1、 确定二次的函数的表达式 第8讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.用一般式确定二次函数表达式 2.用顶点式确定二次函数表达式 3.用交点式确定二次函数表达式 教学目标 1.掌握二次函数的表达式的确定方法 2.掌握用不同的表达式形式来求解. 教学重点 能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法 教学难点 能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法 【教学建议】【教学建议】 二次函数表达式的确定是中考中的必考内容，一般是作为二次函数压轴题的第一问来考的。在教学中， 教师要把确定二次函数解析式的三种常见形式（一般式、顶点式、交点式）给学生讲清
2、来龙去脉，要让学 生知其然知其所以然，这样在实际做题中才能避免不知如何选择，套用哪种形式的问题。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1. 三种解析式的由来； 2. 设哪种解析式； 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 确定二次的函数的表达式 用一般式确定二次函数表达式 用顶点式确定二次函数表达式 用交点式确定二次函数表达式 概述 教学过程 一、导入 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，而要想研究二次函 数，必须首先知道二次函数的解析式，所以有关二次函数的压轴题的第一问往往都是要根据题意来求二次 函数的解析式。教师在教学中一定要重
3、视这块内容，大家都知道，如果二次函数的解析式求错了的话，就 没有必要往下做了，做了也得不到分。这就要求我们老师要强调，求二次函数解析式后，一定要用原有的 点的坐标代入你所求的二次函数的解析式，以检验所求的二次函数的解析式是否正确。 1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为) 0( 2 acbxaxy，代入后得到一个三元一次方程，解之 即可得到cba,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式. 2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤： 步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式 y=ax 2+bx+c(a0)； 步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数 a
4、、b、c 的方程组； 步骤三：解这个方程组，得到待定系数 a、b、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式. 已知二次函数的顶点坐标为（h,k）的话，可以设成顶点式：y=a(x-h) 2+k（a、h、k 为常数且 a0） 然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得 a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二 次函数的解析式化成一般式）。 如果知道抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为 A（x1,0）和 B（x2,0）两点，这时可以设二次函数的解析式 是)( 21 xxxxay，这种形式，我们称为二次函数的交点式。 设出交点式后，只需再找出二次函数图象上的一点，把
5、它带入二次函数的交点式，解方程即可求得 a 的值， 最后回代到交点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。 二、知识讲解 知识点 1 用一般式确定二次函数表达式 知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式 知识点 3 用交点式确定二次函数表达式 【题干】已知二次函数的图象经过点(0,3)，(3,0)，(2,5)，且与 x 轴交于 A、B 两点。 (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点 C 的坐标； (3)判断点 P(2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出PAB 的面积；如果不在，试说明理由。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)设二次函数的解
6、析式为 y=ax 2+bx+c， 二次函数的图象经过点(0,3)，(3,0)，(2,5)， 所以 524 039 3 cba cba c ，解得： 3 2 1 c b a 二次函数的解析式为：y=x 22x+3， (2) C(1,4)， (3) SPAB=1243=6. 【题干】【题干】已知抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象顶点为(2,3)，且过(1,5)，则抛物线的表达式为_. 【答案】【答案】y=2x 2+8x+11 【解析】【解析】设函数的解析式是：y=a(x+2) 2+3，把(1,5)，代入解析式得到 a=2， 因而解析式是：y=2(x+2) 2+3 即 y=2x2+8x+11.
