1、 1 第第 2727 讲讲 图形的平移与旋转图形的平移与旋转 1图形的平移 (1)定义：在平面内，将某一图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移；平移不改变图形 的大小和形状 (2)平移的要素：平移方向、平移距离 (2)性质：平移后的图形与原来的图形全等；对应线段平行且相等，对应角相等；对应点所连的线段 平行且相等 2图形的旋转 (1)定义：把一个图形绕着某一个点 O 转动一定角度的图形变换叫做旋转，如果图形上的点 P 经过旋转变为 点 P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点； (2)要素：确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； (3)性质：对应点到旋转中心的距
2、离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等. 考点 1： 关于平移问题 【例题 1】在 66 方格中，将图中的图形 N 平移后位置如图所示，则图形 N 的平移方法中，正确的是 ( ) A向下移动 1 格 B向上移动 1 格 C向上移动 2 格 D向下移动 2 格 解析：结合图形按平移的定义判断 2 【同步练】【同步练】在由相同的小正方形组成的 34 的网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方 形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是(D) A或 B或 C或 D或 【解析】 ：根据题意可涂黑和， 涂黑
3、时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移 1 个单位即可得； 涂黑时，可将左上和左下两个黑色正方形向右平移 2 个单位、再向下平移 1 个单位可得； 故选：D 归纳： 1 平移前后图形的形状、 大小都不变， 平移得到的对应线段与原线段平行且相等， 对应角相等 2 判 断时选择某一特殊点，验证其平移情况即可 考点 2： 关于旋转问题 【例题 2】(2016娄底改编)如图， 将等腰ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转角为 旋转到A1BC1的位置，AB 与 A1C1相交于点 D，AC 与 A1C1、BC1 分别相交于点 E、F. (1)试判断 A1D 和 CF 的数量关系； (2)当C 时，判定四边形
4、 A1BCE 的形状并说明理由 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质得到 ABBC，AC，由旋转的性质得到 A1BABBC，AA1 3 C，A1BDCBC1，根据全等三角形的判定及性质即可求解；(2)由旋转的性质得到A1A，根据平 角的定义得到DEC180，在四边形 A1BCE 中，根据四边形的内角和得到A1BC360A1C A1EC180，进而证得四边形 A1BCE 是平行四边形，由 A1BBC 即邻边相等的平行四边形是菱形即 可证明 【解析】 ：(1)ABC 是等腰三角形，ABBC，AC，将等腰ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 度 到A1BC1的位置， A1BABBC， AA1C， A1
5、BDCBC1， 在BCF 与BA1D 中， A1C， A1BBC A1BDCBF ， BCFBA1D(ASA)，A1DCF； (2)四边形 A1BCE 是菱形，将等腰ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转到A1BC1的位置， A1A，ADEA1DB， AEDA1BD，DEC180，C， A1，在四边形 A1BCE 中，A1BC360A1CA1EC180， A1C，A1BCA1EC， 四边形 A1BCE 是平行四边形， A1BBC，四边形 A1BCE 是菱形 归纳：图形的旋转为背景的探究问题，常涉及的设问有：探究两条线段的数量关系、特殊四边形形状的判 定，解决此类问题，需掌握如下方法： 1探究两条线
6、段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系，常考虑利用特殊三角形、全等三角形、特殊 四边形的性质或根据题中对应角的关系得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例进行求解 2探究特殊四边形的形状，通常先判定该四边形是否是平行四边形，再结合旋转的性质，根据其边或角的 之间的等量关系进一步判定其为哪种特殊的平行四边形 考点 3：关于旋转的综合探究问题 【例题 3】 （2018湖北江汉10 分）问题问题：如图，在 RtABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B， C 重合） ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式
7、 为 BC=DC+EC ； 探索探索：如图，在 RtABC 与 RtADE 中，AB=AC，AD=AE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试 探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用应用：如图，在四边形 ABCD 中，ABC=ACB=ADC=45若 BD=9，CD=3，求 AD 的长 4 【分析】 （1）证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BD=CE，ACE=B，得到DCE=90，根据勾股定理计算即可； （3）作 AEAD，使 AE=AD，连接 CE，DE，证明BADCAE，得到 BD=CE
