1、2020-2021 学年安徽省铜陵市九年级（上）期中数学试卷学年安徽省铜陵市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A B C D 2 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 点 A 的坐标为 （2， 0） ， 将 OA 绕原点逆时针方向旋转 60得 OB， 则点 B 的坐标为（ ） A （1，） B （1，） C （0，2） D （2，0） 3如图，RtABC 中，ACBC2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，设 CD 的长
2、度为 x， ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 4已知关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm1 且 m0 5对二次函数 y5（x+2）26 的说法错误的是（ ） A开口向下 B最大值为6 C顶点（2，6） Dx2 时，y 随 x 的增大而增大 6我省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元，月平均增长率相同， 今年第一季度的总营业额是 3640 万元若设月平均增长率是 x，那么可列出
3、的方程是（ ） A1000（1+x）23640 B1000（1+2x）3640 C1000+1000（1+x）+1000（1+x）23640 D1000+1000（1+x）+1000（1+2x）3640 7 如图， 在宽为 20m， 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 （图中阴影部分） ， 余下的部分种上草坪 要 使草坪的面积为 540m2，求道路的宽 如果设小路宽为 x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A （32+x） （20+x）540 B （32x） （20 x）540 C （32+x） （20 x）540 D （32x） （20+x）54 8三角形两边的长分别是 8 和 6，
4、第三边的长是方程 x212x+200 的一个实数根，则此三角形的周长是 （ ） A24 B24 或 16 C16 D22 9如图，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点 为 B，有人在直线 AB 上点 C（靠点 B 一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶 内， 已知 AB4 米，AC3 米，网球飞行最大高度 OM5 米， 圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米 （网 球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计） 当竖直摆放圆柱形桶至少（ ）个时，网球可以落入桶内 A7 B8 C9 D10 10如图，在ABC 中，CACB，ACB
5、90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）如图，ABC 中，CAB65，在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到AED 的位置，使得 DCAB，则BAE 等于 12 （5 分）如图，ABC 是等边三角形，AB3，E 在 AC 上且 AEAC，D 是直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90，得到线段 EF，当点 D 运动时，则线段 AF
6、 的最小值是 13（5 分） 我们定义adbc， 例如25342 依据定义有 ； 若 x+10，则 x 14 （5 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x1，给出以下结论： abc0； a+b+cax2+bx+c； 若 M（n2+1，y1） ，N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则 y1y2 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cp（p0）有整数根，则 p 的值有 2 个 其中正确的有 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，满分分，满分 0 分）分） 15解方程 （1）x2+4x50 （2） （x3 ）
7、（x+3 ）2x+6 16如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标为 A（3，4） ，B（4，2） ，C（2，1） ，ABC 绕原点逆时针旋转90， 得到A1B1C1， A1B1C1向右平移6个单位， 再向上平移2个单位得到A2B2C2 （1）画出A1B1C1和A2B2C2； （2）P（a，b）是ABC 的 AC 边上一点，ABC 经旋转、平移后点 P 的对应点分别为 P1、P2，请写出 点 P1、P2的坐标 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，满分分，满分 0 分）分） 17已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：
8、方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根第三边 BC 的长为 5，当ABC 是等腰三 角形时，求 k 的值 18已知：如图，在ABC 中，C90，ACBC，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到AB C的位置，连结 BC，求 BC的长 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，满分分，满分 0 分）分） 19为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋” ，某市加快了廉租房的建设力度.2018 年市政府共投 资 4 亿元人民币建设了廉租房 16 万平方米，2020 年计划投资 9 亿元人民币建设廉租房，若在近三年
