1、2020-2021 学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在在每小题给出每小题给出的四个选项中的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的求的 1设集合1,
2、3)M ，(2,5N ，则MN （ ） A1,5 B2,3 C1,2 D3,5 2已知 i 是虚数单位，设复数 2 2 i abi i ，其中, a bR，则ab的值为（ ） A 7 5 B 7 5 C 1 5 D 5 1 3从 5 名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去 2 名，则不同的安排方法共有 （ ） A20 种 B50 种 C80 D100 种 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛減 一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”你的计算结果是（ ） A80 里 B86 里 C90 里 D96 里 5
3、若正数 a 是一个不等于 1 的常数，则函数logayx与函数(0) a yxx在同个坐标系中的图象可能 是（ ） A B C D 6设 2.1 0.3a ， 0.3 2.1b ， 0.3 log2.1c ， 2.1 log0.3d ，则 a，b，c，d 的大小关系为（ ） Aabcd Bdcba Cbacd Dbadc 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 :9C xy及圆 C 内的一点1,2P，圆 C 的过点 P 的直径为 MN，若线段 AB 是圆 C 的所有过点 P 的弦中最短的弦，则()AMBNAB的值为（ ） A8 B16 C4 D4 3 8 设 f x是定义在 R 上的函数
4、，( )(1)g xf x 若函数 g x满足下列条件： g x是偶函数； g x 在区间0,)上是增函数； g x有一个零点为 2，则不等式(1) ( )0 xf x的解集是（ ） A(3,) B(1,) C(, 1)(1,) D(, 1)(3,) 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全全 部选对的得部选对的得 5 分分，有选错的得有选错的得 0 分分，部分选对的得部分选对的得 3 分分 9在平面直角坐标系 xOy 中，为了使方程 22 20 xmy表
5、示准线垂直于 x 轴的圆锥曲线，实数 m 的取 值范围可以是（ ） A(1,) B(,0) C(,) D(0,) 10若将函数sin()yAx的图象上所有的点向右平移 3 个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变 为原来的 3 倍 （纵坐标不变） ， 最后得到函数 22 sin 33 yx 的图象， 则实数的值可能是 （ ） A 4 3 B 2 3 C 2 3 D 4 3 11设0a，0b ，且24ab，则下列结论正确的是（ ） A 11 ab 的最小值为2 B 21 ab 的最小值为 2 C 12 ab 的最小值为 9 4 D1 11 ba ab 12设常数aR， * nN，对于二项式(1)n
6、a x的展开式，下列结论中，正确的是（ ） A若 1 a n ，则各项系数随着项数增加而减小 B若各项系数随着项数增加而增大，则an C若2a ，10n，则第 7 项的系数最大 D若2a ，7n，则所有奇数项系数和为 239 三、填空题三、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题；每小题每小题 5 分分，共共 20 分分把答案把答案填填在答题卡中相应的横线上在答题卡中相应的横线上 13在平面直角坐标系 xOy 中，过抛物线 2 :C ymx的焦点 F 作斜率为 l 的直线，与抛物线 C 交于 A，B 两点若弦 AB 的长为 6，则实数 m 的值为_ 14今年元旦，市民小王向朋友小李借款 100
7、万元用于购房，双方约定年利率为 5%，按复利计算（即本年 利息计入次年本金生息） ，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每 次的还款额是_元 （四舍五入，精确到整数） 15数学家研究发现，对于任意的xR， 35721 1* sin( 1) 3!5!7!(21)! n n xxxx xxnN n ， 称为正弦函数的泰勒展开式在精度要求不高的情况下，对于给定的实数 x，可以用这个展开式来求 sinx的近似值如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为 6 米，在竖直平面内，某人测得气球中 心 B 的仰角30BAC，气球的视角2 ，则该气球的高 BC 约为_米 （精确到 1
