1、第 1 页 共 4 页 成都市金牛区高 成都市金牛区高 2017 级数学模拟试卷（三）理 级数学模拟试卷（三）理 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 2 |1,Ax yxxZ， 2 |1,By yxxA，则AB为() AB 0,C 1D0,1 2若复数 z 满足13i zi，则 z 的虚部为（） A- -1B- -2 CiD2i 3在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边 经过点( 2,1)P，则cos2（） A 2 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 3 4. 3 1 ()nx x 的展开式中只有第 5 项的
2、二项式系数最大，则展开式中的常数项是() A28B 28C70D70 5下列判断正确的是（） A.两圆锥曲线的离心率分别为 1 e, 2 e，则“ 1 2 1ee ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件 B命题“若 2 1x ，则1x .”的否命题为“若 2 1x ，则1x .” C若命题“p q ”为假命题，则命题“p q ”是假命题 D命题“xR ， 2 2xx .的否定是“ 0 xR， 0 2 0 2xx.” 6函数 2 ()cos ( ) xx eex f x x 的部分图象大致是（） AB CD 7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 cos2cos0aCbcA， 则角A
3、的大小为（） A 4 B 3 C 2 D 3 4 第 2 页 共 4 页 8设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A若/ /m，/ /n，则/mnB若 / /，m，n，则/mn C若， m ，n ，则nD若m，/mn，n，则 9 设随机变量X，Y满足：31YX，2,XBp， 若 5 1 9 P X， 则 D Y （） A4B5 C6D7 10已知函数 ( )f x是定义在R上的偶函数，当 0 x 时，( )exf xx，则 3 2 ( 2 )af , 2 (log 9)bf， ( 5)cf的大小关系为（） AabcBacb CbacDbca 11已知双曲线 2
4、2 22 :10,0) xy Cab ab （的左、右顶点分别为A B、.点F为双曲线的左 焦点， 过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、 第三象限交双曲线C于P、Q两点,连接PB 交y轴于点E,连接AE交QF于点M,且2QMMF ,则双曲线C的离心率为(） A 2 B2C3 D5 12.若)( 2121 xxxx、为函数)(xf相邻的两个极值点， 且在 21 xx、处分别取得极小值和极大 值 ， 则 定 义)()( 21 xfxf为 函 数)(xf的 一 个 极 优 差 ， 函 数 )2020 2 )(cos(sin)( xxxexf x 的所有极优差之和为（） 2 2020 1 1 . e
5、ee A e e B 1 1 . 2021 2 2020 1 1 . e e C e e D 1 1 . 2020 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量1, 3a ， ) 1 , 3(b 则向量a 在向量b 方向上的投影为_. 14函数1)2(33)( 23 xaaxxxf有极大值又有极小值，则a的范围是 15已知函数( )3sincos(0)f xxx，其图象与直线 2y 的两个相邻交点的 距离等于，则 ( )f x的单调递增区间为_ 16已知抛物线方程 2 4yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物 第 3 页 共 4 页 线的交点，
6、 定义： | ( ) | PF d P FQ .已知点( 1,4 2)P ， 则( )d P _； 设点( 1, )(0)Pt t， 则2 ( ) |d PPF的值为_. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设等差数列 n a的前n项的和为 n S,且75,62 64 SS,求： （1）求 n a的通项公式 n a；（2）求数列 n a的前 14 项和. 18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额 超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名， 并绘制右图所示频率分布直方图， 已知中间三组的 人数可