9、内 每年投资的增长率相同 （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若近三年内的建设成本不变，问 2021 年建设了多少万平方米廉租房？ 20某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元调查发现：销售单价是 30 元时，月销售 量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元设每件 玩具的销售单价上涨了 x 元时（x 为正整数） ，月销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润
10、最大？最大的月利润是多少？ 六、 （本题满分六、 （本题满分 0 分）分） 21如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，连接 OD （1）求证：COD 是等边三角形； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？ 七、 （本题满分七、 （本题满分 0 分）分） 22如图，一次函数分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，抛物线 yx2+bx+c 过 A、B 两点 （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直 x 轴的直线 xt，在第一象限交直线 AB 于 M，交这个抛物
11、线于 N求当 t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标 八、 （本题满分八、 （本题满分 0 分）分） 23 在平面直角坐标系中， 抛物线 yx26mx+5 与 y 轴的交点为 A， 与 x 轴的正半轴分别交于点 B （b， 0） ， C（c，0） （1）当 b1 时，求抛物线相应的函数表达式； （2）当 b1 时，如图，E（t，0）是线段 BC 上的一动点，过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线的交 点为 P求APC 面积的最大值； （3） 当 cb+n 时， 且 n 为正整数， 线段 BC
12、 （包括端点） 上有且只有五个点的横坐标是整数， 求 b 的值 2020-2021 学年安徽省铜陵市九年级（上）期中数学试卷学年安徽省铜陵市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及 中心对称图形的定义分别判断即可得出答案 【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
13、 故此选项正确； B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项 错误 C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转 180不能与原图形重合，不 是中心对称图形，故此选项错误； D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项 错误 故选：A 2 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 点 A 的坐标为 （2， 0） ， 将 OA 绕原点逆时针方向旋转 60得 OB， 则点 B 的坐标为（ ） A （1，） B （1，） C （0，2） D （2，0） 【分析】作 BCx 轴于点 C，根据旋转
14、的概念和三角函数值解答即可 【解答】解：作 BCx 轴于点 C， 点 A 的坐标为（2，0） ，将 OA 绕原点逆时针方向旋转 60得 OB， OBOA2，BOC60， OC1，BC， 点 B 的坐标为（1，） ， 故选：A 3如图，RtABC 中，ACBC2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，设 CD 的长度为 x， ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】分类讨论：当 0 x1 时，根据正方形的面积公式得到 yx2；当 1x2 时，ED 交 AB 于 M， EF 交 AB
15、于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积得到 yx22（x 1）2，配方得到 y（x2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断 【解答】解：当 0 x1 时，yx2， 当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图， CDx，则 AD2x， RtABC 中，ACBC2， ADM 为等腰直角三角形， DM2x， EMx（2x）2x2， SENM（2x2）22（x1）2， yx22（x1）2x2+4x2（x2）2+2， y， 故选：A 4已知关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A
16、m1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm1 且 m0 【分析】由关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根 的判别式的意义可得 m0 且0，即 224m （1）0，两个不等式的公共解即为 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根， m0 且0，即 224m （1）0，解得 m1， m 的取值范围为 m1 且 m0 当 m1 且 m0 时，关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根 故选：D 5对二次函数 y5（x+2）26 的说法错误的是（ ） A开口向下 B最大值为6 C顶
