第27讲 图形的平移与旋转(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

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1、 1 第第 2727 讲讲 图形的平移与旋转图形的平移与旋转 1图形的平移 (1)定义:在平面内,将某一图形沿着某个方向移动一定的距离,这种图形运动称为平移;平移不改变图形 的大小和形状 (2)平移的要素:平移方向、平移距离 (2)性质:平移后的图形与原来的图形全等;对应线段平行且相等,对应角相等;对应点所连的线段 平行且相等 2图形的旋转 (1)定义:把一个图形绕着某一个点 O 转动一定角度的图形变换叫做旋转,如果图形上的点 P 经过旋转变为 点 P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点; (2)要素:确定一个旋转运动的条件是要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度; (3)性质:对应点到旋转中心的距

2、离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; 旋转前、后的图形全等. 考点 1: 关于平移问题 【例题 1】在 66 方格中,将图中的图形 N 平移后位置如图所示,则图形 N 的平移方法中,正确的是 ( ) A向下移动 1 格 B向上移动 1 格 C向上移动 2 格 D向下移动 2 格 解析:结合图形按平移的定义判断 2 【同步练】【同步练】在由相同的小正方形组成的 34 的网格中,有 3 个小正方形已经涂黑,请你再涂黑一个小正方 形,使涂黑的四个小正方形中,其中两个可以由另外两个平移得到,则还需要涂黑的小正方形序号是(D) A或 B或 C或 D或 【解析】 :根据题意可涂黑和, 涂黑

3、时,可将左上和左下两个黑色正方形向右平移 1 个单位即可得; 涂黑时,可将左上和左下两个黑色正方形向右平移 2 个单位、再向下平移 1 个单位可得; 故选:D 归纳: 1 平移前后图形的形状、 大小都不变, 平移得到的对应线段与原线段平行且相等, 对应角相等 2 判 断时选择某一特殊点,验证其平移情况即可 考点 2: 关于旋转问题 【例题 2】(2016娄底改编)如图, 将等腰ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转角为 旋转到A1BC1的位置,AB 与 A1C1相交于点 D,AC 与 A1C1、BC1 分别相交于点 E、F. (1)试判断 A1D 和 CF 的数量关系; (2)当C 时,判定四边形

4、 A1BCE 的形状并说明理由 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质得到 ABBC,AC,由旋转的性质得到 A1BABBC,AA1 3 C,A1BDCBC1,根据全等三角形的判定及性质即可求解;(2)由旋转的性质得到A1A,根据平 角的定义得到DEC180,在四边形 A1BCE 中,根据四边形的内角和得到A1BC360A1C A1EC180,进而证得四边形 A1BCE 是平行四边形,由 A1BBC 即邻边相等的平行四边形是菱形即 可证明 【解析】 :(1)ABC 是等腰三角形,ABBC,AC,将等腰ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 度 到A1BC1的位置, A1BABBC, AA1C, A1

5、BDCBC1, 在BCF 与BA1D 中, A1C, A1BBC A1BDCBF , BCFBA1D(ASA),A1DCF; (2)四边形 A1BCE 是菱形,将等腰ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转到A1BC1的位置, A1A,ADEA1DB, AEDA1BD,DEC180,C, A1,在四边形 A1BCE 中,A1BC360A1CA1EC180, A1C,A1BCA1EC, 四边形 A1BCE 是平行四边形, A1BBC,四边形 A1BCE 是菱形 归纳:图形的旋转为背景的探究问题,常涉及的设问有:探究两条线段的数量关系、特殊四边形形状的判 定,解决此类问题,需掌握如下方法: 1探究两条线

6、段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系,常考虑利用特殊三角形、全等三角形、特殊 四边形的性质或根据题中对应角的关系得到相似三角形,再根据相似三角形对应边成比例进行求解 2探究特殊四边形的形状,通常先判定该四边形是否是平行四边形,再结合旋转的性质,根据其边或角的 之间的等量关系进一步判定其为哪种特殊的平行四边形 考点 3:关于旋转的综合探究问题 【例题 3】 (2018湖北江汉10 分)问题问题:如图,在 RtABC 中,AB=AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B, C 重合) ,将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE,连接 EC,则线段 BC,DC,EC 之间满足的等量关系式

7、 为 BC=DC+EC ; 探索探索:如图,在 RtABC 与 RtADE 中,AB=AC,AD=AE,将ADE 绕点 A 旋转,使点 D 落在 BC 边上,试 探索线段 AD,BD,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论; 应用应用:如图,在四边形 ABCD 中,ABC=ACB=ADC=45若 BD=9,CD=3,求 AD 的长 4 【分析】 (1)证明BADCAE,根据全等三角形的性质解答; (2)连接 CE,根据全等三角形的性质得到 BD=CE,ACE=B,得到DCE=90,根据勾股定理计算即可; (3)作 AEAD,使 AE=AD,连接 CE,DE,证明BADCAE,得到 BD=CE

