1、江苏省南京市秦淮区江苏省南京市秦淮区 2020-2021 学年度高三学年度高三上期中上期中联考数学联考数学试卷试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知全集 U=R，集合 M=13|xx，N=11|xx，则阴影部分表示的集合是（ ） A.11， B13， C13 ， D ，13 2若复数iz1，则 z z 1 （ ） A1 B2 C22 D4 3已知函数 xxf xx ln22 的图象大致为（ ） 44 32 111xxx的展开式中，含 x2的系数是（ ） A1 B3 C
2、6 D10 5设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，mn，n，则 D若 =m，n，则 n 6已知奇函数 xf的图象关于直线 x=3 对称，当30，x时， xxf，则16f（ ） A2 B1 C1 D2 7历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用， 比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，89，144，233即 F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n1） F（n2）， * 3Nnn
3、，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数 列被 4 整除后的余数构成一个新数列 n b，则 b2020=（ ） A3 B2 C1 D0 8已知函数 ， ， 022 0211 xxf xx ，若方程 axxf在区间42，内有 3 个不相等的实根， 则实数 a 的取值范围是（ ） A02|aa B02|aa C2102|aaa或 D102|aaa或 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得多项
4、符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 3 分，分， 不选或有错选的得不选或有错选的得 0 0 分分 9比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5 分，分值高者为优）， 绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为 4，乙的数学抽象指 标值为 5，则下面叙述正确的是（ ） A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 10若将函
5、数 12 2cos xxf的图象向左平移 8 个单位长度，得到函数 xg的图象，则下 列说法正确的是（ ） A xg的最小正周期为 B xg在区间 2 0 ，上单调递减 C 12 x不是函数 xg图象的对称轴 D xg在区间 66 ，上的最小值为 2 1 11 设公差不为 0 的等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 1817 SS， 则下列各式的值为 0 的是 （ ） A 17 a B 35 S C 1917 aa D 1619 SS 12某同学对函数 xx ee x xf sin 进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A函数 xfy 的图象关于原点对称 B对定义域中的任意实
6、数 x 的值，恒有 1xf成立 C函数 xfy 的图象与 x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等 D对任意常数 m0，存在常数 bam，使函数 xfy 在ba，上单调递减 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13已知3tan，则 2 sin2tan的值为 14设函数 xkxxfln在区间，1单调递增，则 k 的取值范围是 15数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对 的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错得
7、不得分，已知某道数学多选题正确答案为 B，D，小 明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率为 16如图，在侧棱长为 3 的正三棱锥 A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥 的表面上有一个动点 P，且点 P 到点 B 的距离始终等于32，则动点在 P 在三棱锥表面形成 的曲线的长度为 四、四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 已知 xxxf
8、2log2log 33 （1）判断函数 xf的奇偶性并证明； （2）解不等式 1xf 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足：a12， *1 1 22Nnaa n nn （1）记 n n n a b 2 ，证明：数列 n b为等差数列； （2）求数列 n a的通项公式 n a及前 n 项和 n S 19（本小题满分 12 分） 在a6；a8；a12 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三 角形存在，求 sinB 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为S，且 a2b2 c2=4S，c=25，_
