1、2020-2021 学年河南省驻马店市汝南县九年级（上）期中数学试卷学年河南省驻马店市汝南县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 2若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx10 的一个根，则 2020+2a2b 的值为（ ） A2018 B2020 C2022 D2024 3设方程 x2+x20 的两个根为 ，那么 + 的值等于（ ） A3 B1 C1 D3 4参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛 110 场，设参加比赛的球队有
2、 x 支，根据 题意，下面列出的方程正确的是（ ） Ax（x+1）110 Bx（x1）110 Cx（x+1）110 Dx（x1）110 5二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 6如图，O 是ABC 的外接圆，半径为 3cm，若 BC3cm，则A 的度数为（ ） A15 B25 C30 D10 7如图，在 RtABC 中，C90
3、，ABC30，AC1cm，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转得到 Rt ABC，使点 C落在 AB 边上，连接 BB，则 BB的长度是（ ） A1cm B2cm Ccm D2cm 8如图，AB 为O 的直径，C，D 是圆周上的两点，若ABC38，则锐角BDC 的度数为（ ） A57 B52 C38 D26 9函数 yax2a 与 yaxa（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 10如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x且经过点（2，0） 下列说法： abc0；4a+2b+c0；2b+c0；若（，y1） ， （，y2）是抛物线上的两点，则 y1y
4、2； bm（am+b） （其中 m） 其中说法正确的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11一元二次方程 x22x0 的两根分别为 12若点 M（3，a2） ，N（b，a）关于原点对称，则 ab 13如图，ABC 的内切圆O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，EF且 AB5，AC12，BC13， 则O 的半径是 14抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，对称轴为 x 1，则当 y0 时，x 的取值范围是 15有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一
5、只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离 最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，ABC90，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距 离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x23x+2k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数值时，求该方程的解 17 （8 分）如图，在平面直角坐标系中
6、，ABC 的三个顶点分别是 A（1，3） ，B（4，4） ，C（2，1） （1）把ABC 向左平移 4 个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把ABC 绕原点 O 旋转 180后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称 18 （10 分）列方程（组）解应用题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为 600m2的 矩形试验茶园，便于成功后大面积推广如图所示，茶园一面靠墙，墙长 35m，另外三面用 69m 长的篱 笆围成，其中一边开有一扇 1
7、m 宽的门（不包括篱笆） 求这个茶园的长和宽 19 （8 分）如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且MAN45把ADN 绕点 A 顺 时针旋转 90得到ABE （1）求证：AEMANM （2）若 BM3，DN2，求正方形 ABCD 的边长 20 （8 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 M，弦 MNBC 交 AB 于点 E，且 MENE 3 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 AE4，求O 的直径 AB 的长度 21 （10 分）某水果店将标价为 10 元/斤的某种水果经过两次降价后，价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的 百分率相
8、同 （1）求该水果每次降价的百分率； （2）从第二次降价的第 1 天算起，第 x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天） x 销量（斤） 120 x 储藏和损耗费用（元） 3x264x+400 已知该水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元） ，求 y 与 x（1x10）之间的 函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACBC，D 是 AB 上一点，O 经过点 A、C、D，交 BC 于点 E，过点 D 作 DFBC，交O 于点 F 求证： （1）四边形 DBCF 是平行四边形
9、； （2）AFEF 23 （13 分）如图，两条抛物线 y1x2+4，y2x2+bx+c 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴负半轴上，且 为抛物线 y2的最高点 （1）求抛物线 y2的解析式和点 B 的坐标； （2）点 C 是抛物线 y1上 A，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 y2于点 D，当线段 CD 取最大值时， 求 SBCD 2020-2021 学年河南省驻马店市汝南县九年级（上）期中数学试卷学年河南省驻马店市汝南县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30
