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2020-2021学年河南省安阳市滑县九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年河南省安阳市滑县九年级(上)期中数学试卷学年河南省安阳市滑县九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转 120后,能与原图形完全重 合的是( ) A B C D 2若 x1 是方程 x2+kx+20 的一个根,则方程的另一个根与 k 的值是( ) A2,3 B2,3 C2,3 D2,3 3将抛物线 y(x1)2+3 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为( ) Ay(x2)2 By(x2)2+6 Cyx2+6 Dyx2 4

2、如图,ABC 为钝角三角形,将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC,连接 BB, 若 ACBB,则CAB的度数为( ) A45 B60 C70 D90 5如图,已知 C、D 在以 AB 为直径的O 上,若CAB30,则D 的度数是( ) A30 B70 C75 D60 6设 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(2,y3)是抛物线 y(x+1)2+a 上的三点,则 y1,y2,y3的大小关 系为( ) Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 7如图,在圆内接正六边形 ABCDEF 中,BF,BD 分别交 AC 于点 G,H若该圆的半径为 15cm,则线

3、段 GH 的长为( ) Acm B5cm C3cm D10cm 8如图,在等边ABC 中,点 O 在 AC 上,且 AO3,CO6,点 P 是 AB 上一动点,连接 OP,将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD要使点 D 恰好落在 BC 上,则 AP 的长是( ) A4 B5 C6 D8 9已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表: x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 m 3 有以下几个结论: 抛物线 yax2+bx+c 的开口向下; 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1; 方程 ax2+bx+c0 的根为 0 和 2;

4、当 y0 时,x 的取值范围是 x0 或 x2; 其中正确的是( ) A B C D 10二次函数 y2x28x+m 满足以下条件:当2x1 时,它的图象位于 x 轴的下方;当 6x7 时, 它的图象位于 x 轴的上方,则 m 的值为( ) A8 B10 C42 D24 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若点 A(2,1)与点 B 是关于原点 O 的对称点,则点 B 的坐标为 12已知一元二次方程 x24x+c0 有两个相等的实数根,则实数 c 13如图在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,圆心坐标是 14如图,在扇形 AOB 中,AOB9

5、0,点 C 为半径 OA 的中点,以点 O 为圆心,OC 的长为半径作弧 CD 交 OB 于点 D,点 E 为弧 AB 的中点,连接 CE、DE若 OA4,则阴影部分的面积为 15 如图, 在 RtABC 中, ABC90, ABBC, 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60, 得到ADE, 连接 BE,则 BE 的长是 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 75 分)分) 16 (10 分)解方程 (1)2x24x10(配方法) (2)3x24x40(公式法) 17 (8 分)如图,抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 D,抛物线的顶点为 C (1)求

6、 A,B,C,D 的坐标; (2)求四边形 ABCD 的面积 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k+1)x+k2+k0 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若ABC 的两边 AB,AC 的长是方程的两个实数根,第三边 BC 的长为 5当ABC 是等腰三角形 时,求 k 的值 19 (9 分)如图,在平面直角坐标系中,RtABC 的三个顶点分别是 A(3,2) ,B(0,4) ,C(0,2) (1)将ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180,画出旋转后对应的A1B1C;平移ABC,若点 A 的对应 点 A2的坐标为(0,4) ,画出平移后对应的A2B2C2; (2)

7、若将A1B1C 绕某一点旋转可以得到A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标; (3)在 x 轴上有一点 P,使得 PA+PB 的值最小,请直接写出点 P 的坐标 20 (9 分)如图,在ABC 中,C90,以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D,O 的切线 DE 交 AC 于 点 E (1)求证:E 是 AC 中点; (2)若 AB10,BC6,连接 CD,OE,交点为 F,求 OF 的长 21 (10 分)某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售,一天可售出 100 件后来经过 市场调査,发现这种商品单价每降低 1 元,其销量可增加 10 件 (1)求商场经营该商品

