1、 1 第第 0 06 6 讲讲 一次方程（组）及其应用一次方程（组）及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 一元一次方程的概念及解法】一元一次方程的概念及解法】 1.方程、方程的解与解方程 方程：含有未知数的等式叫方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 解方程：求方程解的过程叫解方程 2.等式的基本性质 性质 1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍相等如果 ab，那么 acb c. 性质 2:等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为 0)，所得结果仍相等如果 ab，那么 acbc，a c b c (c0). 3.一元一次方程：含有一个未
2、知数且未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程 4.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1. 【考点【考点 2 2 一元一次方程的应用】一元一次方程的应用】 列方程解应用题的一般步骤 (1) 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2) 设：设未知数，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数； (3) 列：弄清题意，找出相等关系，根据相等关系列方程(组)； (4) 解：解方程 (5) 验：检验结果是否符合题意 (6)答:答题(包括单位) 【考点【考点 3 3 方程组及其应用】方程组及其应
3、用】 1.二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程 2.二元一次方程组:两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 3.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。 4掌握两个解二元一次方程组的方法： （1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程 中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简 称代入法. 方程组中有一个方程的一个未知数的系数是 1 时，用代入法较简便. 2 （2） 加减法： 通过将方程组中两个方
4、程加减， 消去一个未知数， 得到一元一次方程， 最后求得方程组的解， 这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法. 当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等时，用加减法较简便. 二、考点分析 【考点【考点 1 1 一元一次方程的概念及解法】一元一次方程的概念及解法】 【解题技巧】一次方程用到的思想方法： (1)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷； (2)转化思想：解一元一次方程最终要转化成 axb. (3)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题； (4)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题 【例 1】 （2019 辽宁中考）已知关
5、于 x 的方程 4x-3m=2 的解是 x=m，则 m 的值是（ ） A 2. B -2. C2.7. D -2.7 【举一反三举一反三 1-1】 （2018 河北中考）有三种不同质量的物体“” “” “” ，其中，同一种物体的质量 都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 福建中考） 增删算法统宗记载： “有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添 一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子 ，每天阅读的字数是前 一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书
6、共有 34685 个字，设他第一天读x个字，则下面 所列方程正确的是（ ） Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x34685 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 山东济南中考）代数式与代数式 32x的和为 4，则x 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 河北沧州中考模拟）解方程： （1）2 （2）1 3 【考点【考点 2 2 一元一次方程的应用】一元一次方程的应用】 【解题技巧】 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润售价进价，利润率100%） ； （4）工程问题（
7、工作量人均效率人数 时间；如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和工作总量） ； （5）行程问题（路程速度时间） ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度静水速度+水流速度；逆水速度静水速度水流速度） （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求 的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求 解、作答，即设、列、解、答 【例 2】 （2019 浙江杭州中考）已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生
8、每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵 树，设男生有x人，则（ ） A2x+3（72x）30 B3x+2（72x）30 C2x+3（30 x）72 D3x+2（30 x）72 【举一反三举一反三 2-1】 （2019长春） 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共 买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱， 会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可 列方程组为（ ） A B C D 4 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 福建中考） （2019南通） 九章
9、算术是中国传统数学最重要的著作之一书中记 载： “今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数几何？”意思是： “有若干人共同出钱 买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设共 有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 安徽中考）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定 修建一条高速公路其中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立 工作 2 天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比
10、乙工 程队多掘进 2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 湖北黄石中考） “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ” （出自九章算术 ） 意思是：同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答 以下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走 路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少 步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路
11、慢的人先走 200 步，请问走路快的人 走多少步才能追上走路慢的人？ 【考点【考点 3 3 方程组及其应用】方程组及其应用】 【解题技巧】解二元、三元一次方程组的基本思路是消元 基本解法有：代入消元法和加减消元法. 二元一次方程组的解应写成 xa， yb 的形式 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起 来，找出题目中的相等关系 （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量； 5 同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符 （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： 确定应用题的类型
12、，按其一般规律方法找等量关系将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有 “； ”时一般“； ”前后各一层，分别找出两个等量关系借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找 等量关系图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系 【例 3】 （2019 天津中考）方程组的解是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 湖北孝感中考）已知二元一次方程组，则的值是（ ） A5 B5 C6 D6 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 福建中考）解方程组 【举一反三举一反三 3-3】 （ （2019 海南中考） ）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选 购百香果，