10、分）分） 1下列图形是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 2若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx10 的一个根，则 2020+2a2b 的值为（ ） A2018 B2020 C2022 D2024 【分析】把 x1 代入方程即可求得 ab 的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可 【解答】解：把 x1 代入 ax2+bx10 得：ab10，
11、ab1， 2020+2a2b2020+2（ab）2020+22022 故选：C 3设方程 x2+x20 的两个根为 ，那么 + 的值等于（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】根据根与系数的关系，可得出 + 和 的值，再代入 + 求值即可 【解答】解：， 是方程 x2+x20 的两个根， +1，2， 原式1（2）1 故选：C 4参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛 110 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据 题意，下面列出的方程正确的是（ ） Ax（x+1）110 Bx（x1）110 Cx（x+1）110 Dx（x1）110 【分析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛
12、的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 110 场，可 列出方程 【解答】解：设有 x 个队参赛，则 x（x1）110 故选：D 5二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可 【解答】解：A、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0） ，
13、本选 项符合题意 B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y11，本选项不符合题意 C、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y14，本选项不符合题意 D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意 故选：A 6如图，O 是ABC 的外接圆，半径为 3cm，若 BC3cm，则A 的度数为（ ） A15 B25 C30 D10 【分析】连接 OB、OC，如图，先判断OBC 为等边三角形，则OBC60，然后根据圆周角定理计 算A 的度数 【解答】解：连接 OB、OC，如图， OBOCBC3， OBC 为等边三角形， OBC60， ABOC3
14、0 故选：C 7如图，在 RtABC 中，C90，ABC30，AC1cm，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转得到 Rt ABC，使点 C落在 AB 边上，连接 BB，则 BB的长度是（ ） A1cm B2cm Ccm D2cm 【分析】 由直角三角形的性质得到AB2AC2， 然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB BB 【解答】解：在 RtABC 中，C90，ABC30，AC1cm， ACAB，则 AB2AC2cm 又由旋转的性质知，ACACAB，BCAB， BC是ABB的中垂线， ABBB 根据旋转的性质知 ABABBB2cm 故选：B 8如图，AB 为O 的直径，C，D 是圆周
15、上的两点，若ABC38，则锐角BDC 的度数为（ ） A57 B52 C38 D26 【分析】 由 AB 是O 的直径， 根据直径所对的圆周角是直角， 即可得ACB90， 又由ABC38， 即可求得A 的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得BDC 的度 数 【解答】解：连接 AC， AB 是O 的直径， ACB90， ABC38， BAC90ABC52， BDCBAC52 故选：B 9函数 yax2a 与 yaxa（a0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】分 a0 与 a0 两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论 【
16、解答】解：当 a0 时，二次函数 yax2a 的图象开口向上、对称轴为 y 轴、顶点在 y 轴负半轴， 一次函数 yaxa（a0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于 y 轴同一点； 当 a0 时，二次函数 yax2a 的图象开口向下、对称轴为 y 轴、顶点在 y 轴正半轴，一次函数 y axa（a0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于 y 轴同一点 对照四个选项可知 D 正确 故选：D 10如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x且经过点（2，0） 下列说法： abc0；4a+2b+c0；2b+c0；若（，y1） ， （，y2）是抛物线上
17、的两点，则 y1y2； bm（am+b） （其中 m） 其中说法正确的是（ ） A B C D 【分析】根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称轴得 ba0，则 2ab0，根据抛物线 与 y 轴的交点在 x 轴上方得到 c0， 则 abc0， 于是可对进行判断； 由于经过点 （2， 0） ， 则得到 4a+2b+c 0，则可对进行判断；根据对称轴和一个与 x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可 得出 c2a，则得到2b+c0，于是可对进行判断；通过点（，y1）和点（，y2）离对称轴 的远近对进行判断；根据抛物线的对称轴为直线 x，开口向下，得到当 x时，y 有最大值，所 以a
