1、2020-2021 学年河南省三门峡市灵宝实验中学九年级（上）期中数学试卷学年河南省三门峡市灵宝实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下部分种植草坪， 要使草坪的面积为 540 平方米，则设道路的宽为 xm，根据题意，列方程（ ） A322020 x30 x540 B322020 x30 xx2540 C （32x） （20 x）540 D322
2、020 x30 x+2x2540 3ABC 的内切圆O 和各边分别相切于 D，E，F，则 O 是DEF 的（ ） A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 4用配方法解方程 x2+6x+110，下面配方正确的是（ ） A （x+3）22 B （x+3）22 C （x3）22 D （x3）22 5关于 x 的一元二次方程（a1）x2x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 或1 B1 C1 D 6设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+1 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y
3、2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 7已知二次函数 ykx25x5 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） A B且 k0 C D且 k0 8如图，已知O 的半径为 5cm，弦 AB6cm，则圆心 O 到弦 AB 的距离是（ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 9 将抛物线 y2 （x+3） 2+1 向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位后所得到的抛物线的解析式为 （ ） Ay2（x+1）2 By2（x+5）2+2 Cy2（x+5）2+3 Dy2（x5）21 10在一次函数 ykx+b（k0）中，y 随 x 的增大而减小，则二次函数 yk（x1）
4、 2 的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11在等边三角形、矩形、等腰梯形、圆这四个图形中，属于中心对称图形的有 个 12如图，ABC 的外心坐标是 13二次函数 yax2+bx+c 的图象如图，则一次函数 ybx+a 的图象不经过第 象限 14如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB8，CD6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 15在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE，
5、连 接 ED，若 BC5，BD4则下列四个结论：AEBC；ADEBDC；BDE 是等边三角 形；AED 的周长是 9其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上 ） 三、解答题（本大题共小题，共三、解答题（本大题共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1） （x+1）2（2x3）2； （2）x（x2）+x20 17 （9 分）如图，在 RtOAB 中，BAO90，且点 B 的坐标为（4，2） ，点 A 的坐标为（4，0） （1）画出OAB 关于点 O 成中心对称的OA1B1，并写出点 B1的坐标； （2）求出以点 B1为顶点，并经过点 A 的二次函数关系式 18（10 分）
6、 九年级数学兴趣小组经过市场调查， 得到某种运动服每月的销量 y 与售价 x 满足一次函数关系， 两者的相关信息如表： 售价（元/件） 100 110 120 130 月销量（件） 200 180 160 140 已知该运动服的进价为 60 元/件 （1）若要该种运动服的月利润为 9600 元，则应将售价定为多少？ （2）售价定为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 19 （9 分）已知，P 为等边三角形内一点，且 BP3，PC4，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 60至 BP的位 置 （1）试判断BPP的形状，并说明理由； （2）若BPC150，求 PA 的长度 20 （9 分）如图，C
7、经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4） ，M 是圆 上一点，BMO120 （1）求证：AB 为C 直径 （2）求C 的半径及圆心 C 的坐标 21 （8 分）已知，如图，A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B 点，OCBC，AC OB （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若ACD45，OC2，求弦 AD 的长 22 （10 分）如图，在ABC 中，B90，AB12cm，BC24cm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动， 动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度
8、移动， 如果 P、 Q 两点分别从 A， B 两点同时出发，设运动时间为 t， （1）AP ，BP ，BQ ； （2）t 为何值时PBQ 的面积为 32cm2？ （3）t 为何值时PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ 23 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函 数关系式，并求出 S 的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能使以点 P，Q，
