1、2020-2021 学年广西南宁市九年级（上）期中数学试卷学年广西南宁市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列方程中，一元二次方程共有（ ） 3x2+x20 2x23xy+40 x3x1 x21 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程（m+2）x|m|+3mx+10 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 3方程 x（x5）x5 的根是（ ） Ax5 Bx0 Cx15，x20 Dx15，x21 4抛物线 y2（x+3） （x1）的对称轴是（ ） Ax1 B
2、x1 Cx Dx2 5下列对抛物线 y2（x1）2+3 性质的描写中，正确的是（ ） A开口向上 B对称轴是直线 x1 C顶点坐标是（1，3） D函数 y 有最小值 6已知函数 yax2+bx+c 的图象经过点（0，3） ，c 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 7下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 8下列命题中的真命题是（ ） A全等的两个图形是中心对称图形 B关于中心对称的两个图形全等 C中心对称图形都是轴对称图形 D轴对称图形都是中心对称图形 9新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全 球第一，2016
3、 年销量为 50.7 万辆，销量逐年增加，到 2018 年销量为 125.6 万辆设年平均增长率为 x， 可列方程为（ ） A50.7（1+x）2125.6 B125.6（1x）250.7 C50.7（1+2x）125.6 D50.7（1+x2）125.6 10已知 x1，x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根，下列结论错误的是（ ） Ax1x2 Bx122x10 Cx1+x22 Dx1x22 11如图是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 C1x3 Dx1 或 x3 12如图一段抛物线 yx23x（0 x3） ，记为 C1，
4、它与 x 轴于点 O 和 A1：将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，如此进行下去，若点 P（2020，m）在某段 抛物线上，则 m 的值为（ ） A0 B C2 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13如果方程 x2（m1）x+0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 14二次函数 y（x5）2+8 的最小值是 15在平面直角坐标系中，点 P（5，3）关于原点对称的点的坐标是 16如果关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有实数根，那么 m
5、 的取值范围是 17已知点 P（12a，a2）关于原点的对称点在第一象限内，且 a 为整数，则关于 x 的分式方程2 的解是 18如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，下列结论中： abc0；9a3b+c0；b24ac0；ab， 正确的结论是 （只填序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （6 分）解方程： （1）2x25x+30 （2） （x+1）24x 20 （6 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x23x+2k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数值时，求该方程的解 2
6、1 （8 分）已知一个二次函数的图象经过点 A（1，0） 、B（3，0）和 C（0，3）三点；求此二次函数 的解析式 22 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，1） ，B（4，1） ，C（2，3） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形ABC； （2）在图中作出ABC 关于原点 O 中心对称图形ABC 23 （8 分）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售出 60 件，为 了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月 就可以多售出 5 件 （1）降价前商场每月销售该商品的
7、利润是多少元？ （2） 要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元， 且更有利于减少库存， 则每件商品应降价多少元？ 24 （10 分）如图，已知抛物线 yx2（k+1）x+1 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上，且与一次函数 yx+1 交于点 B 和点 C （1）求 k 的值； （2）求ABC 的面积 25 （10 分）已知关于 x 的方程 x2（3k+3）x+2k2+4k+20 （1）求证：无论 k 为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根 x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且 x1x2+2x1+2x236，求 k 值及该菱形的 面积 26 （10 分）如图，抛物线 ya