7、构成等差数列. （1）求nm,的值； （2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计发 现， 消费金额不低于 300 元的男性有 20 人， 低于 300 元的男性有 25 人， 根据统计数据完成下列22列联 表，并判断是否有 0 0 99的把握认为消费金额与性别 有关？ （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得 到回归方程bxy 5.已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁， 试判断一名年龄为 25 岁的 年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替） )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dc
8、ban 19如图（1） ，在平行四边形 11 ABB A中， 1 60ABB， 4AB ， 1 2AA ，C， 1 C分 别为AB， 11 AB的中点现把四边形 11 AAC C沿 1 CC折起，如图（2）所示，连结 1 BC， 1 B A， 11 B A（1）求证： 11 ABCC； （2）若 1 6AB ，求二面角 11 CABA的余弦值 第 4 页 共 4 页 ) 1 (图)2(图 20.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 C：1 24 22 yx ，A，B 是椭圆上两点，且直线AB的 斜率为 2 2 .（1）求证：OA 与 OB 的斜率之积为定值； （2）设直线 AB 交圆 O：4 2
9、2 yx于 C，D 两点，且 6 4 AB CD ，求COD 的面积 21.设函数), 0( ln )(Raa x x a x xf； （1）若x x xfln) 1 1 ()(恒成立，求实数a的取值范围； （2）若函数)(xf有两个零点 21 xx、且 21 xx ，求证：1 12 e a xx 22已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 1 1 2 1 t t y t x （t 为参数）.以 原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为cos （ 3 ） 5 4 . （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l
10、 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求 11 PAPB 的值. 23已知a，b，c均为正实数，求证： （1） 2 ()4ababcabc； （2）若3abc ，则 1113 2abc . 第 1 页 共 5 页 成都金牛区高 成都金牛区高 2017 级数学模拟三参考答案（理）级数学模拟三参考答案（理） 一选择题 CABADBADACBD 11. 由双曲线 22 22 :10,0) xy Cab ab （，得 (,0), ( ,0),(,0)AaB aFc 又过点F作垂直与x轴的直线分别在第二，第三象限角双曲线C于,P Q两点， 所以 22 (,),(,) bb PcQc aa
11、如图所示，设 11 ( ,)M x y，因为 2QMMF ，解得 2 1 3 b y a ，即 2 (,) 3 b Mc a ， 又由直线PB的方程为() ac yxa a ，令0 x ，得y ca ，即(0,)Eca， 又由, ,M A E三点共线，所以 AEMA kk，即 2 3 b ca a aca ，即 又因为 222 bca ，整理得 22 3 () caca aa ca ，即2ca，所以2 c e a ，故选 B e e ffffN fffM xxfkkx xfkkxxexf x 1 1 ).2018()4()2()0( ),2019()3()( ,2020, 2 )(),22 ,
12、2( )()2 ,2(sin2)( .12 2020 所有的极优差之和为 所有的极小值之和的极大值之和 所有单调递减，所以在 单调递增，当时，当解： 二填空题 13.314.21aa或15.Zkkk, 6 , 3 16. 42 16.（1）( 1,4 2)P ，(1,0)F，| | 6PF ， 直线PF的方程为 2 2(1)yx ，与 2 4yx联立得： 2 2520 xx ， 解得： 1 2 x 或2x ， 1 ( ,2) 2 Q， |6 ( )4 1 | 1 2 PF d P FQ ； （2）设准线与x轴的交点为M，QNPM于N， 第 2 页 共 5 页 | 2 ( ) | 2| 2| 2