17、点（2，6） Dx2 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得 【解答】解：A、由 a50 知抛物线开口向下，此选项说法正确，不符合题意； B、由 a50 知抛物线在 x2 时，取得最大值6，此选项说法正确，不符合题意； C二次函数 y5（x+2）26 的顶点坐标为（2，6） ，此选项错误，符合题意； D当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，此选项正确，不符合题意； 故选：C 6我省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元，月平均增长率相同， 今年第一季度的总营业额是 3640 万元若设月平均增长率是 x，那么可列出的方程是（ ）
18、 A1000（1+x）23640 B1000（1+2x）3640 C1000+1000（1+x）+1000（1+x）23640 D1000+1000（1+x）+1000（1+2x）3640 【分析】设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 1000（1+x）万元，三月份的营业额为 1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是 3640 万元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此 题得解 【解答】解：设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 1000（1+x）万元，三月份的营业 额为 1000（1+x）2万元， 依题意，得 1000+1000（1+x）+100
19、0（1+x）23640 故选：C 7 如图， 在宽为 20m， 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 （图中阴影部分） ， 余下的部分种上草坪 要 使草坪的面积为 540m2，求道路的宽 如果设小路宽为 x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A （32+x） （20+x）540 B （32x） （20 x）540 C （32+x） （20 x）540 D （32x） （20+x）54 【分析】设小路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变 为了（32x） （20 x）米 2，进而即可列出方程，求出答案 【解答】解：设小路宽为 x 米，利用平移，得：
20、 （32x） （20 x）540 故选：B 8三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 x212x+200 的一个实数根，则此三角形的周长是 （ ） A24 B24 或 16 C16 D22 【分析】把方程左边因式分解得到（x10） （x2）0，再把方程化为两个一元一次方程 x100 或 x 20，解得 x110，x22，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 10， 然后计算三角形的周长 【解答】解：x212x+200， （x10） （x2）0， x100 或 x20， x110，x22， 而三角形两边的长分别是 8 和 6， 2+68，不符合三角形三边关系，x2 舍去， x1
21、0，即三角形第三边的长为 10， 三角形的周长10+6+824 故选：A 9如图，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点 为 B，有人在直线 AB 上点 C（靠点 B 一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶 内， 已知 AB4 米，AC3 米，网球飞行最大高度 OM5 米， 圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米 （网 球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计） 当竖直摆放圆柱形桶至少（ ）个时，网球可以落入桶内 A7 B8 C9 D10 【分析】以抛物线的对称轴为 y 轴，水平地面为 x 轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结
22、合已知确定 抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确 定 m 的范围，根据 m 为正整数，得出 m 的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个 数 【解答】解： （1）以点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图） ， M（0，5） ，B（2，0） ，C（1，0） ，D（，0） ， 设抛物线的解析式为 yax2+k， 抛物线过点 M 和点 B， ， 解得：k5，a， 抛物线解析式为：yx2+5； 当 x1 时，y； 当 x时，y， P（1，） ，Q（，）在抛物线上； 设竖直摆放圆柱形桶 m 个时网球可以落入桶内，
23、由题意得：m， 解得：7m12； m 为整数， m 的最小整数值为：8， 竖直摆放圆柱形桶至少 8 个时，网球可以落入桶内 故选：B 10如图，在ABC 中，CACB，ACB90，AB2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【分析】连接 CD，作 DMBC，DNAC，证明DMGDNH，则 S四边形DGCHS四边形DMCN，求得扇 形 FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得 【解答】解：连接 CD，作 DMBC，DNAC CACB，ACB90，点 D 为 AB 的中点， DCAB1，四