18、+bm（am+b） （其中 m） ，由 ab 代入则可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为直线 x， ba0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 抛物线经过点（2，0） ， x2 时，y0， 4a+2b+c0，所以错误； 对称轴为 x，且经过点（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 122， c2a， 2b+c2a2a0，所以正确； 点（，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远， y1y2，所以正确 抛物线的对称轴为直线 x， 当 x时，y 有最大值， a+b+cam2+bm+c（其中 m） ， a+bm
19、（am+b） （其中 m） ， ab， b+bm（am+b） ， bm（am+b） ，所以正确； 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分）分） 11一元二次方程 x22x0 的两根分别为 x10，x22 【分析】利用因式分解法求解可得 【解答】解：x22x0， x（x2）0， x0 或 x20， 解得 x10，x22 12若点 M（3，a2） ，N（b，a）关于原点对称，则 ab 3 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，即可得出答案 【解答】解：点 M（3，a2） ，N（b，a）关于原点对称， b3，a2a， 解得：
20、a1， 则 ab1（3）3 故答案为：3 13如图，ABC 的内切圆O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，EF且 AB5，AC12，BC13， 则O 的半径是 2 【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形 ABC 为直角三角形，再根据切线长定理即可求解 【解答】解： 如图，连接 OD、OE、OF， ABC 的内切圆O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，EF， OEAC，OFAB，AEAF， AB5，AC12，BC13， 即 52+122132， ABC 为直角三角形， A90， 四边形 AEOF 是正方形， OEOFAEAF， 设O 的半径是 r， 则 AFAEr，BFBD5r，EC
21、DC12r， BD+DCBC13， 5r+12r13， 解得 r2 所以O 的半径是 2 故答案为 2 14抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，对称轴为 x 1，则当 y0 时，x 的取值范围是 3x1 【分析】根据抛物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交 点，再根据抛物线的增减性可求当 y0 时，x 的取值范围 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，对称轴为 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 由图象可知，当 y0 时，x
22、 的取值范围是3x1 故答案为：3x1 15有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离 最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，ABC90，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距 离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 22 【分析】如图，连接 BE，BD求出 BE，BD，根据 DEBDBE 求解即可 【解答】解：如图，连接 BE，BD 由题意 BD2， MBN90，MN4，EMNE， BEMN2， 点
23、E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2 为半径的弧， 当点 E 落在线段 BD 上时，DE 的值最小， DE 的最小值为 22 （也可以用 DEBDBE，即 DE22 确定最小值） 故答案为 22 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x23x+2k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数值时，求该方程的解 【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于 k 的不等式， 求出 k 的取值范围； （2）k 取最大整数，再解一元二次方程即可 【解答】
24、解： （1）x23x+2k0 有两个不相等的实数根 b24ac（3）2412k98k0， 解得 k 故 k 的取值范围是 k； （2）k 取最大整数值，且 k， k1， x23x+20， 解得 x12，x21 17 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是 A（1，3） ，B（4，4） ，C（2，1） （1）把ABC 向左平移 4 个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把ABC 绕原点 O 旋转 180后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ 2 ， 0 ）中心对称 【分析】
25、 （1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的A1B1C1； （2）依据ABC 绕原点 O 旋转 180，即可画出旋转后的A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图所示，A2B2C2即为所求； （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点（2，0）中心对称 故答案为：2，0 18 （10 分）列方程（组）解应用题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为 600m2的 矩形试验茶园，便于成功后大面积推广如图所示，茶园一面靠墙，墙长 35m，另外三面用 6
26、9m 长的篱 笆围成，其中一边开有一扇 1m 宽的门（不包括篱笆） 求这个茶园的长和宽 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为 xm 时，则另一边的长度为（69+12x）m，根据茶园的面积为 600m2，列出方程并解答 【解答】解：设茶园垂直于墙的一边长为 xm，则另一边的长度为（69+12x）m，根据题意，得 x（69+12x）600， 整理，得 x235x+3000， 解得 x115，x220， 当 x15 时，702x4035，不符合题意舍去； 当 x20 时，702x30，符合题意 答：这个茶园的长和宽分别为 30m、20m 19 （8 分）如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边
