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2020-2021学年安徽省合肥市包河区九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年安徽省合肥市包河区九年级(上)期中数学试卷学年安徽省合肥市包河区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分)分) 1如果 4x3y,那么下列结论正确的是( ) A B C Dx4,y3 2函数 y3(x2)2+4 的图象的顶点坐标是( ) A (3,4) B (2,4) C (2,4) D (2,4) 3如图,AD,BC 相交于点 O,ABCD若 AB1,CD2,则ABO 与DCO 的面积之比为( ) A1:2 B1:4 C2:1 D4:1 4将抛物线 y(x+1)2向右平移 3 个单位,再

2、向上平移 1 个单位,则平移后抛物线的解析式是( ) Ay(x+4)2+1 By(x+4)21 Cy(x2)21 Dy(x2)2+1 5共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放 a 辆单车,计划第三个月投放单车 y 辆,设 该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x,那么 y 与 x 的函数关系是( ) Ayx2+a Bya(1+x)2 Cy(1x)2+a Dya(1x)2 6如图,每个小正方形的边长均为 1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与A1B1C1相似的是( ) A B C D 7如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在 AB 位置

3、时,水面宽 度为 10m,此时水面到桥拱的距离是 4m,则抛物线的函数关系式为( ) Ay By Cy Dy 8 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝, 前者好比黄金, 后者堪称珠玉 生活中到处可见黄金分割的美 在 设计人体雕像时, 使雕像的下部 (腰以下)与全部 (全身)的高度比值接近 0.618, 可以增加视觉美感 如 果雕像的高为 2m,那么它的下部应设计为(结果保留两位小数) ( ) A1.23m B1.24m C1.25m D1.236m 9如图,RtABC 中,C90,ACCDBD,DEAB 于 EAE 的长为( ) A3 B C D 10若二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点在

4、第一象限,且过点(0,1)和(1,0) ,则 sa+b+c 的值的 变化范围是( ) A0s1 B0s2 C1s2 D1s2 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 11 (5 分)若,则 12 (5 分)反比例函数,当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,写出一个 m 的可能值 13 (5 分)如图,ABC 的中线 BE、CD 交于点 G,则值为 14 (5 分)如图,正方形 OPQR 内接于ABC,已知AOR,BOP,CRQ 的面积分别为 S11,S23, S31,那么正方形 OPQR 的边长 三、解答题(本大题共三、解答题

5、(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 8 分,满分分,满分 16 分)分) 15 (8 分)已知抛物线的顶点坐标是(1,4) ,且经过点(0,3) ,求与该抛物线相应的二次函数表达 式 16 (8 分)已知:,求的值 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 8 分,满分分,满分 16 分)分) 17 (8 分)如图,DEAB,EFBC,AF5cm,FB3cm,CD2cm,求 BD 的长 18 (8 分)已知:二次函数 yax2+1 的图象与反比列函数的图象有一个公共点是(1,1) (1)求二次函数及反比例函数解析式; (2)在同一坐标系中画出它们的图象,说明

6、 x 取何值时,二次函数与反比例函数都随 x 的增大而减小 五、解答题(本大题共五、解答题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 10 分,满分分,满分 20 分)分) 19 (10 分)如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E,且ABDACD (1)求证:; (2)求证:DACCBD 20 (10 分)某超市销售一种饮料,每瓶进价为 9 元,当每瓶售价为 10 元时,日均销售量为 560 瓶,经市 场调查表明,当售价超过 10 元时,每瓶售价每增加 0.5 元,日均销售量减少 40 瓶 (1)当每瓶售价为 11 元时,日均销售量为 瓶; (2)当每瓶售价为多少元时,所得

7、日均总利润最大?最大日均总利润为多少元? 六、解答题(本题六、解答题(本题 12 分)分) 21 (12 分)如图,已知反比例函数与一次函数 yx+b 的图象在第一象限内相交于点 A(1,k+4) (1)试确定这两个函数的表达式; (2)求出这两个函数图象的另一个交点 B 的坐标,并求AOB 的面积; (3)直接写出不等式x+b 的解集 七、解答题(本题七、解答题(本题 12 分)分) 22 (12 分)已知二次函数 y(xm)21(m 为常数) (1)求证:不论 m 为何值,该函数图象与 x 轴总有两个公共点; (2)当 1x3 时,y 的最小值为 3,求 m 的值 八、解答题(本题八、解答

8、题(本题 14 分)分) 23 (14 分)如图,在 RtABC 中,ACB90,AC5cm,BAC60,动点 M 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒cm 的速度向点 B 匀速运动,设运动时间为 t 秒(0t5) ,连接 MN (1)若MBN 与ABC 相似,求 t 的值 (2)当 t 为何值时,四边形 ACNM 的面积最小?并求出最小值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分)分) 1如果 4x3y,那么下列结

