1、 2021 中考数学专题训练中考数学专题训练：与圆相关的计算与圆相关的计算 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 如图所示的扇形纸片半径为 5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是 4 cm，则该圆 锥的底面周长是( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 2. 如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 ACBC 2，则图中阴影部分的 面积是( ) A. 4 B. 1 2 4 C. 2 D. 1 2 2 3. 若正方形的外接圆的半径为 2，则其内切圆的半径为( ) A. 2 B2 2 C. 2 2 D1 4.
2、 如图，ABC 内接于O，若A45 ，O 的半径 r4，则阴影部分的面积为( ) A48 B2 C4 D88 5. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是O 的直径，CD，EF 是O 的弦，且 ABCDEF， AB10，CD6，EF8.则图中阴影部分的面积是( ) A.25 2 B10 C244 D245 6. 下列用尺规等分圆周的作法正确的有( ) 在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；作相互垂直的两条直径，就可以四等分 圆；按的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；按的方法将圆四 等分，再平分四条弧，就可以八等分圆 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7.
3、如图，正方形 ABCD 内接于O，O 的半径为 2，以点 A 为圆心，以 AC 长为半径画弧交 AB 的延长 线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积是( ) A44 B48 C84 D88 8. 如图是由 7 个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点， ABC 的顶点都在 格点上，设定 AB 边如图所示，则使 ABC 是直角三角形的格点有( ) A10 个 B8 个 C6 个 D4 个 9. 如图 0，AD 为O 的直径，作O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1.以点 D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交O 于 B，C 两点； 2.连接
4、AB，BC，AC. ABC 即为所求作的三角形 乙：1.作 OD 的中垂线，交O 于 B，C 两点； 2.连接 AB，AC. ABC 即为所求作的三角形 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对 D两人都不对 10. (2020 南充）如图，圆内接正六边形的边长为 4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部 分的面积为 A. 24 34 B. 12 34 C. 24 38 D. 24 34 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题）道小题） 11. 用一个圆心角为 120 ，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积 为 . 12
5、. 如图是一个圆锥形冰激凌外壳(不计厚度)，已知其母线长为 12 cm，底面圆的半径为 3 cm，则这个冰激 凌外壳的侧面积等于_ cm2(结果精确到个位) 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若圆锥的底面圆半径 r=2 cm，扇 形的圆心角 =120 ，则该圆锥的母线长 l 为 cm. 14. （2020 菏泽）如图，在菱形 OABC 中，OB 是对角线，OAOB2，O 与边 AB 相切于 点 D，则图中阴影部分的面积为_ 15. 在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，ABBC10 m拴住小狗的 10 m 长的 绳子一端固定在 B 点处，小狗在不能进入小屋