8、米） 16如图所示，多面体 ABCDEFGH 中对角面 CDEF 是边长为 6 的正方形，AB DC，HGDE且 AB， GH 到平面 CDEF 的距离都是 3，则该多面体的体积为_ 四、解答题四、解答题：本题共本题共 6 小题小题；共共 70 分分将解将解答答写在答题卡中相应的空写在答题卡中相应的空白白处处解答应写解答应写出出文字说明、证文字说明、证明明过过 程或演算步骤程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 设函数 2 ( )4 3cos4sin cos1f xxxx （1）求 f x的最小正周期和值域； （2）在锐角ABC中，设角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c若 1f A
9、 ，1a ，求ABC周 长的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 读本题后面有待完善的问题在下列三个关系 1 1 1 2 nn aa ， 1 2 nn aa ，21 nn Sa中选 择一个作为条件，补充在题中横线标志的_处，使问题完整，并解答你构造的问题 （如果选择多个关 系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分） 设数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 1a ，对任意的 * nN都有_；等比数列 n b中，对任意的 * nN， 都有0 n b ， 21 23 nnn bbb ， 且 1 1b 问是否存在 * kN使得对任意的 * nN都有 n kkn a ba b
10、？ 若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PA 底面 ABCD，点 M 是侧 棱 PC 的中点，AM 平面 PBD （1）求 PA 的长； （2）求棱 PC 与平面 AMD 所成角的正弦值 20 （本小题满分 12 分） 在 20 人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外 20 名未用血清 的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示 未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清 14 6 （1）从上述患过感冒的人中随机选择 4 人，以进一步硏究他们患感冒的
11、原因记这 4 人中使用血清的 人数为 X，试写出 X 的分布律； （2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒的结论？你的结论是什么？请说明理由 附：对于两个研究对象 I（有两类取值：类 A，类 B）和（有两类取值：类 1，类 2）统计数据的一个 22 列联表： 类 1 类 2 类 A a b 类 B c d 有 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd ，其中na b cd 临界值表（部分）为 2 Pk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.01 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2
12、.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （本小题满分 12 分） 设 M 是定义在 R 上且满足下列条件的函数 f x构成的集合：方程 0f xx有实数解；函数 f x的导数 fx 满足 01fx （1）试判断函数 sin ( ) 24 xx f x 是否集合 M 的元素，并说明理由； （2）若集合 M 中的元素 f x具有下面的性质:对于任意的区间,m n，都存在 0 , xm n x，使得等式 0 ( )( )()f nf mnm fx成立，证明：方程 0f xx有唯一实数解； （3） 设 1 x是方程 0f x x 的实数解， 求证： 对于函数 f
13、x任意的 23 ,x xR， 当 21 1xx， 31 xx 1时，有 32 2fxfx 22 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 E 与双曲线 22 :1 3612 yx C有共同的中心和准线，且双曲线 C 的 一条渐近线被椭圆 E 截得的弦长为4 2 （1）求椭圆 E 的方程 （2）若过点(0,)Pm存在两条互相垂直的直线都与椭圆 E 有公共点，求实数m的取值范围 2020-2021 学年度第一学期高三期中三校联考学年度第一学期高三期中三校联考 数学试卷答案数学试卷答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分
14、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的 1-5BDBDC 6-8CBA 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9AB 10AC 11BC 12BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题；每小题小题；每小题 5 分，共分，共 20 分分把答案填在答题卡中相应的横线
