1、 1 高中数学新教材必修第一册知识点总结高中数学新教材必修第一册知识点总结 第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 1.11.1 集合的概念集合的概念 1.集合的描述：集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素元素，把一些元素组成的总体叫做集合集合，简称为集集. 2.集合的三个特性：集合的三个特性： （1）描述性：描述性： “集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点” 、 “线” 、 “面”等概念一样， 都只是描述性地说明. （2）整体性：整体性：集合是一个整体，暗含“所有” 、 “全部” 、 “全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合， 这个集合就是这些对象的总体
2、. （3）广泛性：广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. 3.集合中元素的三个特性：集合中元素的三个特性： （1）确定性：确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断 给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一. （2）互异性：互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的. （3）无序性：无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变. 4.集合的符号表示集合的符号表示 通常用大写的字母A，B，C，表示集合，用小写的字母a，b，c表示
3、集合中的元素. 5.集合的相等集合的相等 当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作AB. 6.元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系 （1）属于：属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作a属于A. （2）不属于不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作a不属于A. 7.集合的分类集合的分类 （1）有限集：有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程 2 1x 的实数根组成的集合. （2）无限集：无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10 x 的解组成的集合. 8.常用数集及其记法常用数集及其记法 （1）正
4、整数集：正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作 * N或N. （2）自然数集：自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N. （3）整数集：整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z. （4）有理数集：有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q. （5）实数集：实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R. 9.集合表示的方法集合表示的方法 （1） 自然语言：自然语言： 用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合， 所有实数组成的集合.例如， 三角形的集合. （2）列举法：列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一
5、列举出来 并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为太平洋， 2 大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程(1)(2)0 xx的所有实数根”组成的集合表示为1, 2. （3）描述法：描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为( )x p x，其中x 是集合中的元素代表，( )p x则表示集合中的元素所具有的共同特征. 例如，不等式73x 的解集可以表示为 7310 xR xxR x. 1.21.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 1.1. 子集子集 一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就
6、说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集，记为 AB或（BA） 读作集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）. 集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下： 或 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：反身性：AA； （2）传递性：传递性：如果AB，且BC，那么AC. 2.真子集真子集 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A 是集合B的真子集，记为 AB （或BA ） ， 读作集合A真包含于集合B（或集合B真包含集合A）. 集合A是集合B的真子集可用Venn图表示如右. 3.3.集合的相等集合的相等 如果集合AB，且BA，此时集合A与集合B的元素是 一样的，我们就称集合A
7、与集合B相等，记为 AB. 集合A与集合B相等可用Venn图表示如右. 4.空集空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空 集合的真子集，即 （1）A （A是任意一个集合） ； BA A(B) 3 （2）A （A ）. 1.31.3 集合的运算集合的运算 1.1.并集并集 自然语言：自然语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 AB（读作“A并B”）. 符号语言：符号语言： ,ABx xAxB或. 图形语言：图形语言： 理解：理解：x A或xB包括三种情况：xA且xB；xB且xA；xA且xB.
