1、2020-2021 学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1如果 4x3y，那么下列结论正确的是（ ） A B C Dx4，y3 2函数 y3（x2）2+4 的图象的顶点坐标是（ ） A （3，4） B （2，4） C （2，4） D （2，4） 3如图，AD，BC 相交于点 O，ABCD若 AB1，CD2，则ABO 与DCO 的面积之比为（ ） A1：2 B1：4 C2：1 D4：1 4将抛物线 y（x+1）2向右平移 3 个单位，再
2、向上平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析式是（ ） Ay（x+4）2+1 By（x+4）21 Cy（x2）21 Dy（x2）2+1 5共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 a 辆单车，计划第三个月投放单车 y 辆，设 该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x 的函数关系是（ ） Ayx2+a Bya（1+x）2 Cy（1x）2+a Dya（1x）2 6如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C1相似的是（ ） A B C D 7如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在 AB 位置
3、时，水面宽 度为 10m，此时水面到桥拱的距离是 4m，则抛物线的函数关系式为（ ） Ay By Cy Dy 8 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝， 前者好比黄金， 后者堪称珠玉 生活中到处可见黄金分割的美 在 设计人体雕像时， 使雕像的下部 （腰以下）与全部 （全身）的高度比值接近 0.618， 可以增加视觉美感 如 果雕像的高为 2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数） （ ） A1.23m B1.24m C1.25m D1.236m 9如图，RtABC 中，C90，ACCDBD，DEAB 于 EAE 的长为（ ） A3 B C D 10若二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点在
4、第一象限，且过点（0，1）和（1，0） ，则 sa+b+c 的值的 变化范围是（ ） A0s1 B0s2 C1s2 D1s2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 11 （5 分）若，则 12 （5 分）反比例函数，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，写出一个 m 的可能值 13 （5 分）如图，ABC 的中线 BE、CD 交于点 G，则值为 14 （5 分）如图，正方形 OPQR 内接于ABC，已知AOR，BOP，CRQ 的面积分别为 S11，S23， S31，那么正方形 OPQR 的边长 三、解答题（本大题共三、解答题
5、（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）已知抛物线的顶点坐标是（1，4） ，且经过点（0，3） ，求与该抛物线相应的二次函数表达 式 16 （8 分）已知：，求的值 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图，DEAB，EFBC，AF5cm，FB3cm，CD2cm，求 BD 的长 18 （8 分）已知：二次函数 yax2+1 的图象与反比列函数的图象有一个公共点是（1，1） （1）求二次函数及反比例函数解析式； （2）在同一坐标系中画出它们的图象，说明
6、 x 取何值时，二次函数与反比例函数都随 x 的增大而减小 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，且ABDACD （1）求证：； （2）求证：DACCBD 20 （10 分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9 元，当每瓶售价为 10 元时，日均销售量为 560 瓶，经市 场调查表明，当售价超过 10 元时，每瓶售价每增加 0.5 元，日均销售量减少 40 瓶 （1）当每瓶售价为 11 元时，日均销售量为 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得
7、日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 21 （12 分）如图，已知反比例函数与一次函数 yx+b 的图象在第一象限内相交于点 A（1，k+4） （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点 B 的坐标，并求AOB 的面积； （3）直接写出不等式x+b 的解集 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 22 （12 分）已知二次函数 y（xm）21（m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）当 1x3 时，y 的最小值为 3，求 m 的值 八、解答题（本题八、解答
