而增大， 又22， y1y2 故答案为： 14化简： 3 【分析】二次根式的性质：a（a0） ，根据性质可以对上式化简 【解答】解：3 故答案是：3 15如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动 1 个单位长度，依 次得到点 P1（0，1） ，P2（1，1） ，P3（1，0） ，P4（1，1） ，P5（2，1） ，P6（2，0），则 P2020的 坐标是 （673，1） 【分析】先根据 P6（2，0） ，P1
18、2（4，0） ，即可得到 P6n（2n，0） ，P6n+4（2n+1，1） ，再根据 P6336 （2336，0） ，可得 P2016（672，0） ，进而得到 P2020（673，1） 【解答】解：由图可得，P6（2，0） ，P12（4，0） ，P6n（2n，0） ，P6n+4（2n+1，1） ， 20166336， P6336（2336，0） ，即 P2016（672，0） ， P2020（673，1） 故答案为： （673，1） 三、解答题（本大题含三、解答题（本大题含 8 个小题，共个小题，共 55 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步
19、骤） 16 （4 分）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式2 2 （21） （1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程 【分析】 （1）根据二次根式的加减法克判断第步开始错误； （2）利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可 【解答】解： （1）小明从第步开始出错的； 故答案为； （2）原式2 2 62 4 17 （6 分）计算 （1）； （2） 【分析】 （1）利用二次根式的除法法则运算； （2）利用完全平方公式计算 【解答】解： （1）原式2 32 1； （2）原式186+1 196 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xO
20、y 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（0，2） ，B（2，2） ， C（4，1） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的图形A1B1C1；点 C1的坐标为 （4，1） ； （2）判断ABC 的形状并说明理由； （3）在图中找一点 D，使 AD，CD 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）利用勾股定理逆定理求解即可； （3）利用勾股定理，结合网格求解即可 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求，其中点 C1的坐标为（4，1） ， 故答案为： （4，1） ； （2）AB242+2220，BC222+125，AC232+4225， A
21、B2+BC2AC2， ABC 是直角三角形，ABC90； （3）如图所示，点 D 即为所求 19 （5 分）我国古代的数学名著九章算术中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问：折者高 几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹 子根部 3 尺远问：原处还有多高的竹子？（1 丈10 尺） 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺利用勾 股定理解题即可 【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺， 根据勾股定理得：x2+32（10 x）2， 解得：x 答：原处还有尺高的竹子 20
22、 （8 分）书籍是人类进步的台阶为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使 用租书卡，另一种是使用会员卡，图中 l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金 y（元）与租 书时间 x（天）之间的关系 （1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的函数关系式； （2）小红准备租某本名著 50 天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费 90 元租书，选择哪种租书 方式比较合算？ 【分析】 （1）根据题意和函数图象，可以分别写出用租书卡和会员卡时每本书的租金 y（元）与租书时 间 x（天）之间的函数关系式； （2）根据题意，可以计算出小红两
23、种租书方式，哪种方式花费少，从而可以得到选择哪种租书方式比较 合算；再根据小明准备花费 90 元租书，可以计算出两种租书方式小明可以租借的天数，然后比较大小， 即可得到小明准备花费 90 元租书，选择哪种租书方式比较合算 【解答】解： （1）设直线 l1对应的函数解析式为 ykx， 200k60， 解得 k0.3， 即直线 l1对应的函数解析式为 y0.3x， 设直线 l2对应的函数解析式为 yax+b， ， 解得， 即直线 l2对应的函数解析式为 y0.2x+20， 由上可得，用租书卡时每本书的租金 y（元）与租书时间 x（天）之间的函数关系式是 y0.3x，用会员 卡时每本书的租金 y（元
24、）与租书时间 x（天）之间的函数关系式是 y0.2x+20； （2）当 x50 时，租书卡的租金为 0.35015（元） ，会员卡的租金为 0.250+2030（元） ， 1530， 小红准备租某本名著 50 天，选择租书卡租书方式比较合算； 当 y90 时，租书卡可以租用 900.3300（天） ，会员卡可以租用（9020）0.2350（天） ， 300350， 小明准备花费 90 元租书，选择会员卡租书方式比较合算 21 （5 分）请仔细阅读材料并完成相应的任务 据说， 我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是 59319，希望求它
25、的立方根（提示：59319 是一个整数的立方） 华罗庚脱口而出答案，邻座的 乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ （1）由 1031000，10031000000，100059319100000，确定是 两 位数； （2）由 59319 的个位数字是 9，确定的个位上的数是 9 ； （3）如果划去 59319 后面的 319 得到数 59，而 3327，4364，确定的十位上的数是 3 【分析】 （1）根据 59319 大于 1000 而小于 1000000，即可确定 59319 的立方根是 2 位数； （2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的
26、个位数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定 【解答】解： （1）1000593191000000， ， 是两位数； （2）只有个位数是 9 的立方数的个位数依然是 9， 的个位数是 9； （3）275964， ， 的十位数是 3 故答案为： （1）两； （2）9； （3）3 22 （7 分）已知正比例函数 yx 和一次函数 ykx+b 的图象交于点 A（a，2） ，一次函数的图象与 y 轴交 于点 B（0，4） ，与 x 轴交于点 C （1）求 a 的值和一次函数表达式； （2）求AOC 的面积 【分析】 （1）根据正比例函数解析式求得 a 的值，进而运用待定系数法求得一次函
27、数的解析式； （2）先求得 C 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得 【解答】解： （1）将 A（a，2）代入 yx， 得：2a， 则 a2， A（2，2） ， 将 A（2，2）和 B（0，4）代入 ykx+b 中， 得：， 解得：， 则一次函数表达式为 yx+4； （2）把 y0 代入 yx+4，得 x4， C（4，0） ， SAOC4 23 （10 分） 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一， 西方国家称之为毕达哥拉斯定理 在我国古书 周 髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一 幅“弦图” （如图 1） ，后人称之为“赵爽弦图” ，流传
28、至今 （1）请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定 理； （以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图 4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 S1，S2，S3满足的关系是 S1+S2 S3 ； （3）如图 5，直角三角形的两直角边长分别为 3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两 个月形图案（阴影部分）的面积为 7.5 【分析】 （1）如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2+b2c2 证明见解析部分 （2）根据勾股定理解答即可 （3）根据勾股定理解答即可 【解答
29、】解： （1）如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2+b2c2（或者：在直 角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 ） 证明：在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即 c2ab4+（ba）2， 化简得：a2+b2c2 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即（a+b）2c2+ab4， 化简得：a2+b2c2 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和 即（a+b） （a+b）ab2+c2， 化简得：a2+b2c2 （2）S1，S2，S3满足的关系是 S1+S2S3， S1+S2（）2+（）2，S3（）2， a2+b2c2 S1+S2S3 （3）图中两个月形图案（阴影部分）的面积：S1+S2（）2+（）2+S3（）2 SABC， 故答案为： （2）S1+S2S3； （3）7.5
