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2020-2021学年安徽省铜陵市九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年安徽省铜陵市九年级(上)期中数学试卷学年安徽省铜陵市九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分)分) 1在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形是( ) A B C D 2 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 点 A 的坐标为 (2, 0) , 将 OA 绕原点逆时针方向旋转 60得 OB, 则点 B 的坐标为( ) A (1,) B (1,) C (0,2) D (2,0) 3如图,RtABC 中,ACBC2,正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上,设 CD 的长

2、度为 x, ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y,则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是( ) A B C D 4已知关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm1 且 m0 5对二次函数 y5(x+2)26 的说法错误的是( ) A开口向下 B最大值为6 C顶点(2,6) Dx2 时,y 随 x 的增大而增大 6我省加快新旧动能转换,促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元,月平均增长率相同, 今年第一季度的总营业额是 3640 万元若设月平均增长率是 x,那么可列出

3、的方程是( ) A1000(1+x)23640 B1000(1+2x)3640 C1000+1000(1+x)+1000(1+x)23640 D1000+1000(1+x)+1000(1+2x)3640 7 如图, 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分) , 余下的部分种上草坪 要 使草坪的面积为 540m2,求道路的宽 如果设小路宽为 x,根据题意,所列方程正确的是( ) A (32+x) (20+x)540 B (32x) (20 x)540 C (32+x) (20 x)540 D (32x) (20+x)54 8三角形两边的长分别是 8 和 6,

4、第三边的长是方程 x212x+200 的一个实数根,则此三角形的周长是 ( ) A24 B24 或 16 C16 D22 9如图,在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点 为 B,有人在直线 AB 上点 C(靠点 B 一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶 内, 已知 AB4 米,AC3 米,网球飞行最大高度 OM5 米, 圆柱形桶的直径为 0.5 米,高为 0.3 米 (网 球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计) 当竖直摆放圆柱形桶至少( )个时,网球可以落入桶内 A7 B8 C9 D10 10如图,在ABC 中,CACB,ACB

5、90,AB2,点 D 为 AB 的中点,以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF,点 C 恰在弧 EF 上,则图中阴影部分的面积为( ) A B C D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 11 (5 分)如图,ABC 中,CAB65,在同一平面内,将ABC 绕点 A 旋转到AED 的位置,使得 DCAB,则BAE 等于 12 (5 分)如图,ABC 是等边三角形,AB3,E 在 AC 上且 AEAC,D 是直线 BC 上一动点,线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90,得到线段 EF,当点 D 运动时,则线段 AF

6、 的最小值是 13(5 分) 我们定义adbc, 例如25342 依据定义有 ; 若 x+10,则 x 14 (5 分)如图,二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A(3,0) ,对称轴为直线 x1,给出以下结论: abc0; a+b+cax2+bx+c; 若 M(n2+1,y1) ,N(n2+2,y2)为函数图象上的两点,则 y1y2 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cp(p0)有整数根,则 p 的值有 2 个 其中正确的有 三、 (本大题共三、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 0 分,满分分,满分 0 分)分) 15解方程 (1)x2+4x50 (2) (x3 )

7、(x+3 )2x+6 16如图,在平面直角坐标系中,ABC 的三个顶点坐标为 A(3,4) ,B(4,2) ,C(2,1) ,ABC 绕原点逆时针旋转90, 得到A1B1C1, A1B1C1向右平移6个单位, 再向上平移2个单位得到A2B2C2 (1)画出A1B1C1和A2B2C2; (2)P(a,b)是ABC 的 AC 边上一点,ABC 经旋转、平移后点 P 的对应点分别为 P1、P2,请写出 点 P1、P2的坐标 四、 (本大题共四、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 0 分,满分分,满分 0 分)分) 17已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k+1)x+k2+k0 (1)求证:

8、方程有两个不相等的实数根; (2)若ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两个实数根第三边 BC 的长为 5,当ABC 是等腰三 角形时,求 k 的值 18已知:如图,在ABC 中,C90,ACBC,将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到AB C的位置,连结 BC,求 BC的长 五、 (本大题共五、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 0 分,满分分,满分 0 分)分) 19为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋” ,某市加快了廉租房的建设力度.2018 年市政府共投 资 4 亿元人民币建设了廉租房 16 万平方米,2020 年计划投资 9 亿元人民币建设廉租房,若在近三年

