1、2020-2021 学年河南省安阳市滑县九年级（上）期中数学试卷学年河南省安阳市滑县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120后，能与原图形完全重 合的是（ ） A B C D 2若 x1 是方程 x2+kx+20 的一个根，则方程的另一个根与 k 的值是（ ） A2，3 B2，3 C2，3 D2，3 3将抛物线 y（x1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为（ ） Ay（x2）2 By（x2）2+6 Cyx2+6 Dyx2 4
2、如图，ABC 为钝角三角形，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC，连接 BB， 若 ACBB，则CAB的度数为（ ） A45 B60 C70 D90 5如图，已知 C、D 在以 AB 为直径的O 上，若CAB30，则D 的度数是（ ） A30 B70 C75 D60 6设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+a 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 7如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，BF，BD 分别交 AC 于点 G，H若该圆的半径为 15cm，则线
3、段 GH 的长为（ ） Acm B5cm C3cm D10cm 8如图，在等边ABC 中，点 O 在 AC 上，且 AO3，CO6，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 9已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 m 3 有以下几个结论： 抛物线 yax2+bx+c 的开口向下； 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1； 方程 ax2+bx+c0 的根为 0 和 2；
4、当 y0 时，x 的取值范围是 x0 或 x2； 其中正确的是（ ） A B C D 10二次函数 y2x28x+m 满足以下条件：当2x1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6x7 时， 它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（ ） A8 B10 C42 D24 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若点 A（2，1）与点 B 是关于原点 O 的对称点，则点 B 的坐标为 12已知一元二次方程 x24x+c0 有两个相等的实数根，则实数 c 13如图在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，圆心坐标是 14如图，在扇形 AOB 中，AOB9
5、0，点 C 为半径 OA 的中点，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作弧 CD 交 OB 于点 D，点 E 为弧 AB 的中点，连接 CE、DE若 OA4，则阴影部分的面积为 15 如图， 在 RtABC 中， ABC90， ABBC， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60， 得到ADE， 连接 BE，则 BE 的长是 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （10 分）解方程 （1）2x24x10（配方法） （2）3x24x40（公式法） 17 （8 分）如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 D，抛物线的顶点为 C （1）求
6、 A，B，C，D 的坐标； （2）求四边形 ABCD 的面积 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5当ABC 是等腰三角形 时，求 k 的值 19 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的三个顶点分别是 A（3，2） ，B（0，4） ，C（0，2） （1）将ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180，画出旋转后对应的A1B1C；平移ABC，若点 A 的对应 点 A2的坐标为（0，4） ，画出平移后对应的A2B2C2； （2）
7、若将A1B1C 绕某一点旋转可以得到A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标 20 （9 分）如图，在ABC 中，C90，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，O 的切线 DE 交 AC 于 点 E （1）求证：E 是 AC 中点； （2）若 AB10，BC6，连接 CD，OE，交点为 F，求 OF 的长 21 （10 分）某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过 市场调査，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件 （1）求商场经营该商品
8、原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元 若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？ 求出 y 与 x 之间的函数关系式， 并直接写出当 x 取何值时， 商场可获得最大利润？最大利润为多少元？ 22 （10 分）正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点， （1）将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、AB 重合，得到ABF，如图 1 所示观察可知：与 DE 相等的线段是 ，AFB ； （2）如图 2，正方形 ABCD 中，P、Q 分别是 BC、CD 边上的点，且PAQ45，试通过旋转的方式 说明：DQ+BPPQ