8、 并集的性质：并集的性质： （1）ABBA； （2）AAA； （3）AA； （4）()()ABCABC； （5）AAB，BAB； （6）ABBAB. 2.2.交集交集 自然语言：自然语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB （读作“A交B”）. 符号语言：符号语言： ,ABx xAxB且. 图形语言：图形语言： A ( B ) A BB A (5) A =BA (4) B B（3）A (2)A与B没有有公共元素 BA BA (1)A与B有公共元素，相互不包含 4 理解：理解：当A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说A与B的交集是. 交集
9、的性质：交集的性质： （1）ABBA； （2）AAA； （3）A； （4）()()ABCABC； （5）ABA，ABB； （6）ABAAB. 3.3.补集补集 （1）全集的概念：全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全 集，通常记作U. （2）补集的概念补集的概念 自然语言：自然语言：对于一个集合A，由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集 U的补集，记为UA. 符号语言：符号语言： , UAx xUxA且 图形语言：图形语言： A(B) B A BA B A (5)A=B,A B=A=B (4)B A,A B=B (3
10、)A B,A B=A A B （2）A与B没有公共元素,A B= （1）A与B有公共元素，且互不包含 A 5 补集的性质补集的性质 （1）() U AA； （2）() U AAU； （3）()()() UUU ABAB痧?； （4）()()() UUU ABAB痧?. 1.41.4 充分条件与充分条件与必要条件必要条件 1.充分条件与必要条件充分条件与必要条件 一般地， “若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作 pq，并且说p是q的充分条件充分条件，q是p的必要条件必要条件. 在生活中， q是p成立的必要条件也可以说成是: qp（q表示q不成立）
11、， 其实， 这与pq是 等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法. 如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作/pq.此时，我们就说p不是q的充分条件，q 不是p的必要条件. 2.2.充要条件充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有pq，又有qp就记作 pq.此时， 我们就说p是q的充分必要条件， 简称为充要条件充要条件.显然， 如果p是q的充要条件， 那么q也 是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件. “p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等. 1.51.5 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1.全称量
12、词全称量词与存在量词与存在量词 （1）全称全称量词量词 短语“所有的” ， “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一 切” ， “每一个” ， “任给” ， “所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中的任意一个x，有( )p x成立”可用符号简记为xM?，( )p x，读作“对任意x 属于M，有( )p x成立”. （2）存在量词存在量词 短语“存在一个” ， “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号“$”表示.常见的存在量词还有 “有些” ， “有一个” ， “对某个” ， “有的”
13、等. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x，使( )p x成立”可用符号简记为xM ，( )p x，读作“存在M中的 元素x，使( )p x成立”. 2.2.全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定 （1 1）全称量词命题的否定全称量词命题的否定 全称量词命题：xM?，( )p x，它的否定：xM ，( )p x. 6 全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）存在量词命题的否定存在量词命题的否定 存在量词命题：xM ，( )p x，它的否定：xM?，( )p x. 存在量词命题的否定是全称量词命题. 第二章第二章 一元二次
14、函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 2 2. .1 1 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 1.1.比较原理比较原理 0abab ； 0abab ； 0abab . 2.等式的基本性质等式的基本性质 性质性质 1 如果ab，那么ba； 性质性质 2 如果ab，bc，那么ac； 性质性质 3 如果ab，那么acbc ； 性质性质 4 如果ab，那么acbc； 性质性质 5 如果ab，0c ，那么 ab cc . 3.不等式的不等式的基本基本性质性质 性质性质 1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即 abba 性质性质 2 如果ab，bc，那么ac.即 ab，bcac. 性
15、质性质 3 如果ab，那么acbc . 由性质 3 可得， ()()abcabbcbacb . 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质性质 4 如果ab，0c ，那么acbc；如果ab，0c，那么acbc. 性质性质 5 如果ab，cd，那么acbd . 性质性质 6 如果0ab，0cd，那么acbd. 性质性质 7 如果0ab，那么 nn ab（nN，2n）. 2.22.2 基本不等式基本不等式 1.重要不等式重要不等式 ,a bR，有 22 2abab， 当且仅当ab时，等号成立. 7 2.基本不等式基本不等式 如果0a ，0b ，则 2 ab ab ， 当且仅当