9、内 每年投资的增长率相同 (1)求每年市政府投资的增长率; (2)若近三年内的建设成本不变,问 2021 年建设了多少万平方米廉租房? 20某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是 20 元调查发现:销售单价是 30 元时,月销售 量是 230 件,而销售单价每上涨 1 元,月销售量就减少 10 件,但每件玩具售价不能高于 40 元设每件 玩具的销售单价上涨了 x 元时(x 为正整数) ,月销售利润为 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 (2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为 2520 元? (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润

10、最大?最大的月利润是多少? 六、 (本题满分六、 (本题满分 0 分)分) 21如图,点 O 是等边ABC 内一点,AOB110,BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC,连接 OD (1)求证:COD 是等边三角形; (2)当 150时,试判断AOD 的形状,并说明理由; (3)探究:当 为多少度时,AOD 是等腰三角形? 七、 (本题满分七、 (本题满分 0 分)分) 22如图,一次函数分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,抛物线 yx2+bx+c 过 A、B 两点 (1)求这个抛物线的解析式; (2)作垂直 x 轴的直线 xt,在第一象限交直线 AB 于 M,交这个抛物

11、线于 N求当 t 取何值时,MN 有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的情况下,以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点 D 的坐标 八、 (本题满分八、 (本题满分 0 分)分) 23 在平面直角坐标系中, 抛物线 yx26mx+5 与 y 轴的交点为 A, 与 x 轴的正半轴分别交于点 B (b, 0) , C(c,0) (1)当 b1 时,求抛物线相应的函数表达式; (2)当 b1 时,如图,E(t,0)是线段 BC 上的一动点,过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线的交 点为 P求APC 面积的最大值; (3) 当 cb+n 时, 且 n 为正整数, 线段 BC

12、 (包括端点) 上有且只有五个点的横坐标是整数, 求 b 的值 2020-2021 学年安徽省铜陵市九年级(上)期中数学试卷学年安徽省铜陵市九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分)分) 1在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后,直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形,以及 中心对称图形的定义分别判断即可得出答案 【解答】解:A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合,此图形是轴对称图形,也是中心对称图形,

13、 故此选项正确; B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合,此图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项 错误 C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合,此图形是轴对称图形,旋转 180不能与原图形重合,不 是中心对称图形,故此选项错误; D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合,此图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项 错误 故选:A 2 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 点 A 的坐标为 (2, 0) , 将 OA 绕原点逆时针方向旋转 60得 OB, 则点 B 的坐标为( ) A (1,) B (1,) C (0,2) D (2,0) 【分析】作 BCx 轴于点 C,根据旋转

14、的概念和三角函数值解答即可 【解答】解:作 BCx 轴于点 C, 点 A 的坐标为(2,0) ,将 OA 绕原点逆时针方向旋转 60得 OB, OBOA2,BOC60, OC1,BC, 点 B 的坐标为(1,) , 故选:A 3如图,RtABC 中,ACBC2,正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上,设 CD 的长度为 x, ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y,则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是( ) A B C D 【分析】分类讨论:当 0 x1 时,根据正方形的面积公式得到 yx2;当 1x2 时,ED 交 AB 于 M, EF 交 AB

15、于 N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积得到 yx22(x 1)2,配方得到 y(x2)2+2,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断 【解答】解:当 0 x1 时,yx2, 当 1x2 时,ED 交 AB 于 M,EF 交 AB 于 N,如图, CDx,则 AD2x, RtABC 中,ACBC2, ADM 为等腰直角三角形, DM2x, EMx(2x)2x2, SENM(2x2)22(x1)2, yx22(x1)2x2+4x2(x2)2+2, y, 故选:A 4已知关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是( ) A