6、内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 S(m2) (1)如图 1，若 BC4 m，则 S_m2. (2)如图 2，现考虑在(1)中的矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正 CDE 区域，使之变 成落地为五边形 ABCED 的小屋，其它条件不变则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时， 边 BC 的长为_m. 16. （2020 凉山州）如图，点 C、D 分别是半圆 AOB 上的三等分点若阴影部分的面积是 3 2 ， 则半圆的半径 OA 的长为 O D C BA 17. （2020 宿迁）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，AD3，P 为边 AD 上一个动点，连接 BP，线段
7、BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ当点 P 从点 A 运动到点 D 时， 线段 PQ 在平面内扫过的面积为 18. （2020 广西北部湾经济区）如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，C60 ，点 E，F 分 别是 AB，AD 上的动点，且 AEDF，DE 与 BF 交于点 P当点 E 从点 A 运动到点 B 时， 则点 P 的运动路径长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，CN 为O 的切线，OMAB 于点 O，分别 交 AC，CN 于 D，M 两点. (1)求证:MD=MC; (
8、2)若O 的半径为 5，AC=4，求 MC 的长. 20. （2020丽水）如图，的半径 OA2，OCAB 于点 C，AOC60 （1）求弦 AB 的长 （2）求的长 Q P D CB A 21. 如图是两个半圆，点 O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，AB24，求图中阴影部 分的面积 22. 如图，O 与 ABC 的 AC 边相切于点 C，与 AB，BC 边分别交于点 D，E，DEOA，CE 是O 的直径. (1)求证:AB 是O 的切线; (2)若 BD=4，CE=6，求 AC 的长. 23. 如图，在 ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与边 BC，AC 分别
9、交于 D，E 两点，过 点 D 作 DHAC 于点 H. (1)判断 DH 与O 的位置关系，并说明理由; (2)求证:点 H 为 CE 的中点. 24. 如图，已知 ABC 内接于O，点 C 在劣弧 AB 上(不与点 A，B 重合)，点 D 为弦 BC 的中 点，DEBC，DE 与 AC 的延长线交于点 E.射线 AO 与射线 EB 交于点 F，与O 交于点 G.设 GAB，ACB，EAGEBA. (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似 数据 30 40 50 60 120 130 140 150 150 140 130 120 猜想： 关于 的函数表达式， 关于 的函数表达式，并给出证明
10、； (2)若 135 ，CD3， ABE 的面积为 ABC 的面积的 4 倍，求O 半径的长 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】D 【解析】如解图，由题意可知，OA4 cm，AB5 cm，在 RtAOB 中，利用勾 股定理可求得 OB3 cm，该圆锥的底面周长是 6 cm. 2. 【答案】【答案】A 【解析】AB 为直径，ACB90 ，ACBC 2，AB2，则半径 OA OB1，AOCBOC，AOC 的面积与 BOC 的面积相等，阴影部分的面积刚 好是四分之一圆的面积，即为1 41 2 4 . 3. 【答案】【答案】A 解析 如图
11、所示，连接 OA，OE. AB 是小圆的切线， OEAB. 四边形 ABCD 是正方形， AEOE. 在 RtAOE 中，由勾股定理，得 OA2AE2OE2，22AE2OE2， OE 2.故选 A. 4. 【答案】【答案】A 解析 由题意可知BOC2A45 290 .S 阴影S 扇形 OBCSOBC，S 扇形 OBC1 4S 圆 1 4424，SOBC 1 2 428，所以阴影部分的面积为 48.故选 A. 5. 【答案】【答案】A 解析 如图，连接 OC，OD，OE，OF. ABCD， SACDSOCD， AB 上方的阴影面积S 扇形 OCD. 同理，AB 下方的阴影面积S 扇形 OEF.