9、； （3）在（2）题中，连接 BD 分别交 AP、AQ 于 M、N，你还能用旋转的思想说明 BM2+DN2 MN2 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，且 OA2OC8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若 PCAB，求点 P 的坐标； （3）连接 AC，求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 2020-2021 学年河南省安阳市滑县九年级（上）期中数学试卷学年河南省安阳市滑县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（
10、每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120后，能与原图形完全重 合的是（ ） A B C D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断 【解答】解：A、最小旋转角度120； B、最小旋转角度90； C、最小旋转角度180； D、最小旋转角度72； 综上可得：顺时针旋转 120后，能与原图形完全重合的是 A 故选：A 2若 x1 是方程 x2+kx+20 的一个根，则方程的另一个根与 k 的值是（ ） A2，3 B2，3 C2，3 D2，3 【分析】将 x1 代入原方程，列出关于 k 的一元一次方程，解方程
11、求得 k 值后，然后利用方程 x2+kx+2 0 的根与系数的关系求得方程的另一根 【解答】解：设方程 x2+kx+20 的另一根是 x2 x1 是方程 x2+kx+20 的一个根， 1+k+20，解得，k3； 由韦达定理，得 1x22，即 x22 故选：D 3将抛物线 y（x1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为（ ） Ay（x2）2 By（x2）2+6 Cyx2+6 Dyx2 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 y（x1）2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为：y（x1+1）2+3，即 y x2+3； 再
12、向下平移 3 个单位为：yx2+33，即 yx2 故选：D 4如图，ABC 为钝角三角形，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC，连接 BB， 若 ACBB，则CAB的度数为（ ） A45 B60 C70 D90 【分析】先根据旋转的性质得到BABCAC120，ABAB，根据等腰三角形的性质易得 ABB30， 再根据平行线的性质由ACBB得CABABB30， 然后利用CAB CACCAB进行计算 【解答】解：将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC， BABCAC120，ABAB， ABB（180120）30， ACBB， CABABB30， CABCACCAB1
13、203090 故选：D 5如图，已知 C、D 在以 AB 为直径的O 上，若CAB30，则D 的度数是（ ） A30 B70 C75 D60 【分析】 由AB为O的直径， 根据直径所对的圆周角是直角， 即可求得ACB90， 又由CAB30， 即可求得B 的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得D 的度数 【解答】解：AB 为O 的直径， ACB90， CAB30， B90CAB60， DB60 故选：D 6设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+a 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y
14、2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点 A 的对称点 A，再利用二次函数的增减性可 判断 y 值的大小 【解答】解：函数的解析式是 y（x+1）2+a，如右图， 对称轴是 x1， 点 A 关于对称轴的点 A是（0，y1） ， 那么点 A、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小， 于是 y1y2y3 故选：A 7如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，BF，BD 分别交 AC 于点 G，H若该圆的半径为 15cm，则线段 GH 的长为（ ） Acm B5cm C3cm D10cm 【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的
15、性质以及解直角三角形即可得到结论 【解答】解：在圆内接正六边形 ABCDEF 中，ABAFBCCD，BAFABCBCD120， AFBABFBACACBCBDBDC30， AGBG，BHCH， GBHBGHBHG60， AGGHBGBHCH， 连接 OA，OB 交 AC 于 N， 则 OBAC，AOB60， OA15cm， ANOA（cm） ， AC2AN15（cm） ， GHAC5（cm） ， 故选：B 8如图，在等边ABC 中，点 O 在 AC 上，且 AO3，CO6，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD要使点 D 恰好落在 BC