13、2 | | PFPQQFPQ d PPFPFPFPF FQFQFQ | 22 | 22 | 2 2| PQPF PFPF NQ ， 17.解（1）设等差数列an的公差为 d，依题意得 1 1 4 3 462 2 6 5 675 2 ad ad , 解得 a1=-20，d=3an=-20+（n-1）3=3n-23； （2）an=3n-23，由 an0 得 n8， |a1|+|a2|+|a3|+|a14|=-a1-a2-a7+a8+a14=S14-2S7= 22 343343 1414277 2222 =7（42-43）-7（21-43）=147 第 3 页 共 5 页 19.解析： （1）取 1
14、 CC的中点O，连接OA， 1 OB， 1 AC， 在平行四边形 11 ABB A中， 1 60ABB， 4AB ， 1 2AA ，C， 1 C分别为AB， 11 AB 的中点， 1 ACC， 11 BCC为正三角形，则 1 AOCC， 11 OBC C， 又， 1 CC 平面 1 OAB， 1 AB 平面 1 OAB， 11 ABCC （2） 1 60ABB， 4AB ， 1 2AA ，C， 1 C分别为AB， 11 AB的中点， 2AC ， 3OA ， 1 3OB ，若 1 6AB ，则 222 11 OAOBAB， 则三角形 1 OAB为直角三角形，则 1 AOOB， 以O为原点，以OC
15、， 1 OB，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)C， 1(0, 3,0) B， 1( 1,0,0) C ， (0,0, 3)A， 则 1 ( 2,0,0)CC ，则 11 ( 2,0,0)AACC ， 1 (0, 3,3)AB ，( 1,0,3)AC ， 设平面 1 ABC的法向量为 ( , , )nx y z ， 则 1 330, 30, n AByz n ACxz 令1z ，则1y ， 3x ，则(3,1,1)n ， 设平面 11 AB A的法向量为 ( , , )mx y z ，则 1 1 20, 330 m AAx m AByz ， 令1z ，则0 x ，1y ，
16、即(0,1,1)m ， 则 0 1 1 cos, 3 1 11 1 m n m n m n 210 552 ， 由于二面角 11 CABA是钝二面角，二面角 11 CABA的余弦值是 10 5 20. （1）证明：设bxylAB 2 2 :，设),(),( 2211 yxByxA联立 1 24 2 2 22 yx bxy 022 22 bbxx 第 4 页 共 5 页 2 1 1 2 2,2 21 21 2 21 2 2121 xx yy kk b yy bxxbxx OBOA （2） 2 2 1 3 4 6 312) 2 2 (1 3 2 42, 3 6 2 2 21 2 2 CDdS b
17、CD AB bxxAB b CD b d CDOOCD CDO 由题可得 21. 解（1）原不等式等价恒成立 x x a ln1 ，令 2 ln1 )( , ln )( x x xp x x xp 当单调递减单调递增，)(),()(), 0(xpexxpex ea e epxp0 1 )()( max （2）当1x时， 11 ,)(1) 1 ( 1)(2 2)( ),(), 1 (),1 , 0()( )(ln ) 1ln2( )( ln )(, ln 0)( 212 22 2121 2 22 e a xxx e a xaexexxhx xexxxxfea eeh eexh x xx xh x
18、 x xh x x axf 令时知当由 ，且、有两个零点时，当 单调递增单调递减，在可知 令 当时1x a xf 1 )(无零点 22.（1）曲线 C 的参数方程为 2 2 1 1 2 1 t t y t x （t 为参数） ，转化为直角坐标方程为 x24y2=1 第 5 页 共 5 页 （1x ）直线 l 的极坐标方程cos（ 3 ） 5 4 .直角坐标方程为：1 35 224 xy . （2）由于直线与 x 轴的交点坐标为（ 5 0 2 ，） ，所以直线的参数方程为 53 22 1 2 xt yt 代入 x24y2=1 得到： 2 2 1510tt ，所以： 12 2 15tt，t1t2=
19、-1， 则： 2 12121 2 1 21 2 ()411ttttt t PAPBt tt t 8. 23.证明：(1)要证 2 4ababcabc，可证 2222 40a bacabbcabc ，需证 2222 b220acaca cbbc，即证 22 0b aca cb，当且仅当 abc时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式 2 4ababcabc成立 (2)因为, ,a b c均为正实数，由不等式的性质知 123 12 22 aa a ，当且仅当 12a 时，取等号， 123 12 22 bb b 当且仅当12b 时 ，取等号， 123 12 22 cc c 当且仅当12c 时，取等号，以上三式相加，得 21116 2 abcd abc ，所以 1113 2abc ， 当且仅当1abc时，取等号
