1、 天津市南开中学天津市南开中学 2021 届高三年级第一次月考数学届高三年级第一次月考数学试卷试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 9 小题，共小题，共 45 分）分） 1已知集合 |2| 1Axx， 2 |20Bx xx，则 R AB （ ） A |02xx B | 1123xxx 或 C |12xx D |23xx 2对于实数 a，b，c， “ab”是“ 22 acbc”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设 2 1 ln3,log 3,3 e abc ，则（ ） Aabc Bbac Cacb Dcba 4函数( )ln26f xx
2、x的零点一定位于区间（ ） A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 5函数 | | 2 sin2 x yx的图象可能是（ ） A B C D 6 如图， 在矩形ABCD中，2,2ABBC， 点 E 为BC的中点， 点 F 在边CD上， 若2AB AF， 则AE BF的值是（ ） A22 B1 C2 D2 7 定义在R上的奇函数( )f x满足(4)( )f xf x， 当( 0 , 1 )x时，( )3xf x ， 则 3 l o g5 4f（ ） A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 8已知函数 2 2 1,0 ( ) 1,0 xxx f x xxx ，若( )(
3、)sin(2020)1F xf xx在区间 1,1上有 m 个零点 123 , m x x xx，则 123m f xf xf xf x（ ） A4042 B4041 C4040 D4039 9若曲线 2 1: Cyx与曲线 2 e :(0) x Cya a 存在公切线，则实数 a 的取值范围（ ） A(0,1) B 2 e 1, 4 C 2 e ,2 4 D 2 e , 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 30 分） 分） 10已知复数 2 1 i z i （i 为虚数单位） ，则|z _ 11 6 2 x x 的展开式的常数项是_ （用数字作答） 12已知函
4、数 ln(1),0 ( ) 0,0 xx f x x ，若(4)(23)f xfx，则实数 x 的取值范围是_ 13已知函数 2 2 ( )log2413f xxx，当 2,2x 时，则函数( )f x的最大值与最小值之和是 _ 14已知函数 1 2 22 ,0,) ( ) 2,(,0) x m x f x xmx x 的最小值为2m，则实数 m 的值为_ 15已知mR，函数 2 |31|,1 ( ) log (1),1 xx f x xx ， 2 ( )221g xxxm，若( ( )yf g xm有 4 个 零点，则实数 m 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小
5、题，共小题，共 75 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题 14 分） 已知函数 2 ( )sin 22cos(0) 6 f xxx 的周期为 （1）求的值及函数( )f x的单调递增区间； （2）若 0 2 , 63 x ，且 0 8 5 fx，求 0 sin2x的值 17 （本小题 15 分） 已知函数 2 ( )() 21 x f xaa R为奇函数 （1）求 a 的值； （2）解不等式 2 log3fx ； （3）若不等式( )0f xm对任意1,2x恒成立，求实数 m 的取值范围 18 （本小题 15 分） 如图，P
6、D 平面ABCD，ADCD，/AB CD，/PQ CD，222ADCDDPPQAB，点 E，F，M 分别为AP，CD，BQ的中点 （1）求证：/EF平面MPC； （2）求锐二面角QPMC的大小； （3）若 N 为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为 6 ，求线段QN的长 19 （本小题 15 分） 已知函数 2 ( )ln2(0)f xaxa x （1）若曲线( )yf x在点(1,(1)Pf处的切线与直线220 xy垂直，求 a 的值； （2）若对于任意(0,)x都有( )2(1)f xa成立，试求 a 的取值范围； （3）记( )( )()g xf xxb b R当1a 时，函
7、数( )g x在区间 1, ee 上有两个零点，求实数 b 的取 值范围 20 （本小题 16 分） 已知函数( )ln1f xxax，其中aR （1）求( )f x的单调区间； （2）当1a 时，斜率为 k 的直线 l 与函数( )f x的图象交于两点 11 ,A x y， 22 ,B xy，其中 12 xx，证 明： 12 1 1 xx k ； （3）是否存在kZ，使得 2 ( )21f xaxk x 对任意1x 恒成立？若存在，请求出 k 的最大值； 若不存在，请说明理由 天津市南开中学天津市南开中学 2021 届高三数学第一次月考参考答案届高三数学第一次月考参考答案 一、选择题一、选择
8、题 1 2 3 4 5 9 7 8 9 D B C B D C A B D 二、填空题二、填空题 102 11240 12 3 , 2 136 1416 15 5 0,1 7 三、解答题三、解答题 16解： （1） 2 31 ( )sin 22cossin2cos21cos2 622 f xxxxxx 31 sin2cos21sin 21 226 xxx ， 2 2 T ，1 222 262 kxk ，解得, 36 kxkk Z ( )f x的递增区间为, 36 kkk Z （2） 0 8 5 fx 0 8 sin 21 65 x 0 3 sin 2 65 x 0 2 , 63 x 0 3 2
9、, 622 x 0 4 cos 2 65 x 00 334143 3 sin2sin2 66525210 xx 17解： （1）( )f x为奇函数()( )fxf x 22 2121 xx aa 11 222222 22 2121211221 xx xxxxx a 1a （2） 2 2 log 22 log11 211 x fx x 2 log3fx 2 13 1x ，解得 1 1 2 x 所以不等式的解集为 1 ,1 2 （3）因为不等式( )0f xm对任意1,2x恒成立，所以( )f xm对任意1,2x恒成立， 令22,4 x t ，则 1212 ( )1 1211 x x t yf
