考点24 直线与圆的基本量(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 12 页 考点考点 24 直线与圆的基本量直线与圆的基本量 1. 掌握直线方程的五种形式的特点与适用范围,能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线 的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系 . 2. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式,并能进行简单应用;会求两条平行直线间的 距离 3. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标 准方程与一般方程之间的关系,会进行互化 圆的方程在高考题中属于必考问题,主要是考查根据所给条件来求圆的方程 . 这类问题在高 考中,既可以以小题的形式进行考查,又可以在解答题中进行考查,大多以中档题

2、为主 近五年的高考题中都有涉及,主要是解析几何综合问题中的直线方程的求解、直线与圆的位置 关系的研究,在今后的高考中,这些依然是考查的重点 . 1. 直线方程的基本量:斜率和截距,在解决与它们有关系的问题时,要注意对斜率不存在的特殊 情况的讨论 . 当直线不垂直于 y 轴但可垂直 x 轴时,我们又可以将直线方程设为 x =my+ a 的形式,这样可以避免对斜率 k 进行讨论 . 2. 直线的五种方程各有其特点,在选用时要根据所给条件灵活使用,一般情况下,我们会选用直 线的斜截式、点斜式方程 . 3. 判定直线与直线的位置关系时,要注意所用判断条件是否是充要条件,否则容易出现漏解的 情况 . 4

3、. 对于光线反射问题,我们可以根据光的反射定理,将它转化为对称问题来加以解决 5由于直线方程和圆的方程的考查要求都是 C 级,所以近五年中有关这两者的综合问题是解 析几何的重点 . 在填空题中多在知识网络交汇处命题,考查对动态图形分析的能力,在解答题 中则是以多个几何图形交汇、以位置关系为切入点考查直线方程和圆的方程求解,这类问题中 还涉及方程思想的运用,难度较大 . 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 12 页 1、 【2020 年天津卷】知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若|

4、 6AB ,则r 的值为_ 【答案】5 【解析】因为圆心0,0到直线380 xy的距离 8 4 1 3 d , 由 22 | 2ABrd 可得 22 624r ,解得=5r 故答案为:5 2、 【2020 年浙江卷】.设直线: (0)l ykxb k ,圆 22 1: 1Cxy, 22 2:( 4)1Cxy,若直线l与 1 C, 2 C都相切,则k _;b=_ 【答案】 (1). 3 3 (2). 2 3 3 【解析】由题意, 12 ,C C到直线的距离等于半径,即 22 | 1 1 b k , 22 |4| 1 1 kb k , 所以| |4bkb,所以0k (舍)或者2bk, 解得 32

5、3 , 33 kb . 故答案为: 32 3 ; 33 3、 【2020 年北京卷】.已知半径为 1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】设圆心,C x y,则 22 341xy , 化简得 22 341xy, 所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心,1 为半径的圆, 第 3 页 / 共 12 页 所以| 1 |OCOM 22 345 ,所以| 5 14OC , 当且仅当C在线段OM上时取得等号, 故选:A. 4、 【2020 年全国 2 卷】 .若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线230

6、xy的距离为 ( ) A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 【答案】B 【解析】由于圆上的点2,1在第一象限,若圆心不在第一象限, 则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限, 设圆心的坐标为, a a,则圆的半径为a, 圆的标准方程为 22 2 xayaa. 由题意可得 22 2 21aaa, 可得 2 650aa,解得 1a 或5a, 所以圆心的坐标为1,1或5,5, 圆心到直线的距离均为 1 2 1 1 32 5 55 d ; 圆心到直线的距离均为 2 2 5532 5 55 d 圆心到直线230 xy的距离均为 22 5 55 d ; 第