16、m1 Bm1 Cm1 且 m0 Dm1 且 m0 【分析】由关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根 的判别式的意义可得 m0 且0,即 224m (1)0,两个不等式的公共解即为 m 的取值范围 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根, m0 且0,即 224m (1)0,解得 m1, m 的取值范围为 m1 且 m0 当 m1 且 m0 时,关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两个不相等的实数根 故选:D 5对二次函数 y5(x+2)26 的说法错误的是( ) A开口向下 B最大值为6 C顶

17、点(2,6) Dx2 时,y 随 x 的增大而增大 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得 【解答】解:A、由 a50 知抛物线开口向下,此选项说法正确,不符合题意; B、由 a50 知抛物线在 x2 时,取得最大值6,此选项说法正确,不符合题意; C二次函数 y5(x+2)26 的顶点坐标为(2,6) ,此选项错误,符合题意; D当 x2 时,y 随 x 的增大而增大,此选项正确,不符合题意; 故选:C 6我省加快新旧动能转换,促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元,月平均增长率相同, 今年第一季度的总营业额是 3640 万元若设月平均增长率是 x,那么可列出的方程是( )

18、 A1000(1+x)23640 B1000(1+2x)3640 C1000+1000(1+x)+1000(1+x)23640 D1000+1000(1+x)+1000(1+2x)3640 【分析】设月平均增长的百分率是 x,则该超市二月份的营业额为 1000(1+x)万元,三月份的营业额为 1000(1+x)2万元,根据该超市第一季度的总营业额是 3640 万元,即可得出关于 x 的一元二次方程,此 题得解 【解答】解:设月平均增长的百分率是 x,则该超市二月份的营业额为 1000(1+x)万元,三月份的营业 额为 1000(1+x)2万元, 依题意,得 1000+1000(1+x)+100

19、0(1+x)23640 故选:C 7 如图, 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 (图中阴影部分) , 余下的部分种上草坪 要 使草坪的面积为 540m2,求道路的宽 如果设小路宽为 x,根据题意,所列方程正确的是( ) A (32+x) (20+x)540 B (32x) (20 x)540 C (32+x) (20 x)540 D (32x) (20+x)54 【分析】设小路宽为 x 米,利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有草坪面积之和就变 为了(32x) (20 x)米 2,进而即可列出方程,求出答案 【解答】解:设小路宽为 x 米,利用平移,得:

20、 (32x) (20 x)540 故选:B 8三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x212x+200 的一个实数根,则此三角形的周长是 ( ) A24 B24 或 16 C16 D22 【分析】把方程左边因式分解得到(x10) (x2)0,再把方程化为两个一元一次方程 x100 或 x 20,解得 x110,x22,根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 10, 然后计算三角形的周长 【解答】解:x212x+200, (x10) (x2)0, x100 或 x20, x110,x22, 而三角形两边的长分别是 8 和 6, 2+68,不符合三角形三边关系,x2 舍去, x1

21、0,即三角形第三边的长为 10, 三角形的周长10+6+824 故选:A 9如图,在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点 为 B,有人在直线 AB 上点 C(靠点 B 一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶 内, 已知 AB4 米,AC3 米,网球飞行最大高度 OM5 米, 圆柱形桶的直径为 0.5 米,高为 0.3 米 (网 球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计) 当竖直摆放圆柱形桶至少( )个时,网球可以落入桶内 A7 B8 C9 D10 【分析】以抛物线的对称轴为 y 轴,水平地面为 x 轴,建立平面直角坐标系,设解析式,结

22、合已知确定 抛物线上点的坐标,代入解析式确定抛物线的解析式,由圆桶的直径,求出圆桶两边缘纵坐标的值,确 定 m 的范围,根据 m 为正整数,得出 m 的值,即可得到当网球可以落入桶内时,竖直摆放圆柱形桶个 数 【解答】解: (1)以点 O 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图) , M(0,5) ,B(2,0) ,C(1,0) ,D(,0) , 设抛物线的解析式为 yax2+k, 抛物线过点 M 和点 B, , 解得:k5,a, 抛物线解析式为:yx2+5; 当 x1 时,y; 当 x时,y, P(1,) ,Q(,)在抛物线上; 设竖直摆放圆柱形桶 m 个时网球可以落入桶内,