8、题（本题 14 分）分） 23 （14 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5cm，BAC60，动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒cm 的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒（0t5） ，连接 MN （1）若MBN 与ABC 相似，求 t 的值 （2）当 t 为何值时，四边形 ACNM 的面积最小？并求出最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1如果 4x3y，那么下列结
9、论正确的是（ ） A B C Dx4，y3 【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可 【解答】解：A若，等式两边同时乘以 12 得：4x3y，A 项正确， B若，等式两边同时乘以 12 得：3x4y，B 项错误， C若，等式两边同时乘以 3y 得：3x4y，C 项错误， D若 x4，y3，则 3x4y，D 项错误， 故选：A 2函数 y3（x2）2+4 的图象的顶点坐标是（ ） A （3，4） B （2，4） C （2，4） D （2，4） 【分析】由函数解析式即可求得答案 【解答】解： y3（x2）2+4， 函数图象顶点坐标为（2，4） ， 故选：C 3如图，AD，BC
10、相交于点 O，ABCD若 AB1，CD2，则ABO 与DCO 的面积之比为（ ） A1：2 B1：4 C2：1 D4：1 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解：ABCD， AOBDOC， ， ， 故选：B 4将抛物线 y（x+1）2向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析式是（ ） Ay（x+4）2+1 By（x+4）21 Cy（x2）21 Dy（x2）2+1 【分析】根据图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案 【解答】解：将抛物线 y（x+1）2向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析 式是 y（x+13）2+1
11、，即 y（x2）2+1， 故选：D 5共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 a 辆单车，计划第三个月投放单车 y 辆，设 该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x 的函数关系是（ ） Ayx2+a Bya（1+x）2 Cy（1x）2+a Dya（1x）2 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，如果设该公司第二、三 两个月投放单车数量的月平均增长率为 x，然后根据已知条件可得出方程 【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x， 依题意得第三个月第三个月投放单车 a（1+x）2辆， 则 ya（1
12、+x）2 故选：B 6如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C1相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可 【解答】解：因为A1B1C1中有一个角是 135，选项中，有 135角的三角形只有 B，且满足两边成比 例夹角相等， 故选：B 7如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在 AB 位置时，水面宽 度为 10m，此时水面到桥拱的距离是 4m，则抛物线的函数关系式为（ ） Ay By Cy Dy 【分析】抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，解析式符合最简形式 yax2，把点 A 或点 B
13、的坐标代入 即可确定抛物线解析式 【解答】解：依题意设抛物线解析式 yax2， 把 B（5，4）代入解析式， 得4a52， 解得 a， 所以 yx2 故选：C 8 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝， 前者好比黄金， 后者堪称珠玉 生活中到处可见黄金分割的美 在 设计人体雕像时， 使雕像的下部 （腰以下）与全部 （全身）的高度比值接近 0.618， 可以增加视觉美感 如 果雕像的高为 2m，那么它的下部应设计为（结果保留两位小数） （ ） A1.23m B1.24m C1.25m D1.236m 【分析】把雕像的高 2m 乘以 0.618，然后进行近似计算 【解答】解：雕像的下部（腰以下）与全部
14、（全身）的高度比值接近 0.618， 雕像的下部（腰以下）的长0.61821.24（m） 故选：B 9如图，RtABC 中，C90，ACCDBD，DEAB 于 EAE 的长为（ ） A3 B C D 【分析】 首先由两个角对应相等的三角形相似， 证得ABCDBE； 又由相似三角形的对应边成比例， 可得，设 AEx，则 BE5x，得出，解方程可得出答案 【解答】解：C90，ACCDBD， BC2， AB5， 设 AEx，则 BE5x， DEAB， CBED90， BB， ABCDBE， ， ， 解得，x3 故选：A 10若二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（