7、 4 页 / 共 12 页 所以,圆心到直线230 xy的距离为 2 5 5 . 故选:B. 5、 【2020 年全国 3 卷】若直线 l与曲线 y= x和 x 2+y2=1 5 都相切,则 l的方程为( ) A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1 D. y= 1 2 x+ 1 2 【答案】D 【解析】设直线l在曲线yx上的切点为 00 ,xx,则 0 0 x , 函数yx的导数为 1 2 y x ,则直线l的斜率 0 1 2 k x , 设直线l的方程为 00 0 1 2 yxxx x ,即 00 20 xx yx, 由于直线l与圆 22 1 5 xy相切,

8、则 0 0 1 145 x x , 两边平方并整理得 2 00 5410 xx ,解得 0 1x , 0 1 5 x (舍) , 则直线l的方程为 210 xy ,即 11 22 yx. 故选:D. 6、 【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos ,sin )到直线20 xmy的距 离,当 ,m 变化时,d 的最大值为 A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 22 cossin1,P 为单位圆上一点,而直线 20 xmy 过点 A(2,0) ,所以 d 的最 大值为 OA+1=2+1=3,故选 C. 7、 【2018 年高考全国卷理数】直线 20 xy

9、分别与x轴, y 轴交于A,B两点,点P在圆 22 (2)2xy上,则ABP面积的取值范围是 A 26, B48, 第 5 页 / 共 12 页 C 23 2 , D2 23 2 , 【答案】A 【解析】直线20 xy分别与x轴,y轴交于A,B两点,2,0 ,0, 2AB,则2 2AB . 点 P 在圆 22 (2)2xy上,圆心为(2,0) ,则圆心到直线的距离 1 202 2 2 2 d . 故点 P 到直线20 xy的距离 2 d的范围为2,3 2 ,则 22 1 22,6 2 ABP SAB dd . 故答案为 A. 8、【2019 年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,)m,半径长

10、是r.若直线230 xy与圆 C 相切于 点( 2, 1)A ,则m=_,r=_ 【答案】2,5 【解析】由题意可知 11 :1(2) 22 AC kAC yx ,把(0,)m代入直线 AC 的方程得2m, 此时|4 15rAC . 题型一题型一 圆的方程圆的方程 1、(2019 苏州期末) 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(1,3),B(4,6),且圆心在直线 x2y10 上 的圆的标准方程为_ 【答案】 (x5)2(y2)217 思路分析 由圆心既的线段 AB 的垂直平分线上,又在直线 x2y10 上,先求出圆心的坐标 线段 AB 的中点为 M 5 2, 9 2 ,斜率 kAB1,所

11、以线段 AB 的垂直平分线方程为 y9 2 x5 2 ,即 x y7. 由 xy7, x2y1,得圆心 C(5,2),半径 rCA 17,圆 C 的方程为(x5) 2(y2)217. 所以圆的方程为(x5)2(y2)217. 2、(2019 镇江期末)已知圆 C 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点,且过点 A(0,6),则圆 C 的标准方 程为_ 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 12 页 【答案】 (x3)2(y3)218 【解析】由几何知识可知,圆心 C 在圆 x2y210 x10y0 的圆心与原点的连线 yx 上,又在 OA 的垂 直平分线 y3 上,所以 C(3,3

12、),易得圆 C 的标准方程为(x3)2(y3)218. 3、 (2020 届山东省滨州市高三上期末)在平面直角坐标系xOy中,A为直线: 3l yx 上在第三象限内的点, 10,0B ,以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,ABCD,则圆C的标 准方程为_. 【答案】 22 7645xy 【解析】由题意,设点 ( ,3 ),0A m m m ,因为10,0B ,则AB的中点为 10 3 , 22 mm C , 以线段AB为直径的圆C的方程为:( 10)()(3 )0 xxmy ym ; 由 (10)()(3 )0 3 xxmy ym yx ,解得: 1 3 x y ,即(