23、由题意得:m, 解得:7m12; m 为整数, m 的最小整数值为:8, 竖直摆放圆柱形桶至少 8 个时,网球可以落入桶内 故选:B 10如图,在ABC 中,CACB,ACB90,AB2,点 D 为 AB 的中点,以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF,点 C 恰在弧 EF 上,则图中阴影部分的面积为( ) A B C D 【分析】连接 CD,作 DMBC,DNAC,证明DMGDNH,则 S四边形DGCHS四边形DMCN,求得扇 形 FDE 的面积,则阴影部分的面积即可求得 【解答】解:连接 CD,作 DMBC,DNAC CACB,ACB90,点 D 为 AB 的中点, DCAB1,四

24、边形 DMCN 是正方形,DM 则扇形 FDE 的面积是: CACB,ACB90,点 D 为 AB 的中点, CD 平分BCA, 又DMBC,DNAC, DMDN, GDHMDN90, GDMHDN, 则在DMG 和DNH 中, , DMGDNH(ASA) , S四边形DGCHS四边形DMCN 则阴影部分的面积是: 故选:D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 11 (5 分)如图,ABC 中,CAB65,在同一平面内,将ABC 绕点 A 旋转到AED 的位置,使得 DCAB,则BAE 等于 50 【分析】根据平行线的性

25、质得到ACDCAB65,根据旋转变换的性质计算即可 【解答】解:DCAB, ACDCAB65, 由旋转的性质可知,ADAC,DAECAB65, ADCCAB65, CAD50, CAE15, BAE50, 故答案为:50 12 (5 分)如图,ABC 是等边三角形,AB3,E 在 AC 上且 AEAC,D 是直线 BC 上一动点,线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90,得到线段 EF,当点 D 运动时,则线段 AF 的最小值是 1+ 【分析】 过 E 作 EGBC 于 G, 过 A 作 APEG 于 P, 过 F 作 FHEG 于 H, 则DGEEHF90, 依据DEGEFH (AAS) ,

26、即可得到 HFEG, 进而得到当点 D 运动时, 点 F 与直线 GH 的距离为 个单位,据此可得当 AFEG 时,AF 的最小值为 AP+HF1+ 【解答】解:如图所示,过 E 作 EGBC 于 G,过 A 作 APEG 于 P,过 F 作 FHEG 于 H,则DGE EHF90, DEF90, EDG+DEG90HEF+DEG, EDGFEH, 又EFDE, DEGEFH(AAS) , HFEG, ABC 是等边三角形,AB3,AEAC, AE2,CE1,AEHCEG30, CGCE,APAE1, EGCG, HF, 当点 D 运动时,点 F 与直线 GH 的距离始终为个单位, 当 AFE

27、G 时,AF 的最小值为 AP+HF1+, 故答案为:1+ 13 (5 分) 我们定义adbc, 例如25342 依据定义有 1 ; 若 x+10,则 x 或 10 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值 【解答】解:根据题中的新定义得:(1)(3)12321; 已知等式x+10,化简得:2x2+20 xx+10,即 2x2+19x100, 分解因式得: (2x1) (x+10)0, 解得:x或 x10 故答案为:1;或 10 14 (5 分)如图,二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A(3,0) ,对称轴为直线 x1,给出以下结论: abc0; a+b+cax2+bx+c; 若 M

28、(n2+1,y1) ,N(n2+2,y2)为函数图象上的两点,则 y1y2 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cp(p0)有整数根,则 p 的值有 2 个 其中正确的有 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:抛物线开口向下, a0; 抛物线的对称轴为直线 x10, b0; 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, c0, abc0,故正确; 当 x1 时,y 最大,即 a+b+cax2+bx+c,故正确; M(n2+1,y1) ,N(n2

