1、2019-2020 学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，分在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的， 请用请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa+2a3a2 Ba3a2a5 C （a4）2a6 Da3+a4a7 2 （3 分） “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦” 每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天
2、飞舞 的柳絮所烦扰据测定，柳絮纤维的直径约为 0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（ ） A1.05105 B1.0510 5 C1.05105 D10510 7 3 （3 分）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ） A （2a+b） （2ba） B （m+b） （mb） C （ab） （ba） D （xb） （x+b） 4 （3 分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C两直线平行，同位角相等 D两直线平行，内错角相等 5 （3 分）一个多边形的内角和是 900，这个多边形的边数是
3、（ ） A10 B9 C8 D7 6 （3 分）如图，将ABC 沿 BC 方向平移 3cm 得到DEF，若ABC 的周长为 20cm，则四边形 ABFD 的 周长为（ ） A20cm B22cm C24cm D26cm 7 （3 分）如图，将一个含有 45角的直角三角尺放在两条平行线 m、n 上，已知120，则 的度 数是（ ） A45 B60 C65 D75 8 （3 分）有 5 根小木棒，长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的 3 根小木棒首尾相接搭 三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 9 （3 分）比较 255、34
4、4、433的大小（ ） A255344433 B433344255 C255433344 D344433255 10 （3 分）在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“” 如记k1+2+3+ （n1）+n，（x+k）（x+3）+（x+4）+（x+n） ；已知（x+k） （xk+1）3x2+3x+m，则 m 的值是（ ） A62 B38 C40 D20 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡 上相应的位置）上相应的位置） 11
5、 （2 分）若 am5，an3，则 am+n 12 （2 分）已知 x2+x2020，则代数式（x+2） （x1）的值为 13 （2 分）如图，已知 ABCD，1130，则2 14 （2 分）把一副常用的三角尺按如图所示的方式拼在一起，则ABC 15 （2 分）若 2a+b3，2ab2，则 4a2b2 16 （2 分）若多项式 a2（k2）a+4 是完全平方式，则 k 的值为 17（2 分） 如图， 若干全等正五边形排成环状 图中所示的是前 3 个正五边形， 要完成这一圆环还需 个 正五边形 18 （2 分）如图，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次是各边中点，O 是形内一点，若四边形
6、AEOH、四 边形 BFOE、四边形 CGOF 的面积分别为 4、5、7，四边形 DHOG 面积为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 64 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 19 （16 分）计算或化简： （1） （1）20212 1+（3.14）0； （2） （x+2）2x（x3） ； （3）a8a2（3a2）3； （4） （ab） （a+b）（a2b）2 20 （5 分）先化简，再求值：4（x1）2（2x+3） （2x3） ，其中 x1 21 （6 分
7、）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为 1在方格纸内将ABC 经过一次平移 后得到ABC，图中标出了点 D 的对应点 D （1）根据特征画出平移后的ABC； （2）利用网格的特征，画出 AC 边上的高 BE； （3）若连接 AA，CC，则这两条线段之间的关系是 22 （5 分）如图，BE 是ABC 的角平分线，DEBC，交 AB 于点 D，A126，DEB14，求 BEC 的度数 23 （7 分） （1）计算： （x1） （x2+x+1） ； （2x3） （4x2+6x+9） ； （3x4y） （9x2+12xy+16y2） ； 归纳： （ab） （ ） ； （2）应用：27m31
8、25n3（ ） （ ） 24 （8 分）如图，AE，DE，BF，CF 分别是四边形 ABCD（四边不相等）的内角平分线，AE，BF 交于点 G，DE，CF 交于点 H （1）探索FGE 与FHE 有怎样的数量关系，并说明理由； （2）FGE 与FHE 有没有可能相等？若相等，则四边形 ABCD 的边有何结论？请说明理由 25 （8 分） （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗 称“无字证明” ，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的 直角边长都为 b，斜边长都为 c） ，大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表
9、示为 4ab+（ab）2， 所以 4ab+（ab）2c2，即 a2+b2c2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边 长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2c2图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” ，请你利用图 推导勾股定理 （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的高为 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a2b）2a24ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字 母 a，b 所表示的线段 26 （9 分） （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象， 如图 1，光线 a 从