8、=9，根据勾股定理计算即可 【解答】解： （1）BC=DC+EC， 理由如下：BAC=DAE=90， BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE， BD=CE， BC=BD+CD=EC+CD， 故答案为：BC=DC+EC； （2）BD 2+CD2=2AD2， 理由如下：连接 CE， 由（1）得，BADCAE， BD=CE，ACE=B， DCE=90， CE 2+CD2=ED2， 在 RtADE 中，AD 2+AE2=ED2，又 AD=AE， BD 2+CD2=2AD2； （3）作 AEAD，使 AE=AD，连接 CE，DE， BAC+CAD=DA
9、E+CAD， 即BAD=CAD， 在BAD 与CAE 中， ， 5 BADCAE（SAS） ， BD=CE=9， ADC=45，EDA=45， EDC=90， DE=6， DAE=90， AD=AE=DE=6 一、选择题： 1. （2017 山东泰安） 如图， 在正方形网格中， 线段 AB是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 得到的， 点 A 与 A 对应，则角 的大小为（ ） A30 B60 C90 D120 【答案】C 【解答】解：如图： 显然，旋转角为 90， 6 故选 C 2. （20182018辽宁省抚顺市辽宁省抚顺市） （3.00 分）已知点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 的坐标为
10、（2，1） 将线段 AB 沿某 一方向平移后，点 A 的对应点的坐标为（2，1） 则点 B 的对应点的坐标为（ ） A （5，3） B （1，2） C （1，1） D （0，1） 【答案】C 【解答】解：A（1，3）的对应点的坐标为（2，1） ， 平移规律为横坐标减 3，纵坐标减 2， 点 B（2，1）的对应点的坐标为（1，1） 故选：C 3. （2018广西贺州3 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到ABC，连接 BB， 若ABB=20，则A 的度数是 A60 B65 C70 D80 【答案】B 【解答】解：RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到ABC，
11、 BC=BC， BCB是等腰直角三角形， CBB=45， BAC=ABB+CBB=20+45=65， 由旋转的性质得A=BAC=65 故答案为：65 4. （2018辽宁大连3 分）如图，将ABC 绕点 B 逆时针旋转 ，得到EBD，若点 A 恰好在 ED 的延长 线上，则CAD 的度数为（ ） A90 B C180 D2 【答案】C 7 【解析】解：由题意可得： CBD=，ACB=EDB EDB+ADB=180，ADB+ACB=180 ADB+DBC+BCA+CAD=360，CBD=，CAD=180 故选 C 5. 如图示，若ABC 内一点 P 满足PAC=PBA=PCB，则点 P 为ABC
12、 的布洛卡点三角形的布洛卡点 （Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrelle 17801855）于 1816 年首次发现， 但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，EDF=90，若点 Q 为DEF 的布洛卡点，DQ=1，则 EQ+FQ=（ ） A5 B4 C D 【答案】D 【解答】解：如图，在等腰直角三角形DEF 中，EDF=90，DE=DF，1=2=3， 1+QEF=3+DFQ=45， QEF=DFQ，2=3，
13、DQFFQE， =， DQ=1， FQ=，EQ=2， EQ+FQ=2+， 故选 D 二、填空题： 8 6. (2019湖南常德3 分)如图，已知ABC 是等腰三角形，ABAC，BAC45，点 D 在 AC 边上，将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45得到ACD，且点 D、D、B 三点在同一条直线上，则ABD 的度数是 【答案】22.5 【解答】解：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45得到ACD， BACCAD45，ADAD，ADD67.5，DAB90， ABD22.5故答案为 22.5 7. （2019 湖北宜昌 3 分）如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上，
14、AOB B30，OA2，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90，点 B 的对应点 B的坐标是 . 【答案】 （3，3） ， 【解答】解：如图，作 BHy 轴于 H 由题意：OAAB2，BAH60， AHAB1，BH3， OH3， B（3，3） ， 8. (2019，山西，3 分）如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC=10cm，点 D 为ABC 内一点，BAD=15， 9 AD=6cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为 cm. 【答案】6210 【解析】过点 A 作 AGD
15、E 于点 G，由旋转可知：AD=AE，DAE=90，CAE=BAD=15 AED=45；在AEF 中：AFD=AED+CAE=60 在 RtADG 中：AG=DG=23 2 AD 在 RtAFG 中：6,22 6 3 AG GFAFFG 102 6CFACAF 故答案为：6210 三、解答题： 9. 如图所示，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CECG，连接 BG 并延长交 DE 于 F，将 DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE. (1)判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形，并说明理由； (2)由BCG 经过怎样的变换可得到DAE？请说出具体的变换