9、B，O 为顶点的四边形为平行四边形（要求 PQOB） ，直接写出相应的点 Q 的坐标 2020-2021 学年河南省三门峡市灵宝实验中学九年级（上）期中数学试卷学年河南省三门峡市灵宝实验中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念解答 【解答】解：A、是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形 故选：C 2如图，在宽为 20 米、长为 3
10、2 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下部分种植草坪， 要使草坪的面积为 540 平方米，则设道路的宽为 xm，根据题意，列方程（ ） A322020 x30 x540 B322020 x30 xx2540 C （32x） （20 x）540 D322020 x30 x+2x2540 【分析】设道路的宽为 x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32x） （20 x）540 【解答】解：设道路的宽为 x，根据题意得（32x） （20 x）540 故选：C 3ABC 的内切圆O 和各边分别相切于 D，E，F，则 O 是DEF 的（ ） A三条中线的交点 B三条高的交点 C三
11、条角平分线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 【分析】由题意知点 O 是ABC 的内心，因此 ODOEOF，所以点 O 也是DEF 的外心，而外心是 三角形三边中垂线的交点，由此得解 【解答】解：O 是ABC 的内切圆， ODOEOF， 点 O 是DEF 的外心， O 是DEF 三边垂直平分线的交点； 故选：D 4用配方法解方程 x2+6x+110，下面配方正确的是（ ） A （x+3）22 B （x+3）22 C （x3）22 D （x3）22 【分析】先移项，再配方，即可得出选项 【解答】解：x2+6x+110， x2+6x11， x2+6x+911+9， （x+3）22， 故选：B 5关
12、于 x 的一元二次方程（a1）x2x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 或1 B1 C1 D 【分析】把 x0 代入已知方程列出关于 a 的新方程，通过解新方程来求 a 的值；注意根据一元二次方程 的定义得到：a10 【解答】解：一元二次方程（a1）x2x+a210 的一个根是 0， a210 且 a10 解得：a1 或1，且 a1 a1 故选：B 6设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+1 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】根据二次函数的对称
13、性，可利用对称性，找出点 A 的对称点 A，再利用二次函数的增减性可 判断 y 值的大小 【解答】解：函数的解析式是 y（x+1）2+1， 对称轴是 x1， 点 A 关于对称轴的点 A是（0，y1） ， 那么点 A、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小， 于是 y1y2y3 故选：A 7已知二次函数 ykx25x5 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） A B且 k0 C D且 k0 【分析】直接利用抛物线与 x 轴交点个数与的关系得出即可 【解答】解：二次函数 ykx25x5 的图象与 x 轴有交点， b24ac25+20k0，k0， 解得：k，且
14、k0 故选：B 8如图，已知O 的半径为 5cm，弦 AB6cm，则圆心 O 到弦 AB 的距离是（ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 【分析】过 O 作 OCAB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可 【解答】解： 过 O 作 OCAB 于 C， OC 过 O， ACBCAB3cm， 在 RtOCA 中，由勾股定理得：OC4（cm） ， 故选：D 9 将抛物线 y2 （x+3） 2+1 向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位后所得到的抛物线的解析式为 （ ） Ay2（x+1）2 By2（x+5）2+2 Cy2（x+5）2+3 Dy2（x5）21 【分
15、析】先利用顶点式得到抛物线 y2（x+3）2+1 顶点坐标为（3，1） ，再根据点平移的坐标特征 得到点（3，1）平移后所得对应点的坐标为（5，2） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式 即可 【解答】解：抛物线 y2（x+3）2+1 顶点坐标为（3，1） ，点（3，1）先向左平移 2 个单位，再 向上平移 1 个单位后所得对应点的坐标为 （5， 2） ， 所以平移后的抛物线的解析式为 y2 （x+5） 2+2 故选：B 10在一次函数 ykx+b（k0）中，y 随 x 的增大而减小，则二次函数 yk（x1） 2 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】由 ykx+b（k0）中，y
16、随 x 的增大而减小知 k0，根据二次函数的图象和性质解答可得 【解答】解：ykx+b（k0）中，y 随 x 的增大而减小， k0， 则抛物线 yk（x1）2的开口向下，且顶点坐标为（1，0） 、对称轴为直线 x1， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11在等边三角形、矩形、等腰梯形、圆这四个图形中，属于中心对称图形的有 2 个 【分析】直接利用中心对称图形的性质分析得出答案 【解答】解：在等边三角形、矩形、等腰梯形、圆这四个图形中，属于中心对称图形的有：矩形、圆， 共 2 个 故答案为：2 12如图，ABC 的外心坐标是 （2，1） 【分析】首
