1、 第 1 页 / 共 12 页 考点考点 24 直线与圆的基本量直线与圆的基本量 1. 掌握直线方程的五种形式的特点与适用范围,能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线 的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系 . 2. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式,并能进行简单应用;会求两条平行直线间的 距离 3. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标 准方程与一般方程之间的关系,会进行互化 圆的方程在高考题中属于必考问题,主要是考查根据所给条件来求圆的方程 . 这类问题在高 考中,既可以以小题的形式进行考查,又可以在解答题中进行考查,大多以中档题
2、为主 近五年的高考题中都有涉及,主要是解析几何综合问题中的直线方程的求解、直线与圆的位置 关系的研究,在今后的高考中,这些依然是考查的重点 . 1. 直线方程的基本量:斜率和截距,在解决与它们有关系的问题时,要注意对斜率不存在的特殊 情况的讨论 . 当直线不垂直于 y 轴但可垂直 x 轴时,我们又可以将直线方程设为 x =my+ a 的形式,这样可以避免对斜率 k 进行讨论 . 2. 直线的五种方程各有其特点,在选用时要根据所给条件灵活使用,一般情况下,我们会选用直 线的斜截式、点斜式方程 . 3. 判定直线与直线的位置关系时,要注意所用判断条件是否是充要条件,否则容易出现漏解的 情况 . 4
3、. 对于光线反射问题,我们可以根据光的反射定理,将它转化为对称问题来加以解决 5由于直线方程和圆的方程的考查要求都是 C 级,所以近五年中有关这两者的综合问题是解 析几何的重点 . 在填空题中多在知识网络交汇处命题,考查对动态图形分析的能力,在解答题 中则是以多个几何图形交汇、以位置关系为切入点考查直线方程和圆的方程求解,这类问题中 还涉及方程思想的运用,难度较大 . 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 12 页 1、 【2020 年天津卷】知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若|
4、 6AB ，则r 的值为_ 【答案】5 【解析】因为圆心0,0到直线380 xy的距离 8 4 1 3 d ， 由 22 | 2ABrd 可得 22 624r ，解得=5r 故答案为：5 2、 【2020 年浙江卷】.设直线: (0)l ykxb k ，圆 22 1: 1Cxy， 22 2:( 4)1Cxy，若直线l与 1 C， 2 C都相切，则k _；b=_ 【答案】 (1). 3 3 (2). 2 3 3 【解析】由题意， 12 ,C C到直线的距离等于半径，即 22 | 1 1 b k ， 22 |4| 1 1 kb k ， 所以| |4bkb，所以0k （舍）或者2bk， 解得 32
5、3 , 33 kb . 故答案为： 32 3 ; 33 3、 【2020 年北京卷】.已知半径为 1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】设圆心,C x y，则 22 341xy ， 化简得 22 341xy， 所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1 为半径的圆， 第 3 页 / 共 12 页 所以| 1 |OCOM 22 345 ，所以| 5 14OC ， 当且仅当C在线段OM上时取得等号， 故选：A. 4、 【2020 年全国 2 卷】 .若过点 （2， 1） 的圆与两坐标轴都相切， 则圆心到直线230
6、xy的距离为 （ ） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 【答案】B 【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为, a a，则圆的半径为a， 圆的标准方程为 22 2 xayaa. 由题意可得 22 2 21aaa， 可得 2 650aa，解得 1a 或5a， 所以圆心的坐标为1,1或5,5， 圆心到直线的距离均为 1 2 1 1 32 5 55 d ； 圆心到直线的距离均为 2 2 5532 5 55 d 圆心到直线230 xy的距离均为 22 5 55 d ； 第
7、 4 页 / 共 12 页 所以，圆心到直线230 xy的距离为 2 5 5 . 故选：B. 5、 【2020 年全国 3 卷】若直线 l与曲线 y= x和 x 2+y2=1 5 都相切，则 l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1 D. y= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx，则 0 0 x ， 函数yx的导数为 1 2 y x ，则直线l的斜率 0 1 2 k x ， 设直线l的方程为 00 0 1 2 yxxx x ，即 00 20 xx yx， 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切，
8、则 0 0 1 145 x x ， 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ，解得 0 1x ， 0 1 5 x （舍） ， 则直线l的方程为 210 xy ，即 11 22 yx. 故选：D. 6、 【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos ，sin ）到直线20 xmy的距 离，当 ，m 变化时，d 的最大值为 A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 22 cossin1，P 为单位圆上一点，而直线 20 xmy 过点 A（2，0） ，所以 d 的最 大值为 OA+1=2+1=3,故选 C. 7、 【2018 年高考全国卷理数】直线 20 xy