24、边形 DMCN 是正方形，DM 则扇形 FDE 的面积是： CACB，ACB90，点 D 为 AB 的中点， CD 平分BCA， 又DMBC，DNAC， DMDN， GDHMDN90， GDMHDN， 则在DMG 和DNH 中， ， DMGDNH（ASA） ， S四边形DGCHS四边形DMCN 则阴影部分的面积是： 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）如图，ABC 中，CAB65，在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到AED 的位置，使得 DCAB，则BAE 等于 50 【分析】根据平行线的性
25、质得到ACDCAB65，根据旋转变换的性质计算即可 【解答】解：DCAB， ACDCAB65， 由旋转的性质可知，ADAC，DAECAB65， ADCCAB65， CAD50， CAE15， BAE50， 故答案为：50 12 （5 分）如图，ABC 是等边三角形，AB3，E 在 AC 上且 AEAC，D 是直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90，得到线段 EF，当点 D 运动时，则线段 AF 的最小值是 1+ 【分析】 过 E 作 EGBC 于 G， 过 A 作 APEG 于 P， 过 F 作 FHEG 于 H， 则DGEEHF90， 依据DEGEFH （AAS） ，
26、即可得到 HFEG， 进而得到当点 D 运动时， 点 F 与直线 GH 的距离为 个单位，据此可得当 AFEG 时，AF 的最小值为 AP+HF1+ 【解答】解：如图所示，过 E 作 EGBC 于 G，过 A 作 APEG 于 P，过 F 作 FHEG 于 H，则DGE EHF90， DEF90， EDG+DEG90HEF+DEG， EDGFEH， 又EFDE， DEGEFH（AAS） ， HFEG， ABC 是等边三角形，AB3，AEAC， AE2，CE1，AEHCEG30， CGCE，APAE1， EGCG， HF， 当点 D 运动时，点 F 与直线 GH 的距离始终为个单位， 当 AFE
27、G 时，AF 的最小值为 AP+HF1+， 故答案为：1+ 13 （5 分） 我们定义adbc， 例如25342 依据定义有 1 ； 若 x+10，则 x 或 10 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值 【解答】解：根据题中的新定义得：（1）（3）12321； 已知等式x+10，化简得：2x2+20 xx+10，即 2x2+19x100， 分解因式得： （2x1） （x+10）0， 解得：x或 x10 故答案为：1；或 10 14 （5 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（3，0） ，对称轴为直线 x1，给出以下结论： abc0； a+b+cax2+bx+c； 若 M
28、（n2+1，y1） ，N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则 y1y2 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cp（p0）有整数根，则 p 的值有 2 个 其中正确的有 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0； 抛物线的对称轴为直线 x10， b0； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，故正确； 当 x1 时，y 最大，即 a+b+cax2+bx+c，故正确； M（n2+1，y1） ，N（n2
29、+2，y2）在对称轴右侧，n2+1n2+2， y1y2，故正确； 抛物线的对称轴是 x1，与 x 轴的一个交点是（3，0） ， 抛物线与 x 轴的另个交点是（1，0） ， 把（3，0）代入 yax2+bx+c 得，09a+3b+c， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a， 9a6a+c0， 解得，c3a yax22ax3aa（x1）24a（a0） ， 顶点坐标为（1，4a） ， 由图象得当 0y4a 时，1x3，其中 x 为整数时，x0，1，2， 又x0 与 x2 时，关于直线 x1 轴对称 当 x1 时，直线 yp 恰好过抛物线顶点 所以 p 值可以有 2 个故正确； 故答案为 三、 （本大
30、题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，满分分，满分 0 分）分） 15解方程 （1）x2+4x50 （2） （x3 ） （x+3 ）2x+6 【分析】 （1）十字相乘法分解因式求解可得； （2）移项后，提取公因式（x+3）分解因式，求解可得 【解答】解： （1）x2+4x50， （x1） （x+5）0， 则 x10 或 x+50， 解得：x1 或 x5； （2）（x3） （x+3）2（x+3）0， （x+3） （x5）0， 则 x+30 或 x50， 解得：x3 或 x5 16如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标为 A（3，4） ，B（4，2） ，C（2，1）
31、 ，ABC 绕原点逆时针旋转90， 得到A1B1C1， A1B1C1向右平移6个单位， 再向上平移2个单位得到A2B2C2 （1）画出A1B1C1和A2B2C2； （2）P（a，b）是ABC 的 AC 边上一点，ABC 经旋转、平移后点 P 的对应点分别为 P1、P2，请写出 点 P1、P2的坐标 【分析】 （1）直接利用旋转的性质结合平移的性质分别得出符合题意的图形； （2）ABC 绕原点逆时针旋转 90，得到A1B1C1，则对应点横坐标变为原纵坐标的相反数，纵坐标 变为原来的横坐标，再利用平移的性质得出对应点位置 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1和A2B2C2，即为所求； （2）
