1、 二次函数 第5讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数的概念 2.二次函数的应用 教学目标 1.掌握二次函数的概念 2.掌握二次函数的实际应用 教学重点 能熟练掌握二次函数的概念及应用 教学难点 能熟练掌握二次函数的概念及应用 【教学建议】【教学建议】 本节是二次函数的概念课，要让学生经历把实际生活中的问题抽象成二次函数的过程，知道二次函数 是为了解决生活中的一些问题而产生的。知道实际问题中的二次函数的自变量一般是有取值范围的以及如 何确定实际问题中自变量的取值范围。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1.
2、 二次函数表达式的判定。 2. 实际问题中自变量的取值范围。 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 二次函数 二次函数的概念 二次函数的应用 概述 教学过程 一、导入 虽然本节是一节概念课，但鉴于二次函数在实际生活中的重要应用，应让学生充分体会如何从实际问题情 境中抽象出二次函数的模型，并知道如何根据实际问题的情境确定自变量的取值范围。 1.一般地，表达式形如 y=ax+bx+c(a,b,c 是常数，且 a0)的函数叫做 x 的二次函数，其中 x 是自变量； 2.表达式 y=ax+bx+c(a,b,c 是常数，且 a0)中，ax是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一
3、次 项系数；c 是常数项； 3.二次函数的 3 种特殊形式 （1）y=ax(a,b,c 是常数，且 a0，b，c=0）； （2）y=ax+bx(a,b,c 是常数，且 a0,b0,c=0)； （3）y=ax+c(a,b,c 是常数，且 a0，c0,b=0) 如何从实际问题中抽象出二次函数以及自变量的取值范围 【题干】对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是（ ） A. 13 2 xmxy B. 2 ) 1(xmy C. 22 ) 1(xmy D. 22 ) 1(xmy 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据二次函数的概念即可判别 二、知识讲解 知识点 1 二次函数的概念 知识点 2 二次
4、函数的简单应用 三、例题精析 例题 1 例题 2 【题干】【题干】下列函数关系中，不是二次函数的是（ ） A.边长为 x 的正方形的面积 y 与边长 x 的函数关系 B.一个直角三角形两条直角边长的和是 6，则这个直角三角形的面积 y 与一条直角边 x 的函数关系 C.在边长为 5 的正方形内挖去一个边长为 t 的小正方形，剩余面积 S 与 t 的函数关系 D.多边形的内角和 m 与边数 n 的函数关系 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先列出函数关系式，然后根据二次函数的概念即可判别 【题干】【题干】二次函数 y=2x(x-1)的一次项系数是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答
5、案】【答案】D 【解析】【解析】先化成一般式，即可判别 【教学建议】【教学建议】 本节内容在中考中一般不单独设题，但是处理二次函数问题的基础，特别是实际问题中自变量的取值范围 问题，应引起重视。 1. 二次函数 2 3yxx 中，a_，b_，c_。 【答案】【答案】-1,3,0 【解析】【解析】根据达式 y=ax+bx+c(a,b,c 是常数，且 a0)中，ax是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项来判定 2.已知函数 22 ()(1)1ymm xmxm ，若这个函数是二次函数，求m的取值范围。 【答案】【答案】m0 或 1 【解析】【解析】紧扣二次函数的定
6、义，二次项系数不为零即可。 例题 3 四 、课堂运用 基础 1.若函数 2 32 (3)1 kk ykxkx 是二次函数，则 k 的值为（ ） A.0 B.0 或 3 C.3 D.不确定 【答案】【答案】A 【解析】【解析】紧扣二次函数的定义，二次项系数不为零且自变量的次数最多是二次即可。 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分别沿 AB C 和 A DC 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x,s,由点 P，B，D，Q 确定的图形的面积为 ycm2,求 y 与 x （0 x8）之间的函数关系式。 , 【答案】【答案】当 0 x
7、4 时，y=8 2 1 2 x；当 4x8 时，8)8( 2 1 2 xy 【解析】【解析】根据图形易得相关的关系式 1. 已知 x ba xxbay 32 22)( 23 是关于 x 的二次函数，求 a，b 的值。 【答案】【答案】a=b=1 【解析】【解析】紧扣二次函数的定义，二次项系数不为零、自变量的次数最多是二次的整式即可得到一个关于 a， b 的二元一次方程组，解之即可。 2.如图,直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M(8,0),点 N(0,6).点 P 从点 N 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 NO 方向运动,点 Q 从点 O 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 O
8、M 的方向运动。 已知点 P、 Q 同时出发, 巩固 拔高 当点 Q 达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒。设四边形 MNPQ 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】依题意,运动总时间为 t=82=4 秒,要形成四边形 MNPQ,则运动时间为 0t4.(1 分) 当 P 点在线段 NO 上运动 t 秒时， OP=6t，OQ=2t SPOQ=12OP OQ=t2+6t 此时四边形 MNPQ 的面积 S=SMONSPOQ=1286(t2+6t)=t26t+24， S 关于 t 的函数关系式为 S=t2
9、6t+24.(0t4) 1二次函数的概念； 2.实际问题中，二次函数自变量范围的确定。 1. 下列表达式中，x 为自变量，其中为二次函数的是（ ） y=3(x-1)-3；y=(x+3)-x；y=10 x； 2 2 1 x xy A. B. C. D. 课堂小结 拓展延伸 基础 【答案】【答案】B 【解析】【解析】读题可知，所给函数，并不完全符合 y=ax+bx+c 形式，所以要先化简整理后再根据“必须抓住的 3 个关键”来判断”，可化为：y=3x 2-6x，符合二次函数的定义，故正确；等式右边去括号合并同类项 可得：y=6x+9，是一次函数，故错误；由于为无理数，故为二次函数；由于函数表达式右
10、边含有分 式的形式，不是整式，故错误，因此只有属于二次函数。 2.圆环的内圆半径是 x，外圆半径是 R，圆环的面积是 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的 取值范围。 【答案答案】0xR 【解析解析】圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积，整理即可得到函数关系式 解：根据圆的面积公式 s=r 2（r 为圆的半径），则外圆的面积为R2，内圆的面积为x2，则圆环的面积 为 y=R 2-r2=（R2-x2），自变量 x 的取值范围为 0x0） 0.3 【解析解析】由读题可知二、三月份的销售额分别为 50 1x 万元、 2 50 1x 万元，故第一季度销售额y与x 之间的关系式为： 2 y5050 1x50 1x .当 y= 84.5 时，相当于解关于 x 的一元二次方程. 拔高 教学反思