15、上把答案填在答题卡中相应的横线上 133 14367209 1586 16108 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题；共小题；共 70 分分将解答写在答题卡中相应的空白处将解答写在答题卡中相应的空白处解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤 17解： （1）因为 1cos2 ( )4 32sin21 2 x f xx 2 3cos22sin22 31xx 4cos 22 31 6 x 所以( )f x的最小正周期为 2 2 T 因为1cos 21 6 x ， 所以32 34cos 22 3152 3 6 x 所以，函数( )f x的值域为区间
16、32 3,52 3 （2）由( )1f A ，得 3 cos 2 62 A 因为 A 为锐角，所以 7 2 666 A ， 所以 5 2 66 A ，即 3 A 因为AB C，所以 2 3 CB 由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 得 2 3 sin 3 bB， 2 32 32 sinsin 333 cCB ， 所以 2 32 1sinsin 33 abcBB 2 331 1sincossin 322 BBB 2 333 1sincos12sin 3226 BBB 因为ABC为锐角三角形， 所以0 2 B ，0 2 C ， 即 0 2 262 0 32 B B B 所以 2 3
17、63 B ，所以 3 sin1 26 B ， 即31 12sin3 6 B 所以ABC周长的取值范围为区间( 31,3 18解：设等比数列 n b的公比为 q 因为对任意的 * nN，都有 21 23 nnn bbb ， 所以 2 23qq，解得1q 或 3 2 因为对任意的 * nN，都有0 n b ，所以0q ，从而 3 2 q 又 1 1b ，所以 1 3 2 n n b 显然，对任意的 * nN，0 n b 所以，存在 * kN，使得：对任意的 * nN，都有 n kkn a ba b， 即 nk nk aa bb 记 n n n a c b ， * nN 下面分别就选择作为条件进行研
18、究 选：因为对任意的 * nN，都有 1 1 1 2 nn aa ， 即 1 1 22 2 nn aa 又 1 2a ，即 1 210a ， 所以20 n a ，从而 1 21 22 n n a a ， 所以数列2 n a 是等比数列，公比为 1 2 ， 得 1 1 2 2 n n a ，即 1 1 2 2 n n a 所以 1 21 3 n n n n n a c b ，从而 1 1 21 3 21 n n n n c c 由 1 21 1221 3 21 n n n n ，得： 12 cc， 当1n时， 1nn cc 所以，当1n 或 2 时， n c取得最大值，即 n n a b 取得最
19、大值 所以对任意的 * nN，都有 21 21 n n aaa bbb ， 即 11nn a bab， 22nn a ba b， 所以存在1,2k ，使得：对任意的 * nN，都有 n kkn a ba b 选：因为对任意的 * nN，都有 1 2 nn aa ，即 1 2 nn aa ， 所以数列 n a是等差数列，公差为 2 又 1 1a ，所以1 2(1)21 n ann ， 所以 1 2 (21)0 3 n n n n a cn b ，从而 1 2(21) 3(21) n n cn cn 由 2(21)5 125 3(21)2 n nn n ，得： 当2n时， 1nn cc ； 当3n
20、时， 1nn cc 所以，当3n时， n c取得最大值，即 n n a b 取得最大值 所以对任意的 * nN，都有 3 3 n n aa bb ，即 33nn a ba b 所以存在3k ，使得：对任意的 * nN，都有 n kkn a ba b 选：因为对任意的 * nN，都有21 nn Sa， 所以 11 21 nn Sa ， 从而 1111 212122 nnnnnnn aSSaaaa ， 即 1 2 nn aa 又 1 10a ， 所以0 n a ，且 1 2 n n a a ， 从而数列 n a是等比数列，公比为 2，得 1 2n n a 所以 1 3 0 4 n n n n a
21、c b ，从而 1 3 1 4 n n c c ，所以 1nn cc ， 所以，当1n 时， n c取得最大值，即 n n a b 取得最大值 所以对任意的 * nN，都有 1 1 n n aa bb ，即 11nn a bab， 所以存在1k ，使得：对任意的 * nN，都有 n kkn a ba b 19解：方法一：设PAa在四棱锥PABCD中， 因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PA 底面 ABCD，如图， 以 A 为坐标原点，AB，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,0)D，(0,0, )
22、Pa 因为 M 是侧棱 PC 的中点，所以 M 的坐标为 1 1 , 2 2 2 a ， 所以 1 1 , 2 2 2 a AM ，( 1,1,0)BD ，( 1,0, )BPa （1）因为AM 平面 PBD，即AM 平面 PBD， 所以0AM BDAM BP 所以 2 1 0 22 a ，解得1a 所以1PA （2）设平面 AMD 的法向量为( , , )nx y z 因为(0,1,0)AD ， 1 1 1 , 2 2 2 AM ， 由 0 00 1 0()0 0 2 y n ADy xzxyz n AM ， 取1z ，得1x，从而得到平面 AMD 的一个法向量( 1,0,1)n 又( 1,