29、+2,y2)在对称轴右侧,n2+1n2+2, y1y2,故正确; 抛物线的对称轴是 x1,与 x 轴的一个交点是(3,0) , 抛物线与 x 轴的另个交点是(1,0) , 把(3,0)代入 yax2+bx+c 得,09a+3b+c, 抛物线的对称轴为直线 x1, b2a, 9a6a+c0, 解得,c3a yax22ax3aa(x1)24a(a0) , 顶点坐标为(1,4a) , 由图象得当 0y4a 时,1x3,其中 x 为整数时,x0,1,2, 又x0 与 x2 时,关于直线 x1 轴对称 当 x1 时,直线 yp 恰好过抛物线顶点 所以 p 值可以有 2 个故正确; 故答案为 三、 (本大

30、题共三、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 0 分,满分分,满分 0 分)分) 15解方程 (1)x2+4x50 (2) (x3 ) (x+3 )2x+6 【分析】 (1)十字相乘法分解因式求解可得; (2)移项后,提取公因式(x+3)分解因式,求解可得 【解答】解: (1)x2+4x50, (x1) (x+5)0, 则 x10 或 x+50, 解得:x1 或 x5; (2)(x3) (x+3)2(x+3)0, (x+3) (x5)0, 则 x+30 或 x50, 解得:x3 或 x5 16如图,在平面直角坐标系中,ABC 的三个顶点坐标为 A(3,4) ,B(4,2) ,C(2,1)

31、 ,ABC 绕原点逆时针旋转90, 得到A1B1C1, A1B1C1向右平移6个单位, 再向上平移2个单位得到A2B2C2 (1)画出A1B1C1和A2B2C2; (2)P(a,b)是ABC 的 AC 边上一点,ABC 经旋转、平移后点 P 的对应点分别为 P1、P2,请写出 点 P1、P2的坐标 【分析】 (1)直接利用旋转的性质结合平移的性质分别得出符合题意的图形; (2)ABC 绕原点逆时针旋转 90,得到A1B1C1,则对应点横坐标变为原纵坐标的相反数,纵坐标 变为原来的横坐标,再利用平移的性质得出对应点位置 【解答】解: (1)如图所示:A1B1C1和A2B2C2,即为所求; (2)

32、由题意可得:P1(b,a) ,P2(b+6,a+2) 四、 (本大题共四、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 0 分,满分分,满分 0 分)分) 17已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k+1)x+k2+k0 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若ABC 的两边 AB,AC 的长是这个方程的两个实数根第三边 BC 的长为 5,当ABC 是等腰三 角形时,求 k 的值 【分析】 (1)先计算出1,然后根据判别式的意义即可得到结论; (2)先利用公式法求出方程的解为 x1k,x2k+1,然后分类讨论:ABk,ACk+1,当 ABBC 或 ACBC 时ABC 为等腰三角形,然后求

33、出 k 的值 【解答】 (1)证明:(2k+1)24(k2+k)10, 方程有两个不相等的实数根; (2)解:一元二次方程 x2(2k+1)x+k2+k0 的解为 x,即 x1k,x2k+1, kk+1, ABAC 当 ABk,ACk+1,且 ABBC 时,ABC 是等腰三角形,则 k5; 当 ABk,ACk+1,且 ACBC 时,ABC 是等腰三角形,则 k+15,解得 k4, 综合上述,k 的值为 5 或 4 18已知:如图,在ABC 中,C90,ACBC,将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60到AB C的位置,连结 BC,求 BC的长 【分析】连接 BB,根据旋转的性质可得 ABAB,

34、判断出ABB是等边三角形,根据等边三角形 的三条边都相等可得 ABBB,延长 BC交 AB于 D,根据等边三角形的性质可得 BDAB,利用 勾股定理列式求出 AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD、CD,然后根据 BCBDCD 计算即可得解 【解答】解:如图,连结 BB, ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到ABC ABAB,BAB60, ABB是等边三角形, ABBBAB, 延长 BC交 AB于点 D, 又ACBC, BD 垂直平分 AB, ADBD, C90,ACBC AB2, AB2 ADBD1, BD,CD1, BCBDCD 五、 (本大题共五、 (本大题共