16、上，则 AP 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 【分析】 由于将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD， 当点 D 恰好落在 BC 上时， 易得： ODP 是等边三角形，根据旋转的性质可以得到AOPCDO，由此可以求出 AP 的长 【解答】解：当点 D 恰好落在 BC 上时，OPOD，AC60，如图 POD60 AOP+CODCOD+CDO120， AOPCDO， AOPCDO， APCO6 故选：C 9已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表： x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 m 3 有以下几个结论： 抛物线 yax2+bx+
17、c 的开口向下； 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1； 方程 ax2+bx+c0 的根为 0 和 2； 当 y0 时，x 的取值范围是 x0 或 x2； 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据表格中的 x、y 的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质 求解可得 【解答】解：设抛物线的解析式为 yax2+bx+c， 将（1，3） 、 （0，0） 、 （3，3）代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx22xx（x2）（x1）21， 由 a10 知抛物线的开口向上，故错误； 抛物线的对称轴为直线 x1，故错误； 当 y0 时，x（x2）0，解得
18、 x0 或 x2， 方程 ax2+bx+c0 的根为 0 和 2，故正确； 当 y0 时，x（x2）0，解得 x0 或 x2，故正确； 故选：D 10二次函数 y2x28x+m 满足以下条件：当2x1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6x7 时， 它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（ ） A8 B10 C42 D24 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线 x2，通过顶点坐标位置特征求出 m 的范围，将 A 选项剔 除后，将 B、C、D 选项代入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理 【解答】解：抛物线 y2x28x+m2（x2）28+m 的对称轴为直线 x2， 而抛
19、物线在2x1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6x7 时，它的图象位于 x 轴的上方， m0， 当 m10 时，则 y2x28x10， 令 y0，则 2x28x100， 解得 x11，x25， 则有当2x1 时，它的图象位于 x 轴的上方； 当 m42 时，则 y2x28x42， 令 y0，则 2x28x420， 解得 x13，x27， 则有当 6x7 时，它的图象位于 x 轴的下方； 当 m24 时，则 y2x28x24， 令 y0，则 2x28x240， 解得 x12，x26，满足题意 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若点 A（2，
20、1）与点 B 是关于原点 O 的对称点，则点 B 的坐标为 （2，1） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案 【解答】解：点 A（2，1）与点 B 是关于原点 O 的对称点，则点 B 的坐标为（2，1） ， 故答案为（2，1） 12已知一元二次方程 x24x+c0 有两个相等的实数根，则实数 c 4 【分析】根据判别式的意义得到（4）241c0，然后解方程即可 【解答】解：根据题意得（4）241c0， 解得 c4 故答案为 4 13如图在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，圆心坐标是 （2，0） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦
21、AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为 圆心 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（2，0） 故答案为： （2，0） 14如图，在扇形 AOB 中，AOB90，点 C 为半径 OA 的中点，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作弧 CD 交 OB 于点 D， 点 E 为弧 AB 的中点， 连接 CE、 DE 若 OA4， 则阴影部分的面积为 4 【分析】如图，连接 AB，CD，OE，OE 交 CD 于 J证明 CDOE，求出四边形 OCED 的面积即可解决 问题 【解答】解：如图，连接 AB，CD，OE
22、，OE 交 CD 于 J OCAC，ODDB， CDAB， ， OEAB， CDOE， OCOD2， CJOJ， COD90， CD2， S四边形OCEDCDOE4， S阴S扇形AOBS四边形OCED42444， 故答案为：44 15 如图， 在 RtABC 中， ABC90， ABBC， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60， 得到ADE， 连接 BE，则 BE 的长是 2+2 【分析】首先考虑到 BE 所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求 BE，可能需要构造直角三角 形由旋转的性质可知，ACAE，CAE60，故ACE 是等边三角形，可证明ABE 与CBE 全 等，可得到ABE45，