12、延长 EO 交O 于点 G，连接 FG，则EFG90 . FG EG2EF2 102826. CD6，FGCD， FOGCOD，S 扇形 OCDS 扇形 OFG， S 阴影S 扇形 OCDS 扇形 OEFS 扇形 OFGS 扇形 OEFS 半圆1 252 25 2 .故选 A. 6. 【答案】【答案】A 7. 【答案】【答案】A 解析 由正方形与圆的轴对称性可知 S 弓形 ABS 弓形 BC，S 弓形 ADS 弓形 CD，S 阴影S 扇形 AEFSABD9042 360 1 2 4 244.故选 A. 8. 【答案】【答案】A 解析 如图，当 AB 是直角边时，点 C 共有 6 个位置，即有
13、6 个直角三角形； 当 AB 是斜边时，点 C 共有 4 个位置，即有 4 个直角三角形 综上所述，使 ABC 是直角三角形的格点有 6410(个)故选 A. 9. 【答案】【答案】C 解析 由甲的作法可知连接 OB，BD，OC，CD 后，OBBDODOCCD， 所以 BOD 和 COD 都是等边三角形，四边形 OBDC 是菱形，所以BOC120，则BAC 60.因为四边形 OBDC 是菱形，所以 ADBC，AD 平分 BC，所以 ABAC，所以 ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的由乙的作法可知BOC120，所以BAC60. 又因为 ADBC，所以 AD 平分 BC，所以 ABAC，所
14、以 ABC 是等边三角形，所以他的作 法是正确的故选 C. 10. 【答案】【答案】A 【解析】如图，设正六边形的中心为 0，连接 OA，OB. 由题意得AOB 是等边三角形，边长 为 4， 1 4 2 34 3 2 AOB S ，6 个弓形的面积和是 2 46 4 31624 3 ， 阴影部分的面积是 2 1 62(1624 3)121624 324 34 2 . 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题）道小题） 11. 【答案】【答案】4 解析设此圆锥的底面半径为 r，由题意可得 2r=，解得 r=2，故这个圆 锥的底面圆的面积为 4. 12. 【答案】【答案】113 解析
15、这个冰激凌外壳的侧面积1 2231236113(cm2)故答案为 113. 13. 【答案】【答案】6 解析22=， l=6. 14. 【答案】【答案】23 【解析】利用规则图形的面积和差求不规则图形的面积在菱形 OABC 中，OAAB，又OA OB， AOB 是等边三角形， AOB=A=60 如图， 连接 OD， 则 ODAB， OD=2 sin60 3，SAOB 2 1 233，扇形的面积为： 2360 )3(60 2 ， 阴影部分的面积为：2 (3 2 )23 15. 【答案】【答案】88；5 2 【解析】(1)因为 ABBC10 m，BC4 m，则 AB6 m，小狗活动的范 围包括三个
16、部分，第一部分是以点 B 为圆心，10 为半径，圆心角为 270 的扇面；第二部分是 以 C 为圆心，6 为半径，圆心角为 90 的扇形，第三部分是以 A 为圆心，4 为半径，圆心角为 90 的扇形，则 S270 10 2 360 90 6 2 360 90 4 2 360 88m2；(2)当在右侧有一个等边三角形时，设 BCx 米，根据题意得 S270 10 2 360 30 （10 x） 2 360 90 x 2 360 3x 25 3x 250 3 ，所以当 x (5 3) (2 3) 5 2时，S 最小，即此时 BC 的长为 5 2米 16. 【答案】【答案】3 【解析】如答图，连接
17、OC、OD、CD，则AOCCODBOD60 OBODOC， OCD 和OBD 均为正三角形ODCBOD60 ABCDSBCDS OCDS 阴影部分S 扇形 OCD 2 603 3602 r 解得 r3，于是半圆的半径 OA 的长为 3故答案为 3 O DC BA 17. 【答案】【答案】3 3 【解析】如答图，图中阴影部分的面积即为点 P 从点 A 运动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫 过的面积在矩形 ABCD 中，AB1，AD3，ABCBACCQ90 ， ADBDBCODBOBQ30 ABQ120 易知BOQDOCS 阴影部分 S 四边形 ABQDS 扇形 ABQS 四边形 ABODSB
18、OQS 扇形 ABQS 四边形 ABOD SCODS 扇形 ABQS 矩形 ABCDS 扇形 ABQ13 2 1201 360 3 3 故答案 为3 3 18. 【答案】【答案】 【解析】如图，作CBD 的外接圆O，连接 OB，OD 四边形 ABCD 是菱形， AC60 ，ABBCCDAD， ABD，BCD 都是等边三角形， BDAD，BDFDAE， DFAE， BDFDAE（SAS） ， DBFADE， ADE+BDE60 ， DBF+BDP60 ， BPD120 ， C60 ， C+DPB180 ， B，C，D，P 四点共圆， 由 BCCDBD2，可得 OBOD2， BOD2C120 ，