8、原来一天可获利润多少元? (2)设后来该商品每件降价 x 元,商场一天可获利润 y 元 若商场经营该商品一天要获利润 2160 元,则每件商品应降价多少元? 求出 y 与 x 之间的函数关系式, 并直接写出当 x 取何值时, 商场可获得最大利润?最大利润为多少元? 22 (10 分)正方形 ABCD 中,E 是 CD 边上一点, (1)将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转,使 AD、AB 重合,得到ABF,如图 1 所示观察可知:与 DE 相等的线段是 ,AFB ; (2)如图 2,正方形 ABCD 中,P、Q 分别是 BC、CD 边上的点,且PAQ45,试通过旋转的方式 说明:DQ+BPPQ

9、; (3)在(2)题中,连接 BD 分别交 AP、AQ 于 M、N,你还能用旋转的思想说明 BM2+DN2 MN2 23 (11 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,且 OA2OC8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 (1)求此抛物线的表达式; (2)若 PCAB,求点 P 的坐标; (3)连接 AC,求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 2020-2021 学年河南省安阳市滑县九年级(上)期中数学试卷学年河南省安阳市滑县九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(

10、每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转 120后,能与原图形完全重 合的是( ) A B C D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度,继而可作出判断 【解答】解:A、最小旋转角度120; B、最小旋转角度90; C、最小旋转角度180; D、最小旋转角度72; 综上可得:顺时针旋转 120后,能与原图形完全重合的是 A 故选:A 2若 x1 是方程 x2+kx+20 的一个根,则方程的另一个根与 k 的值是( ) A2,3 B2,3 C2,3 D2,3 【分析】将 x1 代入原方程,列出关于 k 的一元一次方程,解方程

11、求得 k 值后,然后利用方程 x2+kx+2 0 的根与系数的关系求得方程的另一根 【解答】解:设方程 x2+kx+20 的另一根是 x2 x1 是方程 x2+kx+20 的一个根, 1+k+20,解得,k3; 由韦达定理,得 1x22,即 x22 故选:D 3将抛物线 y(x1)2+3 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为( ) Ay(x2)2 By(x2)2+6 Cyx2+6 Dyx2 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解:将抛物线 y(x1)2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为:y(x1+1)2+3,即 y x2+3; 再

12、向下平移 3 个单位为:yx2+33,即 yx2 故选:D 4如图,ABC 为钝角三角形,将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC,连接 BB, 若 ACBB,则CAB的度数为( ) A45 B60 C70 D90 【分析】先根据旋转的性质得到BABCAC120,ABAB,根据等腰三角形的性质易得 ABB30, 再根据平行线的性质由ACBB得CABABB30, 然后利用CAB CACCAB进行计算 【解答】解:将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120得到ABC, BABCAC120,ABAB, ABB(180120)30, ACBB, CABABB30, CABCACCAB1

13、203090 故选:D 5如图,已知 C、D 在以 AB 为直径的O 上,若CAB30,则D 的度数是( ) A30 B70 C75 D60 【分析】 由AB为O的直径, 根据直径所对的圆周角是直角, 即可求得ACB90, 又由CAB30, 即可求得B 的度数,然后由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得D 的度数 【解答】解:AB 为O 的直径, ACB90, CAB30, B90CAB60, DB60 故选:D 6设 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(2,y3)是抛物线 y(x+1)2+a 上的三点,则 y1,y2,y3的大小关 系为( ) Ay1y2y3 By1y3y

14、2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】根据二次函数的对称性,可利用对称性,找出点 A 的对称点 A,再利用二次函数的增减性可 判断 y 值的大小 【解答】解:函数的解析式是 y(x+1)2+a,如右图, 对称轴是 x1, 点 A 关于对称轴的点 A是(0,y1) , 那么点 A、B、C 都在对称轴的右边,而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小, 于是 y1y2y3 故选:A 7如图,在圆内接正六边形 ABCDEF 中,BF,BD 分别交 AC 于点 G,H若该圆的半径为 15cm,则线段 GH 的长为( ) Acm B5cm C3cm D10cm 【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的