16、过程 10 解：(1)四边形 EBGD 是平行四边形理由：四边形 ABCD 是矩形，ABCD，ABCD，将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE，CEAE， CECG，AECG，BEDG， 四边形 EBGD 是平行四边形； (2)四边形 ABCD 是正方形，BCCD，BCD90.BCDDCE180，BCDDCE90. 在BCG 和DCE， BCGDCE BCDC CBGCDE ， BCGDCE(ASA)； 由BCG 绕点 C 顺时针旋转 90可得到DCE， 再绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE 10. （2018浙江宁波10 分）如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 是 A
17、B 边上一点（点 D 与 A，B 不重合） ，连结 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE （1）求证：ACDBCE； （2）当 AD=BF 时，求BEF 的度数 【考点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质 【分析】 （1）由题意可知：CD=CE，DCE=90，由于ACB=90，所以ACD=ACBDCB，BCE=DCE DCB，所以ACD=BCE，从而可证明ACDBCE（SAS） （2）由ACDBCE（SAS）可知：A=CBE=45，BE=BF，从而可求出BEF 的度数 【解答】解： （1）由题意可知：CD=CE，DCE=
18、90， ACB=90， ACD=ACBDCB， BCE=DCEDCB， ACD=BCE， 在ACD 与BCE 中， 11 ACDBCE（SAS） （2）ACB=90，AC=BC， A=45， 由（1）可知：A=CBE=45， AD=BF， BE=BF， BEF=67.5 11. （2018浙江临安3 分）如图直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，将腰 CD 以 D 为中心 逆时针旋转 90至 ED，连 AE、CE，则ADE 的面积是（ ） A1 B2 C3 D不能确定 【考点】梯形的性质和旋转的性质 【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明DCG 与DEF 全等
19、，再根据全等三角形对应边相等可 得 EF 的长，即ADE 的高，然后得出三角形的面积 【解答】解：如图所示，作 EFAD 交 AD 延长线于 F，作 DGBC， CD 以 D 为中心逆时针旋转 90至 ED， EDF+CDF=90，DE=CD， 又CDF+CDG=90， CDG=EDF， 在DCG 与DEF 中， DCGDEF（AAS） ， EF=CG， AD=2，BC=3， CG=BCAD=32=1， EF=1， ADE 的面积是：ADEF=21=1 12 故选：A 12. (2019江苏苏州8 分)如图，ABC中，点E在BC边上，AEAB，将线段AC绕点A旋转到AF的 位置，使得CAFBA
20、E ，连接EF，EF与AC交于点G （1）求证：EFBC； （2）若65ABC，28ACB，求FGC的度数. 【解答】解： （1）CAFBAE BACEAF AEABACAF又， BACEAF SAS EFBC （2）65ABAEABC， 18065250BAE 50FAG BACEAF又 28FC 502878FGC 13. （2019湖北十堰10 分）如图 1，ABC 中，CACB，ACB，D 为ABC 内一点，将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E，且 A，D，E 三点在同一直线上 13 （1）填空：CDE 180 2 （用含 的代数式表
21、示） ； （2）如图 2，若 60，请补全图形，再过点 C 作 CFAE 于点 F，然后探究线段 CF，AE，BE 之间的数 量关系，并证明你的结论； （3）若 90，AC52，且点 G 满足AGB90，BG6，直接写出点 C 到 AG 的距离 【分析】 （1）由旋转的性质可得 CDCE，DCE，即可求解； （2）由旋转的性质可得 ADBE，CDCE，DCE60，可证CDE 是等边三角形，由等边三角形的性质 可得 DFEF 3 3 CF，即可求解； （3）分点 G 在 AB 的上方和 AB 的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解 【解答】解： （1）将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到
22、CBE ACDBCE，DCE CDCE CDE180 2 故答案为：180 2 （2）AEBE+ 2 3 3 CF 理由如下：如图， 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60得到CBE ACDBCE 14 ADBE，CDCE，DCE60 CDE 是等边三角形，且 CFDE DFEF 3 3 CF AEAD+DF+EF AEBE+ 2 3 3 CF （3）如图，当点 G 在 AB 上方时，过点 C 作 CEAG 于点 E， ACB90，ACBC52， CABABC45，AB10 ACB90AGB 点 C，点 G，点 B，点 A 四点共圆 AGCABC45，且 CEAG AGCECG45 CEGE AB10，GB6，AGB90 AG8 AC2AE2+CE2， （52） 2（8CE）2+CE2， CE7（不合题意舍去） ，CE1 若点 G 在 AB 的下方，过点 C 作 CFAG， 同理可得：CF7 点 C 到 AG 的距离为 1 或 7