9、？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 20（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 （1）证明：PB平面 AEC； （2）设 PA1，ABC=60，三棱锥 E-ACD 的体积为 8 3 ，求二面角 D-AE-C 的余弦值 21. (本小题满分 12 分) 携号转网， 也称作号码携带、 移机不改号， 即无需改变自己的手机号码， 就能转换运营商， 并享受其提供的各种服务。2019 年 11 月 27 日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动。 某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出 300 名客户，对
10、业务水平和服务水平的评价进行 统计，其中业务水平的满意率为 15 13 ，服务水平的满意率为 3 2 ，对业务水平和服务水平都满意 的客户有 180 人。 （）完成下面 22 列联表，并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关 （）为进 一步提高 服务质量， 在选出的 对服务水 平不满意 的客户中， 抽取 2名征 求改进意见，用 X 表示对业务水平不满意的人数，求 X 的分布列与期望； （）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的 客户流失率为 5%，只对其中一项不满意的客户流失率为 34%，对两项都不满意的客户流失率 为 85%， 从该运营系
11、统中任选 4 名客户， 则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率 为多少？ 附： dbcadcba bcadn K 2 2 ，dcban P （K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22. (本小题满分 12 分) 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平 满意人数 对业务水平 不满意人数 合计 已知函数 Raxaxxxf3ln 2 （1）若函数 xf在点 11 f，处的切线方程为2y，求函数 xf的极值； （2）若 a=1，对于任意 21 xx，1
12、,10，当 21 xx 时，不等式 21 21 21 xx xxm xfxf 恒成立， 求实数 m 的取值范围 江苏省南京市秦淮区江苏省南京市秦淮区 2020-2021 学年度高三学年度高三上期中上期中联考数学联考数学试卷试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知全集 U=R，集合 M=13|xx，N=11|xx，则阴影部分表示的集合是（ ） A.11， B13， C13 ， D ，13 【答案】C 【考点】集合的运算 【解析】由题意阴影部分表示 M 中去掉 MN 的部分
13、，且 MN=N=11，则阴影部分表示： 13 ，故答案选 C. 2若复数iz1，则 z z 1 （ ） A1 B2 C22 D4 【答案】B 【考点】复数的运算 【解析】由题意 2111 1 111 1 i i ii ii i i z z ，故答案选 B. 3已知函数 xxf xx ln22 的图象大致为（ ） 【答案】B 【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数 xfxxf xx ln22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除 D 选项；因为022 xx ，而xln可以取到负数，则排除 C 选项；去特殊值 01 f，且当 xfx，则排除 A，故答案选 B. 44 32 111xxx的展开式中，
14、含 x2的系数是（ ） A1 B3 C6 D10 【答案】D 【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意4 32 111xxx的展开式中，含 x2的系数为10 2 4 2 3 2 2 CCC，故答案 选 D. 5设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，mn，n，则 D若 =m，n，则 n 【答案】C 【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直 【解析】对于 A 选项，m 与 n 可相交、异面，则选项 A 错误；对于 B 选项，m 与 n 可异面， 则选项 B 错误；对于 C 选项，若 m，mn，可推导
15、出 n，又由 n，利用面面垂直的 判定定理可推出 ，则选项 C 正确；对于 D 选项，n 与 可平行、相交，则选项 D 错误； 故答案选 C. 6已知奇函数 xf的图象关于直线 x=3 对称，当30，x时， xxf，则16f（ ） A2 B1 C1 D2 【答案】D 【考点】函数概念与基本性质 【解析】由题意 xf为奇函数，则 xfxf，又 xf的图象关于直线 x=3 对称，则 xfxf6，则有 xfxfxf6，即 xfxf6，所以 xfxfxfxf612，则周期为 12，所以 224416ffff. 故答案选 D. 7历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作
16、用， 比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，89，144，233即 F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n1） F（n2）， * 3Nnn ，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数 列被 4 整除后的余数构成一个新数列 n b，则 b2020=（ ） A3 B2 C1 D0 【答案】A 【考点】文化题：利用周期性求数列的项 【解析】由题意可知“兔子数列”被 4 整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0， 1，1，2，3，1，0，则可得到周期为 6，所以 b2020=b4=3，故答案选 A