7、【题干】【题干】抛物线 yax 2bxc 过(-3，0)，(1，0)两点，与 y 轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达式 为 【答案】【答案】4 3 8 3 4 2 xxy 三、例题精析 例题 1 例题 2 例题 3 【解析】【解析】采用待定系数法，将三点分别代入 yax 2bxc 中得： 4 0 039 c cba cba ，解得 4 3 8 3 4 c b a 所以此抛物线的表达式为4 3 8 3 4 2 xxy. 【题干】【题干】已知二次函数 y=ax 2+bx+c，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 （1）求该二次
8、函数表达式； （2）求 y 的最值； 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）解法一：由于二次函数表达式为：y=ax 2+bx+c，根据其表中信息，选取三点坐标代入构成方 程组为： 0 3 8 cba c cba ，解得：a=1，b=-4，c=3. 所以该二次函数表达式为：y=x 2-4x+3. 解法二：观察图表数据，可知当 x=2 时，y 取最小值为-1，故 x=2 为该二次函数图象的对称轴，且（2，-1） 为该抛物线的顶点，因此可根据顶点式设抛物线为 y=a(x-2) 2-1，然后将任意一个非顶点坐标（0，3）代入 表达式中求得 a=1，求得二次函数表达式 y=(x-2) 2-1 （
9、2）y=x 2-4x+3=(x-2)2-1,故当 x=2 时，y 最小值为-1. 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数解析式的三种求法上，先把这三种解析式设 法的原理讲清楚，然后再配以典型的例题，把例题讲透，再给学生做针对性的练习。 例题 4 四 、课堂运用 1.已知抛物线 yax 2bxc，当 x=2 时，y 有最大值 4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 . 【答案】【答案】482 2 xxy 【解析】【解析】因为当 x=2 时，y 有最大值 4，所以此抛物线的顶点坐标为（2,4），即可采用顶点式来求此抛物线 的表达式， 设此抛物线的表达式为
10、4)2( 2 xay， 因为它过(1， 2)点， 所以24)21 ( 2 a， 解得 a=-2， 则所求抛物线的表达式4)2(2 2 xy，即482 2 xxy. 2.有一个二次函数，当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x-1 时，y 随 x 的增大而减小；且当 x=-1 时， y=3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】由题意根据抛物线的增减性可知其对称轴为 x=-1，而当 x=-1 时，y=3，故可知二次函数的顶点坐 标为（-1,3）,设抛物线的表达式为 y=a(x+1) 2+3，又抛物线过点（2,0）， 将其代入
11、表达式中得：0=9a+3，即 a= 3 1 .该二次函数的表达式为：y= 3 1 (x+1) 2+3= 3 1 x 2- 3 2 x+ 3 8 . 3.有一个二次函数，当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x-1 时，y 随 x 的增大而减小；且当 x=-1 时， y=3，它的图象经过点（2，0），请用交点式求这个二次函数的表达式. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】根据二次函数的增减性可知抛物线的对称轴为 x=-1， 而抛物线过点（2,0），根据其图象对称性，可知抛物线过点（-4,0）， 故可根据交点式设抛物线的表达式为 y=a(x-2)(x+4).又抛物线过（-1,3）， 3
12、=a(-1-2)(-1+4).解得：a= 3 1 . 该二次函数的表达式为：y= 3 1 (x-2)(x+4)= 3 1 x 2- 3 2 x+ 3 8 . 1.由表格中的信息可知，若设 yax 2bxc,则下列 y 与 x 之间的函数表达式正确的（ ） x 1 0 1 基础 巩固 ax 2 1 ax 2bxc 4 6 A. yx 2x4 B. yx2x6 C. yx 2x4 D. yx2x6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】当 x=1 时，(1) 2a=1,解得 a=1；当 x=0 时，c=4；当 x=1 时，a+b+c=6,把 a=1，c=4 代入解得 b=1； 所求表达式为 yx 2
13、x4. 2.抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点为（-1，0）， （3，0），其形状与抛物线 y=-2x2相同，则 y=ax2+bx+c 的函数表达式为_. 【答案】【答案】y=-2x 2+4x+6 【解析】【解析】根据题意 a=-2，所以设所求抛物线表达式为 y=-2（x-x1）（x-x2），所求表达式为 y=-2（x+1） （x-3），化为一般式为：y=-2x 2+4x+6 3.已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A（-1，0），B（1，-2），该图象与 x 轴的另一个交点为 C，则 AC 长为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】二次函数 y=x 2+b
14、x+c 的图象经过点（-1，0），（1，-2），1b+c0，1+b+c2，解得 b1， c2，抛物线的表达式为 y=x 2-x-2，对称轴为 x= 2 1 12 1 2 a b 由函数的对称性可得 C（2，0）， AC=2-（-1）=3 1.抛物线nmxxmy6)1 ( 2 经过点 A(1,0)，B（5,0）. （1）求这个抛物线对应的函数表达式； 拔高 （2）记抛物线的顶点为 C,设 D 为抛物线上一点，求使 S ABD =3S ABC 时点 D 的坐标. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 (1)因为抛物线nmxxmy6)1 ( 2 经过点 A(1,0)， B （5,0） ， 所以