32、由题意可得：P1（b，a） ，P2（b+6，a+2） 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 0 分，满分分，满分 0 分）分） 17已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根第三边 BC 的长为 5，当ABC 是等腰三 角形时，求 k 的值 【分析】 （1）先计算出1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为 x1k，x2k+1，然后分类讨论：ABk，ACk+1，当 ABBC 或 ACBC 时ABC 为等腰三角形，然后求
33、出 k 的值 【解答】 （1）证明：（2k+1）24（k2+k）10， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 的解为 x，即 x1k，x2k+1， kk+1， ABAC 当 ABk，ACk+1，且 ABBC 时，ABC 是等腰三角形，则 k5； 当 ABk，ACk+1，且 ACBC 时，ABC 是等腰三角形，则 k+15，解得 k4， 综合上述，k 的值为 5 或 4 18已知：如图，在ABC 中，C90，ACBC，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到AB C的位置，连结 BC，求 BC的长 【分析】连接 BB，根据旋转的性质可得 ABAB，
34、判断出ABB是等边三角形，根据等边三角形 的三条边都相等可得 ABBB，延长 BC交 AB于 D，根据等边三角形的性质可得 BDAB，利用 勾股定理列式求出 AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD、CD，然后根据 BCBDCD 计算即可得解 【解答】解：如图，连结 BB， ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到ABC ABAB，BAB60， ABB是等边三角形， ABBBAB， 延长 BC交 AB于点 D， 又ACBC， BD 垂直平分 AB， ADBD， C90，ACBC AB2， AB2 ADBD1， BD，CD1， BCBDCD 五、 （本大题共五、 （本大题共
35、2 小题，每小题小题，每小题 0 分，满分分，满分 0 分）分） 19为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋” ，某市加快了廉租房的建设力度.2018 年市政府共投 资 4 亿元人民币建设了廉租房 16 万平方米，2020 年计划投资 9 亿元人民币建设廉租房，若在近三年内 每年投资的增长率相同 （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若近三年内的建设成本不变，问 2021 年建设了多少万平方米廉租房？ 【分析】 （1）设每年市政府投资的增长率为 x，根据该市政府 2018 年及 2020 年的投资额，即可得出关 于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用 2021 年
36、建设的廉租房的面积2021 年市政府的投资额每万平方米廉租房的价格，即可求出 结论 【解答】解： （1）设每年市政府投资的增长率为 x， 依题意，得：4（1+x）29， 解得：x10.550%，x22.5（不合题意，舍去） 答：每年市政府投资的增长率为 50% （2）9（1+50%）（164）54（万平方米） 答：2021 年建设了 54 万平方米廉租房 20某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元调查发现：销售单价是 30 元时，月销售 量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元设每件 玩具的销售单价上涨了 x 元时
37、（x 为正整数） ，月销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x20）元，月销售量为（23010 x） ，然后根据月销售 利润一件玩具的利润月销售量即可求出函数关系式 （2）把 y2520 时代入 y10 x2+130 x+2300 中，求出 x 的值即可 （3）把 y10 x2+130 x+2300 化成顶点式，求得当 x6.5 时，y 有最大值，再根据 0
38、 x10 且 x 为正 整数，分别计算出当 x6 和 x7 时 y 的值即可 【解答】解： （1）根据题意得： y（30+x20） （23010 x）10 x2+130 x+2300， 自变量 x 的取值范围是：0 x10 且 x 为正整数； （2）当 y2520 时，得10 x2+130 x+23002520， 解得 x12，x211（不合题意，舍去） 当 x2 时，30+x32（元） 答：每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元 （3）根据题意得： y10 x2+130 x+2300 10（x6.5）2+2722.5， a100， 当 x6.5 时，y 有最大值为 27
39、22.5， 0 x10 且 x 为正整数， 当 x6 时，30+x36，y2720（元） ， 当 x7 时，30+x37，y2720（元） ， 答：每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2720 元 六、 （本题满分六、 （本题满分 0 分）分） 21如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB110，BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，连接 OD （1）求证：COD 是等边三角形； （2）当 150时，试判断AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时，AOD 是等腰三角形？ 【分析】 （1）根据旋转的性质可得出 O