23、AEB30，再证AFB 和AFE 是直角三角形，然后在根据勾股定理求 解 【解答】解：连结 CE，设 BE 与 AC 相交于点 F，如下图所示， RtABC 中，ABBC，ABC90 BCABAC45 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 60与 RtADE 重合， BACDAE45，ACAE 又旋转角为 60 BADCAE60， ACE 是等边三角形 ACCEAE4 在ABE 与CBE 中， ， ABECBE （SSS） ABECBE45，CEBAEB30 在ABF 中，BFA180454590 AFBAFE90 在 RtABF 中，由勾股定理得，BFAF2 又在 RtAFE 中，AEF30，A
24、FE90，可得 FEAF2 BEBF+FE2+2 故答案为 2+2 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （10 分）解方程 （1）2x24x10（配方法） （2）3x24x40（公式法） 【分析】 （1）根据配方法的步骤依次计算可得； （2）利用公式法求解可得 【解答】解： （1）2x24x1， x22x， 则 x22x+11+，即（x1）2， x1， x； （2）a3，b4，c4， （4）243（4）640， 则 x， 即 x1，x22 17 （8 分）如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 D，抛物线的顶点为 C （1）
25、求 A，B，C，D 的坐标； （2）求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）根据题目中的函数解析式可以求得 A，B，C，D 的坐标； （2）根据（1）中求得的点 A，B，C，D 的坐标，可以求得四边形 ABCD 的面积 【解答】解： （1）yx22x3（x3） （x+1）（x1）24， 当 y0 时，x13，x21，当 x0 时，y3，该函数的顶点坐标为（1，4） ， 点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（3，0） ，点 C 的坐标为（1，4） ，点 D 的坐标为（0，3） ； （2）连接 OC，如右图所示， 点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（3，0） ，点 C 的
26、坐标为（1，4） ，点 D 的坐标为（0，3） ， 四边形 ABCD 的面积是：SAOD+SODC+SOCB9 18 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5当ABC 是等腰三角形 时，求 k 的值 【分析】 （1）计算判别式的值得到10然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到x1k，x2k+1，AB、AC 的长为 k、k+1，讨论当 ABBC 时，即 k 5；当 ACBC 时，k+15，解得 k4 【解答】 （1）证
27、明：（2k+1）241（k2+k）10 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由 x2（2k+1）x+k2+k0，得（xk）x（k+1）0， x1k，x2k+1 即 AB、AC 的长为 k、k+1， 当 ABBC 时，即 k5，满足三角形构成条件； 当 ACBC 时，k+15，解得 k4，满足三角形构成条件 综上所述，k4 或 k5 19 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的三个顶点分别是 A（3，2） ，B（0，4） ，C（0，2） （1）将ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180，画出旋转后对应的A1B1C；平移ABC，若点 A 的对应 点 A2的坐标为（0，4） ，画出平移
28、后对应的A2B2C2； （2）若将A1B1C 绕某一点旋转可以得到A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）直接利用平移和旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质结合对应点位置进而得出旋转中心； （3）利用轴对称求最短路径求法得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C，A2B2C2，即为所求； （2）如图所示：旋转中心的坐标为： （1.5，1） ； （3）如图所示：点 P 的坐标为： （2，0） 20 （9 分）如图，在ABC 中，C90，以 BC 为直径的O 交
29、 AB 于点 D，O 的切线 DE 交 AC 于 点 E （1）求证：E 是 AC 中点； （2）若 AB10，BC6，连接 CD，OE，交点为 F，求 OF 的长 【分析】 （1）连接 CD，根据切线的性质，就可以证出AADE，从而证明 AECE； （2）求出 OD，根据直角三角形斜边上中线性质求出 DE，根据勾股定理求出 OE，根据三角形面积公式 求 DF，根据勾股定理求出 OF 即可 【解答】 （1）证明：连接 CD， ACB90，BC 为O 直径， ED 为O 切线，且ADC90； ED 切O 于点 D， ECED， ECDEDC； A+ECDADE+EDC90， AADE， AEED
30、， AECE， 即 E 为 AC 的中点； BECE； （2）解：连接 OD， ACB90， AC 为O 的切线， DE 是O 的切线， EO 平分CED， OECD，F 为 CD 的中点， 点 E、O 分别为 AC、BC 的中点， OEAB5， 在 RtACB 中，ACB90，AB10，BC6，由勾股定理得：AC8， 在 RtADC 中，E 为 AC 的中点， DEAC4， 在 RtEDO 中，ODBC3，DE4，由勾股定理得：OE5， 由三角形的面积公式得：SEDO， 即 435DF， 解得：DF2.4， 在 RtDFO 中，由勾股定理得：OF1.8 21 （10 分）某商场将每件进价为
