1、1 江苏省苏州市江苏省苏州市 2020202020212021 学年度第一学期期中考试学年度第一学期期中考试 高三数学 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 60 x xx，B 2 4x x ，则 AB A(2，3) B2，3 C(2，3 D2，32 2角的终边经过点(3sin，cos)，则 sin的值为 A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 3 4 3等差数列 n a中， 123 24aaa ， 181920 78aaa，则此数列的前 20
2、项和等于 A160 B180 C200 D220 4函数“ 2 ( )21f xxxa 的定义域为 R”是“a1”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数 2 (ee )cos ( ) xx x f x x 的部分图像大致是 6已知函数( )lnf xxx，若直线 l 过点(0，e)，且与曲线 C：( )yf x相切，则直线 l 的斜率为 A2 B2 Ce De 7衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为：e kt Va 已知新丸经过 50 天后，体积变为 4 9 a若
3、一个新丸体积变为 8 27 a， 则需经过的天数为 A125 B100 C75 D50 2 8设 n S为等比数列 n a的前 n 项和，若0 n a ， 1 1 2 a ，2 n S ，则等比数列 n a的公比的取值范围是 A(0， 3 4 B(0， 2 3 C(0， 3 4 ) D(0， 2 3 ) 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知函数( )cos3sinf xxx，( )( )g xfx，则 A( )g x的图像关于点(2，0)对称 B( )g x的图像的
4、一条对称轴是 x 6 C( )g x在( 5 6 ， 6 )上递减 D( )g x在( 3 ， 3 )值域为(0，1) 10等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 1 0a ，公差 d0，则 A若 59 SS，则 15 0S B若 59 SS，则 7 S是 n S中最大的项 C若 67 SS，则 78 SS D若 67 SS，则 56 SS 11已知函数( )lg(1)f xx，1ba且( )( )f af b，则 A1a2 Babab Cab 的最小值为 12 D 11 2 11ab 12函数 ln ( )e1 x xk f x x 在(0，)上有唯一零点 0 x，则 A 0 0e 1
5、 x x B 0 1 1 2 x C1k D1k 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知函数 22 ( )(2)f xaxaxa为偶函数，则不等式(2) ( )0 xf x的解集为 14对任意正数 x，满足 2 24 y xyy x ，则正实数 y 的最大值为 15在“全面脱贫”行动中，贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元，用于自己开发 的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的 利润是该月初投入资金的 20%，每月底街缴房租 600 元和水电费
6、400 元，余款作为资金全部用于再进 货，如此继续，预计 2020 年小王的农产品加工厂的年利润为 （取 1.2117.5，1.2129） 3 16已知定义在 R 上的函数( )f x关于 y 轴对称，其导函数为( )fx，当 x0 时，( )1xfx( )f x若对 任意 xR，不等式e(e )e()0 xxx faxaxf ax恒成立，则正整数 a 的最大值为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知函数( )sin()f xx(0， 2 )的最小正周期为 （1）求的值及( )(
7、) 6 gf 的值域； （2）若 3 ，sin2cos0，求( )f的值 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )2 32 a f xxxx (aR) （1）当 a3 时，求函数( )f x的单调递减区间； （2）若对于任意 x1，)都有( )2(1)f xa成立，求实数 a 的取值范围 19 （本小题满分 12 分） 在csin BC 2 asinC，2cosA(bcosCccosB)a，(sinBsinC)2sin2AsinBsinC 中任选一个， 补充在横线上，并回答下面问题 在ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c(31)b， （1）求
8、C 的值； （2）若ABC 的面积为33，求 b 的值 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是等差数列， 数列 n b是等比数列， 且满足 11 2ab， 357 30aaa， 2 316 b ba （1）求数列 n a与 n b的通项公式； 4 （2）设数列 n a， n b的前 n 项和分别为 n S， n T是否存在正整数 k，使得 1k T 32 kk Tb成 立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；解关于 n 的不等式 nn Sb 21 （本小题满分 12 分） 若函数( )f x在 xa，b时，函数值 y 的取值区间恰为 k b ， k a (k0)，则称a，