9、分别与x轴， y 轴交于A，B两点，点P在圆 22 (2)2xy上，则ABP面积的取值范围是 A 26， B48， 第 5 页 / 共 12 页 C 23 2 ， D2 23 2 ， 【答案】A 【解析】直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，2,0 ,0, 2AB,则2 2AB . 点 P 在圆 22 (2)2xy上，圆心为（2，0） ，则圆心到直线的距离 1 202 2 2 2 d . 故点 P 到直线20 xy的距离 2 d的范围为2,3 2 ，则 22 1 22,6 2 ABP SAB dd . 故答案为 A. 8、【2019 年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长
10、是r.若直线230 xy与圆 C 相切于 点( 2, 1)A ，则m=_，r=_ 【答案】2，5 【解析】由题意可知 11 :1(2) 22 AC kAC yx ，把(0,)m代入直线 AC 的方程得2m， 此时|4 15rAC . 题型一题型一 圆的方程圆的方程 1、(2019 苏州期末） 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x2y10 上 的圆的标准方程为_ 【答案】 (x5)2(y2)217 思路分析 由圆心既的线段 AB 的垂直平分线上，又在直线 x2y10 上，先求出圆心的坐标 线段 AB 的中点为 M 5 2， 9 2 ，斜率 kAB1，所
11、以线段 AB 的垂直平分线方程为 y9 2 x5 2 ，即 x y7. 由 xy7， x2y1，得圆心 C(5，2)，半径 rCA 17，圆 C 的方程为(x5) 2(y2)217. 所以圆的方程为(x5)2(y2)217. 2、(2019 镇江期末）已知圆 C 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点，且过点 A(0，6)，则圆 C 的标准方 程为_ 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 12 页 【答案】 (x3)2(y3)218 【解析】由几何知识可知，圆心 C 在圆 x2y210 x10y0 的圆心与原点的连线 yx 上，又在 OA 的垂 直平分线 y3 上，所以 C(3，3
12、)，易得圆 C 的标准方程为(x3)2(y3)218. 3、 （2020 届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，A为直线: 3l yx 上在第三象限内的点， 10,0B ，以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，ABCD，则圆C的标 准方程为_. 【答案】 22 7645xy 【解析】由题意，设点 ( ,3 ),0A m m m ，因为10,0B ，则AB的中点为 10 3 , 22 mm C ， 以线段AB为直径的圆C的方程为：( 10)()(3 )0 xxmy ym ； 由 (10)()(3 )0 3 xxmy ym yx ，解得： 1 3 x y ，即(
13、 1, 3)D ； 又ABCD，所以 0AB CD ； 因为( 10, 3 )ABmm ， 83 , 3 22 mm CD 所以 83 ( 10)330 22 mm mm ， 整理得： 2 280mm，解得 4m 或2m，因为0m，所以4m ， 所以圆C的方程为：( 10)(4)(12)0 xxy y ， 整理得： 22 7645xy. 故答案为： 22 7645xy. 4、(2019 南京、盐城一模）设 A(x，y)|3x4y7，点 PA，过点 P 引圆(x1)2y2r2(r0)的两条切 线 PA，PB，若APB 的最大值为 3 ，则 r 的值为_ 【答案】 1 解法 1 设圆心为 C.因为
14、APB2APC，所以APC 的最大值为 6 ，所以 PC 的最小值为 2r，则 |3（1）407 3242 22r，即 r1. 解法 2 如图，求出满足使APB 最大值的点 P 轨迹，连接 P 点和圆心，由解法 1 可知点 P 到圆心的距 离为 2r.点 P 满足轨迹(x1)2y24r2，因为存在唯一最大值所以该圆和直线 3x4y70 相切，此时 满足圆心到直线的距离 d2r，又因为 d2，解得 r1. 第 7 页 / 共 12 页 5、 （2020 届北京市陈经纶中学高三上学期 10 月月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中 给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是
15、常数(0,1)的点M的轨迹是圆. 若两定点A、B的距离为 3，动点M满足2MAMB，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）. A B2 C3 D4 【答案】D 【解析】以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则3,0 .B设,M x y， 依题意有， 22 22 2 (3) xy xy ， 化简整理得， 22 8120 xyx， 即 22 (4)4xy， 则圆的面积为4 故选 D 6、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知点A在圆 22 4xy上，且 7 12 xOA，则点A的横坐 标为（ ） A 26 2 B 26 4 C1 3 4 D1 3 2 【答案】A 【解析】由
16、题设点A 00 (,)xy，点A在圆上， 22 00 4xy， 7 12 xOA， 726 coscos()coscossinsin 124343434 00 22 00 7 cos,cos 122 xx xOA xy ， 0 26 2 x . 故选：A 7、（2020届山东省德州市高三上期末） 已知点A 是直线:20l xy上一定点， 点P、Q是圆 22 1xy 上的动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是（ ） 第 8 页 / 共 12 页 A0, 2 B 1,21 C 2,0 D 21,1 【答案】AC 【解析】如下图所示： 原点到直线l的距离为 22 2 1 11 d ，则直线