16、ab时，等号成立. 2 ab 叫做正数a，b的算术平均数算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算 术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式与基本不等式相关的不等式 （1）当,a bR时，有 2 2 ab ab ， 当且仅当ab时，等号成立. （2）当0a ，0b 时，有 2 11 ab ab ， 当且仅当ab时，等号成立. （3）当,a bR时，有 2 22 22 abab ， 当且仅当ab时，等号成立. 4.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 已知0 x ，0y ，那么 （1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最
17、小值2 P； （2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值 2 1 4 S. 2.32.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 (0)a 0 0 0 8 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a
18、 cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 3.13.1 函数的概念及其函数的概念及其表示表示 1.1.函数的概念函数的概念 设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中 都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作 ( )yf x,xA. 其中，x叫做自变量自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值函数值，函数值的 集合|()f xxA叫做函数的值域值域，显然，值
19、域是集合B的子集. 2 2. .区间：区间： 设a,b是两个实数，而且ab，我们规定： （1 1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间，表示为 , a b； （2 2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间，表示为( , )a b； （3 3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间半开半闭区间，分别表示为： , )a b , ( , a b . 这里的实数a，b都叫做相应区间的端点区间的端点. 这些区间的几何表示如下表所示. x2x1O y x x1=x2 O y x O y x 9 定义 名称 符号 数轴表示 x axb 闭 区 间 , a b x axb
20、开 区 间 ( , )a b x axb 半开半闭区间 , )a b x axb 半开半闭区间 ( , a b （4 4）实数集R可以表示为(,) ,“”读作“无穷大” ， “”读作“负无穷大” ， “” 读作“正无穷大”. 满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合，用区间分别表示为 ,)a ，( ,)a (, b，(, )b. 这些区间的几何表示如下表所示. 定义 符号 数轴表示 xx (,) x xa ,)a x xa ( ,)a x xb (, b x xb (, )b 注意：注意： （1 1）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数. （2 2）以“”或“”为区间的一
21、端时，这一端点必须用小括号. 3.3.函数的三要素函数的三要素 （1 1）定义域； （2 2）对应关系； （3 3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. 4.4.函数的相等函数的相等 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 5 5. .函数的表示方法函数的表示方法 xba xba xb a xba x0 a x a x b x b x 10 （1 1）解析法解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. 解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关 系. （2 2）图象法图象法 用图象表示
22、两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法. 图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系. 说明：说明：将自变量的一个值 0 x作为横坐标，相应的函数值 0 ()f x作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点 00 (,()xf x.当自变量取遍函数的定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图 形就是函数( )yf x的图象.函数( )yf x的图象在x轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y轴 上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3 3）列表法列表法 通过列表来
23、表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示 函数关系的. 6.6.分段函数分段函数 （1 1）分段函数的概念分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 如 （1） ,0, ( ) ,0 x x f xx xx ， （2） 2 2 ,0, ( ) ,0 xx f x xx . 说明：说明： 分段函数是一个函数， 而不是几个函数.处理分段函数问题时， 要先确定自变量的取值在哪个区间， 从而选取相应的对应关系. 分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自