10、x tt ， 所以 1 1 t y t 在2,4上单调递增，所以 min 12 3 12 y ， 所以 min ( )3f x ，所以3m 18 （1）连接EM，因为/,/AB CD PQ CD，所以/AB PQ， 又因为ABPQ，所以PABQ为平行四边形 由点 E 和 M 分别为AP和BQ的中点，可得/EM AB且EMAB， 因为/,2AB CD CDAB，F 为CD的中点，所以/CF AB且CFAB， 可得/EM CF且EMCF，即四边形EFCM为平行四边形， 所以/EF MC，又EF 平面MPC，CM 平面MPC， 所以/EF平面MPC （2）因为PD 平面ABCD，ADCD，可以建立以
11、 D 为原点，分别以,DA DC DP的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系 依题意可得(0,0,0), (2,0,0), (2,1,0), (0,2,0)DABC， (0,0,2),(0,1,2),(1,1,1),(1,1, 1),(0,1,0),(1, 1,1),(0,2, 2)PQMPMPQCMPC 设 1 ( , , )nx y z为平面PMQ的法向量， 则 1 1 0 0 nPM nPQ ，即 0 0 xyz y ， 不妨设1z ，可得 1 (1,0,1)n 设 2 ( , , )nx y z为平面MPC的法向量， 则 2 2 0 0 nPC nCM ，即 220
12、0 yz xyz ，不妨设1z ，可得 2 (0,1,1)n 设锐二面角QPMC的平面角为 12 12 12 1 coscos, 2 n n n n nn ，所以 3 所以，二面角QPMC的大小为 3 （3）设(01)ONQC，即(0, , 2 )QNQC，则(0,1,22 )N 从而(0,1,22 )DN 由（2）知平面PMQ的法向量为 1 (1,0,1)n ， 由题意， 1 1 1 sincos, 6| DN n DN n DNn ，即 22 1|22| 2 (1)(22 )2 ， 整理得 2 31030，解得 1 3 或3， 因为01所以 1 3 ，所以 1 3 QNQC， 15 | 3
13、3 QNQC 19 （1）直线220 xy的斜率为 1 2 ，函数( )f x的定义域为(0,) 因为 2 2 ( ) a fx xx ，所以 2 2 (1)2 11 a f ，所以4a ， （2） 22 22 ( ) aax fx xxx 由( )0fx解得 2 x a ；由( )0fx解得 2 0 x a 所以( )f x在区间 2 , a 上单调递增，在区间 2 0, a 上单调递减， 所以当 2 x a 时，函数( )f x取得最小值 min 2 yf a 因为对于任意(0,)x都有( )2(1)f xa成立，所以 2 2(1)fa a 即可 22 ln22(1) 2 aa a a ，
14、即 2 lnaa a ，解得 2 0 e a， 所以 a 得取值范围是 2 0, e （3）依题意得 2 ( )ln2g xxxb x ，则 2 2 2 ( ) xx g x x ， 由( )0g x解得1x ，由( )0g x解得01x 函数( )g x在区间 1, ee 上有两个零点，所以 1 0 ( )0 (1)0 g e g e g ，解得 2 11be e 所以 b 的取值范围是 2 1,1e e 20 （1）因为 1 ( ),0fxa x x ， 当0a 时，( )0fx恒成立，所以( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时， 1 0,x a 时，( )0fx，( )f x在
15、1 0, a 上单调递增， 1 ,x a 时，( )0fx，( )f x在 1 , a 上单调递减, 综上所述：当0a 时，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，( )f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 （2）当1a 时，( )ln1f xxx，所以 21221121 212121 lnlnlnln 1 yyxxxxxx k xxxxxx ，所以 21 21 lnln 1 xx k xx ， 要证 12 1 1 xx k ，即证 21 2211 1lnln1xx xxxx ， 因为 21 0 xx，即证 21221 211 ln xxxxx xxx ， 令
16、 2 1 (1) x t t x ，即证 1 1ln1(1)ttt t ，令( )ln1(1)k tttt ， 由（1）知，( )k t在(1,)上单调递减，所以( )(1)0k tk，即ln10tt ，所以ln1tt ， 令 1 ( )ln1(1)h ttt t ，则 22 11(1) ( )0(1) t t h tt ttt ， 所以( )h t在(1,)上单调递增，所以( )(1)0h th，即 1 ln1(1)tt t ； 综上可得 1 1ln1(1)ttt t ，即 12 1 1 xx k ； （3）由已知得 2 ( )21f xaxk x ，即为( l n1 )(2 ) (1 )x
17、xkxx，即 l n20 (1 )xxxk xkx， 令( )ln2 (1)g xxxxkxk x，则( )lng xxk， 当0k 时，( )0g x，所以( )g x在(1,)上单调递增，(1)10gk ，即1k ，矛盾，故舍去； 当0k 时，由ln0 xk，得 k xe，由ln0 xk，得1 k xe，所以( )g x在 1, k e上单调递减， , k e 单调递增， 所以 min ( )2(0) k g xke k，即当 min ( )20(0) k g xkek恒成立，求 k 的最大值 令( )2 t G tte，则( )2 t G te， 当20 t e，即ln2t 时，( )G t单调递增，当20 t e，即ln2t 时，( )G t单调递减， 所以 max ( )(ln2)2ln220G xG，所以不存在整数 k 使20 k ke成立， 综上所述，不存在满足条件的整数 k