17、. 8已知函数 ， ， 022 0211 xxf xx ，若方程 axxf在区间42，内有 3 个不相等的实根， 则实数 a 的取值范围是（ ） A02|aa B02|aa C2102|aaa或 D102|aaa或 【答案】D 【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点） 【解析】 由题意方程 axxf在区间42，内有 3 个不相等的实根， 可等价于函数 xfy 与 函数axy的图象在42，内有三个交点.因为当02，x时， 11xxf， 当20，x时， 022，x，所以 11222xxfxf， 因为当42，x时，202，x，所以 31422xxfxf， 如图，可画出函数 xfy 在42，内的图象
18、，有图象可知，当 02a 或 a=1 时， xfy 与函数 axy 的图象在42，内有三个交点. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 3 分，分， 不选或有错选的得不选或有错选的得 0 0 分分 9比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5 分，分值高者为优）， 绘制了如图所示的
19、六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为 4，乙的数学抽象指 标值为 5，则下面叙述正确的是（ ） A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值 B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 【答案】AC 【考点】信息统计与理解应用 【解析】对于 A 选项，甲的逻辑推理能力指标值为 4，乙的逻辑推理能力指标值为 3，所以甲 的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项 A 正确；对于 B 选项，甲的数 学建模能力指标值为 3，乙的直观想象能力指标值为
20、 5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲 的直观想象能力指标值，故选项 B 错误；对于 C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为 6 23 435434 6 1 ，乙的六维能力指标值的平均值为 6 23 4345345 6 1 ， 所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项 C 正确；对 于 D 选项，甲的数学运算能力指标值为 4，甲的直观想象能力指标值为 5，所以甲的数学运算 能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项 D 错误；故答案选 AC. 10若将函数 12 2cos xxf的图象向左平移 8 个单位长度，得到函数 xg的图象，则下 列说法正确的是（ ）
21、 A xg的最小正周期为 B xg在区间 2 0 ，上单调递减 C 12 x不是函数 xg图象的对称轴 D xg在区间 66 ，上的最小值为 2 1 【答案】ACD 【考点】三角函数的图象与性质 【解析】由题意可知 3 2cos 128 2cos xxxg，对于选项 A， xg的最小正周期 为 2 2 ， 所以 A 选项正确； 对于选项 B， 若 xg单调递减， 则Zkkkx， 22 3 2， 解得Zkkkx ， 36 ，所以 xg在区间 3 0 ，上单调递减，在区间 23 ，上单调 递增， 所以 B 选项错误； 对于选项 C， 当 12 x时，10 312 2cos 12 g， 所以 12
22、x 不是函数 xg图象的对称轴，故 C 选项正确；对于选项 D， 66 ，x， 3 2 0 3 2 ，x， 则 xg 1 2 1 ，即 xg在区间 66 ，上的最小值为 2 1 ，故 D 选项正确。 所以答案选 ACD. 11 设公差不为 0 的等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 若 1817 SS， 则下列各式的值为 0 的是 （ ） A 17 a B 35 S C 1917 aa D 1619 SS 【答案】BD 【考点】等差数列的通项公式及求和 【解析】由题意可设 n a的首项为 1 a，公差为 d，因为 1817 SS，所以代入求和公式可得 dada 2 1718 18 2 1
23、617 17 11 ，化简得da17 1 ，所以dnan18， d nndnddn Sn 2 53 2 1817 ，所以0 81 a，0 35 S，daa2 1917 ， 0 2 1916 2 1619 1619 ddSS，所以答案选 BD. 12某同学对函数 xx ee x xf sin 进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A函数 xfy 的图象关于原点对称 B对定义域中的任意实数 x 的值，恒有 1xf成立 C函数 xfy 的图象与 x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等 D对任意常数 m0，存在常数 bam，使函数 xfy 在ba，上单调递减 【答案】BD 【考点】函数