8、=9,根据勾股定理计算即可 【解答】解: (1)BC=DC+EC, 理由如下:BAC=DAE=90, BACDAC=DAEDAC,即BAD=CAE, 在BAD 和CAE 中, , BADCAE, BD=CE, BC=BD+CD=EC+CD, 故答案为:BC=DC+EC; (2)BD 2+CD2=2AD2, 理由如下:连接 CE, 由(1)得,BADCAE, BD=CE,ACE=B, DCE=90, CE 2+CD2=ED2, 在 RtADE 中,AD 2+AE2=ED2,又 AD=AE, BD 2+CD2=2AD2; (3)作 AEAD,使 AE=AD,连接 CE,DE, BAC+CAD=DA

9、E+CAD, 即BAD=CAD, 在BAD 与CAE 中, , 5 BADCAE(SAS) , BD=CE=9, ADC=45,EDA=45, EDC=90, DE=6, DAE=90, AD=AE=DE=6 一、选择题: 1. (2017 山东泰安) 如图, 在正方形网格中, 线段 AB是线段 AB 绕某点逆时针旋转角 得到的, 点 A 与 A 对应,则角 的大小为( ) A30 B60 C90 D120 【答案】C 【解答】解:如图: 显然,旋转角为 90, 6 故选 C 2. (20182018辽宁省抚顺市辽宁省抚顺市) (3.00 分)已知点 A 的坐标为(1,3) ,点 B 的坐标为

10、(2,1) 将线段 AB 沿某 一方向平移后,点 A 的对应点的坐标为(2,1) 则点 B 的对应点的坐标为( ) A (5,3) B (1,2) C (1,1) D (0,1) 【答案】C 【解答】解:A(1,3)的对应点的坐标为(2,1) , 平移规律为横坐标减 3,纵坐标减 2, 点 B(2,1)的对应点的坐标为(1,1) 故选:C 3. (2018广西贺州3 分)如图,将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90,得到ABC,连接 BB, 若ABB=20,则A 的度数是 A60 B65 C70 D80 【答案】B 【解答】解:RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到ABC,

11、 BC=BC, BCB是等腰直角三角形, CBB=45, BAC=ABB+CBB=20+45=65, 由旋转的性质得A=BAC=65 故答案为:65 4. (2018辽宁大连3 分)如图,将ABC 绕点 B 逆时针旋转 ,得到EBD,若点 A 恰好在 ED 的延长 线上,则CAD 的度数为( ) A90 B C180 D2 【答案】C 7 【解析】解:由题意可得: CBD=,ACB=EDB EDB+ADB=180,ADB+ACB=180 ADB+DBC+BCA+CAD=360,CBD=,CAD=180 故选 C 5. 如图示,若ABC 内一点 P 满足PAC=PBA=PCB,则点 P 为ABC

12、 的布洛卡点三角形的布洛卡点 (Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(ALCrelle 17801855)于 1816 年首次发现, 但他的发现并未被当时的人们所注意,1875 年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 18451922)重新发现,并用他的名字命名问题:已知在等腰直角三角形 DEF 中,EDF=90,若点 Q 为DEF 的布洛卡点,DQ=1,则 EQ+FQ=( ) A5 B4 C D 【答案】D 【解答】解:如图,在等腰直角三角形DEF 中,EDF=90,DE=DF,1=2=3, 1+QEF=3+DFQ=45, QEF=DFQ,2=3,

13、DQFFQE, =, DQ=1, FQ=,EQ=2, EQ+FQ=2+, 故选 D 二、填空题: 8 6. (2019湖南常德3 分)如图,已知ABC 是等腰三角形,ABAC,BAC45,点 D 在 AC 边上,将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45得到ACD,且点 D、D、B 三点在同一条直线上,则ABD 的度数是 【答案】22.5 【解答】解:将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45得到ACD, BACCAD45,ADAD,ADD67.5,DAB90, ABD22.5故答案为 22.5 7. (2019 湖北宜昌 3 分)如图,平面直角坐标系中,点 B 在第一象限,点 A 在 x 轴的正半轴上,

14、AOB B30,OA2,将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90,点 B 的对应点 B的坐标是 . 【答案】 (3,3) , 【解答】解:如图,作 BHy 轴于 H 由题意:OAAB2,BAH60, AHAB1,BH3, OH3, B(3,3) , 8. (2019,山西,3 分)如图,在ABC 中,BAC=90,AB=AC=10cm,点 D 为ABC 内一点,BAD=15, 9 AD=6cm,连接 BD,将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转,使 AB 与 AC 重合,点 D 的对应点 E,连接 DE,DE 交 AC 于点 F,则 CF 的长为 cm. 【答案】6210 【解析】过点 A 作 AGD

15、E 于点 G,由旋转可知:AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15 AED=45;在AEF 中:AFD=AED+CAE=60 在 RtADG 中:AG=DG=23 2 AD 在 RtAFG 中:6,22 6 3 AG GFAFFG 102 6CFACAF 故答案为:6210 三、解答题: 9. 如图所示,在正方形 ABCD 中,G 是 CD 上一点,延长 BC 到 E,使 CECG,连接 BG 并延长交 DE 于 F,将 DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE. (1)判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形,并说明理由; (2)由BCG 经过怎样的变换可得到DAE?请说出具体的变换

