1、第 1 页 共 4 页 成都市金牛区高成都市金牛区高 2017 级数学模拟试卷（三）文级数学模拟试卷（三）文 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 2 |1,Ax yxxZ， 2 |1,By yxxA，则AB为() AB 0,C 1D0,1 2若复数 z 满足13i zi，则 z 的虚部为（） A- -1B- -2 CiD2i 3在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边 经过点( 2,1)P，则cos2（） A 2 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 3 4 周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图
2、是一个八卦图，包含 乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个 阳爻，“”表示一个阴爻） 若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的 六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 5下列判断正确的是（） A.两圆锥曲线的离心率分别为 1 e, 2 e，则“ 1 2 1ee ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件 B命题“若 2 1x ，则1x .”的否命题为“若 2 1x ，则1x .” C若命题“p q ”为假命题，则命题“p q ”是假命题 D命题“xR ， 2 2xx .的否定是“ 0 xR， 0 2 0 2xx.”
3、6函数 2 ()cos ( ) xx eex f x x 的部分图象大致是（） A.BCD 第 2 页 共 4 页 7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 cos2cos0aCbcA， 则角A的大小为（） A 4 B 3 C 2 D 3 4 8设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A若/ /m，/ /n，则/mnB若 / /，m，n，则/mn C若， m ，n ，则nD若m，/mn，n，则 9.若实数xy，满足约束条件 052 04 02 yx yx yx ,则 1 1 y z x 的最大值为 （） A1B2C 2 1 D3 10定义在R上的偶函
4、数 fx满足 2f xf x，且在1，0上单调递减，设 2.8af，1.6bf，0.5cf，则a、b，c大小关系是（） AabcBcab CbcaDacb 11已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F, 12 6,FFP是E 右支上的一点， 1 PF与y轴交于点A， 2 PAF的内切圆在边 2 AF上的切点为Q，若 3AQ ，则E的离心率是() A2 3B5 C 3 D 2 12.已知函数, 1 3 )( 3 x e xf x 其导函数为)( xf，则 )2019( )2019( )2020()2020(ffff的值为（） A1B2C3D4
5、 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量1, 3a ， ) 1 , 3(b 则向量a 在向量b 方向上的投影为_. 14函数1)2(33)( 23 xaaxxxf有极大值又有极小值，则a的范围是 第 3 页 共 4 页 15已知函数( )3sincos(0)f xxx，其图象与直线 2y 的两个相邻交点的 距离等于，则 ( )f x的单调递增区间为_ 16已知抛物线方程 2 4yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物 线的交点， 定义： | ( ) | PF d P FQ .已知点( 1,4 2)P ， 则( )d P _； 设点( 1,
6、)(0)Pt t， 则2 ( ) |d PPF的值为_. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设等差数列 n a的前n项的和为 n S,且75,62 64 SS,求： （1）求 n a的通项公式 n a；（2）求数列 n a的前 14 项和. 18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额 超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名， 并绘制右图所示频率分布直方图， 已知中间三组的 人数可构成等差数列. （1）求nm,的值； （2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计发 现， 消费金额不低于
7、300 元的男性有 20 人， 低于 300 元的男性有 25 人， 根据统计数据完成下列22列联 表，并判断是否有 0 0 99的把握认为消费金额与性别 有关？ （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得 到回归方程bxy 5.已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁， 试判断一名年龄为 25 岁的 年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替） )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban 第 4 页 共 4 页 19 如图 1，在平行四边形ABCD中，4AD， 2 2AB ，45DAB，E为边
8、AD的 中点，以BE为折痕将ABE折起，使点A到达P的位置，得到图 2 几何体PEBCD （1）证明：PDBE； （2）当BC平面PEB时，求三棱锥 CPBD 的体积 20.已知椭圆 E 的左右焦点分别是 )0 , 3()0 , 3( 21 FF、 ，且经过点 ) 2 2 ,2(M . (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设 BDAC, 是过椭圆 E 的中心且相互垂直的椭圆 E 的两条弦，问是否存在定圆 G,使得 G 为四边形 ABCD 的内切圆？若存在，求圆 G 的方程；若不存在，请说明理由. 21.已知函数 2 ( ) 1 x e f x axbx ，其中0a ，bR，e 为自然对数的底
9、数. (1)若1b ，且当0 x 时，( )1f x 总成立，求实数 a 的取值范围； (2)若0b ，且 ( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 2 12 1 ()() 2 e f xf x 22已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 1 1 2 1 t t y t x （t 为参数）.以原 点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为cos （ 3 ） 5 4 . （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求 11 PAPB 的值. 23已知a，