10、空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线 b，根据光学知识有12，3 4，请判断光线 a 与光线 b 是否平行，并说明理由 （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相 等，如图 2 有一口井，已知入射光线 a 与水平线 OC 的夹角为 36，问如何放置平面镜 MN，可使反射 光线 b 正好垂直照射到井底？（即求 MN 与水平线的夹角） （3）如图 3，直线 EF 上有两点 A、C，分别引两条射线 AB、CDBAF110，DCF50，射 线 AB、CD 分别绕 A 点，C 点以 1 度/秒和 3 度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为 t，在射
11、线 CD 转动 一周的时间内，当 t ，使得 CD 与 AB 平行 2019-2020 学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷学年江苏省无锡市经开区七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，分在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的， 请用请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa+2a3a2 Ba3a2a5 C （a4）2a6 Da3+a
12、4a7 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断 即可 【解答】解：A、结果是 3a，故本选项不符合题意； B、结果是 a5，故本选项符合题意； C、结果是 a8，故本选项不符合题意； D、a3和 a4不能合并，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确根据法 则求出每个式子的值是解此题的关键 2 （3 分） “碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦” 每到春天，人们流连于柳绿桃红之间的同时也被漫天飞舞 的柳絮所烦扰据测定，柳絮纤维的直径约为 0.0000105m，该数值用科学记
13、数法表示为（ ） A1.05105 B1.0510 5 C1.05105 D10510 7 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000105m 用科学记数法表示为 1.0510 5 故选：B 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3 （3 分）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ） A （2a+
14、b） （2ba） B （m+b） （mb） C （ab） （ba） D （xb） （x+b） 【分析】结合平方差公式的概念：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差进行求解 即可 【解答】解：A、 （2a+b） （2ba） ，不符合平方差公式，故此选项错误； B、 （m+b） （mb） ，能运用平方差公式进行运算，故此选项正确； C、 （ab） （ba）（ab） （ab） ，不符合平方差公式，故此选项错误； D、 （xb） （x+b）（x+b）2，不符合平方差公式，故此选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了平方差公式，解答本题的关键在于熟练掌握平方差公式的概念：两个数的和与这两 个
15、数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b） （ab）a2b2 4 （3 分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A同位角相等，两直线平行 B内错角相等，两直线平行 C两直线平行，同位角相等 D两直线平行，内错角相等 【分析】由已知可知DPFBAF，从而得出同位角相等，两直线平行 【解答】解：DPFBAF， ABPD（同位角相等，两直线平行） 故选：A 【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键 5 （3 分）一个多边形的内角和是 900，这个多边形的边数是（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】根据多边形的内角和
16、公式（n2） 180，列式求解即可 【解答】解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得， （n2） 180900， 解得 n7 故选：D 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键 6 （3 分）如图，将ABC 沿 BC 方向平移 3cm 得到DEF，若ABC 的周长为 20cm，则四边形 ABFD 的 周长为（ ） A20cm B22cm C24cm D26cm 【分析】先根据平移的性质得 DFAC，ADCF3cm，再由ABC 的周长为 20cm 得到 AB+BC+AC 20cm，然后利用等线段代换可计算出 AB+BC+CF+DF+AD26（cm） ，于是得到四边形 ABF
17、D 的周长为 26cm 【解答】解：ABC 沿 BC 方向平移 3cm 得到DEF， DFAC，ADCF3cm， ABC 的周长为 20cm，即 AB+BC+AC20cm， AB+BC+CF+DF+ADAB+BC+AC+AD+CF20+3+326（cm） ， 即四边形 ABFD 的周长为 26cm 故选：D 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形 与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个 点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等 7 （3 分）如图，将一个含有 45角的直角三角尺放在两条平行线
