1、 圆及圆的对称性 第13讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.圆及与圆相关的概念 2.圆的对称性 教学目标 1.掌握圆的定义及圆的性质 2.掌握圆的对称性 教学重点 能熟练掌握圆的相关概念及圆的对称性 教学难点 能熟练掌握圆的相关概念及圆的对称性 【教学建议】【教学建议】 本节的主要内容是圆及圆的对称性，主要是介绍圆的定义等一些相关概念，属于一节基本概念课。在 中考试题中主要涉及到的是圆的对称性以及圆心角、弧、弦之间的关系定理。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1. 圆的对称性的应用； 2. 圆心角、弧、弦之间的
2、关系定理。 【知识导图】【知识导图】 圆及圆的对称性 圆 圆的对称性 圆的定义 圆的有关概念 点与圆的位置关系 圆的对称性 圆心角 圆心角、弧、弦之间的关系 概述 教学过程 一、导入 【教学建议】【教学建议】 本节是一节概念课，只需要使学生对基本概念理解就行了。在中考试题中会涉及到本节的内容是圆的对称 以及圆心角、弧、弦之间的关系定理性。教师在教学时要把握好考试要求，做必要的练习，由于考试涉及 到本节的内容相对来说较简单，所以教师在教学时，不必深挖，做很多拓展，让学生掌握最根本的知识就 行了。 1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它的一个固定端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形
3、成的图形 叫做圆。固定端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆，记作“O”， 读作“圆 O”. 注意：在平面内，圆是指圆周，而不是圆面，圆的两要素 ：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径 确定圆的大小，线段 OP 的长也可以叫半径. （2）圆的集合性定义： 圆心为 O，半径为 r 的圆，可以看成所有到定点 O，距离等于定长 r 的点的集合。 注：圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）； 到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。 来源: 2.弦与直径、弧与半圆 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段 AC，AB； 经过圆心的弦叫做直径，如下图线段 AB；
4、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧 B AC O 二、知识讲解 知识点 1 圆及与的相关的概念 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 3.同心圆和等圆 同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图 2 所示： 图 2 图 3 等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。 注：同圆或等圆的半径相等。如图 3.等圆与位置无关 等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合 的弧叫做等弧。 注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧
5、。 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线 （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分成 360 等分，每一份的弧对应 1o的圆心角，我们也称这 样的弧为 1o的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量分别相等 【题干】如图，一枚直径为 4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移
6、动的距离是( ) 知识点 2 圆的对称性 三、例题精析 例题 1 A2cm B4cm C8cm D16cm 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据圆的周长公式即可得. 【题干】【题干】“手牵手”艺术团到某地慰问演出，要搭建一个圆形旋转舞台该地一工人发现周围有四根木柱， 且这四根木柱恰好构成菱形，他找到这个菱形四条边的中点，然后他说这四个中点在同一圆形舞台上请 问：他的想法有道理吗？证明你的结论 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：连接 OE，OF，OG，OH. 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDDA，ACBD. 又E 为 AB 的中点，OE1 2AB. 同理 OF1 2BC，
7、OG 1 2CD，OH 1 2AD， OEOFOGOH， 点 E，F，G，H 四点在以 O 为圆心，OE 长为半径的圆上 【题干】【题干】如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB、CD 的延长线相交于点 E.已知 AB2DE，E 18.试求AOC 的度数 例题 2 例题 3 【答案】【答案】54 【解析】【解析】连接 OD， AB2DE，AB2OD， ODDE，DOEE， ODC2E36， OCOD，CODC36， AOCCE54 【题干】【题干】在 RtABC 中，C90，BC3 cm，AC4 cm，以点 B 为圆心，BC 长为半径作B，点 A， C 及 AB，AC 的中点 D，E