15、030)1 (25 061 nmm nmm ， 解得 2 5 2 1 n m ，所以这个抛物线对应的函数表达式为 2 5 3 2 1 2 xxy. (2)将 2 5 3 2 1 2 xxy配方得：2) 3( 2 1 2 xy， 顶点坐标为 （3， -2） ， 即C （3， -2） ， 则S ABC = c yAB 2 1 =424 2 1 ；所以 S ABD =1243，又因为 S ABD = D yAB 2 1 ，所以6 D y，即 D y=6 或 D y=-6 （舍去，因为此函数的顶点坐标为（3，-2），又因为开口向下，所以函数的最小值是-2，故舍去）， 6 2 5 3 2 1 2 xx，
16、解得 x=103103或,故点 D 的坐标为（103，6）或（10-3，6）. 2.如图所示，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过点 M（1，-2），N（-1，6） （1）求二次函数 y=x 2+bx+c 的表达式； （2）把 RtABC 放在坐标系内，其中CAB=90点 A、B 的坐标分别为（1，0）,（4，0）BC=5,将ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在抛物线上时，求ABC 平移的距离. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）将 M（1，-2），N（-1，6）代入 y=x 2+bx+c 中得 ， 61 21 cb cb 故 b=-4，c=1. 所以此二次函数的表达式
17、为：y=x 2-4x+1. (2)在 RtABC 中，因为 BC=5，AC=3，所以 AC=4,当点 C 落在抛物线上时,求此时 C 的坐标，也就是当纵 坐标等于 4,时，求其在轴正半轴上的横坐标，4=x 2-4x+1, 解得：x= .7-272（舍去）或 所以ABC 平移的距离为：2+7-1=1+7。 3.如图所示，抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点为 M（-2，-4），与 x 轴交于 A、B 两点，且 A（-6，0），与 y 轴 交于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ABC 的面积。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）设此函数的表达式为 y=a（x+h） 2+k
18、， 函数图象顶点为 M（-2，-4）， y=a（x+2） 2-4， 又函数图象经过点 A（-6，0）， 0=a（-6+2） 2-4 解得 a= 4 1 ， 此函数的表达式为 y= 4 1 （x+2） 2-4， 即 y= 4 1 x 2+x-3； （2）点 C 是函数 y= 4 1 x 2+x-3 的图象与 y 轴的交点， 点 C 的坐标是（0，-3）， 根据点 A（-6，0）和对称轴为 x=-2，由函数的对称性可得点 B 的坐标是（2，0）， 则 SABC= 2 1 |AB|OC|= 2 1 83=12； 1. 用一般式确定二次函数表达式的方法 一般式：y=ax 2+bx+c（a、b、c 为常
19、数且 a0） 2. 用顶点式确定二次函数表达式的方法 顶点式：y=a(x-h) 2+k（a、h、k 为常数且 a0），点（h,k）为顶点坐标 3.用交点式确定二次函数表达式的方法 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a、x1、x2为常数且 a0） 1. 抛物线 yax 2bxc 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 . 【答案】【答案】xxy 2 12 1 . 【解析】【解析】采用一般式代入计算即可求出。 2. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。 【答案答案】 2 5 3 2 12 xy x 【解析解析】采用顶点式，
20、代入计算即可。 3.如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为(1，4)，抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E(0，3) （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F(0，3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EGFG 最小，如果存在，求出 点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由。 课堂小结 拓展延伸 基础 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）设抛物线的表达式为 ya(x1) 24，把点 E(0，3)代入得：a(01)243，解得，a 1，y1(x1) 24x22x3；（2）存在点 E 关于对称轴直线 x1 对称的对称点为 E(2，3)， 设过 EF 的直线表达式为
21、ymxn，把 E、F 两点坐标代入得 3 32 n nm ，解得 3 3 n m ，所以直线 EF 的表达式为 y3x3，把 x1 代入得，y0，因此点 G 的坐标为(1，0)； 1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线 y=1 4x 与抛物线 交于 A、B 两点，直线 l 为 y= 1. (1) 求抛物线的解析式； (2) 在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标;若不存在，请说明理由。 巩固 【答案答案】见解析 【 解析 】（ 1） 设抛 物线 的解 析式 为： 2 2ya x， 把点 （
