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2020-2021学年广西南宁市九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年广西南宁市九年级(上)期中数学试卷学年广西南宁市九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分)分) 1下列方程中,一元二次方程共有( ) 3x2+x20 2x23xy+40 x3x1 x21 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2方程(m+2)x|m|+3mx+10 是关于 x 的一元二次方程,则( ) Am2 Bm2 Cm2 Dm2 3方程 x(x5)x5 的根是( ) Ax5 Bx0 Cx15,x20 Dx15,x21 4抛物线 y2(x+3) (x1)的对称轴是( ) Ax1 B

2、x1 Cx Dx2 5下列对抛物线 y2(x1)2+3 性质的描写中,正确的是( ) A开口向上 B对称轴是直线 x1 C顶点坐标是(1,3) D函数 y 有最小值 6已知函数 yax2+bx+c 的图象经过点(0,3) ,c 的值是( ) A0 B1 C2 D3 7下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 8下列命题中的真命题是( ) A全等的两个图形是中心对称图形 B关于中心对称的两个图形全等 C中心对称图形都是轴对称图形 D轴对称图形都是中心对称图形 9新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱,各种品牌相继投放市场,我国新能源汽车近几年销量全 球第一,2016

3、 年销量为 50.7 万辆,销量逐年增加,到 2018 年销量为 125.6 万辆设年平均增长率为 x, 可列方程为( ) A50.7(1+x)2125.6 B125.6(1x)250.7 C50.7(1+2x)125.6 D50.7(1+x2)125.6 10已知 x1,x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根,下列结论错误的是( ) Ax1x2 Bx122x10 Cx1+x22 Dx1x22 11如图是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象,使 y1 成立的 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 C1x3 Dx1 或 x3 12如图一段抛物线 yx23x(0 x3) ,记为 C1,

4、它与 x 轴于点 O 和 A1:将 C1绕 A1旋转 180得到 C2,交 x 轴于 A2;将 C2绕旋转 180得到 C3,交 x 轴于 A3,如此进行下去,若点 P(2020,m)在某段 抛物线上,则 m 的值为( ) A0 B C2 D2 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 13如果方程 x2(m1)x+0 有两个相等的实数根,则 m 的值为 14二次函数 y(x5)2+8 的最小值是 15在平面直角坐标系中,点 P(5,3)关于原点对称的点的坐标是 16如果关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有实数根,那么 m

5、 的取值范围是 17已知点 P(12a,a2)关于原点的对称点在第一象限内,且 a 为整数,则关于 x 的分式方程2 的解是 18如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x1,下列结论中: abc0;9a3b+c0;b24ac0;ab, 正确的结论是 (只填序号) 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 小题,共小题,共 66 分)分) 19 (6 分)解方程: (1)2x25x+30 (2) (x+1)24x 20 (6 分)已知:关于 x 的一元二次方程 x23x+2k0 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围; (2)当 k 取最大整数值时,求该方程的解 2

6、1 (8 分)已知一个二次函数的图象经过点 A(1,0) 、B(3,0)和 C(0,3)三点;求此二次函数 的解析式 22 (8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,1) ,B(4,1) ,C(2,3) (1)在图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形ABC; (2)在图中作出ABC 关于原点 O 中心对称图形ABC 23 (8 分)某商场以每件 280 元的价格购进一批商品,当每件商品售价为 360 元时,每月可售出 60 件,为 了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价 1 元,那么商场每月 就可以多售出 5 件 (1)降价前商场每月销售该商品的

7、利润是多少元? (2) 要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元, 且更有利于减少库存, 则每件商品应降价多少元? 24 (10 分)如图,已知抛物线 yx2(k+1)x+1 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上,且与一次函数 yx+1 交于点 B 和点 C (1)求 k 的值; (2)求ABC 的面积 25 (10 分)已知关于 x 的方程 x2(3k+3)x+2k2+4k+20 (1)求证:无论 k 为何值,原方程都有实数根; (2)若该方程的两实数根 x1、x2为一菱形的两条对角线之长,且 x1x2+2x1+2x236,求 k 值及该菱形的 面积 26 (10 分)如图,抛物线 ya

8、x2+bx6 与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,OA2,OB4, 直线 l 是抛物线的对称轴,在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D,连接 AD,BD,BC,CD (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点 D 在 x 轴的下方,当BCD 的面积是时,求ABD 的面积 2020-2021 学年广西南宁市九年级(上)期中数学试卷学年广西南宁市九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分)分) 1下列方程中,一元二次方程共有( ) 3x2+x20 2x23xy