15、性质以及解直角三角形即可得到结论 【解答】解:在圆内接正六边形 ABCDEF 中,ABAFBCCD,BAFABCBCD120, AFBABFBACACBCBDBDC30, AGBG,BHCH, GBHBGHBHG60, AGGHBGBHCH, 连接 OA,OB 交 AC 于 N, 则 OBAC,AOB60, OA15cm, ANOA(cm) , AC2AN15(cm) , GHAC5(cm) , 故选:B 8如图,在等边ABC 中,点 O 在 AC 上,且 AO3,CO6,点 P 是 AB 上一动点,连接 OP,将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD要使点 D 恰好落在 BC

16、上,则 AP 的长是( ) A4 B5 C6 D8 【分析】 由于将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD, 当点 D 恰好落在 BC 上时, 易得: ODP 是等边三角形,根据旋转的性质可以得到AOPCDO,由此可以求出 AP 的长 【解答】解:当点 D 恰好落在 BC 上时,OPOD,AC60,如图 POD60 AOP+CODCOD+CDO120, AOPCDO, AOPCDO, APCO6 故选:C 9已知抛物线 yax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表: x 1 0 1 2 3 y 3 0 1 m 3 有以下几个结论: 抛物线 yax2+bx+

17、c 的开口向下; 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1; 方程 ax2+bx+c0 的根为 0 和 2; 当 y0 时,x 的取值范围是 x0 或 x2; 其中正确的是( ) A B C D 【分析】根据表格中的 x、y 的对应值,利用待定系数法求出函数解析式,再根据二次函数的图形与性质 求解可得 【解答】解:设抛物线的解析式为 yax2+bx+c, 将(1,3) 、 (0,0) 、 (3,3)代入得: , 解得:, 抛物线的解析式为 yx22xx(x2)(x1)21, 由 a10 知抛物线的开口向上,故错误; 抛物线的对称轴为直线 x1,故错误; 当 y0 时,x(x2)0,解得

18、 x0 或 x2, 方程 ax2+bx+c0 的根为 0 和 2,故正确; 当 y0 时,x(x2)0,解得 x0 或 x2,故正确; 故选:D 10二次函数 y2x28x+m 满足以下条件:当2x1 时,它的图象位于 x 轴的下方;当 6x7 时, 它的图象位于 x 轴的上方,则 m 的值为( ) A8 B10 C42 D24 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线 x2,通过顶点坐标位置特征求出 m 的范围,将 A 选项剔 除后,将 B、C、D 选项代入其中,并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理 【解答】解:抛物线 y2x28x+m2(x2)28+m 的对称轴为直线 x2, 而抛

19、物线在2x1 时,它的图象位于 x 轴的下方;当 6x7 时,它的图象位于 x 轴的上方, m0, 当 m10 时,则 y2x28x10, 令 y0,则 2x28x100, 解得 x11,x25, 则有当2x1 时,它的图象位于 x 轴的上方; 当 m42 时,则 y2x28x42, 令 y0,则 2x28x420, 解得 x13,x27, 则有当 6x7 时,它的图象位于 x 轴的下方; 当 m24 时,则 y2x28x24, 令 y0,则 2x28x240, 解得 x12,x26,满足题意 故选:D 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若点 A(2,

20、1)与点 B 是关于原点 O 的对称点,则点 B 的坐标为 (2,1) 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案 【解答】解:点 A(2,1)与点 B 是关于原点 O 的对称点,则点 B 的坐标为(2,1) , 故答案为(2,1) 12已知一元二次方程 x24x+c0 有两个相等的实数根,则实数 c 4 【分析】根据判别式的意义得到(4)241c0,然后解方程即可 【解答】解:根据题意得(4)241c0, 解得 c4 故答案为 4 13如图在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,圆心坐标是 (2,0) 【分析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦

21、AB 和 BC 的垂直平分线,交点即为 圆心 【解答】解:根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心, 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线,交点即为圆心 如图所示,则圆心是(2,0) 故答案为: (2,0) 14如图,在扇形 AOB 中,AOB90,点 C 为半径 OA 的中点,以点 O 为圆心,OC 的长为半径作弧 CD 交 OB 于点 D, 点 E 为弧 AB 的中点, 连接 CE、 DE 若 OA4, 则阴影部分的面积为 4 【分析】如图,连接 AB,CD,OE,OE 交 CD 于 J证明 CDOE,求出四边形 OCED 的面积即可解决 问题 【解答】解:如图,连接 AB,CD,OE

22、,OE 交 CD 于 J OCAC,ODDB, CDAB, , OEAB, CDOE, OCOD2, CJOJ, COD90, CD2, S四边形OCEDCDOE4, S阴S扇形AOBS四边形OCED42444, 故答案为:44 15 如图, 在 RtABC 中, ABC90, ABBC, 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60, 得到ADE, 连接 BE,则 BE 的长是 2+2 【分析】首先考虑到 BE 所在的三角形并不是特殊三角形,所以猜想到要求 BE,可能需要构造直角三角 形由旋转的性质可知,ACAE,CAE60,故ACE 是等边三角形,可证明ABE 与CBE 全 等,可得到ABE45,

23、AEB30,再证AFB 和AFE 是直角三角形,然后在根据勾股定理求 解 【解答】解:连结 CE,设 BE 与 AC 相交于点 F,如下图所示, RtABC 中,ABBC,ABC90 BCABAC45 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 60与 RtADE 重合, BACDAE45,ACAE 又旋转角为 60 BADCAE60, ACE 是等边三角形 ACCEAE4 在ABE 与CBE 中, , ABECBE (SSS) ABECBE45,CEBAEB30 在ABF 中,BFA180454590 AFBAFE90 在 RtABF 中,由勾股定理得,BFAF2 又在 RtAFE 中,AEF30,A

24、FE90,可得 FEAF2 BEBF+FE2+2 故答案为 2+2 三、解答题(共三、解答题(共 8 题,共题,共 75 分)分) 16 (10 分)解方程 (1)2x24x10(配方法) (2)3x24x40(公式法) 【分析】 (1)根据配方法的步骤依次计算可得; (2)利用公式法求解可得 【解答】解: (1)2x24x1, x22x, 则 x22x+11+,即(x1)2, x1, x; (2)a3,b4,c4, (4)243(4)640, 则 x, 即 x1,x22 17 (8 分)如图,抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 D,抛物线的顶点为 C (1)

25、求 A,B,C,D 的坐标; (2)求四边形 ABCD 的面积 【分析】 (1)根据题目中的函数解析式可以求得 A,B,C,D 的坐标; (2)根据(1)中求得的点 A,B,C,D 的坐标,可以求得四边形 ABCD 的面积 【解答】解: (1)yx22x3(x3) (x+1)(x1)24, 当 y0 时,x13,x21,当 x0 时,y3,该函数的顶点坐标为(1,4) , 点 A 的坐标为(1,0) ,点 B 的坐标为(3,0) ,点 C 的坐标为(1,4) ,点 D 的坐标为(0,3) ; (2)连接 OC,如右图所示, 点 A 的坐标为(1,0) ,点 B 的坐标为(3,0) ,点 C 的

26、坐标为(1,4) ,点 D 的坐标为(0,3) , 四边形 ABCD 的面积是:SAOD+SODC+SOCB9 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k+1)x+k2+k0 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若ABC 的两边 AB,AC 的长是方程的两个实数根,第三边 BC 的长为 5当ABC 是等腰三角形 时,求 k 的值 【分析】 (1)计算判别式的值得到10然后根据判别式的意义得到结论; (2)利用因式分解法解方程得到x1k,x2k+1,AB、AC 的长为 k、k+1,讨论当 ABBC 时,即 k 5;当 ACBC 时,k+15,解得 k4 【解答】 (1)证