24、变量的取值 范围. 分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分 开写成几个集合的形式. 分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. （2 2）分段函数的图象分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图 象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分 段函数的图象. 3.23.2 函数的基本性质函数的基本性质 函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. 1.1.单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 （1 1）增函数）增函数 设函数( )
25、f x的定义域为 I,区间 DI.如果 1 x， 2 xD，当 12 xx时，都有 12 ( )()f xf x,那么就称函 数( )f x在区间 D 上单调递单调递增增. 11 特别地，当函数( )f x在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数增函数. （2）减函数）减函数 设函数( )f x的定义域为 I，区间 DI.如果 1 x， 2 xD，当 12 xx时，都有 12 ( )()f xf x,那么就称函 数( )f x在区间 D 上单调递增单调递增. 特别地，当函数( )f x在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数减函数. （3 3）单调性、单调区间、单调函数单调性、单调区间
26、、单调函数 如果函数( )yf x在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数( )yf x在区间 D 上具有（严格的） 单调性，区间 D 叫做( )yf x的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数）证明函数( )f x在区间在区间 D 上单调递增或单调递减上单调递增或单调递减，基本步骤如下：，基本步骤如下： 设值：设值：设 12 ,x xD，且 12 xx； 作差：作差： 12 ( )()f xf x ； 变形：变形：对 12 ( )()f xf x变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； 判断符号，得
27、出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值）函数的最大值与最小值 最大值最大值：设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足: （1）对于任意的xI，都有( )f xM； （2）存在 0 xI，使得 0 ()f xM. 那么我们称M是函数( )yf x的最大值最大值. 最小最小值值：设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数m满足: OO f(x2) f(x2) f(x1) f(x1) x1x2x2x1 y=f(x) y=f(x) y x y x 12 （1）对于任意的xI，都有( )f xm； （2）存在 0 xI，使得 0 ()f xm. 那么我们称m是函数( )yf x的最
28、小值最小值. 2.奇偶性奇偶性 （1）偶函数）偶函数 设函数( )f x的定义域为I，如果xI ，都有xI ，且()( )fxf x，那么函数( )f x就叫做偶函数偶函数. 关于偶函数有下面的结论： 偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； 偶函数的图象关于y轴对称.反之也成立； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数奇函数 设函数( )f x的定义域为I，如果xI ，都有xI ，且()( )fxf x ，那么函数( )f x就叫做奇函奇函 数数. 关于奇函数有下面的结论： 奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关
29、于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； 奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立； 如果奇函数当0 x 时有意义，那么(0)0f.即当0 x 有意义时，奇函数的图象过坐标原点； 奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 3.33.3 幂函数幂函数 1.幂函数幂函数的概念的概念 一般地，形如yx（R，为常数）的函数称为幂函数. 对于幂函数，我们只研究1，2，3， 1 2 ，1时的图象与性质. 2.五个幂函数的图象和性质五个幂函数的图象和性质 x y y= x 1 2 y= x3 y= x2 y= x y= x-1 -1 -1 1 1O 13 xy 2 xy 3 xy 2 1 xy 1 x
30、y 定义域 R R R 0,+ ) (,0)(0,+ ) 值域 R 0,+ ) R 0,+ ) (,0)(0,+ ) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 在(, 0上递减 在0, +)上递增 增函数 增函数 在(, 0），0, +)（上 递减 定点 (1,1) 3.43.4 函数的应用（一）函数的应用（一） 略. 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.1 4.1 指数指数 1.1.n次次方根与分数指数幂方根与分数指数幂 （1）方根）方根 如果 n xa，那么x叫做a的n次方根，其中1n ，且*nN. 当n是奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n方
31、根是负数.这时，a的n方根用符号 n a表示. 当n是偶数时， 正数的n次方根有两个， 这两个数互为相反数.这时， 正数a的正的n次方根用符号 n a表 示，负的n次方根用符号 n a表示. 正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 n a（0a ）. 负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是 0，记作00 n . 式子 n a叫做根式根式，这里n叫做根指数根指数，a叫做被开方数被开方数. 关于根式有下面两个等式： ()n n aa； , , nn a n a a n 为奇数 为偶数. 2.分数指数幂分数指数幂 （1）正分数指数幂）正分数指数幂 m nm n aa（0a ，m，*nN，1n ）.