13、若购买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元，若购买 1 千克“红土”百香 果和 3 千克“黄金”百香果需付 115 元请问这两种百香果每千克各是多少元？ 【举一反三举一反三 3-4】 （2019 上海中考） 九章算术中有一道题的条件是： “今有大器五一容三斛，大器一小器 五容二斛 ”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米， 依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛 斛米 （注：斛是古代一种容量单位） 三、【达标测试】 （一）选择题选择题 1.（2019兰州） 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个
14、问题：五只雀，六只燕共重一 6 斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只 燕的重量为y斤，则可列方程组为（ ） A B C D 2.（2019南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ） A2 B4 C2 D4 3.（2019台湾）某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用已知旅行团的每个 人皆从这两种方式中选择一种，且去程有 15 人搭乘缆车，回程有 10 人搭乘缆车若他们缆车费用的总花 费为 4100 元，则此旅行团共有多少人？（ ） 参观方式 缆车费用 去程及回程均搭乘缆车 300 元 单程搭乘缆车，单程步行 200
15、 元 A16 B19 C22 D25 4.（2015 河北中考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A要消去y，可以将5+2 B要消去x，可以将3+（5） C要消去y，可以将5+3 D要消去x，可以将（5）+2 5. （2019 河北衡水中考模拟） 图1所示的是用十字形方框从日历表中框出5个数， 已知这5个数的和为5a+5， a 是方框，中的一个数，则数 a 所在的方框是（ ） A B C D 6.（2019 山东临沂中考模拟）2018 年 9 月 28 日-12 月 31 日，山东临沂灯展中千万盏彩灯点亮 300 亩天然 花海某日，从晚上 17 时开始每小时进入灯展的人数约为 9
16、00 人（之前该灯展有游客 400 人），同时每 7 小时走出灯展的人数约为 600 人，已知该灯展的饱和人数约为 1600 人，则该灯展人数饱和时的时间约为 （ ） A21 时 B22 时 C23 时 D24 时 7.(2016 河北中考)已知 n 边形的内角和(n2)180.若 n 边形变为(nx)边形，发现内角和增加了 360，则 x 为（ ） Ax4. Bx3. Cx2. Dx5. 8.(滨州中考)方程 22x1 3 1x 2 的解是（ ） Ax1. Bx0. Cx2. Dx1. （二）填空题（二）填空题 1. （2019 山东青岛中考模拟） 已知x、 y是二元一次方程组的解， 则代数
17、式x 24y2的值为 2.(2016 石家庄四十一中模拟)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由 3 个矩形侧面和 2 个正三角形底 面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用) A 方法：剪 6 个侧面； B 方法：剪 4 个侧面和 5 个底面 现有 19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B 方法 (1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面 个和底面 个； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 个盒子. 3. (2017 宁夏中考)小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路， 假设他始终保持平路每分钟走 60 m， 下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走
18、40 m，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min.问： 从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 4.（2019 福建福州中考模拟）图书馆整理一批图书，由一人做要 60 小时完成，现在先安排一批人整理，3 小时后有 4 人因其它任务离开，余下的人又整理了 9 个小时，完成了这项工作，假设每个人的工作效率相 同，则先安排了 人整理图书？ 8 5.（2019 山东淄博中考模拟）用“”“”“”分别表示三种不同的物体，如图 2 所示，前两个天平 保持平衡，若要使第三个天平也平衡，那么“？”处应放“” 个. 6.（2019 河北石家庄中考模拟）有一列方程，第 1 个方程是 x+ 2
19、 x =3，解为 x=2；第 2 个方程是 2 x + 3 x =5， 解为 x=6；第 3 个方程是 3 x + 4 x =7，解为 x=12；根据规律第 10 个方程是 ，解为 . 7.（2019 重庆.中考）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川 香、贝母、黄连增加经济收入经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比 4：3：5，是根据 中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下 土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的为使川香种植总面积 与贝母种植总面积之比达到 3：4，
20、则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比 是 ？ 8.（2019 河南南阳中考模拟）定义一种新运算“ ”：a b=4a+b，试根据条件回答问题： （1）计算：2 （-3）= ；（2）若 x （-6）=x （3 x），则 x= （二）解答题（二）解答题 1.（2019 河北邯郸中考模拟）如果x1 是方程的解， （1）求m的值； （2）求关于y的方程m（y3）2m（2y5）的解 2.（2019 广东广州中考）解方程组： 3.（2019 甘肃中考）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中 有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车
21、各几何？译文为：今有若干人乘 9 车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人， 多少辆车？ 4.（2019 吉林中考）问题解决 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成现将一些山楂分别串在若干根竹签上如果每根竹 签串 5 个山楂，还剩余 4 个山楂；如果每根竹签串 8 个山楂，还剩余 7 根竹签这些竹签有多少根？山楂 有多少个？ 反思归纳 现有a根竹签，b个山楂若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写 序号） （1）bc+da； （2）ac+db； （3）acdb 5.在一次有 12 个队参加的足球循
22、环赛中（每两队之间比赛一场） ，规定胜一场记 3 分，平一场记 1 分，负 一场记 0 分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多 2 场，结果共积 19 分，问：该队在这次循环赛中 战平了几场？ 6.（2018 河北中考）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标 着5，2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等 尝试 （1）求前 4 个台阶上数的和是多少？ （2）求第 5 个台阶上的数x是多少？ 10 应用 求从下到上前 31 个台阶上数的和 发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数 7.（2019深圳）有A、B两个发电厂，每焚
23、烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发 40 度电，A焚烧 20 吨垃 圾比B焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电 （1）求焚烧 1 吨垃圾，A和B各发电多少度？ （2）A、B两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电 量的最大值 8.2019呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时 长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程 7 公里以内（含 7 公里）不 收远途费，超过 7 公里的，超出部分每公里收 0.8 元 小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为 6 公里 与 8.5 公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同 （1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候已知他等候 另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多 8.5 分钟，计算俩人 各自的实际乘车时间
