1、2020-2021 学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 1在ABC 中，C90，AC3，BC4，则 tanA 的值为（ ） A B C D 2已知两个相似三角形的周长比为 4：9，则它们的面积比为（ ） A4：9 B2：3 C8：18 D16：81 3已知，下列说法中，错误的是（ ） A B C D 4已知ABC 中，D，E 分别是边 BC，AC 上的点，下列各式中，不能判断 DEAB 的是（ ） A B C D 5已知点 C 是线段 AB 的中点，下列结论中
2、，正确的是（ ） A B C D 6一段公路路面的坡度为 i1：2.4如果某人沿着这段公路向上行走了 260m，那么此人升高了（ ） A50m B100m C150m D200m 二、填空题二、填空题 7如果在某建筑物的 A 处测得目标 B 的俯角为 37，那么从目标 B 可以测得这个建筑物的 A 处的仰角 为 8如果向量 与单位向量 方向相反，且长度为 2，那么用向量 表示 9点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC） ，若 AB2cm，则 AC cm 10如果，那么用 表示 11已知梯形的上下两底长度为 4 和 6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是 12已知在 RtAB
3、C 中，C90，A，ABm，那么边 AB 上的高为 13在ABC 中，AB5，BC8，B60，则 SABC （结果保留根号） 14如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，EC2BE，连接 AE 交 BD 于点 F，若BFE 的面积 为 2，则AFD 的面积为 15 如图， 已知 ABBD， EDBD， C 是线段 BD 的中点， 且 ACCE， ED1， BD4， 那么 AB 16已知菱形 ABCD 的边长为 6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OEAB，垂足为点 E，AC4，那么 sin AOE 17在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 ykx+b（k0）的图象
4、过点 P（1，1） ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 tanABO2，那么点 A 的坐标是 18如图，已知ABC 中，B90，BC3，AB4，D 是边 AB 上一点，DEBC 交 AC 于点 E，将 ADE 沿 DE 翻折得到ADE，若AEC 是直角三角形，则 AD 长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 题） 【请将解题过程写在答题纸的相应位置】题） 【请将解题过程写在答题纸的相应位置】 19 （10 分）计算：cos245+cot230 20 （10 分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、
5、F （1）如果 AB6，BC8，DF21，求 DE 的长； （2）如果 DE：DF2：5，AD9，CF14，求 BE 的长 21 （10 分） 如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点， CE 交 AD 于点 F， 交 BD 于点 G， AE： AB1：3，设 ， （1）用向量 、 分别表示下列向量： ， ， ； （2）在图中求作向量分别在 、 方向上的分向量 （不写作法，但要写出画图结果） 22 （10 分）如图，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地须经 C 地沿折线 ACB 行驶，全 长 68km现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知A30，B
6、45，则隧道开通后，汽车 从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果精确到 0.1km） （参考数据：1.4，1.7） 23 （12 分）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E 在边 CD 上，点 F 在 BC 的延长线上，CFDE，AE 的延长线与 DF 相交于点 G （1）求证：CDFDAE； （2）如果 DECE，求证：AE3EG 24 （12 分）如果，已知ABC，A（0，4） ，B（2，0） ，C（4，0） （1）求 sinBAC 的值 （2）若点 P 在 y 轴上，且POC 与AOB 相似，请直接写出点 P 的坐标 （3）已知点 M 在 y 轴上，如果OMB+OABACB
7、，求点 M 的坐标 25 （14 分）如图，已知在ABC 中，ABAC，BC 比 AB 大 3，sinB，点 G 是ABC 的重心，AG 的 延长线交边 BC 于点 D过点 G 的直线分别交边 AB 于点 P、交射线 AC 于点 Q （1）求 AG 的长； （2）当APQ90时，直线 PG 与边 BC 相交于点 M求的值； （3）当点 Q 在边 AC 上时，设 BPx，AQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分）分） 1在ABC 中，C90，AC3，BC4，则 t
8、anA 的值为（ ） A B C D 【分析】锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切，记作 tanA，据此进行计算即可 【解答】解：在 RtABC 中， C90，AC3，BC4， tanA 故选：C 2已知两个相似三角形的周长比为 4：9，则它们的面积比为（ ） A4：9 B2：3 C8：18 D16：81 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 【解答】解：两个相似三角形的周长比为 4：9， 两个相似三角形的相似比为 4：9， 两个相似三角形的面积比为 16：81， 故选：D 3已知，下列说法中，错误的是（ ） A B C D 【分