9、b为( )f x的一个“k 倍倒域区间” 定义在4，4上的奇函数( )g x，当 x0，4时， 2 ( )g xx 4x （1）求( )g x的解析式； （2）求( )g x在2，4内的“8 倍倒域区间” ； （3）若( )g x在定义域内存在“k(k8)倍倒域区间” ，求 k 的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )esin x f xaxx （1）求曲线 C：( )yf x在 x0 处的切线方程； （2）当 a2 时，设函数 ( ) ( ) f x g x x ，若 0 x是( )g x在(，0)上的一个极值点，求证： 0 x是函 数( )g x在(，0)上的唯一极大值点
10、，且 0 0 ()g x2 江苏省苏州市 20202021 学年度第一学期期中考试 高三数学 202011 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 5 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 60 x xx，B 2 4x x ，则 AB A(2，3) B2，3 C(2，3 D2，32 答案：C 解析：集合 A 2 60 x xx2，3，B 2 4x x (，2)(2，)， 故 AB(2，3 2角的终边经过点(3sin，cos)，则 sin的值为 A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 3 4 答案：C
11、 解析：sin 22 cos 0 (3sin)cos sin 1 3 3等差数列 n a中， 123 24aaa ， 181920 78aaa，则此数列的前 20 项和等于 A160 B180 C200 D220 答案：B 解析： 20 2478 20180 3 2 S 4函数“ 2 ( )21f xxxa 的定义域为 R”是“a1”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：B 解析： 2 ( )21f xxxa 的定义域为 R0a，故必要不充分条件 5函数 2 (ee )cos ( ) xx x f x x 的部分图像大致是 答案：A 解析：( )f
12、x为奇函数，x0，( )0f 6已知函数( )lnf xxx，若直线 l 过点(0，e)，且与曲线 C：( )yf x相切，则直线 l 的斜率为 6 A2 B2 Ce De 答案：B 解析： 00 00 0 lne 1 lne2 xx kxxk x 7衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为 a，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为：e kt Va 已知新丸经过 50 天后，体积变为 4 9 a若一个新丸体积变为 8 27 a， 则需经过的天数为 A125 B100 C75 D50 答案：C 解析： 50 4 e 9 k aa ， 8 e 27 tk
13、aa ，两式相比得 t75 8设 n S为等比数列 n a的前 n 项和，若0 n a ， 1 1 2 a ，2 n S ，则等比数列 n a的公比的取值范围是 A(0， 3 4 B(0， 2 3 C(0， 3 4 ) D(0， 2 3 ) 答案：A 解析： 1 1 2 1 n n q S q (0，2)，代入验证选 A 最合适 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知函数( )cos3sinf xxx，( )( )g xfx，则 A( )g x的图像关于点(2，0)对
14、称 B( )g x的图像的一条对称轴是 x 6 C( )g x在( 5 6 ， 6 )上递减 D( )g x在( 3 ， 3 )值域为(0，1) 答案：BC 解析：( )sin3cos2sin() 3 g xxxx ，利用完美区间法代入验证 10等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 1 0a ，公差 d0，则 A若 59 SS，则 15 0S B若 59 SS，则 7 S是 n S中最大的项 C若 67 SS，则 78 SS D若 67 SS，则 56 SS 7 答案：BC 解析：A 错： 5911415 00SSaaS；B 对： n S对称轴为 7； C 对： 67 SS， 8778
15、 0aaSS；D 错：由 C 可知 D 选项不一定成立 11已知函数( )lg(1)f xx，1ba且( )( )f af b，则 A1a2 Babab Cab 的最小值为 12 D 11 2 11ab 答案：ABD 解析：由题意知 1a2b，(a1)(b1)1，故 abab， 11 2 11ab 12函数 ln ( )e1 x xk f x x 在(0，)上有唯一零点 0 x，则 A 0 0e 1 x x B 0 1 1 2 x C1k D1k 答案：ABC 解析： 0 0 ( )0ln( e )ee1 xxx f xxxkxk， 0 00 e1 ee1 22 x xx 三、填空题（本大题共
16、 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知函数 22 ( )(2)f xaxaxa为偶函数，则不等式(2) ( )0 xf x的解集为 答案：(2，2)(2，) 解析：a2，(2) ( )2(2)(2)(2)0 xf xxxx ，故解集为(2，2)(2，) 14对任意正数 x，满足 2 24 y xyy x ，则正实数 y 的最大值为 答案： 1 2 解析： 211 420 2 yxy yx 15在“全面脱贫”行动中，贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 1000 元，用于自己开发 8 的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品