8、x2+bx6 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，OA2，OB4， 直线 l 是抛物线的对称轴，在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D，连接 AD，BD，BC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 在 x 轴的下方，当BCD 的面积是时，求ABD 的面积 2020-2021 学年广西南宁市九年级（上）期中数学试卷学年广西南宁市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列方程中，一元二次方程共有（ ） 3x2+x20 2x23xy
9、+40 x3x1 x21 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 【解答】解：一元二次方程有：3x2+x20，x21，共 2 个， 故选：B 2方程（m+2）x|m|+3mx+10 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【分析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0据此即可求解 【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：m2故选 B 3方程 x（x5）x5 的根是（ ） Ax5 Bx0 Cx15，x20 Dx15，x21 【分析】利用因式分解法求解可得
10、 【解答】解：x（x5）（x5）0， （x5） （x1）0， 则 x50 或 x10， 解得 x5 或 x1， 故选：D 4抛物线 y2（x+3） （x1）的对称轴是（ ） Ax1 Bx1 Cx Dx2 【分析】首先确定抛物线与 x 轴的两个交点坐标，然后确定对称轴即可 【解答】解：令 y2（x+3） （x1）0， 解得：x3 或 x1， 所以抛物线与 x 轴的两个交点坐标为（3，0）和（1，0） ， 所以对称轴为 x1， 故选：B 5下列对抛物线 y2（x1）2+3 性质的描写中，正确的是（ ） A开口向上 B对称轴是直线 x1 C顶点坐标是（1，3） D函数 y 有最小值 【分析】根据二次
11、函数的性质进行解答即可 【解答】解：抛物线 y2（x1）2+3 中 a20， 抛物线开口向下，y 有最大值，故 A、D 错误； 抛物线的解析式为：y2（x1）2+3， 抛物线的对称轴是 x1，顶点坐标为（1，3） ，故 B 正确，C 错误 故选：B 6已知函数 yax2+bx+c 的图象经过点（0，3） ，c 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】代入（0，3）点，根据待定系数法即可求得 【解答】解：函数 yax2+bx+c 的图象经过点（0，3） ， 3c c 的值为 3， 故选：D 7下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心
12、对称图形的概念判断 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形 故选：B 8下列命题中的真命题是（ ） A全等的两个图形是中心对称图形 B关于中心对称的两个图形全等 C中心对称图形都是轴对称图形 D轴对称图形都是中心对称图形 【分析】根据中心对称的性质即可求出答案 【解答】解：A、错误，比如，一个含有 30 度角的直角三角形平移后的图形与原三角形全等，但不是中 心对称图形； B、关于中心对称的两个图形全等，正确； C、错误，平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； D、错误
13、，正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形 故选：B 9新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全 球第一，2016 年销量为 50.7 万辆，销量逐年增加，到 2018 年销量为 125.6 万辆设年平均增长率为 x， 可列方程为（ ） A50.7（1+x）2125.6 B125.6（1x）250.7 C50.7（1+2x）125.6 D50.7（1+x2）125.6 【分析】设投入的年平均增长率为 x，由题意得等量关系：2016 年销量（1+增长率）22018 年销量， 根据等量关系列出方程 【解答】解：设年平均增长率为 x，可列方程为： 5
14、0.7（1+x）2125.6， 故选：A 10已知 x1，x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根，下列结论错误的是（ ） Ax1x2 Bx122x10 Cx1+x22 Dx1x22 【分析】由根的判别式40，可得出 x1x2，选项 A 不符合题意；将 x1代入一元二次方程 x22x 0 中可得出 x122x10，选项 B 不符合题意；利用根与系数的关系，可得出 x1+x22，x1x20，进而 可得出选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意 【解答】解：（2）241040， x1x2，选项 A 不符合题意； x1是一元二次方程 x22x0 的实数根， x122x10，选项 B 不符合题意；
15、 x1，x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根， x1+x22，x1x20，选项 C 不符合题意，选项 D 符合题意 故选：D 11如图是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 C1x3 Dx1 或 x3 【分析】观察函数图象在 y1 上和上方部分的 x 的取值范围便可 【解答】解：由函数图象可知，当 y1 时，二次函数 yax2+bx+c 不在 y1 下方部分的自变量 x 满足：1x3， 故选：C 12如图一段抛物线 yx23x（0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴于点 O 和 A1：将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，