9、析】根据比例的性质（合分比定理）来解答 【解答】A、如果，那么（a+b） ：b（c+d） ：d （b、d0） 所以由，得，故该选 项正确； B、如果 a：bc：d 那么（ab） ：b（cd） ：d （b、d0） 所以由，得，故该选项 正确； C、由得，5a3b，所以 ab；又由得，ab+bab+a 即 ab故该选项错误； D、由得，5a3b；又由得，5a3b故该选项正确； 故选：C 4已知ABC 中，D，E 分别是边 BC，AC 上的点，下列各式中，不能判断 DEAB 的是（ ） A B C D 【分析】若使线段 DEAB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定 DEAB 【解答】解
10、：如图， 若使线段 DEAB，则其对应边必成比例， 即，故选项 A、B 正确； ，即，故选项 C 正确； 而，故 D 选项答案错误 故选：D 5已知点 C 是线段 AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出图形，因为点 C 是线段 AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答 【解答】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、+ ，故本选项错误； D、+，故本选项错误 故选：B 6一段公路路面的坡度为 i1：2.4如果某人沿着这段公路向上行走了 260m，那么此人升高了（ ） A50m B100m C150m D200m 【分析】已知了坡面长为 260
11、 米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡 面的铅直高度，即此人上升的最大高度 【解答】解：如图，RtABC 中，tanA，AB260 米 设 BCx，则 AC2.4x，根据勾股定理，得： x2+（2.4x）22602， 解得 x100（负值舍去） 故选：B 二、填空题二、填空题 7如果在某建筑物的 A 处测得目标 B 的俯角为 37，那么从目标 B 可以测得这个建筑物的 A 处的仰角为 37 【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标 B 可以测得这个建筑物的 A 处的仰角为 37 【解答】解：如图， 某建筑物的 A 处测得目标 B 的俯角为 37， 目标
12、 B 可以测得这个建筑物的 A 处的仰角为 37， 故答案为：37 8如果向量 与单位向量 方向相反，且长度为 2，那么用向量 表示 2 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答 【解答】解： 的长度为 2，向量 是单位向量， a2e， 与单位向量 的方向相反， 2 故答案为：2 9点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC） ，若 AB2cm，则 AC （） cm 【分析】根据黄金分割的定义得到 ACAB，把 AB2cm 代入计算即可 【解答】解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点（ACBC） ， ACAB， 而 AB2cm， AC2（1）cm 故答案为（1） 10如果，那么用 表示 【分
13、析】利用加减消元的思想，消去 即可解决问题 【解答】解：， 3 +3 6 ，4 2 6 ， 3 +3 4 2 ， ， 故答案为 11已知梯形的上下两底长度为 4 和 6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是 2：3 【分析】首先根据题意画出图形，由题意易得EADEBC，然后由相似三角形对应高的比等于相似 比，求得答案 【解答】解：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AD4，BC6， EADEBC， ENBC， ENAD， EM：ENAD：BC4：62：3， 即这个交点到两底边的距离之比是：2：3 故答案为：2：3 12已知在 RtABC 中，C90，A，ABm，那么边 AB 上的高
14、为 msincos 【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得 AC 的长度，然后利用三角形的面积公式求得 AB 边上的高的长度 【解答】解：根据题意，知 ACmcos，BCmsin， ACBCmh，即 hmsincos， 故答案是：msincos 13在ABC 中，AB5，BC8，B60，则 SABC （结果保留根号） 【分析】先根据 AB5，B60，求出ABC 中 BC 边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即 可 【解答】解：AB5，B60， ABC 中，BC 边上的高sin60AB5， BC8， SABC810； 故答案为：10 14如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在
15、边 BC 上，EC2BE，连接 AE 交 BD 于点 F，若BFE 的面积 为 2，则AFD 的面积为 18 【分析】根据四边形 ABCD 是平行四边形得到 BCAD，判定ADFEBF，然后用相似三角形面积 的比等于相似比的平方求出AFD 的面积 【解答】解：ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADFEBF， EC2BE， BC3BE， 即：AD3BE， SAFD9SEFB18 故答案为：18 15如图，已知 ABBD，EDBD，C 是线段 BD 的中点，且 ACCE，ED1，BD4，那么 AB 4 【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到ABCCDE，利用相似三角形的对应边成比例