18、 m、n 上，已知120，则 的度 数是（ ） A45 B60 C65 D75 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和求出2，然后根据对顶角相等解答 【解答】解：mn， 1120， 12+45， 21451204575， 275 故选：D 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，对顶角 相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 8 （3 分）有 5 根小木棒，长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的 3 根小木棒首尾相接搭 三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A5
19、 个 B6 个 C7 个 D8 个 【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断 【解答】解：可搭出不同的三角形为： 2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；2cm、5cm、6cm；3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、5cm、 6cm；4cm、5cm、6cm 共 7 个 故选：C 【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于 第三边；当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去 9 （3 分）比较 255、344、433的大小（ ） A255344433
20、B433344255 C255433344 D344433255 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是 11 的幂，再根据底数的大小进行判断即可 【解答】解：255（25）113211， 344（34）118111， 433（43）116411， 326481， 255433344 故选：C 【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以 11 为指数的幂的形式 10 （3 分）在数学中，为了书写简便，18 世纪数学家欧拉就引进了求和符号“” 如记k1+2+3+ （n1）+n，（x+k）（x+3）+（x+4）+（x+n） ；已知（x+k） （xk+1）3x2+3x+
21、m，则 m 的值是（ ） A62 B38 C40 D20 【分析】根据二次项的系数为 3，可得 n4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可 【解答】解：根据题意可知： 二次项的系数为 3， n4， 原式（x+3） （x2）+（x+4） （x3）+（x+5） （x4） x2+x6+x2+x12+x2+x20 3x2+3x38， 又原式3x2+3x+m， m38 故选：B 【点评】本题考查了有理数的乘方、数学常识，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，只需把答案直接
22、填写在答题卡分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡 上相应的位置）上相应的位置） 11 （2 分）若 am5，an3，则 am+n 15 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解 【解答】解：am+naman5315 故答案为：15 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则 12 （2 分）已知 x2+x2020，则代数式（x+2） （x1）的值为 2018 【分析】直接利用多项式乘以多项式计算进而把已知代入得出答案 【解答】解：当 x2+x2020 时， （x+2） （x1） x2+x2， 20202 2018 故答案为：2018 【点评】此题主要考查了多项
23、式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键 13 （2 分）如图，已知 ABCD，1130，则2 50 【分析】根据邻补角的定义求出3，再根据两直线平行，同位角相等可得23 【解答】解：1130， 3180118013050， ABCD， 2350 故答案为：50 【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键 14 （2 分）把一副常用的三角尺按如图所示的方式拼在一起，则ABC 75 【分析】直接根据三角形的内角和定理即可得出结论 【解答】解：BAC45，C60， ABC180456075 故答案为：75 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理和三角
24、板的度数，知道三角板各角的度数是解题的关键 15 （2 分）若 2a+b3，2ab2，则 4a2b2 6 【分析】根据平方差公式可以求得题目中所求式子的值 【解答】解：2a+b3，2ab2， 4a2b2（2a+b） （2ab）（3）26， 故答案为：6 【点评】本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答 16 （2 分）若多项式 a2（k2）a+4 是完全平方式，则 k 的值为 6 或2 【分析】利用完全平方公式的结构特征求出 k 的值即可 【解答】解：多项式 a2（k2）a+4 是完全平方式， k24， 解得：k6 或 k2 故答案为：6 或2 【点评】此题考查了完全平
25、方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 17 （2 分）如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需 7 个正五边形 【分析】先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案 【解答】解：多边形是正五边形， 内角是（52）180108， O180（180108）（180108）36， 36度圆心角所对的弧长为圆周长的， 即 10 个正五边形能围城这一个圆环， 所以要完成这一圆环还需 7 个正五边形 故答案为：7 【点评】 本题考查了正多边形和圆， 能求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键 18 （2 分）如图
26、，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次是各边中点，O 是形内一点，若四边形 AEOH、四 边形 BFOE、四边形 CGOF 的面积分别为 4、5、7，四边形 DHOG 面积为 6 【分析】 连接 OC， OB， OA， OD， 易证 SOBFSOCF， SODGSOCG， SODHSOAH， SOAESOBE， 所以 S四边形AEOH+S四边形CGOFS四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出 S四边形DHOG 【解答】解：连接 OC，OB，OA，OD， E、F、G、H 依次是各边中点， AOE 和BOE 等底等高， SOAESOBE， 同理可证，SOBFSOCF，SODGSOCG