40、COD，结合题意即可证得结论； （2）结合（1）的结论可作出判断； （3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答 【解答】 （1）证明：将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， COCD，OCD60， COD 是等边三角形 （2）解：当 150时，AOD 是直角三角形 理由是：将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC， BOCADC， ADCBOC150， 又COD 是等边三角形， ODC60， ADOADCODC90， 150，AOB110，COD60， AOD360AOBCOD3601501106040， AOD 不是等腰直角三角形，即AOD 是直角
41、三角形 （3）解：要使 AOAD，需AODADO， AOD36011060190，ADO60， 19060， 125； 要使 OAOD，需OADADO OAD180（AOD+ADO）180（190+60）50， 6050， 110； 要使 ODAD，需OADAOD AOD36011060190， OAD120， 190120， 解得 140 综上所述：当 的度数为 125或 110或 140时，AOD 是等腰三角形 七、 （本题满分七、 （本题满分 0 分）分） 22如图，一次函数分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，抛物线 yx2+bx+c 过 A、B 两点 （1）求这个抛物线的解析式；
42、（2）作垂直 x 轴的直线 xt，在第一象限交直线 AB 于 M，交这个抛物线于 N求当 t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标 【分析】 （1）首先求得 A、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）本问要点是求得线段 MN 的表达式，这个表达式是关于 t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段 MN 的最大值； （3）本问要点是明确 D 点的可能位置有三种情形，如答图 2 所示，不要遗漏其中 D1、D2在 y 轴上， 利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线 D1N
43、和 D2M 的交点，利用直线解析式求得 交点坐标 【解答】解： （1）分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点， A、B 点的坐标为：A（0，2） ，B（4，0） ， 将 x0，y2 代入 yx2+bx+c 得 c2， 将 x4，y0 代入 yx2+bx+c 得 016+4b+2，解得 b， 抛物线解析式为：yx2+x+2； （2）如答图 1，设 MN 交 x 轴于点 E， 则 E（t，0） ，则 M（t，2t） ， 又 N 点在抛物线上，且 xNt，yNt2+t+2， MNyNyMt2+t+2（2t）t2+4t， 当 t2 时，MN 有最大值 4； （3）由（2）可知，A（0，2） ，M（2，
44、1） ，N（2，5） 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形，如答图 2 所示 （i）当 D 在 y 轴上时，设 D 的坐标为（0，a） 由 ADMN，得|a2|4，解得 a16，a22， 从而 D 为（0，6）或 D（0，2） ， （ii）当 D 不在 y 轴上时，由图可知 D3为 D1N 与 D2M 的交点， 易得 D1N 的方程为 yx+6，D2M 的方程为 yx2， 由两方程联立解得 D 为（4，4） 故所求的 D 点坐标为（0，6） ， （0，2）或（4，4） 八、 （本题满分八、 （本题满分 0 分）分） 23 在平面直角坐标系中， 抛物线 yx26mx
45、+5 与 y 轴的交点为 A， 与 x 轴的正半轴分别交于点 B （b， 0） ， C（c，0） （1）当 b1 时，求抛物线相应的函数表达式； （2）当 b1 时，如图，E（t，0）是线段 BC 上的一动点，过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线的交 点为 P求APC 面积的最大值； （3） 当 cb+n 时， 且 n 为正整数， 线段 BC （包括端点） 上有且只有五个点的横坐标是整数， 求 b 的值 【分析】 （1）当 b1 时，将点 B（1，0）代入抛物线 yx26mx+5 中求出 m，即可解决问题 （2）如图 1 中，直线 AC 与 PE 交于点 F切线直线 AC 的解析式，
46、构建二次函数，利用二次函数的性 质即可解决问题 （3）分两种情形当 b 整数时，n 为整数，可知 n4，cb+4则 b，b+4 是方程 x2mx+50 的两个 根，分别代入方程中求解即可，当 b 小数时，n 为整数，n5，cb+5 为小数，则 b，b+5 是方程 x26x+50 的两个根， 【解答】解： （1）当 b1 时，将点 B（1，0）代入抛物线 yx26mx+5 中，得 m1， yx26x+5； （2）如图 1 中，直线 AC 与 PE 交于点 F 当 b1 时，求得 A（0，5） ，B（1，0） ，C（5，0） ，可得 AC 所在的一次函数表达式为 yx+5， E（t，0） ， P
47、（t，t26t+5） ，直线 l 与 AC 的交点为 F（t，t+5） ， PF（t+5）（t26t+5）t2+5t， SAPC（t2+5t） 5（t）2+， 0， 当 t时，面积 S 有最大值； （3）当 b 整数时，n 为整数， n4，cb+4则 b，b+4 是方程 x2mx+50 的两个根，分别代入方程中， 得 b2mb+50 ， （b+4）2m（b+4）+50 ， 由可得 b2+4b50，解得 b1 或5（舍） ； 或由一元二次方程根与系数的关系得 b（b+4）5 解得 b1 或5（舍） 当 b 小数时，n 为整数，n5，cb+5 为小数，则 b，b+5 是方程 x2mx+50 的两个根，同样可 得 b或（舍弃） ； b1 或