15、1，0） ，则 sa+b+c 的值的 变化范围是（ ） A0s1 B0s2 C1s2 D1s2 【分析】代入两点的坐标可得出 c1、ab1，进而可得出 s2b，由抛物线的顶点在第一象限可得出 0 且 a0，解之可得出 b0，再根据 ba+1、a0，即可得出 0s2，此题得解 【解答】解：将点（0，1）和（1，0）代入 yax2+bx+c， ，解得：， sa+b+c2b 二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点在第一象限， 对称轴 x0 且 a0， ，b0 又ba+1，a0， 2b2a+22， 0s2 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共
16、分，共 20 分）分） 11 （5 分）若，则 【分析】直接利用已知得出 ab，再代入化简得出答案 【解答】解：， ab， 则 故答案为： 12 （5 分）反比例函数，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，写出一个 m 的可能值 4 【分析】利用反比例函数的性质可得 m20，再解即可 【解答】解：当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， m20， 解得：m2， m 可以是 4， 故答案为：4 13 （5 分）如图，ABC 的中线 BE、CD 交于点 G，则值为 【分析】根据三角形重心的性质即可求解 【解答】解：ABC 的中线 BE、CD 交于点 G， CG：DG2：1， 故答案为： 14 （
17、5 分）如图，正方形 OPQR 内接于ABC，已知AOR，BOP，CRQ 的面积分别为 S11，S23， S31，那么正方形 OPQR 的边长 2 【分析】 在 PQ 上取一点 E，使得 PEQC， 连接 OE，利用正方形的性质得出条件， 判定OPERQC （SAS） ，再利用有两个角分别相等的三角形相似判定BOEOAR，然后利用相似三角形的性质得出 SABC的值，则可求得正方形 OPQR 的面积，最后求得其算术平方根即可 【解答】解：在 PQ 上取一点 E，使得 PEQC，连接 OE，如图： 四边形 OPQR 为正方形， OPRQ，OPERQP90， RQC90， OPERQC 在OPE 和
18、RQC 中， ， OPERQC（SAS） ， SBOES2+S34OEPC， 正方形 OPQR 中 ORPQ， BAOR，CARO， OEPARO， BOEOAR， ， 又ORPQ， ABCAOR， SABCSAOR9 S正方形OPQRSABCS1S2S391314 正方形 OPQR 的边长为 2 故答案为：2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）已知抛物线的顶点坐标是（1，4） ，且经过点（0，3） ，求与该抛物线相应的二次函数表达 式 【分析】设顶点式 ya（x1）24，然后把（0，3）代入求出 a
19、即可得到抛物线解析式 【解答】解：设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 把（0，3）代入得3a（01）24，解得 a1， 所以二次函数表达式为 y（x1）24， 即 yx22 x3 16 （8 分）已知：，求的值 【分析】直接利用已知设 x2a，y3a，z4a，进而代入得出答案 【解答】解：， 设 x2a，y3a，z4a， 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图，DEAB，EFBC，AF5cm，FB3cm，CD2cm，求 BD 的长 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可 【解答】解：DEAB，EFB
20、C，AF5cm，FB3cm，CD2cm， ， ， ， 解得：BDcm 18 （8 分）已知：二次函数 yax2+1 的图象与反比列函数的图象有一个公共点是（1，1） （1）求二次函数及反比例函数解析式； （2）在同一坐标系中画出它们的图象，说明 x 取何值时，二次函数与反比例函数都随 x 的增大而减小 【分析】 （1）根据二次函数 yax2+1 与反比例函数有一个公共点是（1，1） ，求出 a、k 即可 （2）画出函数图象，根据图象解答即可 【解答】解： （1）把（1，1）分别代入 yax2+1 与， 解得：a2，k1， 二次函数为 y2x2+1，反比例函数 y； （2）画出函数图象如图： 由
21、图象可知，当 x0 时，二次函数与反比例函数值都随 x 的增大而减小 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，且ABDACD （1）求证：； （2）求证：DACCBD 【分析】 （1）依据ABDACD，AEBDEC，即可得到ABEDCE，进而得出比例式； （2）依据，AEDBEC，即可判定ADEBCE，进而得出DACCBD 【解答】证明： （1）ABDACD，AEBDEC， ABEDCE， ； （2）， ， 又AEDBEC， ADEBCE， D
22、ACCBD 20 （10 分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9 元，当每瓶售价为 10 元时，日均销售量为 560 瓶，经市 场调查表明，当售价超过 10 元时，每瓶售价每增加 0.5 元，日均销售量减少 40 瓶 （1）当每瓶售价为 11 元时，日均销售量为 480 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【分析】 （1）根据日均销售量为 56040计算可得； （2）根据“总利润每瓶利润日均销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性 质解答即可 【解答】解： （1）当每瓶的售价为 11 元时，日均销售量为 56040480 瓶， 故答