9、论正确的是( ) A B C Dx4,y3 【分析】根据等式的性质,依次分析各个选项,选出正确的选项即可 【解答】解:A若,等式两边同时乘以 12 得:4x3y,A 项正确, B若,等式两边同时乘以 12 得:3x4y,B 项错误, C若,等式两边同时乘以 3y 得:3x4y,C 项错误, D若 x4,y3,则 3x4y,D 项错误, 故选:A 2函数 y3(x2)2+4 的图象的顶点坐标是( ) A (3,4) B (2,4) C (2,4) D (2,4) 【分析】由函数解析式即可求得答案 【解答】解: y3(x2)2+4, 函数图象顶点坐标为(2,4) , 故选:C 3如图,AD,BC

10、相交于点 O,ABCD若 AB1,CD2,则ABO 与DCO 的面积之比为( ) A1:2 B1:4 C2:1 D4:1 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解:ABCD, AOBDOC, , , 故选:B 4将抛物线 y(x+1)2向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,则平移后抛物线的解析式是( ) Ay(x+4)2+1 By(x+4)21 Cy(x2)21 Dy(x2)2+1 【分析】根据图象的平移规律:左加右减,上加下减,可得答案 【解答】解:将抛物线 y(x+1)2向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,则平移后抛物线的解析 式是 y(x+13)2+1

11、,即 y(x2)2+1, 故选:D 5共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放 a 辆单车,计划第三个月投放单车 y 辆,设 该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x,那么 y 与 x 的函数关系是( ) Ayx2+a Bya(1+x)2 Cy(1x)2+a Dya(1x)2 【分析】主要考查增长率问题,一般用增长后的量增长前的量(1+增长率) ,如果设该公司第二、三 两个月投放单车数量的月平均增长率为 x,然后根据已知条件可得出方程 【解答】解:设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为 x, 依题意得第三个月第三个月投放单车 a(1+x)2辆, 则 ya(1

12、+x)2 故选:B 6如图,每个小正方形的边长均为 1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与A1B1C1相似的是( ) A B C D 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可 【解答】解:因为A1B1C1中有一个角是 135,选项中,有 135角的三角形只有 B,且满足两边成比 例夹角相等, 故选:B 7如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在 AB 位置时,水面宽 度为 10m,此时水面到桥拱的距离是 4m,则抛物线的函数关系式为( ) Ay By Cy Dy 【分析】抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,解析式符合最简形式 yax2,把点 A 或点 B

13、的坐标代入 即可确定抛物线解析式 【解答】解:依题意设抛物线解析式 yax2, 把 B(5,4)代入解析式, 得4a52, 解得 a, 所以 yx2 故选:C 8 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝, 前者好比黄金, 后者堪称珠玉 生活中到处可见黄金分割的美 在 设计人体雕像时, 使雕像的下部 (腰以下)与全部 (全身)的高度比值接近 0.618, 可以增加视觉美感 如 果雕像的高为 2m,那么它的下部应设计为(结果保留两位小数) ( ) A1.23m B1.24m C1.25m D1.236m 【分析】把雕像的高 2m 乘以 0.618,然后进行近似计算 【解答】解:雕像的下部(腰以下)与全部

14、(全身)的高度比值接近 0.618, 雕像的下部(腰以下)的长0.61821.24(m) 故选:B 9如图,RtABC 中,C90,ACCDBD,DEAB 于 EAE 的长为( ) A3 B C D 【分析】 首先由两个角对应相等的三角形相似, 证得ABCDBE; 又由相似三角形的对应边成比例, 可得,设 AEx,则 BE5x,得出,解方程可得出答案 【解答】解:C90,ACCDBD, BC2, AB5, 设 AEx,则 BE5x, DEAB, CBED90, BB, ABCDBE, , , 解得,x3 故选:A 10若二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(

15、1,0) ,则 sa+b+c 的值的 变化范围是( ) A0s1 B0s2 C1s2 D1s2 【分析】代入两点的坐标可得出 c1、ab1,进而可得出 s2b,由抛物线的顶点在第一象限可得出 0 且 a0,解之可得出 b0,再根据 ba+1、a0,即可得出 0s2,此题得解 【解答】解:将点(0,1)和(1,0)代入 yax2+bx+c, ,解得:, sa+b+c2b 二次函数 yax2+bx+c 的图象的顶点在第一象限, 对称轴 x0 且 a0, ,b0 又ba+1,a0, 2b2a+22, 0s2 故选:B 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共