17、l与圆 22 1xy相切， 由图可知，当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时， PAQ 取得最大值， 连接OP、OQ，由于PAQ的最大值为90，且90APOAQO，1OPOQ， 则四边形APOQ为正方形，所以22OAOP， 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt ， 整理得 2 22 20tt ，解得0t 或 2，因此，点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选：AC. 题型二、直线与圆的位置关系题型二、直线与圆的位置关系 1、 （2020 届清华大学附属中学高三第一学期 12 月月考）已知直线 0 xym 与圆O： 22 1xy相交 于A，B两点，若OAB为正三角形，则实数m的值为（ ）
18、A 3 2 B 6 2 C 3 2 或 3 2 D 6 2 或 6 2 第 9 页 / 共 12 页 【答案】D 【解析】 由题意得，圆 22 :1O xy的圆心坐标为(0,0)，半径1r . 因为OAB为正三角形，则圆心O到直线0 xym的距离为 33 22 r ， 即 3 22 m d ，解得 6 2 m或 6 2 m ，故选 D. 2、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线 1: 0lkxy()kR 与直线 2: 220lxkyk 相交于点 A，点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|AB的最大值为（ ） A3 2 B5 2 C5 2 2 D3 2 2 【答案
19、】C 【解析】 由 0 220 kxy xkyk ，消去参数k得 22 (1(1)2xy）， 所以A在以(1,1)C为圆心， 2为半径的圆上， 又点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，此圆圆心为 ( 2, 3)D ，半径为 2， 22 (1 2) )(1 3)5CD ， AB的最大值为2252 2CD 故选：C. 3、 （2020 届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12 月)月考数学试题）直线 3 3 yx 被圆 22 (2)4xy截得的弦长为_. 【答案】2 3 【解析】直线方程一般式为30 xy，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离为 22 20 1 1(3) d ， 圆半径
20、为2r =， 所以弦长为 2222 22 212 3rd 第 10 页 / 共 12 页 故答案为：2 3 4、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）直线y x 与圆 22 40 xxy相交于A、B两点，则 AB _. 【答案】2 2 【解析】 圆的标准方程为 22 (2)4xy，圆心到直线的距离 2 2 2 d ， 所以弦长： 2 2 42 2ABd . 故答案为：2 2 5、 （2020 全国高三专题练习（理） ）已知圆 22 212xy关于直线10,0axbyab对称， 则 21 ab 的最小值为_ 【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b 21212222 25529
21、 baab ab abababba 当且仅当 22ab ba 时，又0,0ab 即ab时等号成立， 故 21 ab 的最小值为 9. 故答案为：9 6、 （2020 届北京市顺义区高三上学期期末数学试题） 直线: 1l ykx与圆 22 :1O xy相交于 ,A B两点, 当AOB的面积达到最大时,k _. 【答案】 【解析】由圆 22 :1O xy, 得到圆心坐标为0,0O ,半径1r , 第 11 页 / 共 12 页 把直线的方程为:1l ykx, 整理为一般式方程得：:10l kxy , .圆心0,0O到直线AB的距离 2 1 1 d k = + 弦AB的长度 2 22 2 22 1
22、k ABrd k , 2 22 2 1 11 2 1 211 1 AOB kk S kk k k k =创= + + + , 又因为 11 22kk kk +匙=, 1 2 AOB S? 当且仅当 1 k k = 时取等号, AOB S取得最大值,最大值为 1 2 . 解得1k 故答案为： 7、 （江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高三下学期期初考）已知圆 22 :420C xyxy ，过点 (6,0)P 的直线l与圆C在x轴上方交于A，B两点，且 3PAPB ，则直线l的斜率为_ 【答案】 8 15 【解析】设直线l的倾斜角为 (0) ，则直线l的参数方程为 6cos sin xt
23、 yt ， 代入 22 420 xyxy，得 2 (2sin8cos )120tt， 设A，B对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 2sin8costt ， 1 2 12t t ， 由3PAPB，得 12 3tt ， 122 4ttt ， 2 1 22 3t tt， 222 122 2 1 22 ()16(2sin8cos )16 1233 ttt t tt ， 整理得： 2 (2sin8cos )64， 由题可知， 2 ，则2sin8cos0，得sin4cos4， 第 12 页 / 共 12 页 联立 22 sin4cos4 1sincos ，解得 8 sin 17 15 cos 1
24、7 ，则 8 tan 15 ， 即直线l的斜率为 8 15 ， 故答案为： 8 15 8、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研）在平面直角坐标系xOy中，AB是圆 22 :224Cxy的弦， 且2 3AB ， 若存在线段AB的中点P， 使得点P关于x轴对称的点Q 在直线30kxy上，则实数k的取值范围是_. 【答案】 4 ,0 3 【解析】因为点P为弦AB的中点,所以CPAB, 在Rt CPB中,| 2CB ,|3PB ,所以 2222 |2( 3)1CPCBPB , 所以点P的轨迹为以 (2,2)C 为圆心,1为半径的圆, 因为点Q与点P关于x轴对称,所以点Q的轨迹为以(2, 2)为圆心,1为半径的圆, 因为点Q在直线30kxy上, 所以直线30kxy与圆: 22 (2)(2)1xy有交点, 所以 2 |223| 1 1 k k ,即 2 340kk ,解得 4 0 3 k, 故答案为: 4 ,0 3