16、过程 10 解:(1)四边形 EBGD 是平行四边形理由:四边形 ABCD 是矩形,ABCD,ABCD,将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE,CEAE, CECG,AECG,BEDG, 四边形 EBGD 是平行四边形; (2)四边形 ABCD 是正方形,BCCD,BCD90.BCDDCE180,BCDDCE90. 在BCG 和DCE, BCGDCE BCDC CBGCDE , BCGDCE(ASA); 由BCG 绕点 C 顺时针旋转 90可得到DCE, 再绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE 10. (2018浙江宁波10 分)如图,在ABC 中,ACB=90,AC=BC,D 是 A

17、B 边上一点(点 D 与 A,B 不重合) ,连结 CD,将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE,连结 DE 交 BC 于点 F,连接 BE (1)求证:ACDBCE; (2)当 AD=BF 时,求BEF 的度数 【考点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质 【分析】 (1)由题意可知:CD=CE,DCE=90,由于ACB=90,所以ACD=ACBDCB,BCE=DCE DCB,所以ACD=BCE,从而可证明ACDBCE(SAS) (2)由ACDBCE(SAS)可知:A=CBE=45,BE=BF,从而可求出BEF 的度数 【解答】解: (1)由题意可知:CD=CE,DCE=

18、90, ACB=90, ACD=ACBDCB, BCE=DCEDCB, ACD=BCE, 在ACD 与BCE 中, 11 ACDBCE(SAS) (2)ACB=90,AC=BC, A=45, 由(1)可知:A=CBE=45, AD=BF, BE=BF, BEF=67.5 11. (2018浙江临安3 分)如图直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AD=2,BC=3,将腰 CD 以 D 为中心 逆时针旋转 90至 ED,连 AE、CE,则ADE 的面积是( ) A1 B2 C3 D不能确定 【考点】梯形的性质和旋转的性质 【分析】如图作辅助线,利用旋转和三角形全等证明DCG 与DEF 全等

19、,再根据全等三角形对应边相等可 得 EF 的长,即ADE 的高,然后得出三角形的面积 【解答】解:如图所示,作 EFAD 交 AD 延长线于 F,作 DGBC, CD 以 D 为中心逆时针旋转 90至 ED, EDF+CDF=90,DE=CD, 又CDF+CDG=90, CDG=EDF, 在DCG 与DEF 中, DCGDEF(AAS) , EF=CG, AD=2,BC=3, CG=BCAD=32=1, EF=1, ADE 的面积是:ADEF=21=1 12 故选:A 12. (2019江苏苏州8 分)如图,ABC中,点E在BC边上,AEAB,将线段AC绕点A旋转到AF的 位置,使得CAFBA

20、E ,连接EF,EF与AC交于点G (1)求证:EFBC; (2)若65ABC,28ACB,求FGC的度数. 【解答】解: (1)CAFBAE BACEAF AEABACAF又, BACEAF SAS EFBC (2)65ABAEABC, 18065250BAE 50FAG BACEAF又 28FC 502878FGC 13. (2019湖北十堰10 分)如图 1,ABC 中,CACB,ACB,D 为ABC 内一点,将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE,点 A,D 的对应点分别为点 B,E,且 A,D,E 三点在同一直线上 13 (1)填空:CDE 180 2 (用含 的代数式表

21、示) ; (2)如图 2,若 60,请补全图形,再过点 C 作 CFAE 于点 F,然后探究线段 CF,AE,BE 之间的数 量关系,并证明你的结论; (3)若 90,AC52,且点 G 满足AGB90,BG6,直接写出点 C 到 AG 的距离 【分析】 (1)由旋转的性质可得 CDCE,DCE,即可求解; (2)由旋转的性质可得 ADBE,CDCE,DCE60,可证CDE 是等边三角形,由等边三角形的性质 可得 DFEF 3 3 CF,即可求解; (3)分点 G 在 AB 的上方和 AB 的下方两种情况讨论,利用勾股定理可求解 【解答】解: (1)将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到

22、CBE ACDBCE,DCE CDCE CDE180 2 故答案为:180 2 (2)AEBE+ 2 3 3 CF 理由如下:如图, 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60得到CBE ACDBCE 14 ADBE,CDCE,DCE60 CDE 是等边三角形,且 CFDE DFEF 3 3 CF AEAD+DF+EF AEBE+ 2 3 3 CF (3)如图,当点 G 在 AB 上方时,过点 C 作 CEAG 于点 E, ACB90,ACBC52, CABABC45,AB10 ACB90AGB 点 C,点 G,点 B,点 A 四点共圆 AGCABC45,且 CEAG AGCECG45 CEGE AB10,GB6,AGB90 AG8 AC2AE2+CE2, (52) 2(8CE)2+CE2, CE7(不合题意舍去) ,CE1 若点 G 在 AB 的下方,过点 C 作 CFAG, 同理可得:CF7 点 C 到 AG 的距离为 1 或 7

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