35、2 小题,每小题小题,每小题 0 分,满分分,满分 0 分)分) 19为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋” ,某市加快了廉租房的建设力度.2018 年市政府共投 资 4 亿元人民币建设了廉租房 16 万平方米,2020 年计划投资 9 亿元人民币建设廉租房,若在近三年内 每年投资的增长率相同 (1)求每年市政府投资的增长率; (2)若近三年内的建设成本不变,问 2021 年建设了多少万平方米廉租房? 【分析】 (1)设每年市政府投资的增长率为 x,根据该市政府 2018 年及 2020 年的投资额,即可得出关 于 x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论; (2)利用 2021 年

36、建设的廉租房的面积2021 年市政府的投资额每万平方米廉租房的价格,即可求出 结论 【解答】解: (1)设每年市政府投资的增长率为 x, 依题意,得:4(1+x)29, 解得:x10.550%,x22.5(不合题意,舍去) 答:每年市政府投资的增长率为 50% (2)9(1+50%)(164)54(万平方米) 答:2021 年建设了 54 万平方米廉租房 20某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是 20 元调查发现:销售单价是 30 元时,月销售 量是 230 件,而销售单价每上涨 1 元,月销售量就减少 10 件,但每件玩具售价不能高于 40 元设每件 玩具的销售单价上涨了 x 元时

37、(x 为正整数) ,月销售利润为 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 (2)每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为 2520 元? (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少? 【分析】 (1)根据题意知一件玩具的利润为(30+x20)元,月销售量为(23010 x) ,然后根据月销售 利润一件玩具的利润月销售量即可求出函数关系式 (2)把 y2520 时代入 y10 x2+130 x+2300 中,求出 x 的值即可 (3)把 y10 x2+130 x+2300 化成顶点式,求得当 x6.5 时,y 有最大值,再根据 0

38、 x10 且 x 为正 整数,分别计算出当 x6 和 x7 时 y 的值即可 【解答】解: (1)根据题意得: y(30+x20) (23010 x)10 x2+130 x+2300, 自变量 x 的取值范围是:0 x10 且 x 为正整数; (2)当 y2520 时,得10 x2+130 x+23002520, 解得 x12,x211(不合题意,舍去) 当 x2 时,30+x32(元) 答:每件玩具的售价定为 32 元时,月销售利润恰为 2520 元 (3)根据题意得: y10 x2+130 x+2300 10(x6.5)2+2722.5, a100, 当 x6.5 时,y 有最大值为 27

39、22.5, 0 x10 且 x 为正整数, 当 x6 时,30+x36,y2720(元) , 当 x7 时,30+x37,y2720(元) , 答:每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时,每个月可获得最大利润,最大的月利润是 2720 元 六、 (本题满分六、 (本题满分 0 分)分) 21如图,点 O 是等边ABC 内一点,AOB110,BOC将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC,连接 OD (1)求证:COD 是等边三角形; (2)当 150时,试判断AOD 的形状,并说明理由; (3)探究:当 为多少度时,AOD 是等腰三角形? 【分析】 (1)根据旋转的性质可得出 O

40、COD,结合题意即可证得结论; (2)结合(1)的结论可作出判断; (3)找到变化中的不变量,然后利用旋转及全等的性质即可做出解答 【解答】 (1)证明:将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC, COCD,OCD60, COD 是等边三角形 (2)解:当 150时,AOD 是直角三角形 理由是:将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC, BOCADC, ADCBOC150, 又COD 是等边三角形, ODC60, ADOADCODC90, 150,AOB110,COD60, AOD360AOBCOD3601501106040, AOD 不是等腰直角三角形,即AOD 是直角

41、三角形 (3)解:要使 AOAD,需AODADO, AOD36011060190,ADO60, 19060, 125; 要使 OAOD,需OADADO OAD180(AOD+ADO)180(190+60)50, 6050, 110; 要使 ODAD,需OADAOD AOD36011060190, OAD120, 190120, 解得 140 综上所述:当 的度数为 125或 110或 140时,AOD 是等腰三角形 七、 (本题满分七、 (本题满分 0 分)分) 22如图,一次函数分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,抛物线 yx2+bx+c 过 A、B 两点 (1)求这个抛物线的解析式;