23、案为：480； （2）设每瓶的售价为 x 元，日均利润为 y， 则 y（x9） （56040） 80 x2+2080 x12240 80（x13）2+1280， 当 x13 时，y 取得最大值，最大值为 1280， 答：当每瓶售价为 13 元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为 1280 元 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 21 （12 分）如图，已知反比例函数与一次函数 yx+b 的图象在第一象限内相交于点 A（1，k+4） （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点 B 的坐标，并求AOB 的面积； （3）直接写出不等式x+b 的解集 【分
24、析】 （1）先把 A 点坐标代入反比例函数的解析式中便可求得 k，进而把求得的 A 点坐标代入一次函 数的解析式中便可求得一次函数； （2）联立方程组便可求得 B 点的坐标，求出 OC，再由AOC 和BOC 的面积和，便可求得结果； （3）根据直线在双曲线上方部分的 x 的取值范围进行解答 【解答】解： （1）把 A（1，k+4）代入中，得k+4， k2， 反比例函数的解析式为：y， A 点的坐标为（1，2） ， 把 A（1，2）代入 yx+b 中，得 21+b， b1， 一次函数的解析式为：yx+1； （2）联立方程组， 解得，或， B（2，1） ， 令 y0，则 yx+10，得 x1， C
25、（1，0） ， OC1， SAOBSAOC+SBOC+； （3）由函数图象可知，直线在双曲线下方时，x2 或 0 x1， 不等式x+b 的解集是 x2 或 0 x1 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 22 （12 分）已知二次函数 y（xm）21（m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）当 1x3 时，y 的最小值为 3，求 m 的值 【分析】 （1）通过解方程（xm）210 时，利用与 0 的关系可判断该函数图象与 x 轴总有两个公 共点； （2）抛物线的对称轴为直线 xm，讨论：当 m1 时，根据二次函数的性质得 x1 时，y
26、3，则（1 m）213；当 1m3 时，xm，y1 不合题意舍去；当 m3 时，根据二次函数的性质得到 x 3，y3，所以（3m）213，然后解关于 m 的方程得到满足条件的 m 的值 【解答】 （1）证明：当 y0 时， （xm）210， 即：x22mx+m210， 4m24（m21）40 即不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点； （2）抛物线的对称轴为直线 xm， 当 m1 时，y 随 x 增大而增大，故当 x1 时，y 有最小值 x1 时，y3， 所以（1m）213， 解得 m13（舍去） ，m21； 当 1m3 时，xm，y1 不合题意舍去； 当 m3 时，y 随 x
27、增大而减小，故当 x3 时，y 有最小值， 当 x3 时，y3， 所以（3m）213， 解得 m11（舍去） ，m25； 综上所述，m 的值为1 或 5 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 23 （14 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5cm，BAC60，动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒cm 的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒（0t5） ，连接 MN （1）若MBN 与ABC 相似，求 t 的值 （2）当 t 为何值时，四边形 ACNM 的面积最小？并求出
28、最小值 【分析】 （1）分两种情况：当MBNABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得 出 t 的值；当NBMABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出 t 的值； （2）过 M 作 MDBC 于点 D，则 MDAC，证出BMDBAC，得出比例式求出 MDt四边形 ACNM 的面积 yABC 的面积BMN 的面积，得出 y 是 t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出 结果 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ACB90，AC5，BAC60， B30， AB2AC10，BC5 分两种情况：当MBNABC 时， 则，即， 解得：t 当NBMABC 时， 同理可得：t， 综上所述：当 t或时，MBN 与ABC 相似； （2）过 M 作 MDBC 于点 D，则 MDAC， BMDBAC， ，即， 解得：MDt 设四边形 ACNM 的面积为 y， y55（5t）t（t2.5）2+ 根据二次函数的性质可知，当 t2.5 时，y 的值最小值为