8、与B 有怎样的位置关系？ 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】如图，在 RtABC 中，C90，BC3 cm，AC4 cm， AB AC 2BC25 cm. B 的半径为 3 cm， 而 AB5 cm3 cm，点 A 在B 外 又BC3 cmr，点 C 在B 上 D 是 AB 的中点， BD1 2AB2.5 cm， BDBC3 cm，点 E 在B 外 【题干】【题干】由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭近来 A 市气象局测得沙尘 暴中心在 A 市正东方向 400 km 的 B 处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心 300 km 的范围内将受到影 响，则 A 市是否
9、会受到这次沙尘暴的影响？ 例题 4 例题 5 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】如下图，过点 A 作 ACBD 于点 C. 由题意，得 AB400 km，DBA45. 在 RtACB 中，sinDBAAC AB，ACABsinDBA400 2 2 200 2282.8(km) 282.8300， A 市将会受到这次沙尘暴的影响 【题干】【题干】如图所示，在O 中，A，C，D，B 是O 上四点，OC，OD 交 AB 于点 E，F，且 AEFB，下列 结论：OEOF；ACCDDB；CDAB；AC BD.其中正确的有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】【答案】B 【解析】【
10、解析】正确 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数的平移上，先把例题讲解清晰，再给学生做 针对性的练习，注意各个二次函数的图象的平移情况，它们之间是怎么样平移的，总结平移的规律，抓住 抛物线性质的变与不变。 1.若点 P 到O 的最小距离为 6 cm，最大距离为 8 cm，则O 的半径是 。 例题 6 四 、课堂运用 基础 【答案】【答案】1cm 或 7cm 【解析】【解析】考虑两种情况 2.设O 的半径为 2，点 P 到圆心的距离为 m，且关于 x 的方程 2x 22 2xm10 有实数根，试确定点 P 与O 的位置关系 【答案】【答案】点 P 在O
11、 内或O 上 【解析】【解析】由题意知 b 24ac(2 2)242(m1)0，即 m2. 而O 的半径 r2，mr. 点 P 在O 内或O 上 3.下列说法中，正确的是( ) A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等，所对的圆心角相等 【答案】【答案】B 【解析】【解析】紧扣定义即可 4.如图，在ABC 中，A70，O 截ABC 三边所得的弦长相等，则BOC 的度数是多少？ 【答案】【答案】125 【解析】【解析】如图，过点 O 分别作 ODAB，OEBC，OFAC，垂足分别为 D，E，F. 由O 截ABC 三边所得的弦长相等， 可以证明 ODOEOF，
12、即11 2ABC，2 1 2ACB， 所以BOC180(12) 180180A 2 901 2A125. 1.如图所示，在O 上有一点 C(C 不与 A、B 重合)，在直径 AB 上有一个动点 P(P 不与 A、B 重合)试判 断 PA、PC、PB 的大小关系，并说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】当点 P 与点 O 重合时，PAPBPC， 当点 P 在 OA 上时，PAPCPB. 理由：连接 OC， 在POC 中，OCOPPCOPOC， OAOBOC， OAOPPCOPOB，PAPCPB， 同理，当 P 点在 OB 上时，PBPCPA. 2.在 RtABC 中，C90，AC2，
13、BC4.如果以点 A 为圆心，AC 长为半径作A，那么斜边中点 D 与A 的位置关系是( ) A点 D 在A 外 B点 D 在A 上 C点 D 在A 内 D无法确定 【答案】【答案】A 【解析】【解析】提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 巩固 3.如图所示，在O 中，如果AB CD，那么 AB_，AOB_；若 OEAB 于点 E，OF CD 于点 F，则 OE_OF. 【答案】【答案】CD COD 【解析】【解析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 4.4.如图所示，AB 是O 的直径，BC CDDE，COD34，则AEO 的度数是_ 【答案】【答案】51 【解析】【解析】
14、根据弧相等则边相等，等边对等角，平角是 180等可求。 1.设O 的半径为 2，点 P 到圆心的距离为 OP，且 OP 的长是关于 x 的方程 x 23x20 的实数根，试确 定点 P 与O 的位置关系 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解方程 x 23x20，得 x 11，x22，当 OP1 时，点 P 在O 内；当 OP2 时，点 P 在 O 上故点 P 在O 内或O 上 2.如图，AOB90，C，D 是AB 的三等分点，连接 AB 分别交 OC，OD 于点 E，F. 求证：AEBFCD. 拔高 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：如图所示，连接 AC， C，D 是的三等分
15、点ACCD， AOCDOB30. 又OAOB，OABOBA，AOEBOF， AEBF. OAOC，AOC30，ACOOAC75. 又OAOB，AOB90，OAE45. AECAOCOAE304575， ACEAEC，AEAC，AEBFCD. 3.如图，已知 A，B，C 是半径为 2 的O 上的三个点，其中 A 是BC 的中点，连接 AB，AC，点 D，E 分别在弦 AB，AC 上，且满足 ADCE. (1)求证：ODOE； (2)连接 BC，当 BC2 2时，求DOE 的度数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)证明：连接 OA，OB，OC， A 是的中点， AOBAOC. OAOB