13、 1, 3)D ; 又ABCD,所以 0AB CD ; 因为( 10, 3 )ABmm , 83 , 3 22 mm CD 所以 83 ( 10)330 22 mm mm , 整理得: 2 280mm,解得 4m 或2m,因为0m,所以4m , 所以圆C的方程为:( 10)(4)(12)0 xxy y , 整理得: 22 7645xy. 故答案为: 22 7645xy. 4、(2019 南京、盐城一模)设 A(x,y)|3x4y7,点 PA,过点 P 引圆(x1)2y2r2(r0)的两条切 线 PA,PB,若APB 的最大值为 3 ,则 r 的值为_ 【答案】 1 解法 1 设圆心为 C.因为

14、APB2APC,所以APC 的最大值为 6 ,所以 PC 的最小值为 2r,则 |3(1)407 3242 22r,即 r1. 解法 2 如图,求出满足使APB 最大值的点 P 轨迹,连接 P 点和圆心,由解法 1 可知点 P 到圆心的距 离为 2r.点 P 满足轨迹(x1)2y24r2,因为存在唯一最大值所以该圆和直线 3x4y70 相切,此时 满足圆心到直线的距离 d2r,又因为 d2,解得 r1. 第 7 页 / 共 12 页 5、 (2020 届北京市陈经纶中学高三上学期 10 月月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中 给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A、B距离之比是

15、常数(0,1)的点M的轨迹是圆. 若两定点A、B的距离为 3,动点M满足2MAMB,则M点的轨迹围成区域的面积为( ). A B2 C3 D4 【答案】D 【解析】以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系,则3,0 .B设,M x y, 依题意有, 22 22 2 (3) xy xy , 化简整理得, 22 8120 xyx, 即 22 (4)4xy, 则圆的面积为4 故选 D 6、 (2020 届山东省九校高三上学期联考)已知点A在圆 22 4xy上,且 7 12 xOA,则点A的横坐 标为( ) A 26 2 B 26 4 C1 3 4 D1 3 2 【答案】A 【解析】由

16、题设点A 00 (,)xy,点A在圆上, 22 00 4xy, 7 12 xOA, 726 coscos()coscossinsin 124343434 00 22 00 7 cos,cos 122 xx xOA xy , 0 26 2 x . 故选:A 7、(2020届山东省德州市高三上期末) 已知点A 是直线:20l xy上一定点, 点P、Q是圆 22 1xy 上的动点,若PAQ的最大值为90,则点A的坐标可以是( ) 第 8 页 / 共 12 页 A0, 2 B 1,21 C 2,0 D 21,1 【答案】AC 【解析】如下图所示: 原点到直线l的距离为 22 2 1 11 d ,则直线

17、l与圆 22 1xy相切, 由图可知,当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时, PAQ 取得最大值, 连接OP、OQ,由于PAQ的最大值为90,且90APOAQO,1OPOQ, 则四边形APOQ为正方形,所以22OAOP, 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt , 整理得 2 22 20tt ,解得0t 或 2,因此,点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选:AC. 题型二、直线与圆的位置关系题型二、直线与圆的位置关系 1、 (2020 届清华大学附属中学高三第一学期 12 月月考)已知直线 0 xym 与圆O: 22 1xy相交 于A,B两点,若OAB为正三角形,则实数m的值为( )

18、A 3 2 B 6 2 C 3 2 或 3 2 D 6 2 或 6 2 第 9 页 / 共 12 页 【答案】D 【解析】 由题意得,圆 22 :1O xy的圆心坐标为(0,0),半径1r . 因为OAB为正三角形,则圆心O到直线0 xym的距离为 33 22 r , 即 3 22 m d ,解得 6 2 m或 6 2 m ,故选 D. 2、 (2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知直线 1: 0lkxy()kR 与直线 2: 220lxkyk 相交于点 A,点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点,则|AB的最大值为( ) A3 2 B5 2 C5 2 2 D3 2 2 【答案

19、】C 【解析】 由 0 220 kxy xkyk ,消去参数k得 22 (1(1)2xy), 所以A在以(1,1)C为圆心, 2为半径的圆上, 又点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点,此圆圆心为 ( 2, 3)D ,半径为 2, 22 (1 2) )(1 3)5CD , AB的最大值为2252 2CD 故选:C. 3、 (2020 届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12 月)月考数学试题)直线 3 3 yx 被圆 22 (2)4xy截得的弦长为_. 【答案】2 3 【解析】直线方程一般式为30 xy,圆心为(2,0),它到已知直线的距离为 22 20 1 1(3) d , 圆半径