10、b，c均为正实数，求证： （1） 2 ()4ababcabc； （2）若3abc ，则 1113 2abc . 第 1 页 共 6 页 高 高 2017 级数学模拟三参考答案（文）级数学模拟三参考答案（文） 一选择题CABBD BADAD CC 11.设 2 PAF的内切圆在边 2 PF上的切点为M，在AP上的切点为N 则PMPN，3AQAN 22 QFMF 由双曲线的对称性可得： 1222 3AFAFAQQFQF 由双曲线的定义可得 121222 3PFPFPAAFPMMFQFANNPPMMF 2 32a 解得 3a 又 12 6FF ，即有3c 则离心率3 c e a 12. 解：,3 )
11、 1( 3 )( 2 2 x e e xf x x 为偶函数)( ,3 ) 1( 3 )( 2 2 xfx e e xf x x 3)()(xfxf易得所以)2019( )2019( )2020()2020(ffff=3 二、填空题 13.314.21aa或15.Zkkk, 6 , 3 16. 42 16.（1）( 1,4 2)P ，(1,0)F，| | 6PF ， 直线PF的方程为 2 2(1)yx ，与 2 4yx联立得： 2 2520 xx ， 解得： 1 2 x 或2x ， 1 ( ,2) 2 Q， |6 ( )4 1 | 1 2 PF d P FQ ； （2）设准线与x轴的交点为M，
12、QNPM于N， | 2 ( ) | 2| 2| 22 | | PFPQQFPQ d PPFPFPFPF FQFQFQ | 22 | 22 | 2 2| PQPF PFPF NQ ， 17.解（1）设等差数列an的公差为 d，依题意得 1 1 4 3 462 2 6 5 675 2 ad ad , 解得 a1=-20，d=3an=-20+（n-1）3=3n-23； 第 2 页 共 6 页 （2）an=3n-23，由 an0 得 n8， |a1|+|a2|+|a3|+|a14|=-a1-a2-a7+a8+a14=S14-2S7= 22 343343 1414277 2222 =7（42-43）-7
13、（21-43）=147 19.（1）依题意，在ABE中（图 1） ，2AE ， 2 2AB ，45EAB， 由余弦定理得 222 2cos45EBABAEAB AE 2 842 2 224 2 ， 222 ABAEEB ，即在平行四边形ABCD中，EBAD以BE为折痕将ABE折 起，由翻折不变性得，在几何体PEBCD中，EBPE，EBED又EDPEE， BE平面PED，又BE 平面PEB，PDBE （2）BC平面PEB，PE 平面PEB，BCPE 由（1）得EBPE，同理可得PE 平面BCE，即PE 平面BCD，PE就是三棱锥 PCBD的高又45DCBDAB ，4BCAD， 2 2CDAB ，
14、 第 3 页 共 6 页 2PEAE ， 112 sin454 2 24 222 CBD SBCCD ， 118 4 2 333 C PBDP CBDBCD VVSPE ， 第 4 页 共 6 页 21.(1)若1b ，则 2 ( ) 1 x e f x axx ， 所以 22 222222 1 2 () (1)(21)(1 2 ) ( ) (1)(1)(1) x xxx a eaxx e axxeaxe axa x a fx axxaxxaxx ， 因为0a ，0 x ，所以当 12 0 a a ，即 1 0 2 a时，( )0fx， 所以函数 ( )f x在0,+ )上单调递增，所以 mi
15、n ( )(0)1 1f xf ，符合题意； 当 12 0 a a ， 即 1 2 a 时， 21 (0,) a x a 时，( )0fx ； 21 (,) a x a 时，( )0fx ， 所以函数 ( )f x在 21 (0,) a a 上单调递减，在 21 (,) a a 上单调递增， 所以 min ( )(0)1f xf，不符合题意，综上：实数 a 的取值范围为 1 0 2 a. (2) 若0b ，则 2 ( ) 1 x e f x ax ，所以 22 2222 (1)2(21) ( ) (1)(1) xxx e axeaxe axax fx axax ， 因为 ( )f x存在两个极
16、值点，所以 2 440aa ，所以1a ， 令( )0fx ，得 2 210axax ，所以 12 ,x x是方程 2 210axax 的两个根， 所以 12 2xx， 12 1 (0,1)x x a ，且 2 11 12axax ， 2 22 12axax ， 第 5 页 共 6 页 不妨设 12 xx，则 12 012xx ， 所以 121212 12 22 121212 1 ( )() 11222 xxxxxx eeeeee f xf x axaxaxaxaxx 12 1211 2 21 2111 12 111 ()(2) 222 xx xxxx x ex e x ex ex ex e
17、ax x ， 令 2 ( )(2)(01) xx h xx exex ，所以 222 ( )(2)(1)()0 xxxxxx h xex eexex ee ， 所以( )h x在(0,1)上单调递增，所以( )(1)2h xhe， 所以 12 ()()f xf xe，又 2 1 2 e e ，所以 2 12 1 ()() 2 e f xf x . 2222.（1）曲线 C 的参数方程为 2 2 1 1 2 1 t t y t x （t 为参数） ，转化为直角坐标方程为 x24y2=1 （1x ）直线 l 的极坐标方程cos（ 3 ） 5 4 .直角坐标方程为：1 35 224 xy . （2）
18、由于直线与 x 轴的交点坐标为（ 5 0 2 ，） ，所以直线的参数方程为 53 22 1 2 xt yt 代入 x24y2=1 得到： 2 2 1510tt ，所以： 12 2 15tt，t1t2=-1， 则： 2 12121 2 1 21 2 ()411ttttt t PAPBt tt t 8. 23.证明：(1)要证 2 4ababcabc，可证 2222 40a bacabbcabc ，需证 2222 b220acaca cbbc，即证 22 0b aca cb，当且仅当 abc时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式 2 4ababcabc成立 (2)因为, ,a b c均为正实数，由不等式的性质知 123 12 22 aa a ，当且仅当 第 6 页 共 6 页 12a 时，取等号， 123 12 22 bb b 当且仅当12b 时 ，取等号， 123 12 22 cc c 当且仅当12c 时，取等号，以上三式相加，得 21116 2 abcd abc ，所以 1113 2abc ， 当且仅当1abc时，取等号