27、，SODHSOAH， S四边形AEOH+S四边形CGOFS四边形DHOG+S四边形BFOE， S四边形AEOH4，S四边形BFOE5，S四边形CGOF7， 4+75+S四边形DHOG， 解得，S四边形DHOG6 故答案为：6 【点评】 本题考查了三角形的面积 解决本题的关键将各个四边形划分， 充分利用给出的中点这个条件， 证得三角形的面积相等，进而证得结论 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 64 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 19 （16 分）计算或化
28、简： （1） （1）20212 1+（3.14）0； （2） （x+2）2x（x3） ； （3）a8a2（3a2）3； （4） （ab） （a+b）（a2b）2 【分析】 （1）首先利用乘法的意义、负整数指数幂的性质、零次幂的性质计算，再算加减即可； （2）首先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行计算，再算加减即可； （3）先利用同底数幂的除法法则、积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （4）首先利用平方差和完全平方公式进行计算，再算加减即可 【解答】解： （1）原式1+1； （2）原式x2+4x+4x2+3x7x+4； （3）原式a6+27a628a6； （4）原式a2b2a2+4ab
29、4b24ab5b2 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式运算的各种法则 20 （5 分）先化简，再求值：4（x1）2（2x+3） （2x3） ，其中 x1 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将 x 的值代 入计算可得 【解答】解：原式4（x22x+1）（4x29） 4x28x+44x2+9 8x+13， 当 x1 时，原式8+1321 【点评】此题涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、单项式乘以单项式、去括号法则以及合并同 类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 21 （6 分）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为
30、 1在方格纸内将ABC 经过一次平移 后得到ABC，图中标出了点 D 的对应点 D （1）根据特征画出平移后的ABC； （2）利用网格的特征，画出 AC 边上的高 BE； （3）若连接 AA，CC，则这两条线段之间的关系是 平行且相等 【分析】 （1）利用点 D 和 D的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出 A、B、C 的对应 点 A、B、C即可； （2）把 AC 逆时针旋转 90得到 AA，再把 AA平移使 A 点与 B 点重合，平移后的直线与 AC 的交点 即为 E 点； （3）根据平移的性质进行判断 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）如图，BE 为所作； （3）
31、AA和 CC平行且相等 故答案为：平行且相等 【点评】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离作图 时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应 点即可得到平移后的图形 22 （5 分）如图，BE 是ABC 的角平分线，DEBC，交 AB 于点 D，A126，DEB14，求 BEC 的度数 【分析】根据平行线性质得出CBE14，求出ABE14，根据三角形外角性质得出BEC A+ABE，代入求出即可 【解答】解：BE 是ABC 的角平分线， CBEABE， DEBC，DEB14， DEBCBE14， ABE14， A
32、126， BECA+ABE126+14140 【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错 角相等，题目比较好，难度适中 23 （7 分） （1）计算： （x1） （x2+x+1） x31 ； （2x3） （4x2+6x+9） 8x327 ； （3x4y） （9x2+12xy+16y2） 27x364y3 ； 归纳： （ab） （ a2+ab+b2 ） a3b3 ； （2）应用：27m3125n3（ 3m5n ） （ 9m2+15mn+25n2 ） 【分析】 （1）直接利用多项式乘以多项式运算法则进而分别计算得出答案； （2）利用（1）中规律进而得
33、出答案 【解答】解： （1） （x1） （x2+x+1） x3+x2+xx2x1 x31； （2x3） （4x2+6x+9） 8x3+12x2+18x12x218x27 8x327； （3x4y） （9x2+12xy+16y2） 27x3+36x2y+48xy236x2y48xy264y3； 27x364y3； 归纳： （ab） （a2+ab+b2） a3b3； 故答案为：x31；8x327；27x364y3；a2+ab+b2；a3b3； （2）27m3125n3（3m5n） （9m2+15mn+25n2） 故答案为：3m5n；9m2+15mn+25n2 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式
34、运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 24 （8 分）如图，AE，DE，BF，CF 分别是四边形 ABCD（四边不相等）的内角平分线，AE，BF 交于点 G，DE，CF 交于点 H （1）探索FGE 与FHE 有怎样的数量关系，并说明理由； （2）FGE 与FHE 有没有可能相等？若相等，则四边形 ABCD 的边有何结论？请说明理由 【分析】（1） 根据角平分线的定义得到GABDAB， GBACBA， 求得FGEAGB180 GABGBA180（DAB+CBA） ，同理，FHE180（ADC+BCD） ，两式 相加即可得到结论； （2）当FGEFHE 时，求得DAB+CBAADC+BCD，根据