9、+40 x3x1 x21 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 【解答】解:一元二次方程有:3x2+x20,x21,共 2 个, 故选:B 2方程(m+2)x|m|+3mx+10 是关于 x 的一元二次方程,则( ) Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【分析】本题根据一元二次方程的定义,必须满足两个条件: (1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为 0据此即可求解 【解答】解:由一元二次方程的定义可得,解得:m2故选 B 3方程 x(x5)x5 的根是( ) Ax5 Bx0 Cx15,x20 Dx15,x21 【分析】利用因式分解法求解可得

10、 【解答】解:x(x5)(x5)0, (x5) (x1)0, 则 x50 或 x10, 解得 x5 或 x1, 故选:D 4抛物线 y2(x+3) (x1)的对称轴是( ) Ax1 Bx1 Cx Dx2 【分析】首先确定抛物线与 x 轴的两个交点坐标,然后确定对称轴即可 【解答】解:令 y2(x+3) (x1)0, 解得:x3 或 x1, 所以抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(3,0)和(1,0) , 所以对称轴为 x1, 故选:B 5下列对抛物线 y2(x1)2+3 性质的描写中,正确的是( ) A开口向上 B对称轴是直线 x1 C顶点坐标是(1,3) D函数 y 有最小值 【分析】根据二次

11、函数的性质进行解答即可 【解答】解:抛物线 y2(x1)2+3 中 a20, 抛物线开口向下,y 有最大值,故 A、D 错误; 抛物线的解析式为:y2(x1)2+3, 抛物线的对称轴是 x1,顶点坐标为(1,3) ,故 B 正确,C 错误 故选:B 6已知函数 yax2+bx+c 的图象经过点(0,3) ,c 的值是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】代入(0,3)点,根据待定系数法即可求得 【解答】解:函数 yax2+bx+c 的图象经过点(0,3) , 3c c 的值为 3, 故选:D 7下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心

12、对称图形的概念判断 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形; B、是轴对称图形,是中心对称图形; C、是轴对称图形,不是中心对称图形; D、不是轴对称图形,不是中心对称图形 故选:B 8下列命题中的真命题是( ) A全等的两个图形是中心对称图形 B关于中心对称的两个图形全等 C中心对称图形都是轴对称图形 D轴对称图形都是中心对称图形 【分析】根据中心对称的性质即可求出答案 【解答】解:A、错误,比如,一个含有 30 度角的直角三角形平移后的图形与原三角形全等,但不是中 心对称图形; B、关于中心对称的两个图形全等,正确; C、错误,平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形; D、错误

13、,正五边形是轴对称图形,但不是中心对称图形 故选:B 9新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱,各种品牌相继投放市场,我国新能源汽车近几年销量全 球第一,2016 年销量为 50.7 万辆,销量逐年增加,到 2018 年销量为 125.6 万辆设年平均增长率为 x, 可列方程为( ) A50.7(1+x)2125.6 B125.6(1x)250.7 C50.7(1+2x)125.6 D50.7(1+x2)125.6 【分析】设投入的年平均增长率为 x,由题意得等量关系:2016 年销量(1+增长率)22018 年销量, 根据等量关系列出方程 【解答】解:设年平均增长率为 x,可列方程为: 5

14、0.7(1+x)2125.6, 故选:A 10已知 x1,x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根,下列结论错误的是( ) Ax1x2 Bx122x10 Cx1+x22 Dx1x22 【分析】由根的判别式40,可得出 x1x2,选项 A 不符合题意;将 x1代入一元二次方程 x22x 0 中可得出 x122x10,选项 B 不符合题意;利用根与系数的关系,可得出 x1+x22,x1x20,进而 可得出选项 C 不符合题意,选项 D 符合题意 【解答】解:(2)241040, x1x2,选项 A 不符合题意; x1是一元二次方程 x22x0 的实数根, x122x10,选项 B 不符合题意;

15、 x1,x2是一元二次方程 x22x0 的两个实数根, x1+x22,x1x20,选项 C 不符合题意,选项 D 符合题意 故选:D 11如图是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象,使 y1 成立的 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 C1x3 Dx1 或 x3 【分析】观察函数图象在 y1 上和上方部分的 x 的取值范围便可 【解答】解:由函数图象可知,当 y1 时,二次函数 yax2+bx+c 不在 y1 下方部分的自变量 x 满足:1x3, 故选:C 12如图一段抛物线 yx23x(0 x3) ,记为 C1,它与 x 轴于点 O 和 A1:将 C1绕 A1旋转 180得到 C2,