16、交 x 轴于 A2；将 C2绕旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，如此进行下去，若点 P（2020，m）在某段 抛物线上，则 m 的值为（ ） A0 B C2 D2 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 A1的坐标，结合旋转的性质可得出点 A2的坐标， 观察图形可知：图象上点以 6（横坐标）为周期变化，结合 20203366+4 可知点 P 的纵坐标和当 x 4 时的纵坐标相等，由旋转的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，即可求出 m 的值，此题得解 【解答】解：当 y0 时，x23x0， 解得：x10，x23， 点 A1的坐标为（3，0） 由旋转的性质，可知：点 A2的坐标
17、为（6，0） 20203366+4， 当 x4 时，ym 由图象可知：当 x2 时的 y 值与当 x4 时的 y 值互为相反数， m（2232）2 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13如果方程 x2（m1）x+0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 m2 或 m0 【分析】根据方程有两个相等实数根得0，即（m1）240，解方程即可得 【解答】解：方程 x2（m1）x+0 有两个相等的实数根， 0，即（m1）240， 解得：m2 或 m0， 故答案为：m2 或 m0 14二次函数 y（x5）2+8 的最小值是 8
18、 【分析】 二次函数的顶点式为： ya （xh） 2+k， 其中 a 的正负确定抛物线的开口方向， 对称轴是 xh， 顶点坐标是（h，k） ，据此求解可得 【解答】解：二次函数 y（x5）2+8 中 a10， 当 x5 时，y 取得最小值 8， 故答案为：8 15在平面直角坐标系中，点 P（5，3）关于原点对称的点的坐标是 （5，3） 【分析】根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】解：点 P（5，3）关于原点对称的点的坐标是（5，3） 故答案为： （5，3） 16如果关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有实数根，那么 m 的取值范围是 m9 【分析】根据一元二
19、次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，求出 m 的范围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有实数根， 364m0， 解得：m9， 则 m 的取值范围是 m9 故答案为：m9 17已知点 P（12a，a2）关于原点的对称点在第一象限内，且 a 为整数，则关于 x 的分式方程2 的解是 x3 【分析】关于原点对称，横纵坐标互为相反数，再根据第一象限内点的特点，求得 a 的取值范围，根据 a 为整数，即可得出 a 的值，代入方程求解即可 【解答】解：点 P（12a，a2）关于原点的对称点（2a1，2a） ， 点 P（12a，a2）关于原点的对称点在第一象限内， ， 解得
20、a2， a 为整数， a1， 把 a1 代入分式方程2 得2， 解得 x+12x2， 解得 x3， 故答案为 x3 18如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，下列结论中： abc0；9a3b+c0；b24ac0；ab， 正确的结论是 （只填序号） 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线 x1，与 y 轴的交点，可得 abc0，则可判断，根据 图象可得 x3 时 y0，代入解析式可判断，根据抛物线与 x 轴的交点个数可判断根据 ab a0，可判断 【解答】解：抛物线开口向下 a0， 对称轴为 x1 1 b2a0， 抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴 c0 abc0 故
21、错误 由图象得 x3 时 y0 9a3b+c0 故正确， 图象与 x 轴有两个交点 b24ac0 故正确 aba2aa0 ab 故正确 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （6 分）解方程： （1）2x25x+30 （2） （x+1）24x 【分析】 （1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得 【解答】解： （1）a2，b5，c3， b24ac（5）2423252410， ， 则，； （2）x2+2x+14x， x22x+10， 则（x1）20， x1x21 20 （6 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x23x+2k
22、0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数值时，求该方程的解 【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于 k 的不等式， 求出 k 的取值范围； （2）k 取最大整数，再解一元二次方程即可 【解答】解： （1）x23x+2k0 有两个不相等的实数根 b24ac（3）2412k98k0， 解得 k 故 k 的取值范围是 k； （2）k 取最大整数值，且 k， k1， x23x+20， 解得 x12，x21 21 （8 分）已知一个二次函数的图象经过点 A（1，0） 、B（3，0）和 C（0，3）三点；求此二次函数 的解析式
23、 【分析】设交点式 ya（x+1） （x3） ，然后把（0，3）代入求出 a 即可 【解答】解：设抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ， 把（0，3）代入得3a1（3） ，解得 a1， 所以抛物线解析式为 y（x+1） （x3） ， 即 yx22x3 22 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，1） ，B（4，1） ，C（2，3） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形ABC； （2）在图中作出ABC 关于原点 O 中心对称图形ABC 【分析】 （1）利用关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A、B、C的坐标，然后描点即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写