27、明:(2k+1)241(k2+k)10 方程有两个不相等的实数根; (2)解:由 x2(2k+1)x+k2+k0,得(xk)x(k+1)0, x1k,x2k+1 即 AB、AC 的长为 k、k+1, 当 ABBC 时,即 k5,满足三角形构成条件; 当 ACBC 时,k+15,解得 k4,满足三角形构成条件 综上所述,k4 或 k5 19 (9 分)如图,在平面直角坐标系中,RtABC 的三个顶点分别是 A(3,2) ,B(0,4) ,C(0,2) (1)将ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180,画出旋转后对应的A1B1C;平移ABC,若点 A 的对应 点 A2的坐标为(0,4) ,画出平移

28、后对应的A2B2C2; (2)若将A1B1C 绕某一点旋转可以得到A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标; (3)在 x 轴上有一点 P,使得 PA+PB 的值最小,请直接写出点 P 的坐标 【分析】 (1)直接利用平移和旋转的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)直接利用旋转的性质结合对应点位置进而得出旋转中心; (3)利用轴对称求最短路径求法得出答案 【解答】解: (1)如图所示:A1B1C,A2B2C2,即为所求; (2)如图所示:旋转中心的坐标为: (1.5,1) ; (3)如图所示:点 P 的坐标为: (2,0) 20 (9 分)如图,在ABC 中,C90,以 BC 为直径的O 交

29、 AB 于点 D,O 的切线 DE 交 AC 于 点 E (1)求证:E 是 AC 中点; (2)若 AB10,BC6,连接 CD,OE,交点为 F,求 OF 的长 【分析】 (1)连接 CD,根据切线的性质,就可以证出AADE,从而证明 AECE; (2)求出 OD,根据直角三角形斜边上中线性质求出 DE,根据勾股定理求出 OE,根据三角形面积公式 求 DF,根据勾股定理求出 OF 即可 【解答】 (1)证明:连接 CD, ACB90,BC 为O 直径, ED 为O 切线,且ADC90; ED 切O 于点 D, ECED, ECDEDC; A+ECDADE+EDC90, AADE, AEED

30、, AECE, 即 E 为 AC 的中点; BECE; (2)解:连接 OD, ACB90, AC 为O 的切线, DE 是O 的切线, EO 平分CED, OECD,F 为 CD 的中点, 点 E、O 分别为 AC、BC 的中点, OEAB5, 在 RtACB 中,ACB90,AB10,BC6,由勾股定理得:AC8, 在 RtADC 中,E 为 AC 的中点, DEAC4, 在 RtEDO 中,ODBC3,DE4,由勾股定理得:OE5, 由三角形的面积公式得:SEDO, 即 435DF, 解得:DF2.4, 在 RtDFO 中,由勾股定理得:OF1.8 21 (10 分)某商场将每件进价为

31、80 元的某种商品原来按每件 100 元出售,一天可售出 100 件后来经过 市场调査,发现这种商品单价每降低 1 元,其销量可增加 10 件 (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元? (2)设后来该商品每件降价 x 元,商场一天可获利润 y 元 若商场经营该商品一天要获利润 2160 元,则每件商品应降价多少元? 求出 y 与 x 之间的函数关系式, 并直接写出当 x 取何值时, 商场可获得最大利润?最大利润为多少元? 【分析】 (1)根据一天获利每件利润一天的销售量即可求解; (2)根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解; 根据的关系式利用二次函数的性质即可求解 【解

32、答】解: (1)根据题意,得 (10080)1002000 答:商场经营该商品原来一天可获利润 2000 元 (2)根据题意,得 (10080 x) (100+10 x)2160 整理,得 x210 x+160, 解得 x12,x28 答:每件商品应降价 2 元或 8 元 y(10080 x) (100+10 x) 10 x2+100 x+2000 10(x5)2+2250 当 x5 时,y 有最大值为 2250 答:y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x2+100 x+2000 当 x 取 5 元时,商场可获得最大利润,最大利润为 2250 元 22 (10 分)正方形 ABCD 中,E