23、 1,1)CP ， 所以 26 cos, 3| |23 n CP n CP nCP 设 PC 与平面 AMD 所成角的为， 则 6 sin|cos,| 3 n CP 因此，PC 与平面 AMD 所成角的正弦值为 6 3 方法二： （1）设PAa连结 AC，交 BD 于点 O连结 PO，与 AM 交于点 G 在四棱锥PABCD中，因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， 所以2ACBD，O 是 AC 的中点，所以 2 2 AO 因为PA 底面 ABCD，AC 平面 ABCD， 所以PAAC 所以 222 2PCPAACa， 222 1 2 POPAAOa 因为 M 是侧棱 PC 的中点，所以
24、 2 11 2 22 AMPCa 因为AM 平面 PBD，PO平面 PBD， 所以AMPO，即AGOG 又 AM，PO 分别是PAC的两条中线，所以 G 是PAC的重心 所以 2 21 2 33 AGAMa， 2 111 332 OGPOa 在AOG中，由 222 AGOGAO， 得 22 1111 2 9922 aa ，解得1a 即1PA （2）取侧棱 PB 的中点 N，连结 MN，AN 由（1）知PAPB，所以ANPB 由 M 是侧棱 PC 的中点，得MNBC 因为BCAD，所以MNAD，即 M，N，A，D 四点共面 因为PA 底面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以PAAD 又在正方形
25、 ABCD 中，有ADAB， 而AB 平面 PAB，PA平面 PAB，且ABPAA， 所以AD 平面 PAB 又PB 平面 PAB，所以AD 平面 PAB 因为AN 平面 AMD，AD 平面 AMD，且ANADA， 所以PB 平面 AMD，即PN 平面 AMD 所以PMN就是 PB 与平面 AMD 所成的角 因为PA 底面 ABCD，AB 平面 ABCD， 所以PAAB 因为1PAAB，所以2PB，即 2 2 PN 由（1）知 13 22 PMPC 所以 6 sin 3 PN PMN PM 因此，PC 与平面 AMD 所成角的正弦值为 6 3 20解： （1）因为使用血清的人中感冒的人数为 3
26、，末使用血清的人中感冒的人数为 6，一共 9 人，从这 9 人中选 4 人，其中使用血清的人数为 X，则随机变量 X 的可能值为 0，1，2，3 因为 04 36 4 9 5 (0) 42 C C P X C ， 13 36 4 9 10 (1) 21 C C P X C ， 22 36 4 9 5 (2) 14 C C P X C ， 31 36 4 9 1 (3) 21 C C P X C 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 （2）将题中所给的 22 列联表进行整理，得 未感冒 感冒 总数 使用血清 17 3 20 未使用血清 1
27、4 6 20 提出假设 0 H：是否使用该种血清与感冒没有关系 根据 2 公式，求得 2 2 40 (17 63 14) 1.2903 20 20 31 9 因为当 0 H成立时， “ 2 0.708”的概率约为 0.40， “ 2 1.323”的概率约为 0.25， 所以有 60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒” ， 得到这个结论的把握不到 75% 由于得到这个结论的把握低于 90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种皿清 能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒 21解： （1）函数 sin ( ) 24 xx f x 是集合 M 中的元
28、素理由如下： 方程( )0f xx，即 sin 0 42 xx 显然0 x是方程 sin 0 42 xx 的实数解， 因此，方程 0f xx有实数解 由于 1cos ( ) 24 x fx，又1cos1x ， 即 11cos3 2244 x ，所以 01fx 综上，函数 sin ( ) 24 xx f x 是集合 M 中的元素 （2） （反证法）由条件知方程 0f xx有实数解 假设方程 0f xx有两个不相等的实数解， 不妨设，则( )f，( )f 由函数 f x的性质知，存在 0 ,x ， 使得 0 ( )( )()fffx， 即 0 ()fx 又由条件知0( )1fx，所以0， 即，这与
29、矛盾 因此，方程 0f x x 有唯一实数解 （3）对任意的 23 ,x xR，当 21 1xx，且 31 1xx时， 不妨设 23 xx，则 1231 11xxxx 因为0( )1fx，所以 f x在 R 上是增函数， 所以 23 f xf x 令( )( )g xf xx，则( )( ) 10g xfx ， 所以 g xf xx是 R 上的减函数， 所以 23 g xg x，即 2233 f xxf xx， 所以 323211 0112f xf xxxxx 因此，对任意的 23 ,x xR，当 21 1xx，且 31 1xx时， 有 32 2fxfx 22解： （1）因为椭圆 E 与双曲线