32、 0 的正分数指数幂等于 0. （2）负分数指数幂）负分数指数幂 11 = m n m nm n a aa （0a ，m，*nN，1n ）. 0 的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质）有理数指数幂的运算性质 rsr s a aa （0a ，r，sQ） ； () rsrs aa（0a ，r，sQ） ； 14 ()r rr aba b（0a ，0b ，rQ）. 3. 无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂及其运算性质 （1 1）无理数指数幂的概念）无理数指数幂的概念 当x是无理数时， x a是无理数指数幂无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x的不足近似值 m
33、和过剩近似值n逐渐逼近x时， m a和 n a都趋向于同一个数， 这个数就是 x a.所以无理数指数幂 x a（0a ， x是无理数）是一个确定的数. （2）实数指数幂的运算性质）实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质. rsr s a aa （0a ，r，sR） ； () rsrs aa（0a ，r，sR） ； ()r rr aba b（0a ，0b，rR）. 4.2 4.2 指数函数指数函数 1.1.指数函数的概念指数函数的概念 函数 x ya（0a ，且1a ）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图
34、象和性质指数函数的图象和性质 一般地，指数函数 x ya（0a ，且1a ）的图象和性质如下表所示： 01a 1a 图 象 定义域 R 值 域 (0,) 性 质 （1）过定点(0,1)，即0 x 时，1y （2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数 4.3 4.3 对数对数 1.1.对数的概念对数的概念 一般地，如果 x aN(0,1)aa，那么数x叫做以以a为底为底N的对数的对数，记作 Nx a log. 其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 当0a ，且1a 时，log N x a aNx. 2. 两个重要的对数两个重要的对数 y = 1 y = a x (0,1) O y x y = 1
35、y = a x (0,1) O y x 15 （1）常用对数：）常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数常用对数，并把 10 logN记为lgN. （2）自然对数：）自然对数：以e（e是无理数，2.71828e）为底的对数叫做自然对数自然对数，并把logeN记作lnN. 3. 关于对数的几个结论关于对数的几个结论 （1）负数和 0 没有对数； （2）log 10 a ； （3）log1 aa . 4. 对数的运算对数的运算 如果0a ，且1a ，0M ，0N ，那么 （1）log ()loglog aaa MNMN； （2）logloglog aaa M MN N ； （3）loglog n
36、 aa MnM（nR）. 5. 换底公式换底公式 log log log c a c b b a （0a ，且1a ，0b ，0c ，1c）. 4.44.4 对数函数对数函数 1. 对数函数的概念对数函数的概念 一般地，函数logayx（0a ，且1a ）叫做对数函数对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,). 2.对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 01a 1a 图象 定义域 (0,) 值域 R 性质 （1）过定点(1,0)，即当1x 时，0y . （2）增函数 （2）减函数 (1,0) O y x y = logax x = 1 (1,0)O y x y = logax x = 1
37、16 3. 反函数反函数 指数函数 x ya（0a ，且1a ）与对数函数logayx（0a ，且1a ）互为反函数，它们的定义 域与值域正好互换. 互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称. 4. 不同函数增长的差异不同函数增长的差异 对于对数函数logayx（1a ） 、一次函数ykx（0k ） 、指数函数 x yb（1b）来说，尽管它们 在(0,)上都是增函数， 但是随着x的增大， 它们增长的速度是不相同的.其中对数函数logayx（1a ） 的增长速度越来越慢；一次函数ykx（0k ）增长的速度始终不变；指数函数 x yb（1b）增长的 速度越来越快.总之来说，不管a（1a ） ，k
38、（0k ） ，b（1b）的大小关系如何， x yb（1b） 的增长速度最终都会大大超过ykx（0k ）的增长速度；ykx（0k ）的增长速度最终都会大大 超过logayx（1a ）的增长速度.因此，总会存在一个 0 x，当 0 xx时，恒有 log x a bkxx. 4 4.5 .5 函数的应用（二）函数的应用（二） 1. 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念）函数零点的概念 对于函数( )yf x，我们把使( )0f x 的实数x叫做函数( )yf x的零点零点. 函数( )yf x的零点就是方程( )0f x 的实数解，也是函数( )yf x的图象与x轴的公共点
39、的横坐标.所 以 方程( )0f x 有实数解 函数( )yf x有零点 函数( )yf x的图象与x轴有公共点. （2）函数零点存在定理）函数零点存在定理 如果函数( )yf x在区间 , a b上的图象是一条连续不断的曲线， 且有( ) ( )0f a f b ， 那么， 函数( )yf x 在区间( , )a b内至少有一个零点，即存在( , )ca b，使得( )0f c ，这个c也就是方程( )0f x 的解. 2. 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 对于在区间 , a b上图象连续不断且( ) ( )0f a f b 的函数( )yf x，通过不断地把它的零点所在区间一