16、分,共 20 分)分) 11 (5 分)若,则 【分析】直接利用已知得出 ab,再代入化简得出答案 【解答】解:, ab, 则 故答案为: 12 (5 分)反比例函数,当 x0 时,y 随 x 的增大而减小,写出一个 m 的可能值 4 【分析】利用反比例函数的性质可得 m20,再解即可 【解答】解:当 x0 时,y 随 x 的增大而减小, m20, 解得:m2, m 可以是 4, 故答案为:4 13 (5 分)如图,ABC 的中线 BE、CD 交于点 G,则值为 【分析】根据三角形重心的性质即可求解 【解答】解:ABC 的中线 BE、CD 交于点 G, CG:DG2:1, 故答案为: 14 (

17、5 分)如图,正方形 OPQR 内接于ABC,已知AOR,BOP,CRQ 的面积分别为 S11,S23, S31,那么正方形 OPQR 的边长 2 【分析】 在 PQ 上取一点 E,使得 PEQC, 连接 OE,利用正方形的性质得出条件, 判定OPERQC (SAS) ,再利用有两个角分别相等的三角形相似判定BOEOAR,然后利用相似三角形的性质得出 SABC的值,则可求得正方形 OPQR 的面积,最后求得其算术平方根即可 【解答】解:在 PQ 上取一点 E,使得 PEQC,连接 OE,如图: 四边形 OPQR 为正方形, OPRQ,OPERQP90, RQC90, OPERQC 在OPE 和

18、RQC 中, , OPERQC(SAS) , SBOES2+S34OEPC, 正方形 OPQR 中 ORPQ, BAOR,CARO, OEPARO, BOEOAR, , 又ORPQ, ABCAOR, SABCSAOR9 S正方形OPQRSABCS1S2S391314 正方形 OPQR 的边长为 2 故答案为:2 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 8 分,满分分,满分 16 分)分) 15 (8 分)已知抛物线的顶点坐标是(1,4) ,且经过点(0,3) ,求与该抛物线相应的二次函数表达 式 【分析】设顶点式 ya(x1)24,然后把(0,3)代入求出 a

19、即可得到抛物线解析式 【解答】解:设抛物线的解析式为 ya(x1)24, 把(0,3)代入得3a(01)24,解得 a1, 所以二次函数表达式为 y(x1)24, 即 yx22 x3 16 (8 分)已知:,求的值 【分析】直接利用已知设 x2a,y3a,z4a,进而代入得出答案 【解答】解:, 设 x2a,y3a,z4a, 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 8 分,满分分,满分 16 分)分) 17 (8 分)如图,DEAB,EFBC,AF5cm,FB3cm,CD2cm,求 BD 的长 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可 【解答】解:DEAB,EFB

20、C,AF5cm,FB3cm,CD2cm, , , , 解得:BDcm 18 (8 分)已知:二次函数 yax2+1 的图象与反比列函数的图象有一个公共点是(1,1) (1)求二次函数及反比例函数解析式; (2)在同一坐标系中画出它们的图象,说明 x 取何值时,二次函数与反比例函数都随 x 的增大而减小 【分析】 (1)根据二次函数 yax2+1 与反比例函数有一个公共点是(1,1) ,求出 a、k 即可 (2)画出函数图象,根据图象解答即可 【解答】解: (1)把(1,1)分别代入 yax2+1 与, 解得:a2,k1, 二次函数为 y2x2+1,反比例函数 y; (2)画出函数图象如图: 由

21、图象可知,当 x0 时,二次函数与反比例函数值都随 x 的增大而减小 五、解答题(本大题共五、解答题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 10 分,满分分,满分 20 分)分) 19 (10 分)如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E,且ABDACD (1)求证:; (2)求证:DACCBD 【分析】 (1)依据ABDACD,AEBDEC,即可得到ABEDCE,进而得出比例式; (2)依据,AEDBEC,即可判定ADEBCE,进而得出DACCBD 【解答】证明: (1)ABDACD,AEBDEC, ABEDCE, ; (2), , 又AEDBEC, ADEBCE, D

22、ACCBD 20 (10 分)某超市销售一种饮料,每瓶进价为 9 元,当每瓶售价为 10 元时,日均销售量为 560 瓶,经市 场调查表明,当售价超过 10 元时,每瓶售价每增加 0.5 元,日均销售量减少 40 瓶 (1)当每瓶售价为 11 元时,日均销售量为 480 瓶; (2)当每瓶售价为多少元时,所得日均总利润最大?最大日均总利润为多少元? 【分析】 (1)根据日均销售量为 56040计算可得; (2)根据“总利润每瓶利润日均销售量”列出函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性 质解答即可 【解答】解: (1)当每瓶的售价为 11 元时,日均销售量为 56040480 瓶, 故答