33、 是 CD 边上一点, (1)将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转,使 AD、AB 重合,得到ABF,如图 1 所示观察可知:与 DE 相等的线段是 BF ,AFB AED ; (2)如图 2,正方形 ABCD 中,P、Q 分别是 BC、CD 边上的点,且PAQ45,试通过旋转的方式 说明:DQ+BPPQ; (3)在(2)题中,连接 BD 分别交 AP、AQ 于 M、N,你还能用旋转的思想说明 BM2+DN2 MN2 【分析】 (1)如图 1,直接根据旋转的性质得到 DEBF,AFBAED; (2)将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90,则 AD 与 AB 重合,得到ABE,根据旋转的性质

34、得 EAQBAD90,AEAQ,BEDQ,而PAQ45,则PAE45,再根据全等三角形的判 定方法得到APEAPQ,则 PEPQ,于是 PEPB+BEPB+DQ,即可得到 DQ+BPPQ; (3)根据正方形的性质有ABDADB45,将ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90,则 AD 与 AB 重合,得到ABK,根据旋转的性质得ABKADN45,BKDN,AKAN,与(2)一样可 证明AMNAMK 得到 MNMK,由于MBA+KBA45+4590,得到BMK 为直角三角 形,根据勾股定理得 BK2+BM2MK2,然后利用等相等代换即可得到 BM2+DN2MN2 【解答】解: (1)如图 1,A

35、DE 绕点 A 按顺时针方向旋转,使 AD、AB 重合,得到ABF, DEBF,AFBAED 故答案为:BF,AED; (2)将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90,则 AD 与 AB 重合,得到ABE,如图 2, 则DABE90, 即点 E、B、P 共线,EAQBAD90,AEAQ,BEDQ, PAQ45, PAE45, PAQPAE, 在APE 和APQ 中 , APEAPQ(SAS) , PEPQ, 而 PEPB+BEPB+DQ, DQ+BPPQ; (3)如图 3,四边形 ABCD 为正方形, ABDADB45, 如图,将ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90,则 AD 与 AB

36、重合,得到ABK, 则ABKADN45,BKDN,AKAN, 与(2)一样可证明AMNAMK,得到 MNMK, MBA+KBA45+4590, BMK 为直角三角形, BK2+BM2MK2, BM2+DN2MN2 23 (11 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx2 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,且 OA2OC8OB点 P 是第三象限内抛物线上的一动点 (1)求此抛物线的表达式; (2)若 PCAB,求点 P 的坐标; (3)连接 AC,求PAC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 【分析】 (1)抛物线 yax2+bx2,则 c2,故 OC2,而 OA2OC8

37、OB,则 OA4,OB, 确定点 A、B、C 的坐标;即可求解; (2)抛物线的对称轴为 x,当 PCAB 时,点 P、C 的纵坐标相同,即可求解; (3)PAC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA,即可求解 【解答】解: (1)抛物线 yax2+bx2,则 c2,故 OC2, 而 OA2OC8OB,则 OA4,OB, 故点 A、B、C 的坐标分别为(4,0) 、 (,0) 、 (0,2) ; 则 ya(x+4) (x)a(x2+x2)ax2+bx2,故 a1, 故抛物线的表达式为:yx2+x2; (2)抛物线的对称轴为 x, 当 PCAB 时,点 P、C 的纵坐标相同,根据函数的对称性得点 P(,2) ; (3)过点 P 作 PHy 轴交 AC 于点 H, 设 P(x,x2+2) , 由点 A、C 的坐标得,直线 AC 的表达式为:yx2, 则PAC 的面积 SSPHA+SPHCPHOA4(x2x2x+2)2(x+2)2+8, 20, S 有最大值,当 x2 时,S 的最大值为 8,此时点 P(2,5)