40、分 为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法. 17 给定精确度精确度，用二分法求函数( )yf x零点 0 x的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点 0 x的初始区间 , a b，验证( ) ( )0f a f b . （2）求区间( , )a b的中点c. （3）计算( )f c，并进一步确定零点所在的区间： 若( )0f c （此时 0 xc） ，则c就是函数的零点； 若( ) ( )0f a f c （此时 0 ( , )xa c） ，则令bc； 若( ) ( )0f c f b （此时 0 ( , )xc b） ，则令ac. （4）判断是否达
41、到精确度：若ab，则得到零点的近似值a（或b） ；否则重复步骤（2）（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 3. 函数模型的应用函数模型的应用 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长” “直线上升”还是“指数爆炸” ） ；根据增长 情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到 的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运 算等. 第五章第五章 三角函数三角函数 5.15.1 任意角和弧度制任意角和弧
42、度制 1 1. .任意角任意角 （1 1）角的概念）角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 射线的端点叫做角的顶点顶点，射线在起始 位置和终止位置分别叫做角的始边始边和终边终边. （2 2）正角、负角、零角正角、负角、零角 按逆时针方向旋转所成的角叫正角正角； 函数模型的解 推 理 运 算 解释说明 化归 实际问题的解 函数模型实际问题 A B O 18 按顺时针方向旋转所成的角叫负角负角； 一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. （3 3）象限角象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴
43、重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限， 就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限. （4 4）终边相同的角终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 |360 ,SkkZ 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍； 象限角的表示： 第一象限角的集合 |36090360 ,kkkZ 第二象限角的集合 |90360180360 ,kkkZ 第三象限角的集合 |180360270360 ,kkkZ 第四象限角的集合 |27036
44、0360360 ,kkkZ 终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表. 位 置 表 示 终边在x轴非负半轴 360 ,kkZ 终边在x轴非正半轴 180 +360 ,kkZ 终边在x轴 180 ,kkZ 终边在y轴非负半轴 90 +360 ,kkZ 终边在y轴非正半轴 270 +360 ,kkZ 终边在y轴 90180 ,kkZ 终边在坐标轴 90 ,kkZ 2.2. 弧度制弧度制 19 （1）弧度的概念弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度弧度的角. 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么 l r . 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度
45、数是一个负数，零角的弧度数是 0. （2）弧度与角度的换算）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（rad） ，半径为R，弧长为l，则有 lR； 2 1 2 SR； 1 2 SlR. 5.25.2 三角函数的概念三角函数的概念 1. 三角函数的概念三角函数的概念 （1）三角函数的定义）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角R，它的终边OP 与单位圆相交于点( , )P x y. 把点P的纵坐标y叫做的正弦函数正弦函数，记作 sin，即 siny； 把点P的横坐标x叫做的余弦函数余弦函数，记作 cos，即 cosx； 把点P的纵坐标与横坐标的比值 y x
46、 叫做的正切函数正切函数，记作tan，即 tan y x （0 x ）. 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 s i ny，xR； 余弦函数 c o sy，xR； 1rad = 180 57.3 1 = 180 rad 0.01745rad 180 = rad A(1,0) P(x,y) O y x 20 正切函数 t a ny， 2 xk （kZ）. 设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点 重合）的坐标为( , )x y，点P与原点的距离为 22 rxy. 可以证明： sin y r ； cos x r ； tan y x . （2）几个特殊角的三角函数值）几个特殊角的三角函数值 0， 2 ， 3 2 的三角函数值如下表所示： 函 数 0 2 3 2 sin 0 1 0 1 cos 1 0 1 0 tan 0 不存在 0 不存在 （3）三角函数值的符号）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等. sin(2 )sink， cos(2 )cosk， tan(2 )tank， 其中kZ. 2. 同角三角函数间