16、OC，ABOBAOACO. ADCE， AODCOE，ODOE. (2)连接 BC 交 OA 于点 F，由条件可知 AO 是 BC 的垂直平分线， OABC，BFCF 2. 在 RtBFO 中，OF OB 2BF2 2， BFOF，AOB45. AODCOE， AODCOE， BODAOE， DOEAOB45. 1.掌握圆的定义及圆的性质. 2.掌握圆的对称性 1. 已知O 的半径是 5，点 A 到圆心 O 的距离是 7，则点 A 与O 的位置关系是( ) A点 A 在O 上 B点 A 在O 内 C点 A 在O 外 D点 A 与圆心 O 重合 【答案】【答案】 C 【解析】【解析】根据定义判断
17、 课堂小结 拓展延伸 基础 2. 如图， 已知 AB， CD 是O 的两条直径， CEAB， EC 所对的圆心角的度数为 75， 则BOC_ 【答案答案】127.5 【解析解析】提示：连接 OE，平行线转移角，圆中半径处处相等，等边对等角，三角形内角和 180 度。 3.如图,在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CDAB，垂足为 M则有 AM=_， _= ， _= 【答案答案】BM AC AD 【解析解析】根据圆的对称性 1.如下图所示，在ABC 中，AB 为的O 直径，B=60，C=70，则BOD 的度数是（ ） A80 B90 C100 D120 【答案答案】100 【解析】根据三角形内角
18、和，等边对等角，平角是 180可求得。 2.如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB2.设弦 AP 的长为 x，APO 的面积为 y， 则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) B M O A C D 巩固 【答案答案】A 【解析】做高，根据三角函数求高，然后根据三角形面积公式可得。 3.在 RtABC 中，ACB90，BC8 cm，AB10 cm，CD 是斜边 AB 的中线，以 AC 为直径作O， P 为 CD 的中点，点 C，P，D 与O 有怎样的位置关系？ 【答案答案】见解析 【解析】如下图，在 RtABC 中，ACB90，BC8 cm，AB
19、10 cm， AC AB 2BC26 cm. OC1 2AC 1 263(cm) 连接 OP.P 为 CD 的中点， OP1 2AD 1 4AB2.5(cm) O 的半径 rOC1 2AC3 cm， 点 C 在O 上，点 P 在O 内 连接 OD.D 为 AB 的中点，OD1 2BC 1 284(cm)3 cm，点 D 在O 外 拔高 1.如图，AB 是半圆 O 的直径，四边形 CDEF 是内接正方形。 (1)求证：OC=OF； (2)在正方形 CDEF 的右侧有一正方形 FGHK，点 G 在 AB 上，H 在半圆上，K 在 EF 上。若正方形 CDEF 的边为 2，求正方形 FGHK 的面积
20、。 【答案答案】见解析 【解析】解答： (1)证明：连接 OD，OE，则 OD=OE， 四边形 CDEF 为正方形 CD=FE,DCO=EFO=90 ， 在 RtDOC 和 RtEOF 中： OD=OE，CD=FE RtDOCRtEOF，OC=OF. (2)连接 OH,设正方形 FGHK 的边长为 x. 由已知及(1)可得 EF=2，OF=1. 在 RtOEF 中,OE2=OF2+EF2=12+22=5. 在 RtOHG 中,OH2=OG2+GH2，OE=OH， 5=(1+x)2+x2. 整理得 x 2+x2=0. 解得 x1=2(不合题意,舍去), x2=1.x2=1 正方形 FGHK 的面
21、积为 1. 2.如图，MN 是O 的直径，弦 AB，CD 相交于直线 MN 上的一点 P，APMCPM. (1)如图，根据以上条件，若交点 P 在O 的内部，试判断 AB 和 CD 的大小关系，并说明理由 (2)如图，若交点 P 在O 的外部，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立， 请说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】解：(1)ABCD. 理由：过点 O 分别作 OEAB 于点 E，作 OFCD 于点 F. APMCPM，APMBPN，CPMDPN，OPEOPF. OEAB，OFCD，OEPOFP90. 又OPOP，OPEOPF，OEOF， ABCD. (2)ABC
22、D 仍然成立 证明：过点 O 分别作 OEAB 于点 E，OFCD 于点 F. OEAB，OFCD，OEPOFP90. APMCPM，OPOP， OPEOPF，OEOF，ABCD. 3.小贾和同学一起到游乐场玩大型摩天轮摩天轮的半径为 20 m，匀速转动一周需要 12 min，小贾乘坐最 底部的车厢(离地面 0.5 m) (1)经过 2 min 后小贾到达点 Q(如下图)，此时他离地面的高度是多少？ (2)在摩天轮转动的过程中，小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于 30.5 m 的空中？ 【答案答案】见解析 【解析解析】解：(1)作 QCOA，垂足为 C，连接 OQ，如图 3234. 旋转一
23、周需要 12 min， AOQ 2 1236060. 在 RtOQC 中，OQ20 m， OCOQcos60201 210(m)， CAOAOC200.51010.5(m) 即小贾从底部开始旋转 2 min 后离地面 10.5 m. (2)延长 AO 交O 于点 H.设小贾在 D 处离地面 30.5 m，作 DPAH，垂足为 G，连接 OD，OP，则 GA 30.5 m， HG10 m，OG10 m. 由 sinDOG OD 10 20 1 2，得D30， DOG60，由点 D 转到点 H 所用时间为 60 360122(min) 由于摩天轮匀速转动，根据圆的对称性，则小贾将有 4 min 的时间连续保持在离地面不低于 30.5 m 的空中 教学反思