42、(2)作垂直 x 轴的直线 xt,在第一象限交直线 AB 于 M,交这个抛物线于 N求当 t 取何值时,MN 有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的情况下,以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点 D 的坐标 【分析】 (1)首先求得 A、B 点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)本问要点是求得线段 MN 的表达式,这个表达式是关于 t 的二次函数,利用二次函数的极值求线段 MN 的最大值; (3)本问要点是明确 D 点的可能位置有三种情形,如答图 2 所示,不要遗漏其中 D1、D2在 y 轴上, 利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线 D1N

43、和 D2M 的交点,利用直线解析式求得 交点坐标 【解答】解: (1)分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点, A、B 点的坐标为:A(0,2) ,B(4,0) , 将 x0,y2 代入 yx2+bx+c 得 c2, 将 x4,y0 代入 yx2+bx+c 得 016+4b+2,解得 b, 抛物线解析式为:yx2+x+2; (2)如答图 1,设 MN 交 x 轴于点 E, 则 E(t,0) ,则 M(t,2t) , 又 N 点在抛物线上,且 xNt,yNt2+t+2, MNyNyMt2+t+2(2t)t2+4t, 当 t2 时,MN 有最大值 4; (3)由(2)可知,A(0,2) ,M(2,

44、1) ,N(2,5) 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,D 点的可能位置有三种情形,如答图 2 所示 (i)当 D 在 y 轴上时,设 D 的坐标为(0,a) 由 ADMN,得|a2|4,解得 a16,a22, 从而 D 为(0,6)或 D(0,2) , (ii)当 D 不在 y 轴上时,由图可知 D3为 D1N 与 D2M 的交点, 易得 D1N 的方程为 yx+6,D2M 的方程为 yx2, 由两方程联立解得 D 为(4,4) 故所求的 D 点坐标为(0,6) , (0,2)或(4,4) 八、 (本题满分八、 (本题满分 0 分)分) 23 在平面直角坐标系中, 抛物线 yx26mx

45、+5 与 y 轴的交点为 A, 与 x 轴的正半轴分别交于点 B (b, 0) , C(c,0) (1)当 b1 时,求抛物线相应的函数表达式; (2)当 b1 时,如图,E(t,0)是线段 BC 上的一动点,过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线的交 点为 P求APC 面积的最大值; (3) 当 cb+n 时, 且 n 为正整数, 线段 BC (包括端点) 上有且只有五个点的横坐标是整数, 求 b 的值 【分析】 (1)当 b1 时,将点 B(1,0)代入抛物线 yx26mx+5 中求出 m,即可解决问题 (2)如图 1 中,直线 AC 与 PE 交于点 F切线直线 AC 的解析式,

46、构建二次函数,利用二次函数的性 质即可解决问题 (3)分两种情形当 b 整数时,n 为整数,可知 n4,cb+4则 b,b+4 是方程 x2mx+50 的两个 根,分别代入方程中求解即可,当 b 小数时,n 为整数,n5,cb+5 为小数,则 b,b+5 是方程 x26x+50 的两个根, 【解答】解: (1)当 b1 时,将点 B(1,0)代入抛物线 yx26mx+5 中,得 m1, yx26x+5; (2)如图 1 中,直线 AC 与 PE 交于点 F 当 b1 时,求得 A(0,5) ,B(1,0) ,C(5,0) ,可得 AC 所在的一次函数表达式为 yx+5, E(t,0) , P

47、(t,t26t+5) ,直线 l 与 AC 的交点为 F(t,t+5) , PF(t+5)(t26t+5)t2+5t, SAPC(t2+5t) 5(t)2+, 0, 当 t时,面积 S 有最大值; (3)当 b 整数时,n 为整数, n4,cb+4则 b,b+4 是方程 x2mx+50 的两个根,分别代入方程中, 得 b2mb+50 , (b+4)2m(b+4)+50 , 由可得 b2+4b50,解得 b1 或5(舍) ; 或由一元二次方程根与系数的关系得 b(b+4)5 解得 b1 或5(舍) 当 b 小数时,n 为整数,n5,cb+5 为小数,则 b,b+5 是方程 x2mx+50 的两个根,同样可 得 b或(舍弃) ; b1 或