24、的性质、函数与方程 【解析】由题意对于选项 A，函数 xx ee x xf sin 的定义域为0|xx，且 xf ee x ee x xf xxxx sinsin ，所以 xf为偶函数，即函数 xfy 的图象关于 y 轴对称， 故 A 选项错误； 对于选项 B， 由 A 选项可知 xf为偶函数， 所以当 x0 时，0 xx ee， 所以 1 sin xx ee x xf， 可 得 到 xx eex s i n， 即0s i n xee xx ， 可 设 0s i n xxeexh xx ， xeexh xx cos ，因为0 xx ee，所以 0cos xeexh xx ，所以 xh在，0上
25、单调递增，所以 00 hxh，即 1 sin xx ee x xf恒成立，故 B 选项正确； 对于选项 C，函数 xfy 的图象与 x 轴的交点坐标为00kZkk，且，交点0，与 0，间的距离为2，其余任意相邻两点的距离为，故 C 选项错误；对于选项 D， 0 sincos 2 xx xxxx ee xeexee xf，可化为 ex(cosxsinx) 0sincos xxe x ， 不 等 式 两 边 同 除 以 x e得 ，xxxxe x s inc o ss inc o s 2 ， 当 Zkkkx 2 4 3 2 4 ，0sincosxx，0sincosxx，区间长度为1 2 ，所以对
26、于任意常数 m0，存在常数 bam， kkba2 4 3 2 4 ， Zk，使函数 xfy 在ba，上单调递减，故 D 选项正确； 所以答案选 BD. 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13已知3tan，则 2 sin2tan的值为 【答案】 20 33 【考点】三角函数诱导公式、三角恒等变换 【 解 析 】 由 题 意3tan， 所 以3t a n， 所 以 4 3 tan1 tan2 2tan 2 ， 10 9 1tan tan cossin sin s
27、in 2 2 22 2 2 ，所以 20 33 10 9 4 3 sin2tan 2 . 14设函数 xkxxfln在区间，1单调递增，则 k 的取值范围是 【答案】，1 【考点】函数的单调性与导数、恒成立问题 【解析】由题意可得 0 1 x kxf在区间，1上恒成立，所以 x k 1 在区间，1上恒成 立，所以1 1 max x k，所以 k 的取值范围为，1. 15数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对 的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错得不得分，已知某道数学多选题正确答案为 B，D，小 明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，
28、则他能得分的概率为 【答案】 14 3 【考点】利用排列组合求概率 【解析】由题意可知随机地填涂了一到三个选项，共有14 3 4 2 4 1 4 CCC种涂法，而得分的涂 法为 B、BD、D，共有 3 种，则能得分的概率为 14 3 . 16如图，在侧棱长为 3 的正三棱锥 A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥 的表面上有一个动点 P，且点 P 到点 B 的距离始终等于32，则动点在 P 在三棱锥表面形成 的曲线的长度为 【答案】 2 33 【考点】空间点与平面的位置关系 【解析】由题意可设动点 P 在三棱锥表面形成的曲线是 EFGH，如图所示，则 BE=BH=32， 在 R
29、tBAH 中， 2 3 32 3 cosHBA，所以 6 HBA， 1264 HBG，所以弧 6 3 12 32 HG， 同 理 得 弧 6 3 EF， 在Rt HAE中 ， 2 H A E， 3332 2 2 AEAH，则弧 2 3 2 3 HE，在等边三角形 BCD 中， 3 CBD， 所以弧 3 32 3 32 GF，则所求曲线的长度为 2 33 3 32 2 3 6 3 6 3 . 四、四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说
30、明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 已知 xxxf2log2log 33 （1）判断函数 xf的奇偶性并证明； （2）解不等式 1xf 【考点】函数的基本性质、对数运算、解对数不等式 【解析】（1）由题意，因为 xxxf2log2log 33 ，所以 02 02 x x ，解得2x2，所 以函数 xf的定义域为22，关于原点对称， 因为 xfxxxxxf2log2log2log2log 3333 ，所以函数 xf为22， 上的奇函数； （2）因为 x x xxxf 2 2 log2log2log 333 ，所以 3 2 2 22 x x x ，解得 2xa，所以 CA，又因为
31、 4 C，则 A 只有一解，且 2 0 ，A，所以 5 4 5 3 1sin1cos 2 2 AA， 所以 10 27 2 2 5 4 2 2 5 3 sinsincossinsinsinACCACAB； 若选a8，由正弦定理可得 C c A a sinsin ，解得 5 4 2 2 25 8 sinsinC c a A， 在ABC 中，因为 ca，所以 C0），不等式可化为 21 xhxh， 因为对任意 21 xx，1,10，当 21 xx 时，不等式 21 xhxh恒成立， 则可知 x m xfxh在1,10上单调递减， 因为 2 23 2 32 32 1 x mxxx x m x x xh ， 所以032 23 mxxx在1,10上恒成立， 则xxxm 23 32在1,10上恒成立， 令 mxxxx 23 32，则 01 2 1 2 1 6166 2 2 xxxx， 所以 x在1,10上单调递增，所以 171010 max x， 所以 m1710，所以实数 m 的取值范围为，1710