35、四边形的内角和即可得到结论 【解答】解： （1）FGE+FHE180， 理由：AE 平分BAD，BF 平分ABC， GABDAB，GBACBA， FGEAGB180GABGBA180（DAB+CBA） ， 同理，FHE180（ADC+BCD） ， FGE+FHE360（DAB+CBA+ADC+BCD）180； （2）FGE 与FHE 可能相等，此时，ADBC， FGE180（DAB+CBA） ，FHE180（ADC+BCD） ， 当FGEFHE 时，180（DAB+CBA）180（ADC+BCD） ， 即DAB+CBAADC+BCD， 四边形的内角和360， DAB+CBAADC+BCD180
36、， ADBC 【点评】本题考查了多边形内角与外角，角平分线的定义，四边形的内角和，平行线的判定，熟练掌握 角平分线的定义是解题的关键 25 （8 分） （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗 称“无字证明” ，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的 直角边长都为 b，斜边长都为 c） ，大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为 4ab+（ab）2， 所以 4ab+（ab）2c2，即 a2+b2c2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边 长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2c2图为美国第二十
37、任总统伽菲尔德的“总统证法” ，请你利用图 推导勾股定理 （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的高为 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a2b）2a24ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字 母 a，b 所表示的线段 【分析】 （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面 积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形 【解答】解： （1）梯形 A
38、BCD 的面积为（a+b） （a+b）a2+ab+b2， 也利用表示为ab+c2+ab， a2+ab+b2ab+c2+ab， 即 a2+b2c2； （2）直角三角形的两直角边分别为 3，4， 斜边为 5， 设斜边上的高为 h，直角三角形的面积为345h， h， 故答案为； （3）图形面积为： （a2b）2a24ab+4b2， 边长为 a2b， 由此可画出的图形为： 【点评】 此题考查了勾股定理的证明， 勾股定理， 多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型， 此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果 26 （9 分） （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，
39、同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象， 如图 1，光线 a 从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线 b，根据光学知识有12，3 4，请判断光线 a 与光线 b 是否平行，并说明理由 （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相 等，如图 2 有一口井，已知入射光线 a 与水平线 OC 的夹角为 36，问如何放置平面镜 MN，可使反射 光线 b 正好垂直照射到井底？（即求 MN 与水平线的夹角） （3）如图 3，直线 EF 上有两点 A、C，分别引两条射线 AB、CDBAF110，DCF50，射 线 AB、CD 分别绕 A 点，C 点以
40、 1 度/秒和 3 度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为 t，在射线 CD 转动 一周的时间内，当 t 10 秒或 100 秒 ，使得 CD 与 AB 平行 【分析】 （1）根据等角的补角相等求出3 与4 的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定 ab； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得12，然后根据平角等于 180 求出1 的度数，再加上 36即可得解； （3）分AB 与 CD 在 EF 的两侧，分别表示出ACD 与BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列 式计算即可得解； CD 旋转到与 AB 都在 EF 的右侧，分别表示出DCF 与BAC，然后根据两直
41、线平行，同位角相等列 式计算即可得解； CD 旋转到与 AB 都在 EF 的左侧，分别表示出DCF 与BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列 式计算即可得解 【解答】解： （1）平行理由如下： 如图 1，34， 56， 12， 1+52+6， ab； （2）如图 2： 入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， 12， 入射光线 a 与水平线 OC 的夹角为 36，b 垂直照射到井底， 1+2180369054， 5427， MN 与水平线的夹角为：27+3663， 即 MN 与水平线的夹角为 63，可使反射光线 b 正好垂直照射到井底； （3）存在 如图 3，AB 与 CD 在 EF
42、 的两侧时，BAF110，DCF50， ACD180503t1303t， BAC110t， 要使 ABCD， 则ACDBAC， 即 1303t110t， 解得 t10； 此时（18050）3， 0t， 如图 3，CD 旋转到与 AB 都在 EF 的右侧时，BAF110，DCF50， DCF3603t503103t， BAC110t， 要使 ABCD， 则DCFBAC， 即 3103t110t， 解得 t100， 此时（36050）3， t， 如图 3，CD 旋转到与 AB 都在 EF 的左侧时， BAF110，DCF60， DCF3t（18050+180）3t310， BACt110， 要使 ABCD， 则DCFBAC， 即 3t310t110， 解得 t100， 此时 t110， 100110， 此情况不存在 综上所述，t 为 10 秒或 100 秒时，CD 与 AB 平行 故答案为：10 秒或 100 秒 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是 解题的关键， （3）要注意分情况讨论