23、案为:480; (2)设每瓶的售价为 x 元,日均利润为 y, 则 y(x9) (56040) 80 x2+2080 x12240 80(x13)2+1280, 当 x13 时,y 取得最大值,最大值为 1280, 答:当每瓶售价为 13 元时,所得日均总利润最大,最大日均总利润为 1280 元 六、解答题(本题六、解答题(本题 12 分)分) 21 (12 分)如图,已知反比例函数与一次函数 yx+b 的图象在第一象限内相交于点 A(1,k+4) (1)试确定这两个函数的表达式; (2)求出这两个函数图象的另一个交点 B 的坐标,并求AOB 的面积; (3)直接写出不等式x+b 的解集 【分

24、析】 (1)先把 A 点坐标代入反比例函数的解析式中便可求得 k,进而把求得的 A 点坐标代入一次函 数的解析式中便可求得一次函数; (2)联立方程组便可求得 B 点的坐标,求出 OC,再由AOC 和BOC 的面积和,便可求得结果; (3)根据直线在双曲线上方部分的 x 的取值范围进行解答 【解答】解: (1)把 A(1,k+4)代入中,得k+4, k2, 反比例函数的解析式为:y, A 点的坐标为(1,2) , 把 A(1,2)代入 yx+b 中,得 21+b, b1, 一次函数的解析式为:yx+1; (2)联立方程组, 解得,或, B(2,1) , 令 y0,则 yx+10,得 x1, C

25、(1,0) , OC1, SAOBSAOC+SBOC+; (3)由函数图象可知,直线在双曲线下方时,x2 或 0 x1, 不等式x+b 的解集是 x2 或 0 x1 七、解答题(本题七、解答题(本题 12 分)分) 22 (12 分)已知二次函数 y(xm)21(m 为常数) (1)求证:不论 m 为何值,该函数图象与 x 轴总有两个公共点; (2)当 1x3 时,y 的最小值为 3,求 m 的值 【分析】 (1)通过解方程(xm)210 时,利用与 0 的关系可判断该函数图象与 x 轴总有两个公 共点; (2)抛物线的对称轴为直线 xm,讨论:当 m1 时,根据二次函数的性质得 x1 时,y

26、3,则(1 m)213;当 1m3 时,xm,y1 不合题意舍去;当 m3 时,根据二次函数的性质得到 x 3,y3,所以(3m)213,然后解关于 m 的方程得到满足条件的 m 的值 【解答】 (1)证明:当 y0 时, (xm)210, 即:x22mx+m210, 4m24(m21)40 即不论 m 为何值,该函数图象与 x 轴总有两个公共点; (2)抛物线的对称轴为直线 xm, 当 m1 时,y 随 x 增大而增大,故当 x1 时,y 有最小值 x1 时,y3, 所以(1m)213, 解得 m13(舍去) ,m21; 当 1m3 时,xm,y1 不合题意舍去; 当 m3 时,y 随 x

27、增大而减小,故当 x3 时,y 有最小值, 当 x3 时,y3, 所以(3m)213, 解得 m11(舍去) ,m25; 综上所述,m 的值为1 或 5 八、解答题(本题八、解答题(本题 14 分)分) 23 (14 分)如图,在 RtABC 中,ACB90,AC5cm,BAC60,动点 M 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒cm 的速度向点 B 匀速运动,设运动时间为 t 秒(0t5) ,连接 MN (1)若MBN 与ABC 相似,求 t 的值 (2)当 t 为何值时,四边形 ACNM 的面积最小?并求出

28、最小值 【分析】 (1)分两种情况:当MBNABC 时,由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得 出 t 的值;当NBMABC 时,由相似三角形的对应边成比例得出比例式,即可得出 t 的值; (2)过 M 作 MDBC 于点 D,则 MDAC,证出BMDBAC,得出比例式求出 MDt四边形 ACNM 的面积 yABC 的面积BMN 的面积,得出 y 是 t 的二次函数,由二次函数的性质即可得出 结果 【解答】解: (1)在 RtABC 中,ACB90,AC5,BAC60, B30, AB2AC10,BC5 分两种情况:当MBNABC 时, 则,即, 解得:t 当NBMABC 时, 同理可得:t, 综上所述:当 t或时,MBN 与ABC 相似; (2)过 M 作 MDBC 于点 D,则 MDAC, BMDBAC, ,即, 解得:MDt 设四边形 ACNM 的面积为 y, y55(5t)t(t2.5)2+ 根据二次函数的性质可知,当 t2.5 时,y 的值最小值为