17、先由ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 AB 与 BC 的垂线，两垂线的交点即为ABC 的外心 【解答】解：ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： EF 与 MN 的交点 O即为所求的ABC 的外心， ABC 的外心坐标是（2，1） 故答案为： （2，1） 13二次函数 yax2+bx+c 的图象如图，则一次函数 ybx+a 的图象不经过第 四 象限 【分析】由二次函数的图象可判断出 a、b 的符号，则可判断一次函数的图象所在的象限，可求得答案 【解答】解： 二次函数图象开口向上， a0， 对称轴小于 0， b0， 一次函数 ybx+a 与
18、 y 轴的交点在 x 轴的上方，与 x 轴的交点在 x 轴的负半轴， 一次函数 ybx+a的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限， 故答案为：四 14如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB8，CD6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 【分析】A、B 两点关于 MN 对称，因而 PA+PCPB+PC，即当 B、C、P 在一条直线上时，PA+PC 的最 小，即 BC 的值就是 PA+PC 的最小值 【解答】解：连接 OB，OC，作 CH 垂直 AB 于 H 根据垂径定理，得到 BEAB4，CFCD3，
19、OE3， OF4， CHOE+OF3+47， BHBE+EHBE+CF4+37， 在直角BCH 中根据勾股定理得到 BC7， 则 PA+PC 的最小值为 故答案为： 15在等边ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE，连 接 ED，若 BC5，BD4则下列四个结论：AEBC；ADEBDC；BDE 是等边三角 形；AED 的周长是 9其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上 ） 【分析】先根据等边三角形的性质得 BABC，ABCCBAC60，再根据旋转的性质得到 BAEBCD60，BCDBAE60，所以BAEABC60，则根据平行线
20、的判定方法即 可得到 AEBC；由BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE 得到 BDBE，DBE60，则可判 断BDE 是等边三角形；根据等边三角形的性质得BDE60，而BDC60，则可判断ADE BDC； 由BDE 是等边三角形得到 DEBD4， 再利用BCD 绕点 B 逆时针旋转 60， 得到BAE， 则 AECD，所以AED 的周长AE+AD+DECD+AD+DEAC+BD 【解答】解：ABC 为等边三角形， BABC，ABCCBAC60， BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE， BAEBCD60，BCDBAE60， BAEABC， AEBC，所以正确； BCD 绕点
21、B 逆时针旋转 60，得到BAE， BDBE，DBE60， BDE 是等边三角形，所以正确； BDE60， BDCBAC+ABD60， ADEBDC，所以错误； BDE 是等边三角形， DEBD4， 而BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAE， AECD， AED 的周长AE+AD+DECD+AD+DEAC+45+49，所以正确 故答案为 三、解答题（本大题共小题，共三、解答题（本大题共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1） （x+1）2（2x3）2； （2）x（x2）+x20 【分析】 （1）先把方程变形为（x+1）2（2x3）20，然后利用因式分解法解方程； （2
22、）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1） （x+1）2（2x3）20， （x+1+2x3） （x+12x+3）0， x+1+2x30 或 x+12x+30， 所以 x1，x24； （2） （x2） （x+1）0， x20 或 x+10， 所以 x12，x21 17 （9 分）如图，在 RtOAB 中，BAO90，且点 B 的坐标为（4，2） ，点 A 的坐标为（4，0） （1）画出OAB 关于点 O 成中心对称的OA1B1，并写出点 B1的坐标； （2）求出以点 B1为顶点，并经过点 A 的二次函数关系式 【分析】 （1）利用关于关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1的坐标，然后描点即
23、可得到OA1B1； （2）设顶点式抛物线的顶点 B1的坐标为（4，2） ，然后把 A 点坐标代入求出 a 即可 【解答】解： （1）如图，OA1B1为所作，点 B1的坐标为（4，2） ； （2）抛物线的顶点 B1的坐标为（4，2） ， 抛物线的解析式可设为 ya（x+4）22， 把 A（4，0）代入得 a（4+4）220，解得 a， 抛物线的解析式可设为 y（x+4）22 18（10 分） 九年级数学兴趣小组经过市场调查， 得到某种运动服每月的销量 y 与售价 x 满足一次函数关系， 两者的相关信息如表： 售价（元/件） 100 110 120 130 月销量（件） 200 180 160 1
24、40 已知该运动服的进价为 60 元/件 （1）若要该种运动服的月利润为 9600 元，则应将售价定为多少？ （2）售价定为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据待定系数法可求得 y 与 x 的关系式，根据月利润每件的利润月销量列出函数关系 式 W2x2+520 x24000，把 W 值代入解析式，解方程即可； （2）根据二次函数的性质求出最大利润 【解答】解： （1）设月销量 y 与 x 的关系式为 ykx+b， 由题意得， 解得：， y2x+400， 由售价定为 x 元，则销售该运动服每件的利润是（x60）元， 设该种运动服的月利润为 W 元， 由题意得，W（x60