16、交 x 轴于 A2;将 C2绕旋转 180得到 C3,交 x 轴于 A3,如此进行下去,若点 P(2020,m)在某段 抛物线上,则 m 的值为( ) A0 B C2 D2 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 A1的坐标,结合旋转的性质可得出点 A2的坐标, 观察图形可知:图象上点以 6(横坐标)为周期变化,结合 20203366+4 可知点 P 的纵坐标和当 x 4 时的纵坐标相等,由旋转的性质结合二次函数图象上点的坐标特征,即可求出 m 的值,此题得解 【解答】解:当 y0 时,x23x0, 解得:x10,x23, 点 A1的坐标为(3,0) 由旋转的性质,可知:点 A2的坐标

17、为(6,0) 20203366+4, 当 x4 时,ym 由图象可知:当 x2 时的 y 值与当 x4 时的 y 值互为相反数, m(2232)2 故选:C 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 13如果方程 x2(m1)x+0 有两个相等的实数根,则 m 的值为 m2 或 m0 【分析】根据方程有两个相等实数根得0,即(m1)240,解方程即可得 【解答】解:方程 x2(m1)x+0 有两个相等的实数根, 0,即(m1)240, 解得:m2 或 m0, 故答案为:m2 或 m0 14二次函数 y(x5)2+8 的最小值是 8

18、 【分析】 二次函数的顶点式为: ya (xh) 2+k, 其中 a 的正负确定抛物线的开口方向, 对称轴是 xh, 顶点坐标是(h,k) ,据此求解可得 【解答】解:二次函数 y(x5)2+8 中 a10, 当 x5 时,y 取得最小值 8, 故答案为:8 15在平面直角坐标系中,点 P(5,3)关于原点对称的点的坐标是 (5,3) 【分析】根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】解:点 P(5,3)关于原点对称的点的坐标是(5,3) 故答案为: (5,3) 16如果关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有实数根,那么 m 的取值范围是 m9 【分析】根据一元二

19、次方程有实数根,得到根的判别式大于等于 0,求出 m 的范围即可 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有实数根, 364m0, 解得:m9, 则 m 的取值范围是 m9 故答案为:m9 17已知点 P(12a,a2)关于原点的对称点在第一象限内,且 a 为整数,则关于 x 的分式方程2 的解是 x3 【分析】关于原点对称,横纵坐标互为相反数,再根据第一象限内点的特点,求得 a 的取值范围,根据 a 为整数,即可得出 a 的值,代入方程求解即可 【解答】解:点 P(12a,a2)关于原点的对称点(2a1,2a) , 点 P(12a,a2)关于原点的对称点在第一象限内, , 解得

20、a2, a 为整数, a1, 把 a1 代入分式方程2 得2, 解得 x+12x2, 解得 x3, 故答案为 x3 18如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x1,下列结论中: abc0;9a3b+c0;b24ac0;ab, 正确的结论是 (只填序号) 【分析】根据抛物线开口方向,对称轴为直线 x1,与 y 轴的交点,可得 abc0,则可判断,根据 图象可得 x3 时 y0,代入解析式可判断,根据抛物线与 x 轴的交点个数可判断根据 ab a0,可判断 【解答】解:抛物线开口向下 a0, 对称轴为 x1 1 b2a0, 抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴 c0 abc0 故

21、错误 由图象得 x3 时 y0 9a3b+c0 故正确, 图象与 x 轴有两个交点 b24ac0 故正确 aba2aa0 ab 故正确 故答案为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 8 小题,共小题,共 66 分)分) 19 (6 分)解方程: (1)2x25x+30 (2) (x+1)24x 【分析】 (1)利用公式法求解可得; (2)利用因式分解法求解可得 【解答】解: (1)a2,b5,c3, b24ac(5)2423252410, , 则,; (2)x2+2x+14x, x22x+10, 则(x1)20, x1x21 20 (6 分)已知:关于 x 的一元二次方程 x23x+2k

22、0 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围; (2)当 k 取最大整数值时,求该方程的解 【分析】 (1)根据方程有两个不相等的实数根,则根的判别式b24ac0,建立关于 k 的不等式, 求出 k 的取值范围; (2)k 取最大整数,再解一元二次方程即可 【解答】解: (1)x23x+2k0 有两个不相等的实数根 b24ac(3)2412k98k0, 解得 k 故 k 的取值范围是 k; (2)k 取最大整数值,且 k, k1, x23x+20, 解得 x12,x21 21 (8 分)已知一个二次函数的图象经过点 A(1,0) 、B(3,0)和 C(0,3)三点;求此二次函数 的解析式

23、 【分析】设交点式 ya(x+1) (x3) ,然后把(0,3)代入求出 a 即可 【解答】解:设抛物线解析式为 ya(x+1) (x3) , 把(0,3)代入得3a1(3) ,解得 a1, 所以抛物线解析式为 y(x+1) (x3) , 即 yx22x3 22 (8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,1) ,B(4,1) ,C(2,3) (1)在图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形ABC; (2)在图中作出ABC 关于原点 O 中心对称图形ABC 【分析】 (1)利用关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A、B、C的坐标,然后描点即可; (2)利用关于原点对称的点的坐标特征写