19、点 P 的运动的路径的长 ，因此本题答案是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 【答案】【答案】 解:(1)证明:连接 OC， CN 为O 的切线， OCCM， OCA+MCD=90 . OMAB， OAC+ODA=90 . OA=OC， OAC=OCA， MCD=ODA. 又ODA=MDC， MCD=MDC， MD=MC. (2)依题意可知 AB=5 2=10，AC=4， AB 为O 的直径，ACB=90 ， BC=2. AOD=ACB，A=A， AODACB， =，即=，得 OD= . 设 MC=MD=x，在 Rt OCM 中， 由勾股定理得 x+ 2=
20、x2+52， 解得 x= ，即 MC= . 20. 【答案】【答案】 解： （1）的半径 OA2，OCAB 于点 C，AOC60 ， ACOAsin602，AB2AC2； （2）OCAB，AOC60 ，AOB120 ，OA2，的长是： 21. 【答案】【答案】 解析 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小 半圆的面积 解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 C，则 ACBC 12. AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， OC 为小半圆的半径， S 阴影S 大半圆S 小半圆1 2OB2 1 2OC2
21、1 2(OB2OC2) 1 2BC272. 22. 【答案】【答案】 解:(1)证明:连接 OD，DEOA， AOC=OED，AOD=ODE， OD=OE，OED=ODE， AOC=AOD， 又OA=OA，OD=OC， AOCAOD(SAS)，ADO=ACO. CE 是O 的直径，AC 为O 的切线， OCAC，OCA=90 ， ADO=OCA=90 ，ODAB. OD 为O 的半径， AB 是O 的切线. (2)CE=6，OD=OC=3， BDO=180 -ADO=90 ， BO2=BD2+OD2， OB=5， BC=8， BDO=OCA=90 ，B=B， BDOBCA， =， =， AC=
22、6. 23. 【答案】【答案】 解析(1)连接 OD，AD，先利用圆周角定理得到ADB=90 ，再根据等腰三角形的性质得 BD=CD，再证明 OD 为 ABC 的中位线得到 ODAC，根据 DHAC，所以 ODDH，然后 根据切线的判定定理可判断 DH 为O 的切线. (2)连接 DE，由圆内接四边形的性质得DEC=B，再证明DEC=C，然后根据等腰三角 形的性质得到 CH=EH. 解:(1)DH 与O 相切.理由如下: 连接 OD，AD，如图， AB 为直径， ADB=90 ，即 ADBC， AB=AC，BD=CD， 而 AO=BO， OD 为 ABC 的中位线， ODAC， DHAC，OD
23、DH， DH 为O 的切线. (2)证明:连接 DE，如图， 四边形 ABDE 为O 的内接四边形， DEC=B， AB=AC，B=C， DEC=C， DHCE， CH=EH，即 H 为 CE 的中点. 24. 【答案】【答案】 【思维教练】 (1)观察表格可猜想 90 ， 180 .连接 BG， 由直径所对的圆周角为 90 和圆内接四边形的对角和为 180 即可得出90 ；由题干条件易知 EBDEGD， EBCECB， 再由三角形的外角和定理和 90 ， 利用角度之间的转化即可得出结论； (2)由(1)的结论可以得出 BAG45 ，ACB135 ，ECB45 ，CEB90 ， ECD、 BE
24、C、 ABG 都是等腰直角三角形，由 CD 的长，可得出 BE 和 CE 的长，再由题 干条件 ABE 的面积是 ABC 的面积的 4 倍可得出 AC 的长，利用勾股定理在 ABE 中求出 AB 的长，再利用勾股定理在 ABG 求出 AG 的长，即可求出半径长 (1)90 ，180 证明：如解图，连接 BG， AG 是O 的直径，ABG90 ， BGA90 ，(1 分) 又四边形 ACBG 内接于O， BGA180 ， 90 ， 即 90 ；(3 分) D 是 BC 的中点，且 DEBC， EBDECD，EBCECB， EAGEBA， EABEBCCBA， EABCBAECB， 2ECB，(4 分) 2(180 )， 由90 代入后化简得，180 ；(6 分) (2)如解图，连接 BG， 135 ，180 ， 45 ，135 ， AGBECB45 ，(8 分) ECD 和 ABG 都是等腰直角三角形， 又ABE 的面积是 ABC 的面积的 4 倍， AE4AC，EC3AC，(9 分) CD3，CE3 2，AC 2，AE4 2，(10 分) BEA90 ， 由勾股定理得，AB BE2AE2（3 2）2（4 2）2 505 2，(11 分) AG 2AB 2 5 210， r5.(12 分)
