1、茂名市茂名市 2021 届五校联盟高三级第一次联考届五校联盟高三级第一次联考数学试题数学试题 本试卷共 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
2、1.复数 2i 1i ，的虚部为 A.1 B.1 C.i D.i 2.已知集合 Ax| x1 x1 0，BxZ|yln(6xx2)，则 AB A.0，1 B.1，0，1 C.(1，1 D.1，1 3.己知向量|a|4，|b|8，a与b的夹角为 60 ，则|2ab| A.53 B.83 C.82 D.63 4.电影夺冠讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革 40 年 的力作，该影片于 2020 年 09 月 25 日正式上映。在夺冠 ，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一 起去观看该影片，订购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一起。为安全起见，影院要求每个小
3、孩子要有家 长相邻陪坐，则不同的坐法种数是 A.8 B.12 C.16 D.20 5.若 a( 2 3 ) 1，blog 23，c( 1 2 )0.3，则 A.abc B.cba C.acb D.cab 6.在ABC 中，B 4 ，AD 是 BC 边上的高，且 CD2AD，则 cosBAC A. 3 10 10 B. 10 10 C. 10 10 D. 3 10 10 7.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础。 著名的 “康托三分集” 是数学理性思维的构造产物， 具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段( 1 3 ， 2 3 )，记为第一 次操作；
4、 再将剩下的两个区0，1 3 ， 2 3 ， 1分别均分为三段， 并各自去掉中间的区间段， 记为第二次操作； 如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段。 操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集” 。若使去掉的各区间长度之和不 小于 9 10 ，则需要操作的次数 n 的最小值为(参考数据：lg20.3010，lg30.4771) A.4 B.5 C.6 D.7 8.若函数 f(x) 1 2 cos2x3a(sinxcosx)(4a1)x 在 2 ，0上单调递增，则实数 a 的取值范围为 A. 1 7 ，1 B.1， 1
5、 7 C.(， 1 7 1，) D.1，) 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数， AQI 指数值越小， 表明空气质量越好， 其对应关系如表： 如右下图是某市 12 月 1 日20 日 AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是 A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1 3 C.该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说，该市 12 月，
6、上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10.函数 f(x)2sin(x2) cosx(00)个单位得 到函数 g(x)sin(2x 6 )1 的图像，则下列结论正确的是 A.直线 x 4 是 yf(x)的一条对称轴 B.函数 yf(x)的最小正周期是 C.函数 yf(x)的值域是0，2 D. 的最小值是 6 11.双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点在圆 O：x2y213 上，圆 O 与双曲线 C 的渐近线在第一、 二象限分别交于 M、N 两点，点 E(0，a)满足EO EMEN0(其中 O 为坐标原点)，则正确说法是 A.双曲线 C 的一条渐近线方程为 3x2y0 B
7、.|OE|1 C.双曲线 C 的离心率为 13 2 D.OMN 的面积为 6 12.如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA，CC的中点，过直线 EF 的平面分 别与棱 BB，DD交于 M，N，设 BMx，x(0，1)，则正确的说法是 A.四边形 MENF 为平行四边形 B.若四边形 MENF 面积 Sf(x)，x(0，1)，则 f(x)有最小值 C.若四棱锥 AMENF 的体积 Vp(x)，x(0，1)，则 p(x)是常函数 D.若多面体 ABCDMENF 的体积 Vh(x)，x( 1 2 ，1)，则 h(x)为单调函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5
8、 分，共 20 分。 13.设数列an的前 n 项和为 Sn，且 an2n1，则数列 n S n 的前 20 项和为 。 14.已知直线 yx1 是曲线 f(x)ln(xa)的切线，则 a 。 15.设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F(1，0)，准线为 l，过焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 作 l 的垂线，垂足为 C，D，若|AF|4|BF|，则|AB| 。CDF 的面积为 。(本题第一个 空 2 分，第二个空 3 分) 16.如图， 已知正方体的ABCDA1B1C1D1棱长为2， 点M， N分别是棱BC， C1D1的中点， 点P在平面A1B1C1D1 内，点 Q 在
9、线段 A1N 上，若 PM5，则 PQ 长度的最小值为 。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 17.(满分 10 分) 如图，在平面四边形 ABCD 中，B120 ，BC2，ABC 的面积为 23。 (1)求 AC； (2)若ADC60 ，求四边形 ABCD 周长的最大值。 18.(满分 12 分) 在a2，a3，a44 成等差数列；S1，S22，S3成等差数列；an1Sn2 中任选一个，补充在下列问题 中，并解答。 在各项均为正数等比数列an中，前 n 项和为 Sn，已知 a12，且 。 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn(
10、n1)log2an，记数列 2 n 4n2 b 的前 n 项和为 Tn，证明 Tn2。 19.(满分 12 分) 已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PDPB，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交 PB，PD 于 点 M，N，且 BD/平面 AMHN。 (1)证明：MNAH； (2)当 H 为 PC 的中点，PAPC3AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求平面 ABCD 与平面 AMHN 所成锐二面角的大小。 20.(满分 12 分) 受新冠肺炎疫情影响，上学期同课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成 了非常大的损害。我市某中学为了了
11、解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级 2000 名学生的视力情况进 行了调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如下左图： (1)求 a 的值，并估计这 2000 名学生视力的平均值(精确到 0.1)； (2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学生进行了调查，得到 的数据如右上列联表，根据表中数据，能否有 95%把握认为视力与学习成绩有关? (3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视。近 年来我市空军飞行员录取情况喜人，继 2019 年我市有 6 人被空军航空大学录取之后
12、，今年又有 3 位同学顺 利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效。2020 年某 空军航空大学对考生视力的要求是不低于 5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力 在 4.8 以上的同学中随机抽取 3 名同学，这 3 名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为 X，求 X 的分 布列及数学期望。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中 nabcd。 21.(满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点是 F(c，0)，P 椭圆上的一动点，且|PF|的最小值是 1，当 PF 垂直长轴时，|PF| 3 2 。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 相切，且交圆 O：x2y24 于 M，N 两点，求MON 面积的最大值，并求此时直线 l 方程。 22.(满分 12 分) 已知函数。f(x)x2m，g(x)xlnx。 (1)若函数 F(x)f(x)g(x)，求函数 F(x)的极值； (2)若 f(x)g(x)xexx22x2ex在 x(0，4)时恒成立，求实数 m 的最小值。