24、出 A、B、C的坐标,然后描点即可 【解答】解: (1)如图,ABC为所作; (2)如图,ABC为所作 23 (8 分)某商场以每件 280 元的价格购进一批商品,当每件商品售价为 360 元时,每月可售出 60 件,为 了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价 1 元,那么商场每月 就可以多售出 5 件 (1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元? (2) 要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元, 且更有利于减少库存, 则每件商品应降价多少元? 【分析】 (1)先求出每件的利润再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润; (2)设要使商场每 月销售

25、这种商品的利润达到 7200 元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 x 元,由销售问题的数量 关系建立方程求出其解即可 【解答】解: (1)由题意,得 60(360280)4800 元答:降价前商场每月销售该商品的利润是 4800 元; (2) 设要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元, 且更有利于减少库存, 则每件商品应降价 x 元, 由题意,得(360 x280) (5x+60)7200,解得:x18,x260 有利于减少库存, x60 答:要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200 元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 60 元 24 (10 分)如图,已知抛物线 y

26、x2(k+1)x+1 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上,且与一次函数 yx+1 交于点 B 和点 C (1)求 k 的值; (2)求ABC 的面积 【分析】 (1)根据题意得到0,且0,解得即可; (2)求得直线 BC 与 x 轴的交点以及抛物线的顶点,然后根据三角形面积公式求得即可 【解答】解; (1)抛物线 yx2(k+1)x+1 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上, 0,且0, 解得,k3; (2)k3, 抛物线为 yx2+2x+1, 解 x2+2x+1x+1 得,x10,x23, B(3,4) ,C(0,1) , 由直线 yx+1 可知与 x 轴的交点 D 为(1,0) , 抛物线为 y

27、x2+2x+1(x+1)2, A(1,0) , AD2, SABC243 25 (10 分)已知关于 x 的方程 x2(3k+3)x+2k2+4k+20 (1)求证:无论 k 为何值,原方程都有实数根; (2)若该方程的两实数根 x1、x2为一菱形的两条对角线之长,且 x1x2+2x1+2x236,求 k 值及该菱形的 面积 【分析】 (1)根据根的判别式的意义得到当(3k+3)24(4k+2)0 时,方程有实数根; (2)根据根与系数的关系得到 x1+x23k+3,x1x24k+2,则代入所求的代数式进行求值;然后根据菱 形的面积公式进行计算即可 【解答】 (1)证明:根据题意得:(3k+3

28、)24(2k2+4k+2)(k+1)2 无论 k 为何值,总有(k+1)20, 无论 k 为何值,原方程都有实数根; (2)关于 x 的方程 x2(3k+3)x+2k2+4k+20 的两实数根是 x1、x2, x1+x23k+3,x1x22k2+4k+2, 由 x1x2+2x1+2x236,得 2k2+4k+2+2(3k+3)36, 整理,得(k+7) (k2)0 解得 k17(舍去) ,k22 x1x22(k+1)2(2+1)29 即菱形的面积是 9 26 (10 分)如图,抛物线 yax2+bx6 与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,OA2,OB4, 直线 l 是抛物线

29、的对称轴,在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D,连接 AD,BD,BC,CD (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点 D 在 x 轴的下方,当BCD 的面积是时,求ABD 的面积 【分析】 (1)根据 OA2,OB4 确定点 A 和 B 的坐标,代入抛物线的解析式列方程组解出即可; (2)如图 1,过 D 作 DGx 轴于 G,交 BC 于 H,利用待定系数法求直线 BC 的解析式,设 D(x,x2 x6) ,则 H(x,x6) ,表示 DH 的长,根据BCD 的面积是,列方程可得 x 的值,因为 D 在 对称轴的右侧,所以 x1 不符合题意,舍去,利用三角形面积公式可得结论 【解答】解: (1)OA2,OB4, A(2,0) ,B(4,0) , 把 A(2,0) ,B(4,0)代入抛物线 yax2+bx6 中得:, 解得, 抛物线的解析式为:yx2x6; (2)如图 1,过 D 作 DGx 轴于 G,交 BC 于 H, 当 x0 时,y6, C(0,6) , 设 BC 的解析式为:ykx+n, 则,解得:, BC 的解析式为:yx6, 设 D(x,x2x6) ,则 H(x,x6) , DHx6(x2x6)x2+3x, BCD 的面积是, , , 解得:x1 或 3, 点 D 在直线 l 右侧的抛物线上, D(3,) , ABD 的面积