22、4， 1） 代入 ，得： 1 4 a ， 2 2 11 21 44 yxxx； （2）联立 2 1 1 4 1 4 yxx yx ，解得： 1 1 1 1 4 x y ， 2 2 4 1 x y ，A（1， 1 4 ），B（4，1）. 如图，作点 A 关于 y= 1 的对称点 A，易得 A的坐标为（1，- 9 4 ），连接 AB，交 l 于点 P，则 P 是 所求的点。 设 AB 的解析式为：ykxb， 其经过 A （1， - 9 4 ） 和 B （4， 1） 点， 14 9 4 kb kb ， 解得： 13 12 10 3 k b ， 1310 123 yx，当 y= 1 时， 28 13
23、x ，P 点的坐标为（ 28 13 ，-1）。 2.已知二次函数y 2 3 16 xbxc的图象经过 A（0，3），B（4， 9 2 ）两点 （1）求b，c的值； （2）二次函数y 2 3 16 xbxc的图象与x轴是否存在公共点？若有求公共点的坐标；若没有，请说 明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）二次函数y 2 3 16 xbxc的图象经过 A（0，3），B（4， 9 2 ）两点， 2 3 93 ( 4)4 216 c bc ， 解得b 9 8 ，c3 （2）由（1）知，b 9 8 ，c3 该二次函数为y 2 39 3 168 xx 在y 2 39 3 168 xx中，当y0 时
24、，0 2 39 3 168 xx，解得 1 x2， 2 x8 二次函数y 2 3 16 xbxc的图象与x轴有两个公共点，分别为（2，0），（8，0） 3.如图，经过点 A(0，-6)的抛物线 y= 2 1 x 2+bx+c 与 x 轴相交于 B(-2，0)，C 两点 （1）求此抛物线的函数表达式和顶点 D 的坐标； （2）将（1）中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m(m0)个单位长度得到新抛物线 y1， 若新抛物线 y1的顶点 P 在ABC 内，求 m 的取值范围； 【答案答案】见解析 【解析】（1）将 A（0，-6），B（-2，0）代入 y= 2 1 x 2+bx+c，得
25、 6 2 20 c bc ，解得 2 6 b c ，所以 y= 2 1 x 2-2x-6，所以 y= 2 1 (x-2) 2-8，所以 D（2，-8） （2）根据题意可得：y1= 2 1 (x-2+1) 2-8+m， P（1，-8+m）. 在抛物线 2 1 26 2 yxx中易得(6,0)C 直线AC为 2 6yx，当1x 时， 2 5y ， 580m ，解得38m 1.如图，已知二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴相交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C（0，3） （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PHx 轴于
26、点 H，与 BC 交于点 M，连接 PC 求线段 PM 的最大值； 当PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标 【答案答案】见解析 【解析】（1）设二次函数解析式为 ya（x1）（x3）， 把点 C（0，3）代入，得：3a（01）（03），解得 a1 二次函数解析式为 y（x1）（x3）x 22x3 （2）设 BC 所在直线的表达式为 ykxb， 将 B（3，0），C（0，3）代入，得 03kb 3b ，解得 k1 b3 直线 BC 的表达式为 yx3， x y M H B A C O P 拔高 再设 P 点的坐标为（m，m 22m3），由于 PHx 轴于点 H， M 的坐标
27、为（m，m3） PM（m3）（m 22m3）m23m 10，PM 有最大值， 当 m3 2时，PM 最大 032 4(1) 9 4 设 P 点的坐标为（x，x 22x3），则 M 的坐标为（x，x3） PMx 23x 当 PMPC 时，x 23x x2()3()x22x3 2，解得 x0 或 x2 由于 x0 不合题意，舍去，x2 此时，P 点的坐标为（2，3）； 当 PMCM 时，x 23x x2(x3)(3)2，解得 x0，x5，x1 由于 x0，x5 不合题意，舍去， x1 此时，P 点的坐标为（1，4） 综上所述，满足条件的 P 点有两个，其坐标分别为（2，3）或（1，4） 2.抛物线
28、 2 1 3 yxbxc 经过点 A(3 3， 0)和点 B(0， 3)， 且这个抛物线的对称轴为直线 l， 顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AB、AC、BC，求ABC 的面积 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）抛物线cbxxy 2 3 1 经过 A ），（033 、B(0，3) 93 3 3 c c 0 由上两式解得 3 32 b 抛物线的解析式为：3 3 32 3 1 2 xxy （2）设线段 AB 所在直线为：bkxy 线段 AB 所在直线经过点 A(3 3，0)、B(0，3) 抛物线的对称轴 l 于直线 AB 交于点 D 设点 D 的坐标为 D ），（m3 将点
29、D ），（m3 代入3 3 3 xy，解得 m2 点 D 坐标为），（23 CDCEDE2 如上图所示，过点 B 作 BFl 于点 F BFOE3 BFAE OEAE OA33 SABCSBCD SACD 2 1 CDBF 2 1 CDAE SABC 2 1 CD(BFAE) 2 1 23333 3.在平面直角坐标系xOy中，直线44yx与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线 2 3yaxbxa经过 点A，将点B向右平移 5 个单位长度，得到点C （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 【答案答案】见解析 【解析】（1）解：直线44yx与x轴、y轴交于A、B A（1，0），B（0，4） C（5，4） （2）解：抛物线 2 3yaxbxa过A（1，0） 30aba 2ba 2 23yaxaxa 对称轴为 2 1 2 a x a （3）解：当抛物线过点C时 251034aaa，解得 1 3 a 当抛物线过点B时 34a，解得 4 3 a 当抛物线顶点在BC上时 此时顶点为（1，4） 234aaa，解得1a 综上所述 4 3 a 或 1 3 a或1a 教学反思