17、质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的 利润是该月初投入资金的 20%，每月底街缴房租 600 元和水电费 400 元，余款作为资金全部用于再进 货，如此继续，预计 2020 年小王的农产品加工厂的年利润为 （取 1.2117.5，1.2129） 答案：40000 解析： 11 6 (120%)400600(5000)(5000) 5 nnnn aaaa 1 12 6 5000 ( )500050000 5 n n aa 利润为 40000 16已知定义在 R 上的函数( )f x关于 y 轴对称，其导函数为( )fx，当 x0 时，( )1xfx( )f x若对 任意 xR，不等式e(
18、e )e()0 xxx faxaxf ax恒成立，则正整数 a 的最大值为 答案：2 解析：根据题意构造，为偶函数且先减后增，故(e )()ee0e xxx FF axaxa， 故正整数 a 的最大值为 2 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知函数( )sin()f xx(0， 2 )的最小正周期为 （1）求的值及( )() 6 gf 的值域； （2）若 3 ，sin2cos0，求( )f的值 解： （1），则 所以， 所以，即的值域为； （2），则 ，若，则，与矛盾， 9 故，
19、所以，即 所以， 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )2 32 a f xxxx (aR) （1）当 a3 时，求函数( )f x的单调递减区间； （2）若对于任意 x1，)都有( )2(1)f xa成立，求实数 a 的取值范围 解： （1）a3 时， 时，；时， 所以，的单调减区间为和； （2），恒成立 即，恒成立 x2 时，80，aR； 时，令，则 ，故在1，2)递减，所以，； 时，令，则 ，时，递减； 时，递增； 10 所以，； 综上， 19 （本小题满分 12 分） 在csin BC 2 asinC，2cosA(bcosCccosB)a，(sinBsinC)2si
20、n2AsinBsinC 中任选一个， 补充在横线上，并回答下面问题 在ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c(31)b， （1）求 C 的值； （2）若ABC 的面积为33，求 b 的值 解： （1） 由正弦定理：得： 即，因此， 又 A 为ABC 内角，所以，则 又，由正弦定理得： 即 得： 又，所以，所以，即； （2） 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是等差数列， 数列 n b是等比数列， 且满足 11 2ab， 357 30aaa， 2 316 b ba （1）求数列 n a与 n b的通项公式； （2）设数列 n a， n b的前 n 项和
21、分别为 n S， n T是否存在正整数 k，使得 1k T 32 kk Tb成 11 立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；解关于 n 的不等式 nn Sb 解： （1）设数列 n a的公差为 d，数列 n b的公比为 q ，则 ，则； （2）假设存在， 即，即 即，解得： 故存在符合题意； 令，即解不等式 令 当时，即 当时，即 因此，时，；时，； n4 时， 又 所以， 因此即的解为 21 （本小题满分 12 分） 若函数( )f x在 xa，b时，函数值 y 的取值区间恰为 k b ， k a (k0)，则称a，b为( )f x的一个“k 12 倍倒域区间” 定义在4，4上的
22、奇函数( )g x，当 x0，4时， 2 ( )g xx 4x （1）求( )g x的解析式； （2）求( )g x在2，4内的“8 倍倒域区间” ； （3）若( )g x在定义域内存在“k(k8)倍倒域区间” ，求 k 的取值范围 解： （1）时， 因为时，所以， 因为为奇函数，所以时， 因此，； （2）设该区间为，则 在a，b递减，由题意知： 因此( )g x在2，4内的“8 倍倒域区间”为2，； （3），( )g x在4，2递减，2，2递增，2，4递减 设( )g x的“k 倍倒域区间”为a，b， 时，即方程在2，4上有两个不同的解 令， 时，递减，时，递增 要使得( )f x在2，4上
23、有两个不同的零点，则： 13 同理可得：时，； 时，矛盾，舍去； 时，矛盾，舍去； 时，在递增，则： 两式相减得：，又，故 ，代入，得，矛盾，舍去； 同理，也不符，舍去 综上， 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )esin x f xaxx （1）求曲线 C：( )yf x在 x0 处的切线方程； （2）当 a2 时，设函数 ( ) ( ) f x g x x ，若 0 x是( )g x在(，0)上的一个极值点，求证： 0 x是函 数( )g x在(，0)上的唯一极大值点，且 0 0 ()g x2 解： （1） 因此，所求切线方程为：； （2） 时，故在递减 令 14 时，故在递减 ，由零点存在性定理知：在上有唯一零点 即在上有唯一零点，该零点即为 时，即，时，即 又时，故在递增，递减 因为，所以， 因为，所以， 因此，是函数在(，0)上的唯一极大值点，且