16、即可求 得 AB 的长 【解答】解：ABBD，EDBD BD90，A+ACB90 ACCE，即ECD+ACB90 AECD ABCCDE AB4 16已知菱形 ABCD 的边长为 6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OEAB，垂足为点 E，AC4，那么 sin AOE 【分析】菱形对角线互相垂直，故 ACBD，根据OAEBAO，OEAAOB 可以判定OAE ABO，AOEBAO，根据 AO 和 AB 的值即可求得 sinAOE 的值 【解答】解：菱形对角线互相垂直， OEAAOB， OAEBAO， OAEABO， AOEABO， AOAC2，AB6， sinAOEsinABO 故答案为：
17、 17在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 ykx+b（k0）的图象过点 P（1，1） ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 tanABO2，那么点 A 的坐标是 （1，0）或（3，0） 【分析】已知 tanABO2 就是已知一次函数的一次项系数是或根据函数经过点 P，利用待定 系数法即可求得函数解析式，进而可得到 A 的坐标 【解答】解：在 RtAOB 中，由 tanABO2，可得 OA2OB，则一次函数 ykx+b 中 k 一次函数 ykx+b（k0）的图象过点 P（1，1） ， 当 k时，求可得 b； k时，求可得 b 即一次函数的解析式为 yx+或 yx+ 令 y0，
18、则 x1 或 3， 点 A 的坐标是（1，0）或（3，0） 故答案为： （1，0）或（3，0） 18如图，已知ABC 中，B90，BC3，AB4，D 是边 AB 上一点，DEBC 交 AC 于点 E，将 ADE 沿 DE 翻折得到ADE，若AEC 是直角三角形，则 AD 长为 或 【分析】先根据勾股定理得到 AC5，再根据平行线分线段成比例得到 AD：AEAB：AC4：5，设 ADx，则 AEAEx，EC5x，AB2x4，在 RtABC 中，根据勾股定理得到 AC， 再根据AEC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于 x 的方程，解方程即可求解 【解答】解：在ABC 中，B90，BC3，AB4，
19、 AC5， DEBC， AD：ABAE：AC，即 AD：AEAB：AC4：5， 设 ADx，则 AEAEx，EC5x，AB2x4， 在 RtABC 中，AC， AEC 是直角三角形， 当 A落在边 AB 上时，EAC90，BACACB，AB3tanACB，AD； 点 A 在线段 AB 的延长线上（）2+（5x）2（x）2， 解得 x14（不合题意舍去） ，x2 故 AD 长为或 故答案为：或 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 题） 【请将解题过程写在答题纸的相应位置】题） 【请将解题过程写在答题纸的相应位置】 19 （10 分）计算：cos245+cot23
20、0 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案 【解答】解：原式（）2+（）2 +3 20 （10 分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F （1）如果 AB6，BC8，DF21，求 DE 的长； （2）如果 DE：DF2：5，AD9，CF14，求 BE 的长 【分析】 （1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由 AB6，BC8， DF21 即可求出 DE 的长 （2）过点 D 作 DGAC，交 BE 于点 H，交 CF 于点 G，运用比例关系求出 HE 及 HB 的长，然后即可 得出 BE 的长
21、 【解答】解： （1）ADBECF， ， AB6，BC8，DF21， ， DE9 （2）过点 D 作 DGAC，交 BE 于点 H，交 CF 于点 G， 则 CGBHAD9， GF1495， HEGF， ， DE：DF2：5，GF5， ， HE2， BE9+211 21 （10 分） 如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点， CE 交 AD 于点 F， 交 BD 于点 G， AE： AB1：3，设 ， （1）用向量 、 分别表示下列向量： ， ， ； （2）在图中求作向量分别在 、 方向上的分向量 （不写作法，但要写出画图结果） 【分析】 （1）根据 AEBA 即可求出
22、，根据+即可求出，先证明 EGEC，即可求 出 （2）首先过点 G 作 GMAB，NNBC，根据平行四边形法则即可求得答案 【解答】解： （1） ，AEBA， ， +，EB， ， ， CDEB， EG：CGEB：CD4：3， EG：EC4：7， ， 故答案分别为， ， （2）点 G 作 GMAB 交 BC 于 M，NNBC 交 AB 于 N，则向量、是向量分别在 、 方向上 的分向量 22 （10 分）如图，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地须经 C 地沿折线 ACB 行驶，全 长 68km现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知A30，B45，则隧道开通后，汽车 从
23、A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果精确到 0.1km） （参考数据：1.4，1.7） 【分析】首先过点 C 作 CDAB，垂足为 D，设 CDx，即可表示出 AC，BC 的长，进而求出 x 的值， 再利用锐角三角函数关系得出 AD，BD 的长，即可得出答案 【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，设 CDx 在 RtACD 中，sinA，AC2x， 在 RtBCD 中，sinB，BCx， AC+BC2x+x68 x20 在 RtACD 中，tanA，AD20， 在 RtBCD 中，tanB，BD20， AB20+2054， AC+BCAB685414.0（km） 答：隧道