27、BC，CD 上，且MAN45把ADN 绕点 A 顺 时针旋转 90得到ABE （1）求证：AEMANM （2）若 BM3，DN2，求正方形 ABCD 的边长 【分析】 （1）想办法证明MAEMAN45，根据 SAS 证明三角形全等即可 （2）设 CDBCx，则 CMx3，CNx2，在 RtMCN 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【解答】 （1）证明：由旋转的性质得，ADNABE， DANBAE，AEAN， DAB90，MAN45， MAEBAE+BAMDAN+BAM45， MAEMAN， MAMA， AEMANM（SAS） （2）解：设 CDBCx，则 CMx3，CNx2， AEMANM
28、， EMMN， BEDN， MNBM+DN5， C90， MN2CM2+CN2， 25（x2）2+（x3）2， 解得，x6 或1（舍弃） ， 正方形 ABCD 的边长为 6 20 （8 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 M，弦 MNBC 交 AB 于点 E，且 MENE 3 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 AE4，求O 的直径 AB 的长度 【分析】 （1）先由垂径定理得 ABMN，再由平行线的性质得 BCAB，然后由切线的判定定理即可得 到 BC 是O 的切线； （2）连接 OM，设O 的半径是 r，在 RtOEM 中，根据勾股定理得到 r232+（4
29、r）2，解方程即可 得到O 的半径，即可得出答案 【解答】 （1）证明：MENE3， ABMN， 又MNBC， BCAB， BC 是O 的切线； （2）解：连接 OM，如图， 设O 的半径是 r， 在 RtOEM 中，OEAEOA4r，ME3，OMr， OM2ME2+OE2， r232+（4r）2， 解得：r， AB2r 21 （10 分）某水果店将标价为 10 元/斤的某种水果经过两次降价后，价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的 百分率相同 （1）求该水果每次降价的百分率； （2）从第二次降价的第 1 天算起，第 x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天）
30、 x 销量（斤） 120 x 储藏和损耗费用（元） 3x264x+400 已知该水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元） ，求 y 与 x（1x10）之间的 函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率； （2）根据题意和表格中的数据，可以求得 y 与 x（1x10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的 性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少 【解答】解： （1）设该水果每次降价的百分率为 x， 10（1x）28.1， 解得，x10.1，x21.9（舍去） ， 答：该水
31、果每次降价的百分率是 10%； （2）由题意可得， y（8.14.1）（120 x）（3x264x+400）3x2+60 x+803（x10）2+380， 1x10，且 x 为整数， 当 x9 时，y 取得最大值，此时 y377， 由上可得，y 与 x（1x10）之间的函数解析式是 y3x2+60 x+80，第 9 天时销售利润最大，最大利 润是 377 元 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACBC，D 是 AB 上一点，O 经过点 A、C、D，交 BC 于点 E，过点 D 作 DFBC，交O 于点 F 求证： （1）四边形 DBCF 是平行四边形； （2）AFEF 【分析】 （1） 根
32、据等腰三角形的性质得出BACB， 根据平行线的性质得出ADFB， 求出ADF CFD，根据平行线的判定得出 BDCF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）求出AEFB，根据圆内接四边形的性质得出ECF+EAF180，根据平行线的性质得出 ECF+B180，求出AEFEAF，根据等腰三角形的判定得出即可 【解答】证明： （1）ACBC， BACB， DFBC， ADFB， BACCFD， ADFCFD， BDCF， DFBC， 四边形 DBCF 是平行四边形； （2）连接 AE， ADFB，ADFAEF， AEFB， 四边形 AECF 是O 的内接四边形， ECF+EAF180， BDCF，
33、ECF+B180， EAFB， AEFEAF， AFEF 23 （13 分）如图，两条抛物线 y1x2+4，y2x2+bx+c 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴负半轴上，且 为抛物线 y2的最高点 （1）求抛物线 y2的解析式和点 B 的坐标； （2）点 C 是抛物线 y1上 A，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 y2于点 D，当线段 CD 取最大值时， 求 SBCD 【分析】（1） 由抛物线 y1x2+4， 可求出与 x 轴的交点 A 的坐标， 再根据点 A 是抛物线 y2x2+bx+c 的最高点，可求出 b、c 的值，从而确定函数关系式；两个函数的关系式组成方程组求出交
34、点坐标即可； （2）由 CDy1y2得到一个二次函数的关系式，再利用函数的最值，求出相应的 x 的值，及 CD 的最 大值，进而计算出三角形的面积 【解答】解： （1）当 y10 时，即x2+40，解得 x2 或 x2， 又点 A 在 x 轴的负半轴， 点 A（2，0） ， 点 A（2，0） ，是抛物线 y2的最高点 2，即 b， 把 A（2，0）代入 y2x2x+c 得，c， 抛物线 y2的解析式为：y2x2x； 由得， A（2，0） ， 点 B（3，5） ， 答：抛物线 y2的解析式为：y2x2x，点 B（3，5） ； （2）由题意得，CDy1y2x2+4（x2x） ， 即：CDx2+x+， 当 x时，CD最大+5， SBCD5（3）