24、出 A、B、C的坐标，然后描点即可 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）如图，ABC为所作 23 （8 分）某商场以每件 280 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360 元时，每月可售出 60 件，为 了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1 元，那么商场每月 就可以多售出 5 件 （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2） 要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元， 且更有利于减少库存， 则每件商品应降价多少元？ 【分析】 （1）先求出每件的利润再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每 月销售
25、这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 x 元，由销售问题的数量 关系建立方程求出其解即可 【解答】解： （1）由题意，得 60（360280）4800 元答：降价前商场每月销售该商品的利润是 4800 元； （2） 设要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元， 且更有利于减少库存， 则每件商品应降价 x 元， 由题意，得（360 x280） （5x+60）7200，解得：x18，x260 有利于减少库存， x60 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 60 元 24 （10 分）如图，已知抛物线 y
26、x2（k+1）x+1 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上，且与一次函数 yx+1 交于点 B 和点 C （1）求 k 的值； （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）根据题意得到0，且0，解得即可； （2）求得直线 BC 与 x 轴的交点以及抛物线的顶点，然后根据三角形面积公式求得即可 【解答】解； （1）抛物线 yx2（k+1）x+1 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上， 0，且0， 解得，k3； （2）k3， 抛物线为 yx2+2x+1， 解 x2+2x+1x+1 得，x10，x23， B（3，4） ，C（0，1） ， 由直线 yx+1 可知与 x 轴的交点 D 为（1，0） ， 抛物线为 y
27、x2+2x+1（x+1）2， A（1，0） ， AD2， SABC243 25 （10 分）已知关于 x 的方程 x2（3k+3）x+2k2+4k+20 （1）求证：无论 k 为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根 x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且 x1x2+2x1+2x236，求 k 值及该菱形的 面积 【分析】 （1）根据根的判别式的意义得到当（3k+3）24（4k+2）0 时，方程有实数根； （2）根据根与系数的关系得到 x1+x23k+3，x1x24k+2，则代入所求的代数式进行求值；然后根据菱 形的面积公式进行计算即可 【解答】 （1）证明：根据题意得：（3k+3
28、）24（2k2+4k+2）（k+1）2 无论 k 为何值，总有（k+1）20， 无论 k 为何值，原方程都有实数根； （2）关于 x 的方程 x2（3k+3）x+2k2+4k+20 的两实数根是 x1、x2， x1+x23k+3，x1x22k2+4k+2， 由 x1x2+2x1+2x236，得 2k2+4k+2+2（3k+3）36， 整理，得（k+7） （k2）0 解得 k17（舍去） ，k22 x1x22（k+1）2（2+1）29 即菱形的面积是 9 26 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx6 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，OA2，OB4， 直线 l 是抛物线
29、的对称轴，在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D，连接 AD，BD，BC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 在 x 轴的下方，当BCD 的面积是时，求ABD 的面积 【分析】 （1）根据 OA2，OB4 确定点 A 和 B 的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可； （2）如图 1，过 D 作 DGx 轴于 G，交 BC 于 H，利用待定系数法求直线 BC 的解析式，设 D（x，x2 x6） ，则 H（x，x6） ，表示 DH 的长，根据BCD 的面积是，列方程可得 x 的值，因为 D 在 对称轴的右侧，所以 x1 不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论 【解答】解： （1）OA2，OB4， A（2，0） ，B（4，0） ， 把 A（2，0） ，B（4，0）代入抛物线 yax2+bx6 中得：， 解得， 抛物线的解析式为：yx2x6； （2）如图 1，过 D 作 DGx 轴于 G，交 BC 于 H， 当 x0 时，y6， C（0，6） ， 设 BC 的解析式为：ykx+n， 则，解得：， BC 的解析式为：yx6， 设 D（x，x2x6） ，则 H（x，x6） ， DHx6（x2x6）x2+3x， BCD 的面积是， ， ， 解得：x1 或 3， 点 D 在直线 l 右侧的抛物线上， D（3，） ， ABD 的面积