24、开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走 14.0 千米 23 （12 分）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E 在边 CD 上，点 F 在 BC 的延长线上，CFDE，AE 的延长线与 DF 相交于点 G （1）求证：CDFDAE； （2）如果 DECE，求证：AE3EG 【分析】（1） 由四边形 ABCD 是菱形， 得到 ADCD， ADBC， 根据平行线的性质得到ADEDCF， 推出ADEDCF，根据全等三角形的性质得到CDFDAE； （2）过 E 作 EHBF 交 DF 于 H，根据三角形中位线的性质得到 EHCF，推出 DECFCD AD，求得 EHAD，根据相似三角形的性
25、质即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ADCD，ADBC， ADEDCF， 在ADE 与DCF 中， ， ADEDCF， CDFDAE； （2）过 E 作 EHBF 交 DF 于 H， DECE， EHCF， ADEDCF， DECFCDAD， EHAD， EHAD， GHEGDA， ， AE3EG 24 （12 分）如果，已知ABC，A（0，4） ，B（2，0） ，C（4，0） （1）求 sinBAC 的值 （2）若点 P 在 y 轴上，且POC 与AOB 相似，请直接写出点 P 的坐标 （3）已知点 M 在 y 轴上，如果OMB+OABACB，求点 M 的坐标 【分析】
26、（1）由两点距离公式可求 AO4CO，BO2，AB2，BC6，AC4，BCA45， 由直角三角形的性质可求 BH 的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）取 OA 的中点，记为点 N，证明OMBNBA，分两种情况讨论： 当点 M 在点 N 的上方时， 记为 M1， 因为BANM1AB， NBAOM1B， 所以ABNAM1B， 求出 AM110，又根据 A（0，4） ，所以 M1（0，6） 当点 M 在点 N 的下方时，记为 M2，点 M1与点 M2关于 x 轴对称，所以 M2（0，6） 【解答】解： （1）A（0，4） ，B（2，0） ，C（4，0） ， AO
27、4CO，BO2，AB2， BC6，AC4，BCA45， 如图 1，过点 B 作 BHAC 于 H， BCACBH45， BHCH， BCBH6， BH3HC， sinBAC； （2）点 P 在 y 轴上， POCAOB90， 当时，则AOBCOP， ， PO2， 点 P（0，2）或（0，2） ； 当时，则AOBPOC， ， OP8， 点 P（0，8）或（0，8） ， 综上所述：当点 P 的坐标为（0，2）或（0，2）或（0，8）或（0，8）时，POC 与AOB 相似； （3）如图 2：取 OA 的中点，记为点 N， OAOC4，AOC90， ACB45， 点 N 是 OA 的中点， ON2，
28、又OB2， OBON， 又BON90， ONB45， ACBONB， OMB+OABACB， NBA+OABONB， OMBNBA； 当点 M 在点 N 的上方时，记为 M1， BANM1AB，NBAOM1B， ABNAM1B ， 又AN2，AB2， AM110， 又A（0，4） M1（0，6） 当点 M 在点 N 的下方时，记为 M2， 点 M1与点 M2关于 x 轴对称， M2（0，6） ， 综上所述，点 M 的坐标为（0，6）或（0，6） 25 （14 分）如图，已知在ABC 中，ABAC，BC 比 AB 大 3，sinB，点 G 是ABC 的重心，AG 的 延长线交边 BC 于点 D过
29、点 G 的直线分别交边 AB 于点 P、交射线 AC 于点 Q （1）求 AG 的长； （2）当APQ90时，直线 PG 与边 BC 相交于点 M求的值； （3）当点 Q 在边 AC 上时，设 BPx，AQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域 【分析】 （1）根据已知条件和重心的性质得出 BDDCBC，ADBC，再根据 sinB，求出 AB、BC、AD 的值，从而求出 AG 的长； （2）根据GMD+MGD90和GMD+B90，得出MGDB，再根据特殊角的三角函数 值求出 DM、CMCDDM 的值，在ABC 中，根据 AA 求出QCMQGA，即可求出的值； （3）过点 B 作
30、BEAD，过点 C 作 CFAD，分别交直线 PQ 于点 E、F，则 BEADCF，得出 ， 求出 BE 的值， 同理可得出 CF 的值， 最后根据 BDCD， 求出 EGFG， 即可得出 CE+BE2GD， 从而得出求 y 关于 x 的函数解析式并得出它的定义域 【解答】解： （1）在ABC 中， ABAC，点 G 是ABC 的重心， BDDCBC， ADBC 在 RtADB 中， sinB， BCAB3， AB15，BC18 AD12 G 是ABC 的重心， AGAD8 （2）在 RtMDG， GMD+MGD90， 同理：在 RtMPB 中，GMD+B90， MGDB sinMGDsinB， 在 RtMDG 中，DGAD4， DM， CMCDDM， 在ABC 中，ABAC，ADBC，BADCAD QCMCDA+DAC90+DAC， 又QGAAPQ+BAD90+BAD， QCMQGA， 又CQMGQA， QCMQGA （3）过点 B 作 BEAD，过点 C 作 CFAD，分别交直线 PQ 于点 E、F，则 BEADCF BEAD，即， BE 同理可得：，即， CF BEADCF，BDCD， EGFG CF+BE2GD，即+8， y， （0 x）