31、80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过 市场调査，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件 （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元 若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？ 求出 y 与 x 之间的函数关系式， 并直接写出当 x 取何值时， 商场可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【分析】 （1）根据一天获利每件利润一天的销售量即可求解； （2）根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解； 根据的关系式利用二次函数的性质即可求解 【解
32、答】解： （1）根据题意，得 （10080）1002000 答：商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元 （2）根据题意，得 （10080 x） （100+10 x）2160 整理，得 x210 x+160， 解得 x12，x28 答：每件商品应降价 2 元或 8 元 y（10080 x） （100+10 x） 10 x2+100 x+2000 10（x5）2+2250 当 x5 时，y 有最大值为 2250 答：y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x2+100 x+2000 当 x 取 5 元时，商场可获得最大利润，最大利润为 2250 元 22 （10 分）正方形 ABCD 中，E
33、 是 CD 边上一点， （1）将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、AB 重合，得到ABF，如图 1 所示观察可知：与 DE 相等的线段是 BF ，AFB AED ； （2）如图 2，正方形 ABCD 中，P、Q 分别是 BC、CD 边上的点，且PAQ45，试通过旋转的方式 说明：DQ+BPPQ； （3）在（2）题中，连接 BD 分别交 AP、AQ 于 M、N，你还能用旋转的思想说明 BM2+DN2 MN2 【分析】 （1）如图 1，直接根据旋转的性质得到 DEBF，AFBAED； （2）将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到ABE，根据旋转的性质
34、得 EAQBAD90，AEAQ，BEDQ，而PAQ45，则PAE45，再根据全等三角形的判 定方法得到APEAPQ，则 PEPQ，于是 PEPB+BEPB+DQ，即可得到 DQ+BPPQ； （3）根据正方形的性质有ABDADB45，将ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到ABK，根据旋转的性质得ABKADN45，BKDN，AKAN，与（2）一样可 证明AMNAMK 得到 MNMK，由于MBA+KBA45+4590，得到BMK 为直角三角 形，根据勾股定理得 BK2+BM2MK2，然后利用等相等代换即可得到 BM2+DN2MN2 【解答】解： （1）如图 1，A
35、DE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、AB 重合，得到ABF， DEBF，AFBAED 故答案为：BF，AED； （2）将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到ABE，如图 2， 则DABE90， 即点 E、B、P 共线，EAQBAD90，AEAQ，BEDQ， PAQ45， PAE45， PAQPAE， 在APE 和APQ 中 ， APEAPQ（SAS） ， PEPQ， 而 PEPB+BEPB+DQ， DQ+BPPQ； （3）如图 3，四边形 ABCD 为正方形， ABDADB45， 如图，将ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB
36、重合，得到ABK， 则ABKADN45，BKDN，AKAN， 与（2）一样可证明AMNAMK，得到 MNMK， MBA+KBA45+4590， BMK 为直角三角形， BK2+BM2MK2， BM2+DN2MN2 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，且 OA2OC8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若 PCAB，求点 P 的坐标； （3）连接 AC，求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【分析】 （1）抛物线 yax2+bx2，则 c2，故 OC2，而 OA2OC8
37、OB，则 OA4，OB， 确定点 A、B、C 的坐标；即可求解； （2）抛物线的对称轴为 x，当 PCAB 时，点 P、C 的纵坐标相同，即可求解； （3）PAC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA，即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx2，则 c2，故 OC2， 而 OA2OC8OB，则 OA4，OB， 故点 A、B、C 的坐标分别为（4，0） 、 （，0） 、 （0，2） ； 则 ya（x+4） （x）a（x2+x2）ax2+bx2，故 a1， 故抛物线的表达式为：yx2+x2； （2）抛物线的对称轴为 x， 当 PCAB 时，点 P、C 的纵坐标相同，根据函数的对称性得点 P（，2） ； （3）过点 P 作 PHy 轴交 AC 于点 H， 设 P（x，x2+2） ， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx2， 则PAC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA4（x2x2x+2）2（x+2）2+8， 20， S 有最大值，当 x2 时，S 的最大值为 8，此时点 P（2，5）