25、） （2x+400） 2x2+520 x24000， 当 W9600 时， 即 96002x2+520 x24000， 解得：x1140，x2120， 若要该种运动服的月利润为 9600 元，则应将售价定为 140 元或 120 元； （2）由（1）知：W2x2+520 x24000 2（x130）2+9800， 当 x130 时，利润最大值为 9800 元， 故售价为 130 元时，当月的利润最大，最大利润是 9800 元 19 （9 分）已知，P 为等边三角形内一点，且 BP3，PC4，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 60至 BP的位 置 （1）试判断BPP的形状，并说明理由； （2）若B
26、PC150，求 PA 的长度 【分析】由已知 BP 绕点 B 顺时针旋转 60至 BP，运用ABC 是等边三角形联想：AB 绕点 B 顺时针 旋转 60至 BC，问题转化为将ABP 绕点 B 顺时针旋转 60至CBP，运用旋转的性质解题 【解答】解： （1）BPP是等边三角形 理由：BP 绕点 B 顺时针旋转 60至 BP， BPBP，PBP60； BPP是等边三角形 （2）BPP是等边三角形， BPP60，PPBP3，PPCBPCBPP1506090； 在 RtPPC 中，由勾股定理得 PC5， PAPC5 20 （9 分）如图，C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A
27、 的坐标为（0，4） ，M 是圆 上一点，BMO120 （1）求证：AB 为C 直径 （2）求C 的半径及圆心 C 的坐标 【分析】 （1）根据圆周角定理直接解答即可 （2）根据圆内接四边形对角互补求出OAB 的度数，再根据直角三角形的性质即可求出 AB 的长，即 C 点坐标 【解答】解： （1）C 经过坐标原点， AOB90， AB 是C 的直径 （2）四边形 AOMB 是圆内接四边形，BMO120， 根据圆内接四边形的对角互补得到OAB60， ABO30， 点 A 的坐标为（0，4） ，OA4， AB2OA8， C 的半径 AC4； C 在第二象限， C 点横坐标小于 0， 设 C 点坐标
28、为（x，y） ， 由半径 ACOC4，即， 则4， 解得，y2，x2或 x2（舍去） ， 故C 的半径为 4、圆心 C 的坐标分别为（2，2） 21 （8 分）已知，如图，A 是O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B 点，OCBC，AC OB （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若ACD45，OC2，求弦 AD 的长 【分析】 （1）根据如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形，即可判断 OAB90，即可解决问题 （2）只要证明DOA90，利用勾股定理即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图连接 OA ACOB，OCCB， ACOCCB， OAB
29、90， AB 是O 的切线 （2）解：连接 OD DOA2DCA，DCA45， DOA90，ODOAOC2， AD2 22 （10 分）如图，在ABC 中，B90，AB12cm，BC24cm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动， 动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动， 如果 P、 Q 两点分别从 A， B 两点同时出发，设运动时间为 t， （1）AP 2tcm ，BP （122t）cm ，BQ 4tcm ； （2）t 为何值时PBQ 的面积为 32cm2？ （3）t 为何值时PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】
30、 （1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可 【解答】解： （1）根据题意得：AP2tcm，BQ4tcm， 所以 BP（122t）cm， 故答案为：2tcm， （122t）cm，4tcm； （2）PBQ 的面积 S （122t）4t 4t2+24t32， 解得：t2 或 4， 即当 t2 秒或 4 秒时，PBQ 的面积是 32cm2； （3）S4t2+24t 4（t3）2+36， 所以当 t 为 3 时PBQ 的面积最大，最大面积是 36cm2 23 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
31、经过 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函 数关系式，并求出 S 的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能使以点 P，Q，B，O 为顶点的四边形为平行四边形（要求 PQOB） ，直接写出相应的点 Q 的坐标 【分析】 （1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式； （2）设出 M 点的坐标，利用 SSAOM+SOBMSAOB，即可进行解答； （3）PQOB，则 OB 是平行四边形的边，
32、根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可 【解答】解： （1）设此抛物线的函数解析式为：yax2+bx+c（a0） ， 将 A（4，0） ，B（0，4） ，C（2，0）三点代入函数解析式得：， 解得， 所以此函数解析式为：yx2+x4； （2）M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上， M 点的坐标为（m，m2+m4） ， SSAOM+SOBMSAOB4（m2m+4）+4（m）44（m+2）2+4， 4m0， 当 m2 时，S 有最大值为：S4+84 答：m2 时，S 的最大值为 4； （3）设 P（x，x2+x4） 根据平行四边形的性质知 PQOB，且 PQOB，则 OB 为平行四边形的边， Q 的横坐标等于 P 的横坐标， 又直线的解析式为 yx， 则 Q（x，x） 由 PQOB，得|x（x2+x4）|4， 解得 x0 或4 或22（舍去 0） 由此可得：Q（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）