30、 22 :1 3612 yx C有共同的中心和准线， 所以设椭圆 E 的方程为 22 22 1(0) yx ab ab 令 22 cab，由题知 2 36 1236 a c ， 得 2 3 3ac， 22 3 3bcc 由双曲线 C 的方程 22 1 3612 yx 得双曲线 C 的渐近线的方程为3yx 根据对称性，不妨设椭圆 E 与渐近线3yx的交点为 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 22 2 1 3 33 3 3 yx ccc yx 消去 y， 整理得 2 2 93 4 3 cc x c 所以 2 12 93 2 4 3 cc xx c ， 所以 2 22 121212 93
31、 1 34 4 3 cc ABxxyyxx c 由 2 93 44 2 4 3 cc c ，得 2 3118 30cc， 解得3c 或 8 3 ， 所以椭圆 E 的方程为 22 1 96 yx 或 22 3 1 248 yx （2）方法一：对于椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab ， 设过点(0,)Pm的两条互相垂直的直线中一条的斜率为 k， 方程为ykxm由 22 22 1 yx ab ykxm 消去 y， 整理得 22 2 2222 12 10 kmkxm x abab 由 2 2222 22222222 211 4140 mkkmkm aabaaba b ， 得 22 2 2
32、 ma k b 当0k 时，同理得 2 22 2 1ma kb ，即 22 22 1ma kb 当 22 2 0 ma b ，即|ma时，满足的 k 存在， 所以|ma满足条件 当 22 2 0 ma b ，即|ma时， 满足的 k 存在 22 2 01 ma b ，即 22 |amab 当0k 时， 22 2 0 ma b ，即|ma，满足条件 综上， 22 |mab，即 m 的取值范围是区间 2222 ,abab 若椭圆 C 的方程为 22 1 96 yx ， 则实数 m 的取值范围是区间15, 15； 若椭圆 C 的方程为， 22 3 1 248 yx ， 则实数 m 的取值范围是区间
33、4 15 4 15 , 33 方法二：对于椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab ， 设过点(0,)Pm的两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，如果其中的一条斜率为 0，那么 另一条一定垂直于 x 轴；反之亦然 由平面几何知识知道：, ma a 满足条件 当|ma时，设其中一条的斜率 k，显然0k 不满足条件，所以0k ， 那么另一条的斜率为 1 k 设其中一条直线的方程为ykxm 由 22 22 1 yx ab ykxm 消去 y， 整理得 22 2 2222 12 10 kmkxm x abaa 由 2 2222 22222222 211 4140 mkkmkm aabaaba
34、b ， 得 22 2 2 ma k b 同理得 2 22 2 1ma kb ，即 22 22 1ma kb 因为 22 2 0 ma b ， 所以，满足的 k 存在 22 2 01 ma b ，即 22 |amab 综上， 22 |mab，即 m 的取值范围是区间 2222 ,abab 若椭圆 C 的方程为 22 1 96 yx ， 则实数 m 的取值范围是区间15, 15； 若椭圆 C 的方程为 22 3 1 248 yx ， 则实数 m 的取值范围是区间 4 15 4 15 , 33 方法三：对于椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab ， 由于点(0,)Pm在椭圆 E 的长轴所在
35、的 y 轴上， 所以，当点 P 在椭圆 E 的长轴上，即|ma时，显然满足条件 当点 P 不在椭圆 E 的长轴上，即|ma时， 根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆 E 的过点0,Pm的两条切线（线段）所成的角大于 或等于直角时，过点 P 存在两条互相垂直的直线都与椭圆 E 有公共点 当椭圆存在过点 P 的两条互相垂直的切线时，PQ 与 y 轴的夹角为45， 从而与 x 轴的夹角也为45 设一条切线的方程为yxm 由 22 22 1 yx ab yxm 消去 y，整理得 2 2 2222 112 10 mxm x abaa 由 2 2 2222 211 410 mm aaba ， 得 2 2222 11 0 m aba b ，解得 22 mab 由椭圆的平面几何性质知道，当 22 |amab时，满足条件 综上，m 的取值范围是区间 2222 ,abab 若椭圆 C 的方程为 22 1 96 yx ， 则实数 m 的取值范围是区间15, 15 ； 若椭圆 C 的方程为 22 3 1 248 yx ， 则实数 m 的取值范围是区间 4 15 4 15 , 33