20、为2r =, 所以弦长为 2222 22 212 3rd 第 10 页 / 共 12 页 故答案为:2 3 4、 (2020 届山东省九校高三上学期联考)直线y x 与圆 22 40 xxy相交于A、B两点,则 AB _. 【答案】2 2 【解析】 圆的标准方程为 22 (2)4xy,圆心到直线的距离 2 2 2 d , 所以弦长: 2 2 42 2ABd . 故答案为:2 2 5、 (2020 全国高三专题练习(理) )已知圆 22 212xy关于直线10,0axbyab对称, 则 21 ab 的最小值为_ 【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心,即21a b 21212222 25529

21、 baab ab abababba 当且仅当 22ab ba 时,又0,0ab 即ab时等号成立, 故 21 ab 的最小值为 9. 故答案为:9 6、 (2020 届北京市顺义区高三上学期期末数学试题) 直线: 1l ykx与圆 22 :1O xy相交于 ,A B两点, 当AOB的面积达到最大时,k _. 【答案】 【解析】由圆 22 :1O xy, 得到圆心坐标为0,0O ,半径1r , 第 11 页 / 共 12 页 把直线的方程为:1l ykx, 整理为一般式方程得::10l kxy , .圆心0,0O到直线AB的距离 2 1 1 d k = + 弦AB的长度 2 22 2 22 1

22、k ABrd k , 2 22 2 1 11 2 1 211 1 AOB kk S kk k k k =创= + + + , 又因为 11 22kk kk +匙=, 1 2 AOB S? 当且仅当 1 k k = 时取等号, AOB S取得最大值,最大值为 1 2 . 解得1k 故答案为: 7、 (江苏省南通市如皋市 2019-2020 学年高三下学期期初考)已知圆 22 :420C xyxy ,过点 (6,0)P 的直线l与圆C在x轴上方交于A,B两点,且 3PAPB ,则直线l的斜率为_ 【答案】 8 15 【解析】设直线l的倾斜角为 (0) ,则直线l的参数方程为 6cos sin xt

23、 yt , 代入 22 420 xyxy,得 2 (2sin8cos )120tt, 设A,B对应的参数分别为 1 t, 2 t,则 12 2sin8costt , 1 2 12t t , 由3PAPB,得 12 3tt , 122 4ttt , 2 1 22 3t tt, 222 122 2 1 22 ()16(2sin8cos )16 1233 ttt t tt , 整理得: 2 (2sin8cos )64, 由题可知, 2 ,则2sin8cos0,得sin4cos4, 第 12 页 / 共 12 页 联立 22 sin4cos4 1sincos ,解得 8 sin 17 15 cos 1

24、7 ,则 8 tan 15 , 即直线l的斜率为 8 15 , 故答案为: 8 15 8、 (江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研)在平面直角坐标系xOy中,AB是圆 22 :224Cxy的弦, 且2 3AB , 若存在线段AB的中点P, 使得点P关于x轴对称的点Q 在直线30kxy上,则实数k的取值范围是_. 【答案】 4 ,0 3 【解析】因为点P为弦AB的中点,所以CPAB, 在Rt CPB中,| 2CB ,|3PB ,所以 2222 |2( 3)1CPCBPB , 所以点P的轨迹为以 (2,2)C 为圆心,1为半径的圆, 因为点Q与点P关于x轴对称,所以点Q的轨迹为以(2, 2)为圆心,1为半径的圆, 因为点Q在直线30kxy上, 所以直线30kxy与圆: 22 (2)(2)1xy有交点, 所以 2 |223| 1 1 k k ,即 2 340kk ,解得 4 0 3 k, 故答案为: 4 ,0 3

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